弹性力学—第五章—差分法(20200919185122)

（5-6）
y
h
说明： 以两侧节点处的函数值表示中间节点处的一阶导数值，称为 中点导数值，这种差分公式称为中心差分公式。
§5-2 应力函数的差分解
1. 应力函数的差分方程
应力分量的差分表示 x
12
8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
平面问题（不计体力时），应力分量可表示为：
2 2 2 x 2 , y 2 , xy xy y x
B A d A x dx A y dy B 2 B 分步积分： x A x 2 dx x x A B B
两边积分，有：
d dx dy x y
s是x 的函数： —s —x 2 dx dx 2 x x x d ds dx ds x dx d 2 ds dx 2 ds x x
x 12 8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
在弹性体内每一点均可建立上述方x 4 2 x 2y 2 y 4 0 0 0 0
4

4
任一点 0 处应力分量的差分格式：
2 1 x 0 y 2 h 2 ( 2 4 ) 2 0 0 2 1 y 0 2 2 (1 3 ) 2 0 x 0 h
B
O
B y y A Xds B A
A
yB
（ d）
xB
B
– dx
dy ds
B A Y ds x B x A

Y
X

1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
弹性力学 有限差分法基本原理 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
47

§5－2应力函数的差分解
1、应力分量（不计体力）
一旦求得弹性体全部节点的 值后，就可按应力分量差分公式（对
节点0）算得弹性体各节点的应力。
0
•12 •8 •4 •5
h
x
x
0
2
y 2
0
1 h2
[(2
4 )
20 ]
• 11
•3
•0 •1
• 9
A
• 13
• 7
• 2
•6
y
0
2
x2
0
1 h2
[(1
3 )
20 ]
（5－9）
•10
B
h
• 14
xy
0
2
xy
0
1 4h2
[(5
7 ) (6
8 )]
y
图5－1
如果知道各结点的 值，就可以求得各结点的应力分量。
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§5－2应力函数的差分解
2、差分方程（相容方程） 双调和方程
•12
x 设：f f x, y 为弹性体的某一连续函数
h
•8
•4
• 5
•11 •3 •0 •1 •9 A • 13
在平行与 x 轴的一根网线上函数只随 x
• 7
• 2
•6
坐标的变化而变化。
•10
B
h
• 14
y
图5－1
在节点0 的近处将函数 f 展成泰勒级数
f
f0
f x
0
x
x0
1 2!
2 f x2
y x （3）由于 f 是 或 的二次函数，所以基本差分公式（5－1）

弹性力学用差分法和 变分法解平面问题课 件
目 录
• 引言 • 差分法解平面问题 • 变分法解平面问题 • 有限元法的基本原理 • 弹性力学问题的有限元解法实例 • 总结与展望
01
引言
弹性力学简介
01 弹性力学的定义和研究内容
02 弹性力学与其他力学分支的关系
03
弹性力学的发展历程和应用领域
差分法和变分法概述
根据边界条件和约束条件，建立约束方程f，如节点力平衡条件 、位移边界条件等。
通过求解线性方程组Kx=f，得到每个节点的位移。
三维弹性力学问题的有限元解法
建立刚度矩阵
根据每个三维单元的物理特性，建立刚度 矩阵K，该矩阵包含了材料的弹性常数和
每个节点的位移信息。
A 定义三维离散网格
将连续的弹性体离散化为Biblioteka 限个小 的三维单元，每个单元之间通过节
点连接。
B
C
D
求解节点位移
通过求解线性方程组Kx=f，得到每个节点 的位移。
建立约束方程
根据边界条件和约束条件，建立约束方程f ，如节点力平衡条件、位移边界条件等。
06
总结与展望
差分法和变分法的优缺点比较
直观易懂，易于编程实现
差分法优点
对于稳定问题，解的精度和收敛速 度一般较好
差分法和变分法的优缺点比较
差分法的定义和基本原理 变分法的定义和基本原理 差分法和变分法在弹性力学中的应用
平面问题概述
平面问题的定义和分 类
弹性力学中的平面问 题及其研究意义
平面问题的基本特点 和求解方法
02
差分法解平面问题
差分法的基本原理
01
有限差分法是一种将连续的物理问题离散化为网格上的数学问 题的方法。

ij
2(1 ) E 2(1 ) E 2(1 ) E

E
xy yz zx
y

z


或用张量缩写表示为
ij kk
(b). 用应变表示应力的关系式
x 2G x y 2G y z 2G z
x l xy m xz n p x yx zx
或:
l y m yz n p y l zy m z n p z
S 上）
pi ij n j （在
(b).位移边条件：
1. 位移法： 以位移分量 u , v, w 作为基本未知量。
由位移表示的平衡方程式及边界条件
先求出位移分量 几何方程 应变分量
物理方程
应力分量
在结构力学和 有限元中常用
2. 应力法：
在弹性力学中该方法广泛使用
以应力分量作为基本未知量， 平衡方程及边界条件
ij
物理方程
ij
几何方程
u , v, w
2


yz
xz
应力协调方程
应力协调方程
x
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
y
2
z
2
xy
2
yz
2
zx
2
f x 2 1 x y z x x 2 f y f y f x f z ( )2 2 1 x y z y y 2 f y f x f z f z ( )2 2 1 x y z z z 2 f y f x ( ) xy x y 2 f y f z ( ) yz y z 2 f x f z ( ) xz z x

对于工程实际问题，由于荷载和边界 较复杂，难以求出函数式的解答。为此， 人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要 有变分法，差分法和有限单元法。
平面问题的差分解
要 点:
将微分方程转变成差分方程。
基本思想:
将基本方程和边界条件（一般为微分方程）近似 地用改用差分方程（线性代数方程）表示，把解微分 方程的问题变成求代数方程的问题。
x

4 x
f
4
0

1 h4
6
f0

4(
f1

f3) (
f9

f1 1 )
12
h
8 45
11 3 0 1 9

4 f x 2y 2
0

1 h4
4 f0 2( f1
f2
f3
f4)
( f5 f6 f8 f8)
yh
f9
11 3 0 1 9 7 26 10
同理，对 y 方向，有：
yh
差分网格
f

f0


f y
0
(
y

y0 )

1 2!

2 y
f
2
( y 0
y0 )2
f10

f0


f y
0
2h

1 2

2 y
f
2
2h2
0
f

f0


f x
0
(x

x0
)

1 2!

2 x
f
2

分析差分解法的优点和局限性，探讨其在实际应用中的适用范围。
05 弹性力学平面问题的变分 法求解
弹性力学平面问题的变分表示
总结词
通过将弹性力学平面问题转化为变分问题，可以更方便地应用数学工具求解。
详细描述
在弹性力学中，平面问题可以用变分法表示为求取某一泛函的极值问题。这个 泛函通常是由物体的能量泛函表示的，反映了物体的弹性和位移之间的关系。
差分法和变分法的联系
数学基础
两者都基于数学原理，差分法基于离散数学，变分法基于 连续数学。
求解过程
在求解过程中，差分法将连续问题离散化，而变分法则通 过极值条件寻找近似解。
应用领域
两者在弹性力学领域都有广泛应用，差分法更适用于数值模拟和 计算机辅助设计，而变分法更适用于理论分析和解析解的求解。
差分法和变分法的应用选择
差分法的原理
差分法的原理基于泰勒级数展开，将连续的物理量用离散的差商近似代替导数，从而将微分方程转化 为差分方程。
通过选择适当的离散方式和步长，可以使得差分方程的解收敛于原微分方程的解。
差分法的应用
在弹性力学中，差分法可以用于求解 各种平面问题和空间问题，如平面应 变问题、平面应力问题、弹性地基上 的平板问题等。
差分方程的收敛性
分析差分方程求解方法的收敛性，确保求解 过程的稳定性。
弹性力学平面问题的差分解法
差分解法的步骤
详细介绍使用差分法求解弹性力学平面问题的步骤，包括离散化、 建立差分方程、求解差分方程等。
差分解法的应用
举例说明差分解法在解决实际问题中的应用，如板、梁、薄膜等结 构的分析。
差分解法的优缺点
弹性力学平面问题的变分方程
总结词
通过变分法，可以建立弹性力学平面问 题的变分方程。

弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理弹性力学是研究物质在外力作用下发生弹性变形的力学学科，其求解方法和一般性原理是该学科的重要内容。

首先，弹性力学的求解方法主要包括材料本构方程和边界条件的建立，以及解方程的方法。

材料本构方程是描述材料的力学性质和变形规律的方程。

根据材料的不同性质和变形特点，可以选用不同的本构方程。

常用的本构方程包括胡克定律、庞加莱-克莱葛尔方程等。

通过假设材料是各向同性、线弹性等，可以建立相应的本构方程。

边界条件是指在弹性力学问题中，给定的物体表面上的约束条件。

边界条件的建立是弹性力学问题求解的基础。

一般情况下，边界条件包括位移边界条件和力边界条件。

位移边界条件是指物体表面上的位移限制，力边界条件是指物体表面上的力的作用情况。

通过建立合理的边界条件，可以求解出问题的解。

解方程的方法包括解析方法和数值方法。

解析方法是指通过分析和计算得到方程的解析解，解析解有精确度高、可视化好的优点。

数值方法是指通过数值计算得到方程的数值解，数值解可以通过计算机程序进行求解，适用范围广。

其次，弹性力学的一般性原理是指弹性力学问题的基本原理和公式。

弹性力学的一般性原理包括平衡原理、相容性原理和构造方程。

平衡原理是指物体在外力作用下的平衡条件。

根据平衡原理，可以通过力的平衡方程建立弹性力学问题的公式。

平衡方程可以通过平衡力的矢量和等于零来表示。

相容性原理是指物体在变形过程中的相容性条件。

根据相容性原理，物体在变形过程中，任意两个小变形都相容。

相容性原理可以用于控制弹性力学问题的求解范围。

构造方程是用来描述物体在外力作用下的变形状态的方程。

通过对变形量的定义和方程的建立，可以得到物体的变形状态和应变状况。

综上所述，弹性力学的求解方法和一般性原理是该学科的重要内容。

求解方法包括材料本构方程和边界条件的建立，以及解方程的方法。

一般性原理包括平衡原理、相容性原理和构造方程。

弹性力学的求解方法和一般性原理的运用，能够帮助研究者解决复杂的弹性力学问题，进一步推动该学科的发展。

第五章弹性力学的求解方法和一般性原理知识点弹性力学基本方程边界条件位移表示的平衡微分方程应力解法体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性力学基本求解方法位移解法位移边界条件变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理一、内容介绍通过弹性力学课程学习，我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用公式。

本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结，并且讨论具体地求解弹性力学问题的方法。

弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计15个，基本方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程，也是15个。

面对这样一个庞大的方程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解方法。

根据这一要求，本章的主要任务有三个：一是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类；二是根据问题性质，确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程，得到基本解法。

弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法等。

应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。

三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。

主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。

如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。

二、重点1、弹性力学的基本方程与边界条件分类；2、位移解法与位移表示的平衡微分方程；3、应力解法与应力表示的变形协调方程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。

本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。

弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。

弹性⼒学第五章第五章弹性⼒学的求解⽅法和⼀般性原理第五章弹性⼒学的求解⽅法和⼀般性原理知识点弹性⼒学基本⽅程边界条件位移表⽰的平衡微分⽅程应⼒解法体⼒为常量时的变形协调⽅程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性⼒学基本求解⽅法位移解法位移边界条件变形协调⽅程混合解法应变能定理解的唯⼀性原理圣维南原理⼀、内容介绍通过弹性⼒学课程学习，我们已经推导和确定了弹性⼒学的基本⽅程和常⽤公式。

本章的任务是对弹性⼒学所涉及的基本⽅程作⼀总结，并且讨论具体地求解弹性⼒学问题的⽅法。

弹性⼒学问题的未知量有位移、应⼒和应变分量，共计15个，基本⽅程有平衡微分⽅程、⼏何⽅程和本构⽅程，也是15个。

⾯对这样⼀个庞⼤的⽅程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解⽅法。

根据这⼀要求，本章的主要任务有三个：⼀是综合弹性⼒学的基本⽅程，并按边界条件的性质将问题分类；⼆是根据问题性质，确定基本未知量，建⽴通过基本未知量描述的基本⽅程，得到基本解法。

弹性⼒学问题的基本解法主要是位移解法、应⼒解法和混合解法等。

应该注意的是对于应⼒解法，基本⽅程包括变形协调⽅程。

三是介绍涉及弹性⼒学求解⽅法的⼀些基本原理。

主要包括解的唯⼀性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性⼒学问题解建⽴基础。

如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。

⼆、重点1、弹性⼒学的基本⽅程与边界条件分类；2、位移解法与位移表⽰的平衡微分⽅程；3、应⼒解法与应⼒表⽰的变形协调⽅程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯⼀性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性⼒学的基本⽅程及其边值问题学习思路:通过应⼒状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建⽴了⼀系列的弹性⼒学基本⽅程和边界条件。

本节的主要任务是将基本⽅程和边界条件作综合总结，并且对求解⽅法作初步介绍。

弹性⼒学问题具有15个基本未知量，基本⽅程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分⽅程。

应力函数的差分解（12）
将应力函数在B点周围泰勒展开：
将0，1以及9点的坐标代入上式：
0
1 B9
第18页，本讲稿共22页
差分法实例（1） q
问题：正方形的深梁，上边受有均布 向下的铅直载荷q，由下角点处的反力 维持平衡，试求应力分量。
18 17 16 J KL M 22 I 3 2 1 23 H 6 5 4
差分法实例（2） q
3）对边界内各结点可列15个差分方程 18 17 16
如。对结点1：
J KL M 22 I 3 2 1
23 H 6 5 4
24 G 9 8 7
25 F 12 11 10
26 E 15 14 13
4）解方程并计算边界外一行各结点 值。 D C B A 21 20 19
y
5）计算应力。
为基点使
。
2）然后由 式计算面力的矩及面 力之和计算边界上各结点的 值及 y 必需的一些 ， 值。
3）将边界外一行各虚结点的 值用 边界内相应的结点处的 值表示。
4）对边界内各结点建立差分方程 ，求解方程并计算应力分量。
x
12
h
845
11 3 0 1 9 A 13
726
10
h
B
14
第17页，本讲稿共22页
x
12
h
845
11 3 0 1 9 A 13
726
10
h
B
y
14
第4页，本讲稿共22页
差分公式的推导（3）
x
12
h
845
11 3 0 1 9 A 13
726
10
h
B
y
14

B
h
14
第五章 用差分法和变分法解平面问题
第一节 差分公式的推导
x
h
1 差分法定义 2 推导差分公式
11
12
8 4 5
3
7
0
1 9
6
A 13
2
10
B
1 ∂2 f 1 ∂3 f ∂f 2 f = f0 + (x − x0 ) + 2 (x − x0 ) + 3 (x − x0 )3 +L 2 ∂x 0 ! 3 ∂x 0 ! ∂x 0
自己下面导出。
∂2 f f1 + f3 − 2 f0 2 = ∂x h2 0
11
3
7
12
8 4
0
5
1 9
6
A
∂4 f ∂2 ∂2 f 4 = 2 2 ∂x ∂x ∂x 0 0 ∂2 f ∂2 f ∂2 f 2 + 2 −2 2 ∂x ∂x ∂x 1 3 0 h = y h2 f9 + f0 −2 f1 f11 + f0 −2 f3 f + f −2 f0 + −2 1 32 h2 h2 h = h2
第五章 用差分法和变分法解平面问题
第一节 差分公式的推导
第一节 差分公式的推导
1 差分法定义 2 推导差分公式
结点：网格的交点。 结点：网格的交点。 步长：网格的间距。 步长：网格的间距。
11
3
7
x
12
8 4
0ห้องสมุดไป่ตู้
h
5
1 9