第5章——弹性力学基础

弹性力学基础知识点复习固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其他外界因素作用下产生的变形和内力，又称弹性理论。

它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。

弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。

绝对弹性体是不存在的。

物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。

人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。

当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。

弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。

弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。

连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。

这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。

弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动（或平衡）规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。

弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。

①变形连续规律弹性力学（和刚体的力学理论不同）考虑到物体的变形，但只限于考虑原来连续、变形后仍为连续的物体，在变形过程中，物体不产生新的不连续面。

如果物体中本来就有裂纹，则弹性力学只考虑裂纹不扩展的情况。

反映变形连续规律的数学方程有两类：几何方程和位移边界条件。

几何方程反映应变和位移的联系，它的力学含义是，应变完全由连续的位移所引起，。

弹性力学基础弹性力学是力学中的一个重要分支，研究物体在受力后的变形和恢复能力。

本文将介绍弹性力学的基本概念、公式和应用。

一、基本概念弹性力学研究的对象是弹性体，即当受到外力作用后，可以恢复原状的物质。

弹性体的变形可以分为弹性变形和塑性变形两种。

弹性变形是指在外力作用下，物体发生变形但不改变其内部结构，当外力消失后，物体可以完全恢复原状。

塑性变形是指在外力作用下，物体发生变形会改变其内部结构，当外力消失后，物体无法完全恢复原状。

二、弹性模量弹性模量是衡量物体弹性变形程度的物理量，常用的弹性模量包括杨氏模量、剪切模量和泊松比。

其中，杨氏模量是衡量物体在拉伸或压缩时的弹性变形程度的量值，剪切模量是衡量物体在受到切割力时的弹性变形程度的量值，泊松比是物体在受到拉伸或压缩时在垂直方向上的变形程度与水平方向上的变形程度之比。

三、胡克定律胡克定律是弹性力学中的基本定律，描述了物体受到力的作用下的弹性变形。

根据胡克定律，当物体受到力的作用后，物体发生的弹性变形与力的大小成正比，与物体的初始长度成反比。

胡克定律可以用数学公式表示为F = kx，其中F为外力的大小，k为弹性系数，x为物体的弹性变形量。

四、应力和应变应力是物体受到外力作用后单位面积上的力的大小，用σ表示。

应变是物体受到外力作用后单位长度变化量与原始长度的比值，用ε表示。

根据胡克定律，应力与应变之间存在线性关系，称为胡克定律。

五、弹性力学的应用弹性力学在工程领域中有广泛的应用，例如在结构设计中，通过弹性力学的理论分析，可以确定结构的稳定性和安全性。

在材料科学中，弹性力学可以帮助研究材料的强度和刚度，为材料的选择和设计提供指导。

此外，弹性力学还在地震学、电子学和生物学等领域中有着重要的应用。

总结：弹性力学是研究物体受力后的变形和恢复能力的学科。

本文介绍了弹性力学的基本概念，包括弹性体、弹性变形和塑性变形等概念；弹性模量、杨氏模量、剪切模量和泊松比等物理量；胡克定律、应力和应变的关系；以及弹性力学在工程、材料科学和其他学科中的应用。

弹性力学基础弹性力学是研究固体物体在力的作用下发生形变后，能够恢复原状的力学学科。

它是力学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、材料科学、土木工程等领域。

本文将介绍弹性力学的基础概念、方程和应用。

一、弹性材料和变形理论1. 弹性材料弹性材料是指受力后能产生形变但在去力后能恢复原状的材料。

常见的弹性材料有弹簧、橡胶等。

弹性材料的特点是具有线性的应力-应变关系，并且应力与应变之间存在比例关系。

2. 变形理论变形理论描述的是弹性体受到外力作用后所产生的形变规律。

在弹性力学中，最常用的变形理论是胡克定律（Hooke's Law），该定律表述了弹性体的应力与应变之间的关系，即应力等于弹性模量与应变的乘积。

二、弹性体的应力分析1. 一维弹性体的应力分析考虑一维弹性体，假设该体两端分别受到作用力F和-F，弹性体长度为L，通过应力分析可以得到应力与形变的关系式，即胡克定律。

2. 二维和三维弹性体的应力分析对于二维和三维的弹性体，采用张量分析的方法进行应力分析。

通过引入应力张量的概念，可以描述不同方向上的应力状态。

弹性力学中常用的应力张量包括应力张量和应变张量。

三、弹性体的力学方程1. 广义胡克定律广义胡克定律（Generalized Hooke's Law）是描述弹性体的力学关系的重要定律。

它将应力和应变之间的关系扩展到多种情况下，包括线性弹性体和非线性弹性体。

2. 拉梅定律拉梅定律（Lamé's Law）是描述各向同性弹性体的力学关系的定律。

根据拉梅定律，应力与应变之间的关系可以通过拉梅常数进行描述。

四、弹性体的应用1. 结构力学弹性力学在结构力学中有着广泛的应用。

通过对材料的弹性特性进行分析，可以确定结构物体的变形和应力分布，从而保证结构的安全性和稳定性。

2. 地震工程弹性力学在地震工程中也扮演着重要角色。

地震力学研究地震对建筑物等结构的作用及其影响，通过分析结构的弹性响应来评估地震风险，并制定相应的抗震设计方案。

弹性力学基础知识归纳第一篇：弹性力学基础知识归纳一．填空题1.最小势能原理等价于平衡微分方程和应力边界条件2.一组可能的应力分量应满足平衡微分方程和相容方程。

二．简答题1.简述圣维南原理并说明它在弹性力学中的作用。

如果把物体一小部分边界上的面力变换为分布不同但是静力等效的面力（主矢和主矩相同），则近处的应力分布将有显著改变，远处所受的影响则忽略不计。

作用;(1)将次要边界上复杂的集中力或者力偶变换成为简单的分布的面力。

（2）将次要的位移边界条件做应力边界条件处理。

2.写出弹性力学的平面问题的基本方程。

应用这些方程时，应注意什么问题？(1).平衡微分方程:决定应力分量的问题是超静定的。

(2).物理方程：平面应力问题和应变问题的物理方程是不一样的，注意转换。

(3).几何方程：注意物体的位移分量完全确定时，形变分量也完全确定。

但是形变分量完全确定时，位移分量不完全确定。

3.按照边界条件的不同，弹性力学分为哪几类边界问题？应力边界条件，位移边界条件和混合边界条件。

4.弹性体任意一点的应力状态由几个分量决定？如何确定他们的正负号？由六个分量决定。

在确定方向的时候，正面上的应力沿正方向为正，负方向为负。

负面上的应力沿负方向为正，正方向为负。

5.什么叫平面应力问题和平面应变问题？举出工程实例。

平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。

例如工程中的深梁和平板坝的平板支墩。

平面应变问题是指很长的柱形体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也不沿长度变化。

例如6.弹性力学中的基本假定有哪几个？什么是理想弹性体？举例说明。

（1）完全弹性假定。

（2）均匀性假定。

（3）连续性假定。

（4）各向同性假定。

（5）小变形假定。

满足完全弹性假定，均匀性假定，连续性假定和各向同性假定的是理想弹性体。

一般混凝土构件和一般土质地基可以看做为理想弹性体。

第五章弹性力学的求解方法和一般性原理知识点弹性力学基本方程边界条件位移表示的平衡微分方程应力解法体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性力学基本求解方法位移解法位移边界条件变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理一、内容介绍通过弹性力学课程学习，我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用公式。

本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结，并且讨论具体地求解弹性力学问题的方法。

弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计15个，基本方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程，也是15个。

面对这样一个庞大的方程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解方法。

根据这一要求，本章的主要任务有三个：一是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类；二是根据问题性质，确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程，得到基本解法。

弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法等。

应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。

三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。

主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。

如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。

二、重点1、弹性力学的基本方程与边界条件分类；2、位移解法与位移表示的平衡微分方程；3、应力解法与应力表示的变形协调方程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。

本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。

弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。

弹性力学研究弹性体由于受外力，边界约束或温度改变等作用而发生的应力、形变和位移弹性力学的任务在边界条件下，从平衡微分方程、几何方程和物理方程求解应力、应变和位移等未知函数研究对象各种弹性体，包括杠杆、平面体、空间体、板和壳体等研究方法已知条件：1物体的几何形状，即边界面方程2物体的材料参数3所受外力的情况4所受的约束情况。

求解的未知函数：应力、应变和位移。

解法：在弹性体区域内，根据微分体上力的平衡条件建立平衡微分方程；根据微分线段上应变和位移的几何条件，建立几何方程；根据应力和应变之间的物理条件建立物理方程在弹性体边界上，根据面力条件，建立应力边界条件；根据约束条件建立位移边界条件然后在边界条件下，求解弹性体区域内的微分方程，得出应力、形变和位移弹性力学中的基本假定1连续性假定在物体体积内都被连续介质所充满，没有任何空隙，亦即从宏观角度上认为物体是连续的。

因此，所有的物理量均可以用连续函数来表示，从而可以应用数学分析工具2完全弹性假定物体是完全弹性的。

这个假定包含两点含义：a.当外力取消时，物体回复到原状，不留任何残余变形，即所谓“完全弹性”b.应力与相应的应变成正比，即所谓“线性弹性”。

根据完全弹性假定，物体中的应力与应变之间的物理关系可以用胡克定律来表示3均匀性物体是由同种材料组成的，物体内任何部分的材料性质均相同。

这样，物体的弹性常数等不随位置坐标而变化4各向同性物体内任一点各方向的材料性质都相同。

这样，弹性常数等也不随方向而变化。

凡符合以上四个假定的物体，称为理想弹性体5小变形假定假定物体的位移和应变是微小的。

物体在受力后，其位移远小于物体的尺寸，其应变远小于1。

用途：a.简化几何方程，使几何方程成为线性方程。

b.简化平衡微分方程面力是作用于物体表面上的外力体力是作用于物体体积内的外力应力单位截面积上的内力切应力互等定理作用于两个互相垂直面上，并且垂直于该两面交线的切应力是互等的形变就是物体形状的改变。