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2.1弹性力学理论基础弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。
在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。
材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。
弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。
它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
2.1.1弹性力学基本概念弹性力学问题的求解主要基于以下几个基础理论。
1.牛顿（Newton）定律弹性力学是一门力学，它服从Newton所提出的三大定律，即惯性定律﹑运动定律，以及作用与反作用定律。
质点力学和刚体力学是从Newton定律演绎出来的，而弹性力学不同于理论力学，它还有新假设和新定律。
2.连续性假设所谓连续性假设，就是认定弹性体连续分布于三维欧式空间的某个区域之内，与此相伴随的，还认定弹性体中的所有物理量都是连续的。
也就是说，我们将假定密度、位移、应变、应力等物理量都是空间点的连续变量，而且也将假定空间的点变形前与变形后应该是一一对应的。
3.广义虎克（Hooke）定律所谓广义Hooke定律，就是认为弹性体受外载后其内部所生成的应力和应变具有线性关系。
对于大多数真实材料和人造材料，在一定的条件下，都符合这个实验定律。
线性关系的Hooke定律是弹性力学特有的规律，是弹性力学区别于连续介质力学其他分支的标识。
Newton定律、连续性假设和广义Hooke定律，这三方面构成了弹性力学的理论基础。
弹性力学的研究方法主要有数学方法和实验方法，以及二者结合的方法。
数学方法基本上是根据弹性力学的基本方程，对在某种假设的前提下的物体进行弹性分析，从而得出物体的各种力学参数。
圣维南原理（Saint-Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，是法国力学家A.J.C.B.de 圣维南于1855年提出的。
其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的载荷所引起的物体中的应力，在离载荷作用区稍远的地方，基本上只同载荷的合力和合力矩有关；载荷的具体分布只影响载荷作用区附近的应力分布。
还有一种等价的提法：如果作用在弹性体某一小块面积（或体积）上的载荷的合力和合力矩都等于零，则在远离载荷作用区的地方，应力就小得几乎等于零。
不少学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。
因此，圣维南原理中“原理”二字，只是一种习惯提法。
在弹性力学的边值问题中，严格地说在面力给定的边界条件及位移给定的边界条件应该是逐点满足的，但在数学上要给出完全满足边界条件的解答是非常困难的。
另一方面，工程中人们往往只知道作用于物体表面某一部分区域上的合力和合力矩，并不知道面力的具体分别形式。
因此，在弹性力学问题的求解过程中，一些边界条件可以通过某种等效形式提出。
这种等效将出带来数学上的某种近似，但人们在长期的实践中发现这种近似带来的误差是局部的，这是法国科学家圣维南首先提出的。
其要点有两处：一、两个力系必须是按照刚体力学原则的“等效”力系；二、替换所在的表面必须小，并且替换导致在小表面附近失去精确解。
一般对连续体而言，替换所造成显著影响的区域深度与小表面的直径有关。
圣维南原理在实用上和理论上都有重要意义。
在解决具体问题时，如果只关心远离载荷处的应力，就可视计算或实验的方便，改变载荷的分布情况，不过须保持它们的合力和合力矩等于原先给定的值。
圣维南原理是定性地说明弹性力学中一大批局部效应的第一个原理。
弹性力学的一般原理：圣维南原理：对于作用于物体边界上一小块表面上的外力系可以用静力等效（主矢量、主矩相同）并且作用于同一小块表面上的外力系替换，这种替换造成的区别仅在离该小块表面的近处是显著的，而在较远处的影响可以忽略。
弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理弹性力学是研究物质在外力作用下发生弹性变形的力学学科，其求解方法和一般性原理是该学科的重要内容。
首先，弹性力学的求解方法主要包括材料本构方程和边界条件的建立，以及解方程的方法。
材料本构方程是描述材料的力学性质和变形规律的方程。
根据材料的不同性质和变形特点，可以选用不同的本构方程。
常用的本构方程包括胡克定律、庞加莱-克莱葛尔方程等。
通过假设材料是各向同性、线弹性等，可以建立相应的本构方程。
边界条件是指在弹性力学问题中，给定的物体表面上的约束条件。
边界条件的建立是弹性力学问题求解的基础。
一般情况下，边界条件包括位移边界条件和力边界条件。
位移边界条件是指物体表面上的位移限制，力边界条件是指物体表面上的力的作用情况。
通过建立合理的边界条件，可以求解出问题的解。
解方程的方法包括解析方法和数值方法。
解析方法是指通过分析和计算得到方程的解析解，解析解有精确度高、可视化好的优点。
数值方法是指通过数值计算得到方程的数值解，数值解可以通过计算机程序进行求解，适用范围广。
其次，弹性力学的一般性原理是指弹性力学问题的基本原理和公式。
弹性力学的一般性原理包括平衡原理、相容性原理和构造方程。
平衡原理是指物体在外力作用下的平衡条件。
根据平衡原理，可以通过力的平衡方程建立弹性力学问题的公式。
平衡方程可以通过平衡力的矢量和等于零来表示。
相容性原理是指物体在变形过程中的相容性条件。
根据相容性原理，物体在变形过程中，任意两个小变形都相容。
相容性原理可以用于控制弹性力学问题的求解范围。
构造方程是用来描述物体在外力作用下的变形状态的方程。
通过对变形量的定义和方程的建立，可以得到物体的变形状态和应变状况。
综上所述，弹性力学的求解方法和一般性原理是该学科的重要内容。
求解方法包括材料本构方程和边界条件的建立，以及解方程的方法。
一般性原理包括平衡原理、相容性原理和构造方程。
弹性力学的求解方法和一般性原理的运用，能够帮助研究者解决复杂的弹性力学问题，进一步推动该学科的发展。
第五章弹性力学的求解方法和一般性原理知识点弹性力学基本方程边界条件位移表示的平衡微分方程应力解法体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性力学基本求解方法位移解法位移边界条件变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理一、内容介绍通过弹性力学课程学习，我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用公式。
本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结，并且讨论具体地求解弹性力学问题的方法。
弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计15个，基本方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程，也是15个。
面对这样一个庞大的方程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解方法。
根据这一要求，本章的主要任务有三个：一是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类；二是根据问题性质，确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程，得到基本解法。
弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法等。
应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。
三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。
主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
二、重点1、弹性力学的基本方程与边界条件分类；2、位移解法与位移表示的平衡微分方程；3、应力解法与应力表示的变形协调方程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。
本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。
弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。
弹性力学的理论模型和计算方法弹性力学是研究物体在外力作用下的形变和应力分布规律的学科。
它在工程学、物理学、材料学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍弹性力学的理论模型和计算方法，帮助读者更好地理解和应用弹性力学的知识。
1. 弹性力学的基本概念弹性力学研究物体在受力时的变形和应力，其中弹性变形指物体在外力作用下的恢复性形变，应力则是物体内部单元之间的相互作用力。
根据物体受力的不同方式，弹性力学可以分为静力学和动力学两个分支。
2. 弹性力学的理论模型在弹性力学中，最常用的理论模型是胡克定律。
胡克定律描述了物体的应力和应变之间的线性关系，即应力与应变成正比。
根据具体情况的不同，可以采用各种模型进行计算，如一维线弹性模型、平面应力和平面应变模型等。
3. 弹性力学的计算方法在实际应用中，针对不同的问题和受力情况，可以选择不同的计算方法来求解弹性力学的问题。
以下介绍几种常用的计算方法：a. 解析解法：从理论上解析得出物体的应力和应变分布规律，适用于简单几何形状和边界条件的情况。
b. 数值解法：通过建立有限元模型，利用数值方法求解弹性力学问题。
常用的数值解法有有限元法、有限差分法和边界元法等。
c. 实验方法：通过真实物体的实验测试来获取其力学性质，并反推计算应力和应变分布。
实验方法通常用于验证理论模型的正确性和精确度。
4. 弹性力学的应用领域弹性力学广泛应用于工程学和物理学等领域中。
在工程学中，弹性力学常用于结构设计和材料力学的分析，例如建筑物的承载能力计算和风力荷载分析等。
在物理学中，弹性力学被用于研究固体和流体的弹性性质，探究其力学行为和性能。
5. 弹性力学的发展趋势随着科技的不断发展和应用的深入，弹性力学的研究也在不断前进。
当前，弹性力学中的非线性、动态和复杂问题成为研究的热点。
同时，计算机技术和仿真方法的发展，为弹性力学的理论模型和计算方法提供了更多的工具和手段。
总结：弹性力学的理论模型和计算方法是研究物体在外力作用下的变形和应力分布规律的重要内容。
弹性⼒学第五章第五章弹性⼒学的求解⽅法和⼀般性原理第五章弹性⼒学的求解⽅法和⼀般性原理知识点弹性⼒学基本⽅程边界条件位移表⽰的平衡微分⽅程应⼒解法体⼒为常量时的变形协调⽅程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性⼒学基本求解⽅法位移解法位移边界条件变形协调⽅程混合解法应变能定理解的唯⼀性原理圣维南原理⼀、内容介绍通过弹性⼒学课程学习，我们已经推导和确定了弹性⼒学的基本⽅程和常⽤公式。
本章的任务是对弹性⼒学所涉及的基本⽅程作⼀总结，并且讨论具体地求解弹性⼒学问题的⽅法。
弹性⼒学问题的未知量有位移、应⼒和应变分量，共计15个，基本⽅程有平衡微分⽅程、⼏何⽅程和本构⽅程，也是15个。
⾯对这样⼀个庞⼤的⽅程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解⽅法。
根据这⼀要求，本章的主要任务有三个：⼀是综合弹性⼒学的基本⽅程，并按边界条件的性质将问题分类；⼆是根据问题性质，确定基本未知量，建⽴通过基本未知量描述的基本⽅程，得到基本解法。
弹性⼒学问题的基本解法主要是位移解法、应⼒解法和混合解法等。
应该注意的是对于应⼒解法，基本⽅程包括变形协调⽅程。
三是介绍涉及弹性⼒学求解⽅法的⼀些基本原理。
主要包括解的唯⼀性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性⼒学问题解建⽴基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
⼆、重点1、弹性⼒学的基本⽅程与边界条件分类；2、位移解法与位移表⽰的平衡微分⽅程；3、应⼒解法与应⼒表⽰的变形协调⽅程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯⼀性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性⼒学的基本⽅程及其边值问题学习思路:通过应⼒状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建⽴了⼀系列的弹性⼒学基本⽅程和边界条件。
本节的主要任务是将基本⽅程和边界条件作综合总结，并且对求解⽅法作初步介绍。
弹性⼒学问题具有15个基本未知量，基本⽅程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分⽅程。
弹性力学第五章弹性力学基础与高教教材配套弹性力学土木工程学院许强弹性力学基础与高教教材配套第五章§5-1§5.2§5.3§5.4§5.5线弹性体的本构关系应变能和本构关系广义胡克定律各向异性弹性体各向同性弹性体余能密度弹性力学基础与高教教材配套第五章线弹性体的本构关系前面已进行了应力分析和应变分析，导出了平衡方程和几何方程。
但是，在一般情况下，仅有平衡方程和几何方程还不能解决实际问题。
例如，对两个材料不同，但形状相同的物体，在相同的约束和相同的外力作用下，它们的位移和变形是不同的。
因此，要解决实际问题，还需要研究材料性质。
反映材料性质的应力、应力变化率等和应变、应变率等之间的关系称为本构关系或本构方程。
由于材料性质极其复杂，要找出适合于任何连续介质的本构关系是不可能的，甚至要找到适用于同一种连续介质在任意变形情况下的本构关系也是不可能的。
事实上，在大部分连续介质力学中，只研究一些理想的本构关系。
不同的理想本构关系有不同的适用范围。
在本书中，不考虑热效应，且只讨论在小变形情况下适用的线性弹性本构关系――广义胡克定律。
弹性力学基础与高教教材配套§5-1应变能和本构关系下面讨论可以不计热效应的准静态变形过程。
所谓准静态变形过程是指任意时刻的速度和加速度都小到可以忽略不计的过程。
准静态变形过程中的动能为零。
设位移有一增量，与之对应的应变增量为设δ ui为虚拟位移，依据虚功原理可知，外力在虚位移上所做的虚功为1δεij= (δ ui, j+δ u j,i ) 2i i(a)∫ Tδ u ds+∫ fδ u dV=∫σ nδ u ds+∫ fδ u dV=∫ (σδ u ) dV+∫ fδ u dV由式(2.74)可知=∫ (σ+ f )δ u dV+∫σδ u dV其中：δ W=σδε (5.2)=∫σδε dV=∫δ WdV (5.1)单位体积中内力所做的虚功，i iijjiis V s V ij i,j i i V V ij, j i i ij i, j ij ij V V ij即应变能密度增量。
第五章弹性力学的求解方法和一般性原理知识点弹性力学基本方程边界条件位移表示的平衡微分方程应力解法体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性力学基本求解方法位移解法位移边界条件变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理一、内容介绍通过弹性力学课程学习，我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用公式。
本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结，并且讨论具体地求解弹性力学问题的方法。
弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计15个，基本方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程，也是15个。
面对这样一个庞大的方程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解方法。
根据这一要求，本章的主要任务有三个：一是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类；二是根据问题性质，确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程，得到基本解法。
弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法等。
应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。
三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。
主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
二、重点1、弹性力学的基本方程与边界条件分类；2、位移解法与位移表示的平衡微分方程；3、应力解法与应力表示的变形协调方程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。
本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。
弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。
由于基本方程与15个未知量的内在联系，例如已知位移分量，通过几何方程可以得到应变分量，然后通过物理方程可以得到应力分量；反之，如果已知应力分量，也可通过物理方程得到应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方程。
基于上述的理由，为简化求解的难度，可以选取部分未知量作为基本未知量求解。
根据基本未知量，弹性力学问题可以分为应力解法、位移解法和混合解法。
上述三种求解方法对应于偏微分方程的三种边值问题。
学习要点：1、弹性力学基本方程；2、本构方程；3、边界条件；4、弹性力学边值问题1、弹性力学基本方程首先将弹性力学基本方程综合如下1、平衡微分方程用张量形式描述2、几何方程用张量形式描述3、变形协调方程4、本构方程-广义胡克定律用应力表示的本构方程用应变表示的本构方程2、边界条件如果物体表面的面力F s x，F s y，F s z为已知，则边界条件应为称为面力边界条件，用张量符号表示为。
如果物体表面的位移已知，则边界条件应为称为位移边界条件。
除了面力边界条件和位移边界条件，还有混合边界条件。
综上所述，弹性力学的基本未知量为三个位移分量，六个应力分量和六个应变分量，共计十五个未知量。
基本方程为三个平衡微分方程，六个几何方程和六个物理方程，也是十五个基本方程。
这里没有考虑变形协调方程，原因是位移已经作为基本未知量。
对于任意的单值连续的位移函数，如果设其有三阶的连续导数，则变形协调方程仅仅是几何方程微分的结果，自然地满足，所以位移作为基本未知量时，不需要考虑变形协调方程。
要使基本方程有确定的解，还要有对应的面力或位移边界条件。
弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十五个基本方程。
3、弹性力学边值问题当然，具体求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个基本未知量，可以而且必须做出必要的简化。
根据几何方程和本构方程可见，位移、应力和应变分量之间不是相互独立的。
假如已知位移分量，通过几何方程可以得到应变分量，然后通过物理方程可以得到应力分量。
反之，如果已知应力分量，也可通过物理方程得到应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方程。
基于上述的理由，为简化求解的难度，选取部分未知量作为基本未知量。
若以位移函数作为基本未知量求解，称为位移解法；若以应力函数作为基本未知量，称为应力解法；若以部分位移分量和部分应力分量作为基本未知量，称为混合解法。
在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题，数学上称为偏微分方程的边值问题。
按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。
第一类边值问题：已知弹性体内的体力F b x，F b y，F b z和其表面的面力F s x，F s y，F s z，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量，这时的边界条件为面力边界条件。
第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量F b x，F b y，F b z以及表面的位移分量，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量，这时的边界条件为位移边界条件。
第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量F b x，F b y，F b z，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量。
这时的边界条件在面力已知的部分，用面力边界条件，位移已知的部分用位移边界条件，称为混合边值问题。
以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问题。
若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。
§5.2 位移解法－位移表示的平衡微分方程学习思路:以位移函数作为基本未知量求解弹性力学问题的方法称为位移法。
位移解法的基本方程是位移表示的平衡微分方程。
位移分量求解后，则可以通过几何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量。
如果问题的边界条件为位移边界条件，边界条件描述比较简单。
如果问题为面力边界条件，由于边界条件是通过位移函数的导数描述的，因此应用困难。
总之若以位移为基本未知函数求解时，归结为在给定的边界条件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。
学习要点：1、位移表示的应力分量；2、位移表示的平衡微分方程；3、位移边界条件1、位移表示的应力分量位移解法是以位移函数作为基本未知函数求解的，所以需要通过几何方程将位移函数表达为应变分量，再通过物理方程将其表达为应力分量，代入平衡微分方程即可得到位移解法的基本方程。
首先，根据物理方程和几何方程，可以得到由位移分量表达的应力分量，即其中2、位移表示的平衡微分方程将上述位移表示的应力分量代入平衡微分方程，整理后可得这里是拉普拉斯运算符号，即。
上述方程是以位移表示的平衡微分方程，称为拉梅（Lamé）方程，它可以表示为张量形式或表达为矢量形式上式中为拉普拉斯算符矢量。
3、位移边界条件对于边界条件，如果物体表面的位移已知，则直接由位移形式给定，即使用位移边界条件如果给定的边界条件是物体表面的面力，则面力边界条件式需用位移分量表示，将应力分量代入物理方程，整理可得位移分量表示的面力边界条件或表达为张量形式显然，如果给定的边界条件是面力边界条件，那么位移解法的边界条件表达式十分复杂，因此求解的难度将是比较大的。
总之，如果以位移函数作为基本未知函数求解弹性力学问题，归结为在给定的边界条件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。
位移分量求解后，则可通过几何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量。
§5.3 应力解法－应力表示的应变协调方程学习思路:如果选用应力分量或者应力函数作为基本未知量求解弹性力学问题称为应力解法。
应力解法的基本方程不仅有平衡微分方程，而且有变形协调方程。
因为仅仅满足平衡微分方程的应力分量并不一定是真实应力，这组应力分量求出的应变分量代入几何方程，将可能得到一组矛盾方程，这就不可能求出单值连续的位移分量。
由于变形协调方程是应变表示的，在应力解法中，需要转化为基本未知量应力分量表示。
利用平衡微分方程的求导形式简化变形协调方程，可以得到应力分量表示的变形协调方程。
总之，在以应力函数作为基本未知量求解时，归结为在给定的边界条件下，求解平衡微分方程和应力表达的变形协调方程所组成的偏微分方程。
学习要点：1、应力解法的基本方程；2、变形协调方程的简化；3、应力分量表达的变形协调方程；4、体力为常量时的变形协调方程。
1、应力解法的基本方程以应力作为基本未知函数求解弹性力学问题时，应力分量必须满足平衡微分方程和面力边界条件。
但是仅此还不够，仅仅满足上述条件的应力分量并不是真正的应力。
因为这组应力分量求出的应变分量代入几何方程，将可能得到一组矛盾方程，不可能求出单值连续的位移分量。
要使这组方程不矛盾，则要求应力分量不仅满足平衡微分方程和面力边界条件，而且应力分量对应的应变分量必须满足变形协调方程。
这个问题也可以从物理上解释，应力分量满足平衡微分方程和面力边界条件，只能保证物体的平衡，但是不能保证物体的连续。
只有这组应力分量求出的应变分量满足变形协调方程时，才能保证变形后的物体是连续的。
当位移分量作为基本未知函数求解时，变形协调方程是自然满足的。
如果位移表示基本未知量，只有应力作为基本未知函数求解时，变形协调方程作为一组补充方程是必须的。
因此，对于应力解法，应力分量必须满足平衡微分方程和变形协调方程。
由于变形协调方程是由应变分量表达的，在应力解法中，需要将其转换为由应力分量表达。
将物理方程改写为其中将上式代入变形协调方程的第一，四两式，可得轮换x，y，z可得其余四个方程，由此可得应力表达的变形协调方程。
2、变形协调方程的简化为了使问题进一步简化，就是使上式有更简单的形式，利用平衡微分方程再次对变形协调方程作进一步的简化。
将平衡微分方程的第一和第二两式分别对x，y求偏导数后再相加，则将上式代入应力分量表示的变形协调方程第一式并且注意到，可得轮换x，y，z以后，可得另外两个类似的公式。
将轮换后得到的三个公式相加，可得将上式回代到简化方程可得轮换x，y，z以后，可得另外两个类似的公式。
3、应力分量表达的变形协调方程下面我们对应力分量表示的变形协调方程的第二式作简化首先对平衡微分方程的第二和第三两式分别对z，y求偏导数，然后相加可以得到将上式与变形协调方程的第二式相加后并整理，可得上式为简化后的方程，轮换x，y，z以后，可得另外两个类似的公式。
综上所述，我们一共得到以下六个关系式上述方程即为应力分量表达的变形协调方程，通常称为贝尔特拉米-米切尔方程。
4、体力为常量时的变形协调方程如果弹性体体力为常量，则应力分量表达的变形协调方程可以简化为上述方程为应力分量表达的变形协调方程，通常简称为应力协调方程。
但是应该注意：应力是不需要协调的，其实质仍为应变分量所满足的变形协调关系。
