已知递推公式求通项公式精品课件

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递推数列通项公式的求法32页PPT

递推数列通项公式的求法
6、纪律是自由的第一条件。——黑格尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 ——马卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律，否则一切都会陷入污泥中。 ——马克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天真而不幼稚，勇敢而盲目。 ——马克思
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特

由数列的递推公式求通项公式课件

+1
2
⇒ +1 = +
3
3
3
设 =

，则
3
+1 =
即
+1
+1
，有
3+1
+1 = +
+1 − =
2 − 1 =
2 +1
3
2 +1
3
（可用累加法求出通项公式）
3 − 2 =
2 2
3
2 3
3
……,
− −1=
⇒ − 1 =
+1 + = ( + ) ⟹
+1 +
+
= ，
所以{ + }是等比数列，公比为，首项为1 +
（2）是用作差法直接构造：由已知得 +1 = + , = −1 + ，两式相减有
+1 − = ( − −1 )
所以+1 − 是公比为的等比数列
由数列的递推公式求通项公式
递推公式：
如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，
那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
例如：等差数列递推公式：+1 = + 或 −1 + +1 = 2
+1
等比数列递推公式：

=
已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具
例3. 在数列{ }中，1 = 1，当 ≥ 2时，有 = 3−1 + 2，求{ }的通项公式。
解法1：设 + = 3(−1 + )，即有 = 3−1 + 2

常见递推数列通项公式的求法ppt课件

1S 2
1 23
2 24
n2 2n
n 1 2 n＋1
②
由①－②得
1S 2
1 22
1 23
1 2n
n 1 2n＋1
1 2
n 1 2 n 1
S 1 n1 2n
an 2n
1
an 2n
2
n 1 2n
an 2n1 n 1
变式训练：答案an 6 4n1 (n 1) 2n
数列满足 an
an1 3 4 5 6
n 1
an a1
1 2 n(n 1)
a1
1 an
2 n(n 1)
累乘
例 2：已知数列an 中，a1
1且满足 an1 an
n ，求数 n2
列an 的通项公式。
其他解法探究：
a n 1 an
n n2
(n 2)an1
nan
(n 1)(n 2)an1 n(n 1)an
则可构造n(n 1)an 是常数数列
故an n2 n 2(n 1,2,3,)
方法归纳：累加
可求和
变式训练：
1.已知数列an中， a1 2 满足 an1 an 2n n ,求数列an 的通项公式. 2.已知数列an 中， a1 2 满足 an1 an n 2n n ,求数列an 的通项公式.
类型二：形如 an1 f (n)
an1 2an n 2n1 2n1 2n1
an1 an n 2n1 2n 2n1
累加
a2 22
a1 2
1 ，a3 22 23
a2 22
2 23
,,
an 2n
an1 2n1
n 2n
1
,

由数列的递推关系求通项公式PPT优秀课件

3，
设 bn

an1
an
，则 b1

a2
a1
6 ，且 bn1 bn

3，
所以 bn 6 3n1 2 3n ，即 an1 an 2 3n ，
有 3an 3 an 2 3n
所以
an

3n

3 2
.
解：由已知递推式得
an 3an1 3 ，
an

2n .
1
例题分析
例 1.
已知数列an 中， a1

3 2
,
an1

3an

3
(n N *), 求数列an 的通项公式.
.
巩固练习
1. 已知数列 an 中， a1 1, an1 3an 3n (n N *), 求数列an 的通项公式.
an n3n1
an 2n1
课堂热身
2．已知数列
an
中,
a1

1 2
,
an1

an

1 3n
(n N*), 求数列an 的通项公式.
1
an
1
.
2
3n1
课堂热身
3．已知数列 an 中 a1 3, an1 3an (n N*).求数列an 的通项公式.
an 3n

1 3n
，所以 an1 3n1

an 3n

1 3n
，
设 bn

an 3n
, 则 b1

a1 3
1,， 2
且 bn1
bn

1 3n

高考数学一轮复习第四章专题三利用递推公式求数列的通项公式课件

A.a1n＋3为等比数列 B.{an}的通项公式为 an＝2n+11－3 C.{an}为递增数列 D.a1n的前 n 项和 Tn＝2n+2－7n
解析：数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2＋an3an(n∈N*)，整理得 2an＋1＋3anan＋1＝an，转换为an1＋1＋3＝2a1n＋3，又a11＋3＝4，故a1n＋3是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，A 正确，
所以a1n＝n(n2＋1)＝2n1－n＋1 1，n∈N*，则数列a1n的前 100 项和为 21－21＋21－13＋…＋1100－1011＝ 21－1011＝210001. 故选 D.
答案：D
3.(多选题)已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2＋an3an(n∈N*)，则下列结论中正确的是( )
【反思感悟】由递推关系求数列的通项公式的常用方法
题型四 an＋1＝pan＋q·pn+1 型通性通法：两端同时除以 pn+1，得apnn＋+11－apnn＝q，则数列apnn为等差数列.
[例 4](1)已知正项数列{an}满足a1＝4，an＋1＝2an＋2n+1，则 an＝( )
A.n·2n-1 C.n·2n+1
答案：D
【反思感悟】an＋1＝kan＋f(n)型的通用累加法
(1)等号左右同除以 kn+1，得aknn＋+11＝aknn＋kf(nn+)1.
(2)移项，得aknn＋+11－aknn＝kf(nn+)1.
(3)采取累加法，得aknn－ak1＝ n1
f(i) ki+1.
i1
(4)解得通项公式 an.
题型五 an＋1＝pan＋qan－1型

由递推公式求通项公式名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件

m=1时,由an+am=an+m 得an+1=an+1，即an+1-an=1 ∴{an}是等差数列，an=1+(n-1)=n 例2. 若b1=2，且bmbn=bm+n，则bn=______2_n ______ 解：n=m=1时，b2=b1·b1=4 , 即b1=2，b2=4， m=1时,由bnbm=bn+m 得bn+1=bn·b1=2bn，
f
(n)
型,常用累乘法求通项公式。
3 例6.已知a1=3，f (x)=x2，且an+1=f(an)，则an=___2_n_1___
解:∵a1=3，an+1= an2 a2 a12 32 a3 a22 34 a4 a32 38 知 an 32n1
小结：an+1=f(an) 型, 直接迭代求通项公式。
作业
1.已知{an}中满足a1=1 ，nan1 (n 1)an , 求an
2.已知{an}中满足a1=1
， an1
1 2
an
1, 求an
3.已知{an}中满足a1=1 ，
an 1
2an an
2
,
求an
4.已知{an}中满足a1=1 ， an1 an +(2n-1)求an
5.已知二次方程，an x2 an1x 1 0(n 1, 2, 3, )
来∴进数行列证{a明n+,1注}是意公等比比为数2列旳旳等a比n≠数0,q列≠.0. 小结：an+1=pan+q(p≠1)型,常用累乘法求通项公式。
例1. 若a1=1, 且an+am=an+m(n,m∈N*), 则an=__n_____
解: n=m=1时，a2 = a1+a1=2, 得a1=1, a2=2

常见递推数列通项公式的求法课件

解题步骤与例题解析
• 将递推式中的每一项乘以累乘因子，并累乘得到通项公式。
解题步骤与例题解析
例题解析 1. 题目：求数列1, 3, 7, 13, 21...的通项公式。 2. 分析：该数列的递推式为`an+1 = an + 2n`。
解题步骤与例题解析
01
3. 解题步骤
02
a. 确定关系：an+1 = an + 2n。
常见递推数列通项公式的求法课件
目录 Contents
• 递推数列通项公式概述 • 累加法 • 累乘法 • 构造法 • 特征根法 • 其他方法
01
递推数列通项公式概述
定义与分类
递推数列的定义
递推数列是一种特殊的数列，它可以通过前一项或前几项的值，推导出下一项的值。
递推数列的分类
根据不同的递推关系，递推数列可以分为线性递推、二次递推、指数递推等。
03
累乘法
适用范围与基本思想
适用范围
适用于形如`a(n+1) = an + f(n)`的递推数列，其中f(n)为关于n的函数。
基本思想
累乘法的基本思想是将递推式中的每一项都乘以累乘因子，从而得到通项公式。
解题步骤与例题解析
步骤 1. 确定递推式中每一项与前一项的关系。
2. 选择适当的累乘因子。
常见递推数列类型
01
02
03
04
Fibonacci数列：每一项是前两项的和。
Lucas数列：每一项是前两项的差。
等差数列：每一项与前一项的差是一个常数。
等比数列：每一项与前一项的比值是一个常数。
通项公式的应用
数学分析

优选由递推关系求数列通项公式的几种方法Ppt

5 .形如an1 f（n） an 迭乘法
已知数列an 中，a1
解：a2 2
1，an1 an
n
n
1
,
求：an
a1 1
a3 3
a2 2 a4 4
an 2 3 4 n 1 n a1 1 2 3 n 2 n 1
a3 3
×
an an1
n (n
n 1
2)
an n an n
(当n 1时也适合) (n N*)
an (1)
2 Sn1 1 3 an1(2)
2 (531递公)an推式(2相32):得aa减nann1(或a1SS相321na,除0n)Sa32nna1n11(0(nn12))
an an1
2 5
{an
}是等比数列,
q
2 5
第五页，总共十六页。
n
3n
2.数列an
2
的前项S和n为1 S1n,且3Sann11(2)
令 n2 n 1中n 1 2
a4 a3 3
+ an an1 n 1
得 n2 n 1
(n 2)
2
1 2 a1
an a1 1 2 3 (n 1)
an
n(n 1) 2
1 2
n2
n 2
1
(当n 1时也适合 )
an
n(n 1) 2
1 2
n2
n 1 2
(n N*)
第十页，总共十六页。
第十一页，总共十六页。
6 归纳法
已知数列an 中，a1
2，an1
2
1（n an
N
*）,
求数列an 的通项公式.
解；a1
2

递推数列的通项公式PPT演示文稿

其中
0，求数列 an 的通项公式。
n 1 n a a (2 ) 2 n 解：由 a a n 1 (2 ) 2n n 1 n1 n 1 n n 1 n 1 n1 n 1 n n 1 n an1 an 2 a a 2 2 2 n 1 n n1 n 1 n1 n 1 a 2
B B B a A an 是以 A 为 0 时，数列 n ，当 a1 A 1 A 1 A 1
公比的等比数列。例1（2006年重庆高考）在数列的通项公式 an

an 中，若 a1 1, an1 2an 3 则该数列
则
an 的通项公式为
。
3 an 1 1 an 1 an 1 1 ，得数列是以 a1 1 0 解：由 an 2 2 n 1 n 1 1 1 1 为首项，公比为则 an 1 (a1 1) an 1 (a1 1) 2 2 2
1时， f (n) B n ,( B 0, 0)
时 an 1
an a1 即数列 n 1 是以 0 为首项，公差为B的等差数列。 a1 2, an1 an n1 (2 ) 2n , n N * an 中，例5、（2007年天津高考）在数列
二、递推关系为
an1 Aan f n ,( A 0)
1、当A＝1时，有
an1 an f (n)
1, an1 an n
型
，此时可用累加法求
an

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B 食堂
民以食为天分析
3
1 An 1 An 300 2 A1 200 1 n 1 An 600 400( ) 2
由An 500得n 3
∴第3个星期选A、B食堂的人数相等.
4
an1 pan q
已知
1
通项公式求法应用
2
二
应用：形如 an1 pan q
构造法一
解法四：
构造法二
提炼小结：
an1 pan q
一、构造为
二、构造为
a n1
q q p(a n ) p1 p1
an1 an p(an an1 )
民以食为天
A 食堂
问题
（1）试以An 、Bn表示 A n＋ 1 . （2）若A1＝200，求An。问是否有某个星期A、B食堂人数相等。
B 食堂
民以食为天
A 食堂
问题
（1）试以An 、Bn表示 A n＋ 1 . （2）若A1＝200，求An。问是否有某个星期A、B食堂人数相等。
B 食堂
民以食为天分析
1
An 1 (1 20% )An 30%Bn
4 3 An Bn 5 10
2
An Bn 1000 An 1 4 3 An (1000 An ) 5 10 1 An 300 2
若p q
若p q
bn1 p 1 bn q q
bn 为等差数列
构造等比数列
内容小结：
构造法求通项公式
化归思想整体化思想特殊到一般思想
归纳法构造法待定系数法
an1 pan q
形如
an1 pan q n
形如
二
应用：形如 an1 pan q
问题二
已知递推公式
求通项公式(二)
q p 、q 为常数） ——形如an1 pan （
的递推公式的求法与应用
an1 pan q
已知
1
通项公式求法应用
2
一
形如 an1 pan q 的递推公式的求法
问题一
an1 2an 1(n N ) 在数列 an 中，若 a1 1 ，
求该数列的通项.
2006年福建省高考22（Ⅰ）

解法一：
归纳、猜想、证明
a 2 a 1 ( n N ) 可得由 a1 1 ， n1 n
a1 1 2 1 1 a2 3 22 1 a3 7 23 1 a 4 15 2 4 1 a 5 31 2 5 1 an 2 n 1(n N ) 猜想：

2 n 1 a n ( n 1) 2 n 2 2 n 3 2 2 2 1
2n1 2n 2 2n 3 22 2 1
2n 1
问题一
在数列 an 中，若 a1
求该数列的通项.
解法三：
a 2 a 1 ( n N ) ，n 1 1 n
若p q
bn1 p 1 bn q q
若p q
构造等比数列
内容小结：
构造法求通项公式
化归思想整体化思想特殊到一般思想
归纳法构造法待定系数法
an1 pan q
形如an1 pan 源自q n形如na n 1 在数列 a n 中，若 a1 1 ，
求该数列的通项.
2an 3 (n N )
n

n a 2 a 2 ( n N ) 思考：在数列 a n 中，若 a1 1，n1 n
求该数列的通项.
提炼小结：
an1 pan q n
令bn an qn
民以食为天
A 食堂
条件1 学校餐厅每天供1000 名学生用餐，有A、B 两食堂可供选择。调查资料表明，凡是在这星期选A食堂的，下星期会有20％学生改选B食堂；
B 食堂
民以食为天
A 食堂
条件2
而选B食堂的，下星期一则有30％的学生改选A食堂。若用An 、Bn分别表示在第n个星期选A、 B食堂的人数。
数学归纳法证明（略）
解法二：
迭代法
a n 2a n1 1
2(2an 2 1) 1 22 an 2 2 1
22 (2an 3 1) 2 1 23 an 3 22 2 1
23 (2an4 1) 22 2 24 an4 23 22 2 1
问题二
n
a n 1 在数列 a n 中，若 a1 1 ，
求该数列的通项.
2an 3 (n N )
n

n a 2 a 2 ( n N ) 变式：在数列 a n 中，若 a1 1，n1 n
求该数列的通项.
提炼小结：
an1 pan q n
令bn an qn