常见的由递推式求通项公式方法

由递推公式求通项公式的三种方法递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推公式求通项公式的几种方法．1．累加法[典例1] 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11 [解析] 由已知得b n ＝2n －8，a n ＋1－a n ＝2n －8，所以a 2－a 1＝－6，a 3－a 2＝－4，…，a 8－a 7＝6，由累加法得a 8－a 1＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，所以a 8＝a 1＝3.[答案] B[题后悟道]对形如a n ＋1＝a n ＋f (n )(f (n )是可以求和的)的递推公式求通项公式时，常用累加法，巧妙求出a n －a 1与n 的关系式．2．累乘法[典例2] 已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n . (1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．[解] (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2， 解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3， 解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n >1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n －1个等式中等号两端分别相乘，整理得a n ＝n n ＋1 2. 综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋1 2.[题后悟道]对形如a n ＋1＝a n f (n )(f (n )是可以求积的)的递推公式求通项公式时，常用累乘法，巧妙求出a n a 1与n 的关系式．3．构造新数列[典例3] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2；则a n ＝________.[解析] ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1.[答案] 2×3n －1－1[题后悟道]对于形如“a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)”的递推公式求通项公式，可用迭代法或构造等比数列法．上面是三种常见的由递推公式求通项公式的题型和对应解法，从这些题型及解法中可以发现，很多题型及方法都是相通的，如果能够真正理解其内在的联系及区别，也就真正做到了举一反三、触类旁通，使自己的学习游刃有余，真正成为学习的主人．。

求数列通项公式的11种方法方法总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法（少用）不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。

等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

例2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

常见递推数列通项的九种求解方法(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。

是一类考查思维能力的好题。

要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。

类型一：1()n na a f n +=+（()f n 可以求和）−−−−→解决方法累加法 例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。

解析：121(2)n n a a n n --=-≥∴213243113521n n a a a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 上述1n -个等式相加可得： ∴211n a a n -=- 2n a n ∴=评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。

【类型一专项练习题】1、已知11a =，1n n a a n -=+（2≥n ），求n a 。

2、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。

3、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

4、已知}{n a 中，n n n a a a 2,311+==+，求n a 。

5、已知112a =,112nn n a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.6、 已知数列{}n a 满足11,a =()1132,n n n a a n --=+≥求通项公式n a7、若数列的递推公式为1*113,23()n n n a a a n N ++==-⋅∈，则求这个数列的通项公式 8、 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

九类常见递推数列求通项公式方法递推数列通项求解方法类型一：an1panq（p1）思路1（递推法）：anpan1qp(pan2q)qpppan3qqq……pn1a1q(1pp2…pn2qqn1。

)a1pp11p思路2（构造法）：设an1pan，即p1q得qp1，数列an是以a1为首项、p为公比的等比数列，则anqn1qana1pp11pqn1a1p，即p1p1q例1已知数列an满足an2an13且a11，求数列an的通项公式。

解：方法1（递推法）：an2an132(2an23)3222an3333……2n13(122…22n23n13n1)1223。

2112方法2（构造法）：设an12an，即3，数列an3是以a134n1n1n1为首项、2为公比的等比数列，则an3422，即an23。

类型二：an1an思路1（递推法）：f(n)anan1f(n1)an2f(n2)f(n1)an3f(n3)f(n2)f(n1)…a1f(n)。

i1n1思路2（叠加法）：anan1f(n1)，依次类推有：an1an2f(n2)、n1an2an3f(n3)、…、a2a1f(1)，将各式叠加并整理得ana1i1f(n)，即n1ana1i1f(n)。

例2已知a11，anan1n，求an。

解：方法1（递推法）：anan1nan2(n1)nan3(n2)(n1)nn……a1[23…(n2)(n1)n]i1nn(n1)2。

方法2（叠加法）：anan1n，依次类推有：an1an2n1、an2an3n2、…、nnna2a12，将各式叠加并整理得ana1i2n，ana1i2ni1nn(n1)2。

类型三：an1f(n)an思路1（递推法）：anf(n1)an1f(n1)f(n2)an2f(n1)f(n2)f(n3)an3…f(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a1。

anan1a2a1an1an2ana1思路2（叠乘法）：f(n1)，依次类推有：f(n2)、an2an3f(n3)、…、f(1)，将各式叠乘并整理得f(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)，即anf(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a1。

`式已知递推公式求通项公].p)i (a [p a p)i (p a pa p)(pa pa p 1p 2n )i (a a 1p .)()(pa a p p1q a }p1q a {p1q a p p1q a p 1q 1p q a 1p q pa a 11n 1i i11n n 1n 1i 1i 1nn 1n nn 1n 1n 1n 1n 1i 1n n 1n 1n n 1n 1n 1n ∑∑∑-=--=+++++-=++++=+=+=≠≥+==+=-+-+-+=-+-≠=+=f f n f f n f n f ，从而利用叠加法易得，，变形为，则两边同时除以若；，，则显然若不是常数，其中为公比的等差数列为首项，是以显然）（，变为，则两边同加上若为公差的等差数列；为首项，，则显然是以若）常见形式：（p x a x a qx a x a x x p p x a 1x a 1x x x x 0b x a -d cx dcx b ax x dca b aa a )2(2n 1n 21n 11n 211n 11n 21212n n 1n 通项公式求解，然后再利用等比数列可以用待定系数法求解，其中则有若通项公式求解，然后再利用等差数列可以用待定系数法求解，其中则有若，，令此方程的两个根为）（，即，令典型例子：不动点法--=--≠+-=-==-+++=++=++++用待定系数法求得、，，则其通项公式为若用待定系数法求得、，）（则其通项公式若，，令此方程两根为，特征方程为性递推式的好方法特征根法是专用来求线特征根法B A Bx Axa x x B A x Bn A a ,x x x x q px x qa pa a .)3(n2n1n 21n1n 21212n 1n 2n +=≠+==+=+=++.4然后用数学归纳法去证的规律猜出一个结果，简单说就是根据前几项）数学归纳法（公式，马上迎刃而解！，只需联系正切二倍角看起来似乎摸不着头脑：东西，看看下面的例子三角函数是个很奇妙的）联系三角函数（2nn 1n a1a 2a 5-=+递推新值的过程。

由递推关系式求通项公式类型大全
递推关系式是用来描述一组数列的递推规律的方程，通常形如an=f(an-1)。

求通项公式是指对于这组数列，求出所有项的公式。

下面是一些常见的递推关系式及其对应的通项公式：
1.an=an-1+c，其中c为常数。

通项公式为：
a1+c(n-1)
2.an=an-1*r，其中r为常数。

通项公式为：
ar^(n-1)
3.an=an-1+an-2，通项公式为：
a1*((1+√5)/2)^(n-1)-a2*((1-√5)/2)^(n-1)
4.an=an-1*an-2，通项公式为：
a1^(n-1)*a2^(n-2)
5.an=an-1+n，通项公式为：
n(n+1)/2
6.an=an-1*n，通项公式为：
n!
7.an=an-1+2^n，通项公式为：
2^n-1
8.an=an-1*(-1)^n，通项公式为：
(-1)^n
注意：上述通项公式均是在满足递推关系式的条件下得出的。

如果递推关系式不合法或者不存在，则无法得出通项公式。

由递推公式求通项的几种常见方法作者：王玉君来源：《成才之路》2011年第13期递推公式是表示数列的一种方法。

由于它比较抽象，是数列这章的难点，也是重点。

而其中渗透的整体思维、化归、分类讨论思想，都是数学中的重要内容。

一、叠加法人教版的等差数列通项公式的导出，为我们提供了一种方法，称之为叠加法。

推导如下：a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d……an-an-1=d(n≥2)，这样就可把n-1个式子相加，得到an- a1=(n-1)，所以an= a1+(n-1)d，当n=1时也适合上式。

由此就导出等差数列通项公式。

只要递推公式满足an+1- an=f（n），都可以用此方法。

例如：已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+()n,求通项an.解：由题意，an+1-an=()n，所以a2-a1=，a3-a2=()2……，an-an-1=()n-1(n≥2)，把这n-1个式子相加，有an-a1=+()2+……()n-1(n≥2)，对右侧求和，整理得an-a1=，所以an=2-()n-1.当n=1时显然也适合上式。

二、叠乘法叠乘法的灵感，来自等比数列通项公式的推导。

过程如下：=q,=q,=q......=q(n≥2)，这样可把n-1个式子相乘，得到=qn-1(n≥2)。

显然，当n=1时也适合，所以an=a1qn-1.例如：已知数列{an}满足a1=2,an+1=2n·an,求通项公式an.解：由题意，an≠0，=2n，所以，=2,=22,=23......=2n-1(n≥2)，把n-1个式子相乘，得到=2·22·23……2n-1=2(1+2+3+……+n-1)=2，所以an=2·2=2 (n≥2)，显然，当n=1时也适合。

所以an=2.只要是满足=f(n)式子，都适合用叠乘法求通项公式。

三、可构造成形式为{an+x}的等比数列，求通项公式an在数列这章，我们只学了等差、等比数列的相应公式，对于其他类型的数列，可借助等差或等比数列公式求出。

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。

四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。

等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=L L两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

用递推公式求通项的六种方法：等差数列和等比数列有通项公式；累加法；累乘法；构造法；错位相减法。

按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an}的第n项用一个具体式子表示出来，称作该数列的通项公式。

累加法：用于递推公式为an+1=an+f(n)，且f(n)可以求和。

累乘法：用于递推公式为an+1/an=f(n)且f(n)可求积。

构造法：将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列。

错位相减法：用于形如数列由等差×等比构成：如an=n·2^n。

用迭代法：此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．。

精析由递推公式求通项的 9种方法1. a n +1= a n + f(n)型把原递推公式转化为a n +1 — a n = f(n),再利用累加法(逐差相 加法)求解，即 a “= a i + (a ? — a° + (巫一 a ?) + …+ (a n _a “-1) = a i + f(1)+ f(2)+ f(3) + •••+ f(n — 1).1 1 、［例1］ 已知数列｛ a n ｝满足a i = 2， a n +i = a n +孑右，求a n .1 1 11［解］ 由条件，知 a n +1— an = n 2+ n = n n + 1 = n—n+ 1，贝V (a2一 a1)+ 但3— a 2)+ 但4 一a3) + •••+(an— an-1)=1— 2 +£一1+ 1一4 FT所以an— ai = 1-J1 1 13 1因为 a 1 = 1，所以 a n = 2+ 1 — n = 3— 12 . a n +1 = f(n)a n 型把原递推公式转化为a a ±J = f(n),再利用累乘法(逐商相乘法)a n求解，即由 a 2= f(1), a ^ = f(2),…,a 1a 2f(1)f(2)…f(n — 1).故 a n = — a2Lj …a^ a 1= -一一- X-一22X 3 = 3■•即 a n =右. a n —1 a n — 2 a 1 n n — 1 2 3 3 n 3n_a^ = f(n — 1),累乘可得 a° =a n — 1 a1［例2］已知数列｛a n ｝满足a i = £nan +1= n + 1 a n ， 求a n .［解］由 an +1=an，得 a ^1n n 1，3. a n +1= pa n + q(其中 p , q 均为常数，pq(p — 1)工0)型对于此类问题，通常采用换元法进行转化， 假设将递推公式 改写为a n +1 + t = p(a n + t)，比较系数可知t = =b n + 1换元即可转化为等比数列来解决.［例 3］已知数列｛a n ｝中，a i = 1, a n +1= 2a n + 3，求 a n .［解］设递推公式 a n +i = 2a n + 3 可以转化为 a n +i — t = 2（a n — t ），即 a n +1 = 2a “— t ，贝V t =—3.故递推公式为 a n +1 + 3= 2（a n + 3）.b n + 1 a n + 1 + 3-令 bn =an+ 3，则 b 1 =a1+ 3= 4，且= =2. b n a n + 3所以｛b n ｝是以b 1= 4为首项，2为公比的等比数列. 所以 b n = 4 X 2n —1= 2n +1,即卩 a n = 2n +1 — 3.4. a n +1= pa n + q n （其中 p, q 均为常数，pq （p — 1）工0）型（1） 一般地，要先在递推公式两边同除以q n+s 得a n +1=q$+q q q£引入辅助数列｛b n ｝其中b n = ~n ，，得b n +1 = p b n + 再用待定q i q 丿 q q 系数法解决；（2） 也可以在原递推公式两边同除以p n +1，得p n +1=0?+p ［p j n,引入辅助数列｛0｝其中b n = p J,得b n + 1一 g = £加 再利用叠 加法（逐差相加法）求解.［例 4］ 已知数列｛ a n ｝中，a 1 = 5，a n +1 = fa n + £厂，求 a n .［解］法一：在 a n + 1=如+ £厂两边乘以 2^1，得 2^1 a n + 1= 3（2n a n ） + 1. 2令 b n = 2n a n ,贝V b n + 1 = ~b n + 1,3p -1,可令 “1+1根据待定系数法，得b n+ 13所以数列｛b n—3｝是以b1 —3= 2X5—3=—£为首项，6 3以3为公比的等比数列.3所以b n— 3 = — 4 n—S 即b n= 3—2 2 n.令 b n = a n + n +1.(*)3n +1a n +1= 3n a n + 扌卄1. 令 b n = 3n a n ，则 b n + 1 = b n +所以 g — g —1= g —1— bn -2 = g ；1,b 2 - b 1 = g 2 将以上各式叠加， 得 b n - b 1=l|〉1+ g).5 53又 b1=3a1= 3x 6= 2 =1+3, 所以 3 b n = 1 + 扌 +|2+•••+ |n -1+2n即 b n = 2 3 n +1 — 2. 故 a n =爭=3j -23 n .5. a n +1= pa n + an + b(p z 1, p H 0, a ^0)型这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 x(n + 1) + y = p(a n + xn + y)，与已知递推式比较，解出 an + l +x , y,从而转化为｛a n + xn + y ｝是公比为p 的等比数列.［例 5］设数列｛a n ｝满足 a 1 = 4, a n = 3a n - 1+ 2n — 1(n》2)，求 an .［解］设递推公式可以转化为 a n + An+B =3［an -1+A(n — 1)+ B ］,化简后与原递推式比较，得a=2,2B — 3A =— 1,法二：在a n +1 = |a n + 1 n +1两边乘以3n +1，得解得贝U b n = 3b n —i ,又 b i = 6,故 b n = 6 3n 1=2 3n , 代入(*)式，得 a n = 2 3“一 n — 1.6. a “+1 = pa n (p>0, a n >0)型这种类型一般是等式两边取对数后转化为 数列，再利用待定系数法求解.［例6］已知数列｛a n ｝中，a i = 1, a n +1 =1 a ；(a>0)，求数列｛a n ｝的通项公式.a 1 2［解］对a n + 1=匚a n 的两边取对数，a 1得 lg a n +1 = 2lg a n + Ig 一.a1令 b n = l g a n ,贝U b n +1 = 2b n + lga1 f 1、 1由此得 b n + 1+ lg = 2 b n + lg 一，记 C n = g + lg ，贝V C n +1 = 2®,a I a 丿 a 所以数列｛C n ｝是以C 1 =b 1 + lg 2= lg 1为首项，2为公比的等比数列.a a 所以 C n = 2n T lg 1.y a所以 b n = C n — lg 1 = 2n —1 lga — lg 1a a a=lg ［a 0n —1 1= lga 1—2n,即 lg a n = lga 1—2n，所以 a “= a 1—2n.7. a n +1= Ba. + " B ，C 为常数）型对于此类递推数列，可通过两边同时取倒数的方法得出关系 式又 1—1=3, a 1 3a n + 1= pa n + q 型［例7］ 已知数列｛ a n ｝的首项a 1 5， a n +1 = 2a + 1， n = h 2,3,…，求｛a n ｝的通项公式._ 3a n an +1 = 2a n + 1,丄=2+丄 a n +1 3 3a n1 a n +111a n1,21 2 —1 =二• n _ 1 = Tna n 33 3，n38. a n 1 a n - f (n)型类讨论即可解析：；a n 1• a n=2n.即数列Bn ［是奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列,9. On 耳二 f(n)型将原递推关系改写成a n .2 a n 1 = f (n • 1),两式作商可得a n 2 - f (n' ° 然后分奇数、偶数讨论即可例9.已知数列&匚中，印=3,a n彳，a n= 2n ,求"、a n:3 2—, n 为奇数1n , n >1, n* + -22, n 为偶数.32 1是以3为首项，3为公比的等比数列,3 3 •-an=3T2 -由原递推关系改写成 O n .2 - a n 二f (n • 1) - f (n),然后再按奇偶分例8•已知数列玄讪,a i二 1, a nd- a n二 2n.求 a na n 2 a n 1 = 2n 2 ,=2a nn, n 为奇数 n -1, n 为偶数'a nf(n)解析：a n。

利用几类经典的递推关系式求通项公式经典的递推关系式是一种常见的数学问题，其中通项公式是递推关系式的一般解。

在数学中，几类经典的递推关系式包括等差数列、等比数列以及斐波那契数列。

一、等差数列等差数列是一种常见的数列，每一项与前一项之差保持不变。

等差数列的递推关系式如下：an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

利用等差数列的递推关系式可以求得通项公式：an = a1 + (n-1)d二、等比数列等比数列是一种常见的数列，每一项与前一项之比保持不变。

等比数列的递推关系式如下：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。

利用等比数列的递推关系式可以求得通项公式：an = a1 * r^(n-1)三、斐波那契数列斐波那契数列是一种著名的数列，每一项是前两项之和。

斐波那契数列的递推关系式如下：fn = fn-1 + fn-2其中，fn表示第n项，f1和f2分别表示斐波那契数列的前两项。

利用斐波那契数列的递推关系式可以求得通项公式：fn = [(1+sqrt(5))^n - (1-sqrt(5))^n] / (2^n * sqrt(5))其中，sqrt(5)表示5的平方根。

四、其他递推关系式除了等差数列、等比数列和斐波那契数列，还有许多其他经典的递推关系式。

例如，阶乘数列是一种常见的递推关系式，每一项是前一项与当前项之积。

阶乘数列的递推关系式如下：an = an-1 * n其中，an表示第n项，n表示当前项。

利用阶乘数列的递推关系式可以求得通项公式：an = n!其中，n!表示n的阶乘。

总结起来，利用等差数列、等比数列、斐波那契数列以及其他经典递推关系式，可以推导出它们的通项公式。

这些递推关系式和通项公式在数学问题中具有广泛的应用，能够帮助我们快速计算数列中任意项的数值。

六类递推数列通项公式的求解方法一、an-1=an+f(n)型利用叠加法.a2=a1+f(1)，a3=a2+f(2)，…，an=an-1+f(n-1),an=a1+∑n-1k=1f(k)．【例1】数列{an}满足a1=1，an=an-1+1n2-n(n≥2) ，求数列{an}的通项公式．解：由an+1=an+1(n+1)2-(n+1) 得an=a1+∑n-1k=11(k+1)2-(k+1) =1+∑n-1k=1(1k-1k+1)=1+1-1n =2-1n.二、an+1=anf(n)型利用叠代法.a2=a1f(1)，a3=a2f(2)，…，an=an-1f(n-1)．an=a1∏n-1k=1f(k).【例2】数列{an}中a1=2，且an=(1-1n2)an-1 ，求数列{an}的通项．解：因为an+1＝［1-1(n+1)2 ］an，所以an=a1∏n-1k=1f(k)=2∏n-1k=1［1-1(k+1)2 ］=2∏n-1k=1［kk+1 ×k+2k+1 ］=n+1n .三、an+1=pan+q，其中p,q为常数，且p≠1,q≠0当出现an+1=pan+q(n∈n*）型时可利用叠代法求通项公式，即由an+1=pan+q得an=pan-1+q=p(pan-2+q)+q=…=pn-1a1+(pn-2+pn-3+…+p2+p+1)q=a1pn-1+q(pn-1-1）p-1 （p≠1).或者利用待定系数法，构造一个公比为p的等比数列，令an+1+λ=p(an+λ)，则(p-1)λ=q,即λ=qp-1 ，从而｛an+qp+1 ｝是一个公比为p的等比数列．【例3】设数列{an}的首项a1=12 ，an=3-an-12 ，n=2,3,4，…,求数列{an}的通项公式．解：令an+k=-12(an-1+k) ，又∵an=3-an-12=-12an-1+32 ，n=2,3,4,…，∴k=-1，∴an-1=-12(an-1-1) ,又a1=12,∴{an-1} 是首项为-12,公比为-12 的等比数列，即an-1=(a1-1)(-12)n-1 ，即an=(-12)n+1 ．四、an+1=pan+qan-1(n≥2)，p,q为常数可用下面的定理求解：令α,β为相应的二次方程x2-px-q=0的两根(此方程又称为特征方程)，则当α≠β时，an=aαn+bβn；当α=β时，an=(a+bn)αn-1，其中a、b分别由初始条件a1、a2所得的方程组aα+bβ=a1，aα2+bβ2=a2和 a+b=a1，(a+2b)α=a2唯一确定．【例4】数列{an}，{bn}满足：an+1=-an-2bn①,bn+1=6an+6bn ②,且a1=2，b1=4，求an，bn．解：由②得an=16bn+1-bn,∴an+1=16bn+2-bn+1 ，代入①到式中，有bn+2=5bn+1-6bn，由特征方程可得bn=-12×2n+283×3n ，代入②式中，可得an=8×2n-143×3n ．五、an+1＝pan+f(n)型，这里p为常数，且p≠1【例5】在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n ∈n*),其中λ＞0，求数列{an}的通项公式．解：由 a1=2，an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈n*)，λ＞0,可得，an+1λn+1-(2λ )n+1=anλn -(2λ )n+1,所以{anλn-(2λ)n}为等差数列，其公差为1，首项为0．故anλn-(2λ )n=n-1，所以数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n．六、an+1=makn(m＞0,k∈q,k≠0,k≠1)一般地，若正项数列{an}中，a1=a,an+1=makn(m＞0,k∈q,k≠0,k≠1)，则有lgan+1=klgan+lgm，令lgan+1+a=k(lgan+a)(a为常数)，则有a=1k-1lgm．数列{lgan+1k-1lgm }为等比数列，于是lgan+1k-1lgm=(lga+1k-1lgm)kn-1 ，从而可得an=akn-1?mkn-1-1k-1 ．【例6】已知各项都是正数的数列{an}满足a1=32，an+1=12an(4-an) ，求数列{an}的通项公式．解：由已知得an+1=-12(an-2)2,令2-an=bn，则有b1=12,bn+1=12b2n ．∵an＞0,∴0＜an+1＜2,又0＜a1＜2，∴0＜an＜2，从而bn＞0．取对数得lgbn+1=2lgbn-lg2，即lgbn+1-lg2=2(lgbn-lg2)．∴{lgbn-lg2}是首项为-2lg2，公比为2的等比数列，∴lgbn-lg2=-2nlg2,∴bn=21-2n,∴an=2-21-2n．(责任编辑金铃）。

求数列通项公式的八种方法总述：一．利用递推关系式求数列通项的8种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、二.等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三.求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法1．适用于：----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。

2．若，则两边分别相加得例1已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由得则所以数列的通项公式为。

例2已知数列满足，求数列的通项公式。

解法一：由得则所以解法二：两边除以，得，则，故因此，则评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

例3.已知数列中,且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,,则二、累乘法1.适用于：----------这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。

2．若，则两边分别相乘得，∏=+=nk n k f a a 111)(例4已知数列满足，求数列的通项公式。

解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为例5.设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.解：已知等式可化为：()(n+1),即时，==.评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.三、待定系数法适用于基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

由递推公式求通项公式的常见类型一、累差型例1 在数列{a n }中，a 1=1,a n+1=a n +2n , 求数列{a n }的通项公式。

解：当n ≥2时，由得a n+1-a n =2n ,得a n =(a n -a n-1)+( a n-1-a n-2)+…+(a 3-a 2)+(a 2-a 1)+a 1=2n-1+2n-2+…+22+2+1=2(1-2n-1)1-2 +1=2n -1当n=1时, a 1=1也合上式所以a n =2n -1（n ∈N*）二、累商型例2 在数列{a n }中，a 1=4, a n+1=n+2n an, 求数列{a n }的通项公式。

解：由a n+1=n+2n a n 得a n+1a n =n+2n ,于是有 a 2a 1 =3, a 3a 2 =42 ,a 4a 3 =53 ,…, 122n n a n a n--+=, a n a n-1 =n+1n-1 ,将这个式子相乘，得1(1)2n a n n a +=，所以当n ≥2时，a n = n(n+1)2 a 1=2n(n+1) .当n=1时，a 1=4符合上式，所以a n =2n(n+1) （n ∈N*）三、倒数型例3 已知数列{a n }满足a n+1=112n n n n a a a +++，a 1=2, 求数列{a n }的通项公式。

解：由已知递推式可得1a n+1 =11121122n n n n n n a a a ++++=+ ∴ 11n a +-1n a =112n + ∴2211112a a -=,3321112a a -=,4431112a a -=,…，11112n n n a a --= 将以上n-1个式子相加，得23411111112222n n a a -=++++∴1n a =11(1)12211212n n -=-- ∴a n =221n n -（n ∈N*）例4 已知数列{a n }满足a n+1=22nn aa +，a 2012=12012 求数列{an }的通项公式。

21世纪，信息技术在各行各业都在运用，它已和人们的学习生活息息相关，掌握不好信息知识和信息技能，就难以高效地工作和生活。

初中信息技术的开设，引导着我们每个教学者探究如何采取适当的教学方法激发学生主动学习，提高信息技术的教学质量、提升学生素质。

一、编好导学案，培养学生独立探究的品质什么样的导学案才叫好的导学案？一要能激发学习动机，在学案中创设特定的情境和启发性的问题，引导学生积极思考和主动探索，能和实践紧密结合。

二要针对不同类型的信息课，设计不同的形式的导学案，新授课的导学案要着重关注学生的最近发展区，问题设计情境化，有启发性和探究性。

习题课的导学案应着重帮助学生总结解答典型问题的基本方法和基本思路，复习课导学应帮助学生梳理知识体系。

设计导学时要充分考虑学生在学习过程中可能会遇到的问题和困难，考虑怎样去帮助学生克服困难，导学思考题，要求将学习目标问题化、情境化。

能力训练题，每个知识点学完后，要给予适当的题目进行训练，但题目应少而精，要有利于学生巩固基础知识，突出易混淆的和需注意的知识点；能力提高题，主要是针对掌握程度好的学生设计的，这部分题目的设置可以多链接学生的疑点。

学生对每一项应该完成的任务都必须掌握和理解，才开始学习新的任务，这样才能保证收到效果。

比如，初中“网络课件构件设计”导学案设计。

①学习对象设计包括中哪五个环节？（内容结构设计、内容呈现设计、SCOS 设计、内容编序设计和元数据设计）。

②每个设计的方案是什么？(如：内容呈现设计，在画面中应该尽量删除无用的背景和多余的细节。

元数据设计，SCORM 中的元数据包括Assets 元数据、SCOS 元数据、学习活动元数据、内容组织元数据和内容聚合元数据。

元数据设计时可参照SCORM。

定义的九大类元数据元素及其应用情况，其中“M”为必选项，“O”为可选项，“NP”为不选项。

)导学案为提高课堂效益架设了一座快捷的桥梁，导学让学生在课前有一定的时间构思，在课堂上学生参与、学生创新潜质更易发挥。

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由递推公式求通项公式的几种方法
作者：李佳
来源：《新课程·教师》2011年第02期
摘要：数列是高中代数中相当重要的一部分内容，不仅在高考中占有很大的比例，而且
在有关数学竞赛中也频频露面。

其中根据数列的递推关系，求数列的通项公式是广大同学学习的一个难点。

为了帮助大家突破这一难点，在这里特对常见递推数列求通项的类型及方法作一归纳和介绍。

关键词：递推公式；通项公式
一、累加法
若数列{an}满足an+1=an+f（n）的递推式，其中f（n）又是等差数列或等比数列，则可
用累加法求通项。

累加恒等式：an=（an-an-1）（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
二、累积法。

递推式求数列通项公式常见类型及解法递推数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列给 予解决，由于递推数列的多变性，这里介绍总结一些常见类型及解法。

一、公式法（涉及前n 项的和） 已知)(n f s n =⎩⎨⎧≥----=-----=⇒-)2()1(11n S S n S a n n n 注意：已知数列的前n 项和，求通项公式时常常会出现忘记讨论1=n 的情形而致错。

例1.已知数列}a {n 前n 项和1322-+=n n S n ，求数列}a {n 的通项公式。

解：当n=1时，411==s a ，当2≥n 时，14]1)1(3)1(2[)132(221+=--+---+=-=-n n n n n s s a n n n ，15114a ≠=+⨯⎩⎨⎧≥+==∴)2(,14)1(,4n n n a n练习：已知数列}a {n 前n 项和12+=n n S ，求数列}a {n 的通项公式。

答案：⎩⎨⎧≥==-)2(,2)1(,31n n a n n 二、作商法（涉及前n 项的积）已知)(......321n f a a a a n =⨯⨯⨯⎪⎩⎪⎨⎧≥----=----=⇒)2()1()()1().1(n n f n f n f a n例2.已知数列}a {n 中的值试求时53232,2,11a a n a a a n a n +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥=。

解：当2≥n 时，由2321n a a a a n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，可得21321)1(-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-n a a a a n则22)1(-=n na n16614523222253=+=+∴a a三、累加法（涉及相邻两项的差）已知)(1n f a a n n =-+112211)......()()(a a a a a a a a n n n n n +-+-+-=⇒--- 例3.已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

求数列通项公式的十一种方法(方法全，例子全，归纳细)总述：一．利用递推关系式求数列通项的11 种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法) 、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法(目的是去递推关系式中出现的根号) 、数学归纳法、不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式) 、特征根法二。

四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。

等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

、累加法1．适用于：a n 1 a n f (n) ------------------ 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。

2．若a n 1 a n f (n) (n 2) ，a2 a1 f (1)a3 a2 f (2) LLa n 1 a n f ( n)n两边分别相加得a n 1 a1 f (n )k1例1已知数列｛a n ｝满足a n 1a n 2n 1, a i 1，求数列｛a n ｝的通项公式。

解：由 a n 1 a n 2n 1 得 a n 1 a n 2n 1 则a n (a n a n 1) (a n 1 a n 2) L @3a 2) (a 2 aja 1 [2( n 1) 1] [2( n 2) 1]L (2 21) (2 11) 12[(n 1) (n 2) L 2 1] (n 1) 1 (n 1)n 2 (n 1) 12(n 1)( n 1) 1 2n2所以数列｛a n ｝的通项公式为a n n 。

例2已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2 3n 1，印3，求数列 佝｝的通项公式。

解法一：由a n 1 a n n 2 31 得 a n 1a n n2 31则a n (a * an 1)(a n 1 a n 2) L(a 3 a 2) (a 2 a 1) a 1n (2 3 1 1) (2 3n 21)L (2 32 31 1) (2 31) 312(33n2L 32 ；31)(n 1)3「(1 3n1)2(n 1) 31 3n3 3 n 133 n1所以a n 3n n 1.解法二：时3an 2 3 1两边除以3n1，得鄴J 3 3a n 2 n3 32132)3 32 3a3na n 3a n 1)a n 1(an 1a n 1a n 2) (a n 2(尹z a2 q 色(3231)33n )1)12门22(n 1)313n 3n13n2Lan 13n22答案：n数、分式函数，求通项 an .① 若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 ② 若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和 ； ③ 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 ④ 若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。