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弹性力学5

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弹性力学5PPT课件

弹性力学5PPT课件
在小变形条件下，一个复杂载荷可以等效为几个简单载荷的叠加，每个简单载荷引起的 位移、应变和应力可以分别计算，然后叠加得到复杂载荷下的结果。
叠加原理的适用范围
适用于线弹性范围内的小变形问题，对于非线性问题或大变形问题，叠加原理不再适用。
叠加原理的应用举例
利用叠加原理求解复杂载荷下的梁的弯曲问题，可以将复杂载荷分解为几个简单载荷， 分别求出每个简单载荷下的弯曲变形，然后叠加得到最终结果。
03
平面问题求解方法
平面应力问题与平面应变问题
平面应力问题
分析薄板在面内荷载作用 下的应力、变形和稳定性。
平面应变问题
研究长柱体或深埋在地下 的结构物，在垂直于轴线 或地面的荷载作用下，其 横截面内的应力和变形。
两者区别
平面应力问题中，垂直于 板面的应力分量可忽略不 计；而平面应变问题中， 该应力分量不可忽略。
功的互等定理与卡氏定理的应用举例
利用功的互等定理可以求解某些复杂结构的位移和应力问题；利用卡氏 定理可以求解某些特殊载荷作用下的应力问题。
虚功原理与最小势能原理
虚功原理的基本内容
在弹性力学中，外力在虚位移上所做的功等于内力在虚应变上所做的功。这里的虚位移和虚应变是指满足几何约束和平衡 条件的任意微小的位移和应变。
复变函数的引入
利用复变函数的性质，可将平面 弹性力学问题中的偏微分方程转 化为复变函数的解析函数问题。
保角变换
通过保角变换，可将复杂形状的 平面区域映射为简单形状的区域， 从而简化问题的求解。
边界条件的处理
在复变函数法中，边界条件的处 理是关键步骤之一，需要根据具 体问题选择合适的处理方法。
差分法和有限元法在平面问题中的应用
边界条件处理
阐述有限元法中边界条件的处理方法， 如固定边界、自由边界、对称边界等。

弹性力学5-圣维南原理

弹性力学5-圣维南原理

P
P
P
第二章 平面问题的基本理论 2.7 圣维南原理及其应用
低碳钢拉伸，轴力N是通过端部夹头的接触力得到的，
而接触力的分布情况是不清楚的，但面力的合成结果可以 确定，即轴力N，这个试件端部的精确的边界条件是无法写 出的，如何来求解这类问题？
为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这种限制，圣维南提 出了局部影响原理—圣维南原理。
图（a）
F
图（b） F
F
第二章 平面问题的基本理论 2.7 圣维南原理及其应用
圣维南原理的应用
注意：
边界力替换时必须满足静力等效条件。 只能在次要边界界
F
F/A
第二章 平面问题的基本理论 2.7 圣维南原理及其应用
圣维南原理的应用
（2）通过圣维南原理的使用，可以将一些难以处理 的边界条件转化为基本方程所能够满足的边界条件， 使得弹性力学问题得到解答。
h/2
h/2
∫ ∫ σ( ) −h/ 2
x x=±l
ydy ⋅1 = ±
−h/ 2
f x ( y) ydy ⋅1
h/2
h/2
∫ ∫ −h / 2 (τ xy ) x=±l dy ⋅1 = ± −h / 2 f y ( y)dy ⋅1
第二章 平面问题的基本理论 2.7 圣维南原理及其应用
h/2
h/2
第二章 平面问题的基本理论 边界条件写法小结
（2）直接写法（直接在图上标出）
例2.5 写出如图所示弹性体的应力边界条件。
左竖直边界：x=0 σ x x=0 = −γ y τ xy x=0 = 0 上水平边界：= y=0 σ y y 0= = −q τ xy y 0 = τ 0 右竖直边界：x=b

《弹性力学》第五章平面问题的复变函数法

《弹性力学》第五章平面问题的复变函数法

在非线性弹性力学中的应用
解决几何非线性问题
01
通过引入复变函数法，可以更精确地描述和分析材料
的几何非线性行为，如大变形、弯曲和扭转等。
分析材料非线性特性
02 复变函数法可用于研究材料的非线性本构关系，包括
弹性模量、泊松比和屈服强度等随应变变化的规律。
求解非线性弹性力学方程
03
利用复变函数法的数学工具，可以更有效地求解非线
03
典型应力集中问题的 复变函数解法
通过实例详细讲解复变函数法在求解 典型应力集中问题中的应用，如圆孔 、椭圆孔、矩形孔等孔边应力集中的 求解。
裂纹问题的复变函数解法
裂纹问题的定义和 分类
介绍裂纹的概念、分类以及裂 纹对材料和结构的影响，如疲 劳裂纹、脆性裂纹等。
复变函数法在裂纹 问题中的应用
阐述如何利用复变函数法求解 裂纹问题，包括裂纹尖端应力 场的求解、裂纹扩展的判据等 。
在迭代计算过程中，要判断 计算结果的收敛性。如果结 果不收敛，应调整计算参数 或改进算法。误差Fra bibliotek析程序实现
分析计算结果的误差来源， 如模型误差、离散化误差、 舍入误差等。尽量减小误差， 提高计算精度。
编写稳定、可靠的程序，实 现复变函数法的数值计算。 程序应具有良好的可读性和 可维护性。
06 复变函数法在弹性力学中 的拓展应用
04 复变函数法在平面问题中 的应用
应力集中问题的复变函数解法
01
应力集中问题的定义 和分类
阐述应力集中的概念，如孔边应力集 中、缺口应力集中等，以及不同类型 的应力集中对材料和结构的影响。
02
复变函数法在应力集 中问题中的应用
介绍如何利用复变函数法求解应力集 中问题，包括应力函数的构造、边界 条件的处理等。

弹性力学第四章 (5)轴对称问题

弹性力学第四章 (5)轴对称问题

u
1 A [(1 ) 2 (3 ) B 2(1 ) B ln 2(1 )C E
u
u u 1 u 0
（a ）
由（a）第一式积分： 1 A u (1 ) B[(1 3 ) 2(1 ) (ln 1)] E 2(1 )C f ( ) （b） 由（a）第二式，将（b）带入，整理：
A 2 BC (1 2 ln ) 2C A 2 B (3 2 ln ) 2C 0
（4—11）
三、位移分量：
（4-11） 代 （4-3） 代 （4-2）
1 1 A ( ) (1 ) 2 B[(1 3 ) E E
1 2 2 0
3）. 故应力函数，应力分量与 无关，仅是ρ 的函数。
不计体力时
( )
（4—9）变为
正应力与无关 剪应力为 0
2 . 平微方程：
1 f 0 由： 2 1 f 0
将 (h)、（f） 代入（c）式
位移分量： 1 A u [(1 ) 2(1 ) B (ln 1) (1 3 ) B E 2(1 )C ] I cos K sin （4—12）
4 B u H I sin K cos E
1??????不计体力时??49变为??022?????????????????正应力与?无关剪应力为0????????????????????????????????02?101?f??????f???????????由

5第三章弹性力学平面问题的解析解法讲解

5第三章弹性力学平面问题的解析解法讲解

2 X Y 2 x y y 2 x 2 ( x y ) (1 )
（平面应力情形）
（3）边界条件：
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
x 2 y
2


y 2 x
2
xy
2 xy
(2-28)
（无体力情形）
（3） 再让 x , y , xy满足应力边界条件和位移单值条件 （多连体问题）。
第三章 弹性力学平面问题的 解析解法
第四节 第五节 逆解法与半逆解法—多项式解答 矩形梁的纯弯曲
（2）边界条件： 位移边界条件： 应力边界条件：
（1 ）
u s u , vs v
（2）
E u v 1 u v l m X 2 y s 2 y x s 1 x （3 ） v u 1 v u E m l Y 2 1 y x s 2 x y s
4.
按应力求解平面问题的基本方程 说明：
（1）对位移边界问题，不易按应力 求解。
（1）平衡方程
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
（2）相容方程（形变协调方程）
（2）对应力边界问题，且为单连通 问题，满足上述方程的解是唯 一正确解。
（3）对多连通问题，满足上述方程 外，还需满足位移单值条件， 才是唯一正确解。
按应力求解平面问题（X = 常量、Y = 常量）的归结为： （1） 先由方程（2-27）求出应力函数： ( x ,7) 0 4 2 2 4 x x y y x , y , xy （2） 然后将 ( x , y ) 代入式（2-26）求出应力分量：

弹性力学第五章：弹性力学解法

弹性力学第五章：弹性力学解法
ij
2(1 ) E 2(1 ) E 2(1 ) E

E
xy yz zx
y

z


或用张量缩写表示为
ij kk
(b). 用应变表示应力的关系式
x 2G x y 2G y z 2G z
x l xy m xz n p x yx zx
或:
l y m yz n p y l zy m z n p z
S 上）
pi ij n j （在
(b).位移边条件：
1. 位移法： 以位移分量 u , v, w 作为基本未知量。
由位移表示的平衡方程式及边界条件
先求出位移分量 几何方程 应变分量
物理方程
应力分量
在结构力学和 有限元中常用
2. 应力法：
在弹性力学中该方法广泛使用
以应力分量作为基本未知量， 平衡方程及边界条件
ij
物理方程
ij
几何方程
u , v, w
2


yz
xz
应力协调方程
应力协调方程
x
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
y
2
z
2
xy
2
yz
2
zx
2
f x 2 1 x y z x x 2 f y f y f x f z ( )2 2 1 x y z y y 2 f y f x f z f z ( )2 2 1 x y z z z 2 f y f x ( ) xy x y 2 f y f z ( ) yz y z 2 f x f z ( ) xz z x

弹性力学第五版课后答案

弹性力学第五版课后答案弹性力学是力学中的重要分支之一，涉及材料的力学行为和变形规律等方面。

它在机械工程、航空航天工程、土木工程等诸多领域发挥着重要作用。

为了加深学生对弹性力学的理解和掌握，学术界陆续推出了不少经典教材，其中最受欢迎的当属《弹性力学》第五版。

该教材由Timoshenko、Goodier和Sodhi（逊迪）合作编写而成，是一本非常优秀的教材。

书中所涉及的内容涵盖了弹性力学的方方面面，讲解十分详细，图示清晰，优点诸多。

不过，有一些学生在学习该教材时会遇到答案不全的问题，为了帮助这些学生，下面我补充了一些该教材第五版课后答案的相关内容。

第一章弹性力学的基本概念1.1 弹性体的概念和弹性力学的分类1. What is the definition of an elastic body? 弹性体是什么？Answer: An elastic body is a body that can recover its original shape and size after having been deformed by external forces. 弹性体是指能够在外力作用下发生形变，而在去除外力后能够恢复其原有形态和大小的物体。

2. What are the main branches of elasticity? 弹性力学的主要分支是什么？Answer: The main branches of elasticity are statics of elasticity, dynamics of elasticity, and mathematical theories of elasticity. 弹性力学的主要分支有弹性静力学、弹性动力学和弹性力学的数学理论。

第二章密切假定2.1 独立假定3. Prove that the components of strain tensor do not depend on each other. 证明应变张量的各分量之间是相互独立的。

第五章弹性力学平面问题的有限单元法解析

严格地说，实际的弹性结构都是空间结构，并处于空间受力状 态，属于空间问题，然而，对于某些特定问题，根据其结构和外力 特点可以简化为平面问题来处理。这种近似，可大大减少计算工作 工作量，为有限元分析提供方便。弹性力学平面问题可分为两类：
(1) 平面应变问题： 如图柱形管道和长柱形坝体，具有如下特点：a纵向尺寸远大 于横向尺寸，且各横截面尺寸都相同；b 载荷和约束沿纵向不变， 因此可以认为，沿纵向的位移分量 等于零。
一悬臂梁的力学模型简化和单元划分如图： 在确立了力学模型的基础上，再把原来连续的弹性体离散化， 分为有限个单元，这些单元可以是三结点三角形、四结点任意四边 形、八结点曲边四边形等等。单元之间只在结点处相联结。平面问 题的结点为铰结点。完成单元划分以后，需要对所有单元按次序编 号，就得到了有限元的计算模型。
A
S
U
(
A
*
xx
*
yy
xy
* xy
)
t
dx
dy
上面三个积分的意义为：
W 中的第一个积分表示全部体积力作的虚功；第二个积分表示
自由边界S 上的表面力作的虚功。U 中的积分为
dU
(
x
* x
y
* y
xy
* xy
)
t
dx
dy
它表示单面体四个侧面上的应力在虚应变上作的虚功。
1 力学模型的简化 用有限元法研究实际工程结构的强度与刚度问题，首先要从工 程实际问题中抽象出力学模型，即要对实际问题的边界条件，约束 条件和外载荷进行简化，这种简化应尽可能反映实际情况，使简化 后的弹性力学问题的解答与实际相近，但也不要带来运算上的过分 复杂。 在力学模型简化过程中，必须明确以下几点 ①判断实际结构的问题类型，是 二维问题还是三维 问题；对于 平面问题，是平面应变 问题还是平面应力 问题。 ②结构是否对称 。如果是对称的，要充分利用对称条件，以简 化计算。 ③简化的力学模型必是静定 的或超静定的。

弹性力学ppt课件(2024)

建立一维拉伸或压缩问题的数学模型
通过受力分析，确定物体在拉伸或压缩过程中的内力分布和变形情况。
2024/1/25
求解一维拉伸或压缩问题的基本方法
运用弹性力学的基本原理和公式，如胡克定律、应力-应变关系等，对一维拉伸或压缩问 题进行求解。
一维拉伸或压缩问题的有限元分析
介绍有限元方法在一维拉伸或压缩问题中的应用，包括网格划分、单元刚度矩阵和总体刚 度矩阵的建立、边界条件的处理等。
适用范围
适用于大多数金属材料在常温、静载 条件下的力学行为。对于非金属材料 、高温或动载条件下的情况，需考虑 其他因素或修正虎克定律。
2024/1/25
7
02
弹性力学分析方法与技巧
2024/1/25
8
解析法求解思路及步骤
01
02
03
04
05
建立弹性力学基 本方程
选择适当的坐标 系和坐标…
求解基本方程
件和载荷。
平面应变问题建模
02
探讨平面应变问题的特性，构建适当的力学模型，并确定边界
条件和载荷。
求解方法
03
介绍适用于平面应力和平面应变问题的求解方法，如有限元法
、有限差分法等，并讨论各种方法的优缺点和适用范围。
18
极坐标下二维问题处理方法
极坐标系的引入
阐述极坐标系的定义和性质，以及与直角坐标系的关系。
根据问题的实际情况，确 定位移边界条件、应力边 界条件以及初始条件。
通过与其他方法（如数值 法、实验法）的结果进行 比较，验证解析解的正确 性和有效性。
2024/1/25
9
数值法（有限元法）在弹性力学中应用
有限元法基本原理
有限元模型建立

弹性力学知识要点(4~5章)


xv
yv
斜截面上的应力
b
y
张量形式：σ ji, j + fi =0
分量形式：
∂σ11
∂x1
∂σ12 ∂x1
+ +
∂σ 21 ∂x2
∂σ 22 ∂x2
+ +
∂σ 31 ∂x3
∂σ 32 ∂x3
+ +
f1 =0 f2 = 0
∂σ13 ∂x1
+
∂σ 23 ∂x2
+
∂σ 33 ∂x3
+
f3
= 0
3、各向同性弹性体
= ε ij
1+ν E
σ ij
−
ν E
Θδij
[其中=Θ (3λ + 2µ)=θ 3Kθ ]
写成分量形式[用应力表示应变，当然也可以用应变表示应力]：
ε x =
1 E
[σ
x
−ν
(σ
y
+
σ
z
)]
,
ε y =
1 E
[σ
y
−ν
(σ
z
+
σ
x
)]
,
ε z =
1 E
[σ
z
−ν
(σ
x
+
σ
y
)]
Ti = σ jin j
写成分量形式：
TTxy
=X v =Yv
=σ xl =τ xyl
+τ +σ
yxm +τ zxn ym +τ zyn
Tz
=Zv
=τ xzl
+τ yzm + σ zn
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应 力
x、 y、
xy
x、 y、 zx zy 0 zx zy z 0 z ( x y ) xy
外力
体力、面力的作用面平行 体力、面力的作用面平行于 xoy面，沿板厚均布且只作 xoy面，外力沿z轴无变化。 用于板边。
z向尺寸远小于板面尺 寸（等厚薄平板） z 向尺寸远大于xoy平面内的 尺寸（等截面长柱体）
2
z ( x y )
1 y [ y ( x z )] E
2
1 x ( x y) E 1
z ( x y )
1 y ( y x) E 1
z 0 yz zy 0 xz zx 0
当 dx 0, dy 0 时，有
xy
yx
yx y
xy
dy
xy x
dx
dy
y
y y
yx
xy yx
—— 剪应力互等定理
O Fx 0 x ( x dx)dy 1 x dy 1 x yx ( yx dy)dx 1 yx dx 1 y y
方向连续分布，故可认为所有各点与厚度方向有 关的力均为零 z 0 zx 0 zy 0
由切应力互等定律得： xz 0 yz 0 只有平行于 xy 面的平面应力分量——平面应力 x y xy yx 由于物体形状、外力和约束沿 z 向均不变化，应 力分量和应变分量均只是 x、 y 的函数；从几何
第二章
平面问题的基本理论
要点 —— 建立平面问题的基本方程
包括：平衡微分方程；几何方程；物理方
程；变形协调方程；边界条件的描
述；方程的求解方法等
主
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6 §2-7 §2-8 §2-9
要
内
容
平面应力问题与平面应变问题 平衡微分方程 斜面上的应力 主应力 几何方程 刚体位移 斜方向的应变及位移 物理方程 边界条件 圣维南原理 按位移求解平面问题
y y
y y
dy )dx 1 y dx 1 ( xy
xy x
dy)dx 1
两边同除以dx dy，并整理得：
xy dy 1 Ydx dy 1 0

xy x
Y 0
平面问题的平衡微分方程：
O
P
x
x yx X 0 x y （2-2） xy y Y 0 x y
z 0
zx xz 0
zy yz 0
x x ( x, y)
y y ( x, y)
xy xy ( x, y) yx yx ( x, y)
物理方程 1 z [ z ( x y )] E
z 0
E
物理方程
zx xz 0
zy yz 0
1 x ( x y ) E 1 y ( y x ) E
xy
xy
G
yx
yx
G
48
2)平面应变问题
z
z
o
x
x
y
y
弹性力学的平面问题一般用应力解法，基 本方程是平衡微分方程与变形协调方程 以下介绍平面应变问题的应力分量所表达 的变形协调方程的简化
§1-10 §1-11
§1-12
按应力求解平面问题 常体力情况下的简化
应力函数
相容方程
逆解法与半逆解法
§2–1 平面应力问题与平面应变问题 1)平面应力问题
所受的外力包括体力都是平行与中面的，并 且沿薄板厚度方向不变，且薄板上下两个表 面是不受外力作用的，以薄板的平面为xy平 面，厚度为z向建立坐标系。对于平面应力 问题，薄板的表面面力边界条件为：
从数学和几何学角度推导 u u ( x , y ) v v ( x, y ) w 0
u v u xy x y x x v w v y yz 0 y y z w u w z 0 xz 0 z z x 只有平行于 xy 面的平面应变分量——平面应变
xy
G1
E1 G1 2(1 1 )
名称 位移 应 变
平面应力问题 未知量 已知量
u、v
xy
x、 y、 zx zy 0
E
w 0
平面应变问题 未知量 已知量
z ( x y )
x、 y、 xy
u、v
w0
zy zx z 0
xy
D
x x dx x
B

xy
dx
O
P
x
y
yx A
X
由微元体PABC平衡，得
y
x
xy
D
x x dx x
Y
C
M
D
0
B
dx dx ( xy dx)dy 1 xy dy 1 x 2 2
dy dy ( yx dy)dx 1 yx dx 1 0 y 2 2 1 xy 1 yx dx yx dy 整理得： xy 2 x 2 y
( f x , f y ; f x , f y ; u, v) ,且都不沿 z 向变化；
假想柱体无限长，则任一 z 截面均为对称面，即 w 0，只有平面位移 u 和 v 存在，即平面位移。 由于截面形状、外力和约束沿 z 向均不变化，位 移分量只是 x、 y 的函数. u u ( x , y ) v v ( x, y ) w 0
1 x ( x y) E 1
2
1 y ( y x) E 1
2
xy
xy
G
1 x ( x 1 y ) E1 1 y ( y 1 x ) E1
E E1 2 1
1

1
xy
( f x , f y ; f x , f y ; u, v) ,且都不沿 z 向变化；

应力边界（面力和约束只作用于板边，在板面上
z |
z
( z ) 没任何面力和约束的作用。应力边界为： 2

2
0
zx |
z

2
0
zy |
z

2
0
板很薄，外力不沿厚度方向变化，因应力沿厚度
将物理方程代人到协调方程：
得到：
体力为常量条件下，可以利用平衡微分方 程简化变形协调方程。对于平衡微分方程 分别求x，y的偏微分方程，然后相加：
回代到变形协调方程，可以得到：
此方程便是平面应变问题应力分量表达的变形协调方程
条件 a)弹性体为常截面的很长柱体。 b)体力、面力和约束都只有 xy 平面内的量
（3）平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关 （钢、石料、混凝土等）； （4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。
y
y
§2-3 斜面上的应力
1. 斜面上的应力
（1）斜面上应力在坐标方向的分XN，YN
主应力
O
设P点的应力分量已知： x , y , xy 斜面AB上的应力矢量: s
x
y
P
yx A
X
x
Xdx dy 1 0
xy
D
x x dx x
Y
C
B
两边同除以dx dy，并整理得： dy yx y y y dy x yx y X 0 x y
yx
xy
xy x
dx
Fy 0 ( y
方程积分求位移可知位移与
z 有关。
平面应力问题——只有平面应力分量 x 、 y 和 xy yx ，且仅为 x、 y的函数的弹性力学问题
z 0 zy yz 0 zx xz 0
x x ( x, y)
y y ( x, y)
形 状
如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平 面应力问题还是平面应变问题？
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
3. 平面问题的求解
问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件， 求： x , y , xy
x , y , xy
u, v
—— 仅为 x y 的函数 需建立三个方面的关系： （1）静力学关系： 应力与体力、面力间的关系；—— 平衡微分方程 （2）几何学关系： 形变与位移间的关系； —— 几何方程 （3）物理学关系： 形变与应力间的关系。 —— 物理方程
y
yx A
X
y
x
xy
D
x x dx x
Y C
B
yx
yx y
xy
dy
xy x
dx
dy
y 说明： （1）两个平衡微分方程，三个未知量： x , y , xy yx —— 超静定问题，需找补充方程才能求解。
（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z 方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；
x、 y、 xy yx
从力学角度推导 由对称性(对称结构承受对称荷载，反对称力为
零)可知： zx 0、 zy＝0
由剪切互等定律可知： xz 0、 yz＝0
由胡克定律可知： zx xz 0、 zy = yz＝0
平面应变问题——只有平面应变分量 x 、 y 和 xy yx ，且仅为 x、 y的函数的弹性力学问题