几类含双实参数的二阶非齐次微分方程解的探讨

第30卷 第6期新乡学院学报（自然科学版） 2013年12月 V ol. 30 No. 6 Journal of Xinxiang University(Natural Science Edition) Dec. 2013收稿日期：2013-08-06 修回日期：2013-10-16作者简介：王伟(1983-)，女，江苏高邮人. 硕士，研究方向：高等数学教育研究. E-mail: wangw@.几类二阶变系数非齐次线性微分方程的通解王 伟（扬州工业职业技术学院 文理系，江苏 扬州 225127）摘 要：在假设二阶变系数非齐次线性微分方程两个变系数关系已知的前提下，利用降阶法推出几类二阶变系数齐次线性微分方程的通解表达式. 关键词：变系数；通解；二阶线性变系数微分方程中图分类号：O175 文献标志码：A 文章编号：1674–3326(2013)06–0408–03 General Solution of Some Classes of Second Order LinearDifferential Equations with Variable CoefficientWANG Wei(Department of Arts and Science, Yangzhou Polytechnic Institute, Yangzhou 225127, China)Abstract: Assume that the relation of two variable coefficients is known of second order linear differentialequations with variable coefficient, a general solution is given by use of the reduced-order method.Key words: variable coefficient; general solution; second order linear differential equations with variablecoefficient0 引言变系数线性微分方程的求解一直是微分方程研究方面的热点话题. 近年来，关于变系数二阶线性微分方程通解问题的研究，得到了一些成果. 笔者[1]利用二阶变系数齐次线性微分方程的一个特解*y ，讨论二阶变系数齐次线性微分方程，得到形如()d **212[()e d ]p x x y y c y x c --ò=+ò的通解公式，同时，利用常数变易法得到二阶变系数非齐次方程的通解．梁洪亮和徐华伟[2]给出了一类二阶变系数常微分方程()y pu x y ¢¢¢++2[()()]()qu x ru x y f x ¢-=可积的充分条件及其通解. 张菁[3]根据一类二阶常系数非齐次线性微分方程1212()(,)y py qy f x p q l l l l ¢¢¢++==+=系数的特点，利用降阶法给出了此类方程的通解公式112()e [e x x y l l l --=ò 212(()e d )d ]x f x x c x c l ++ò．在文献[1]基础上，笔者结合文献[1]中几个推论的充分必要条件，利用变量代换，对方程作降阶处理，将方程转化为一阶非齐次线性微分方程后再求通解．定义二阶变系数非齐次线性微分方程为()()()y p x y q x y f x ¢¢¢++=， (1)其中()p x 、()q x 、()f x 都是x 的连续函数．1 主要定理及证明定理1：设二阶变系数非齐次线性微分方程(1)满足()()q x p x ¢=，则方程(1)通解为()d e [(()d p x x y f x x -ò=òò ()d 12)e d ]p x x c x c ò++．证明：利用已知的条件，方程(1)变为()()()y p x y p x y f x ¢¢¢¢++=，即有(())()y p x y f x ¢¢+=. 令网络出版时间：2014-01-23 15:09网络出版地址：/kcms/detail/41.1398.C.20140123.1509.004.html王 伟：几类二阶变系数非齐次线性微分方程的通解 ·409·()z y p x y ¢=+，则方程(())()y p x y f x ¢¢+=变为()z f x ¢=，从而有1()d z f x x c =+ò，即得到一阶非齐次线性微分方程()y p x y ¢+1()d f x x c =+ò．于是，方程(1)的通解为()d ()d 12e [(()d )e d ]p x x p x x y f x x c x c -òò=++òò，其中：1c 、2c 为常数，()d f x x ò、()d p x x ò分别表示一个确定的原函数.定理2：设二阶变系数非齐次线性微分方程(1)满足2()()0m mp x q x ++=(m 为常数)，则方程(1)的通解为()d 2(()d 12e {e [()e d ]d }p x x mx p x x mx mx y f x x c x c --+òò=++òò． 证明：由已知，方程(1)变为2()(())()y p x y m mp x y f x ¢¢¢+-+=，则有()(())()y my p x m y my ¢¢¢¢-++- ()f x =．令z y my ¢=-，则方程()(())()y my p x m y my ¢¢¢¢-++-变为(())()z p x m z f x ¢++=. (2)方程(2)为一阶非齐次线性微分方程，其通解为(())d (())d 1e [()e d ]p x m x p x m x z f x x c -++òò=+ò．又由一阶非齐次线性微分方程的通解公式[4-5]，可知y my z ¢-=的通解为d d 2e [e d ]m x m x y z x c -òò=+ò，通过整理，可得()d 2e [p x x mx mx y e --ò=ò()d 12(()e )d ]p x x mx f x dx c x c +ò++ò，即为方程(1)的通解，其中1c 、2c 为常数，“”ò表示一个确定的原函数．结合二阶常系数非齐次线性微分方程()y py qy f x ¢¢¢++=系数的特点12p l l =+和12q l l =，对二阶变系数非齐次线性微分方程做类似的条件限制12()()()p x x x l l =+，12()()()q x x x l l =，发现当函数1()x l 和2()x l 满足21212(()())()()0r r x x x x l l l l -++=时(其中r 为常数)，可借助定理2求出通解．推论1：设二阶变系数非齐次线性微分方程(1)满足12()()()p x x x l l =+和12()()()q x x x l l =，且存在常数r ，使得21212(()())()()0r r x x x x l l l l -++=，则方程(1)通解为1212(()())d 2(()())d e [e (()e d x x x rx x x x rx rx y f x x l l l l -+++--òò=òò12)d ]c x c ++．为简化推论1的条件，对变系数()q x 作简单变换，可得下面结论．定理3：设二阶变系数非齐次线性微分方程(1)满足12()()()p x x x l l =+，1121()()()()q x x x x l l l ¢=+，则方程(1)通解为1122()d (()())d ()d 12e [e (()e d )d ]x x x x x x x y f x x c x c l l l l --òòò=++òò．证明：依题意，方程(1)变为12121(()())(()()())()y x x y x x x y f x l l l l l ¢¢¢¢++++=，则有1(())y x y l ¢¢++ 21()(())()x y x y f x l l ¢+=．令1()z y x y l ¢=+，则方程变为2()()z x z f x l ¢+=. (3)方程(3)为一阶非齐次线性微分方程，其通解为22()d ()d 1e [()e ]x x x x z f x dx c l l -òò=+ò．又由一阶非齐次线性微分方程的通解公式，知1()y x y z l ¢+=的通解为11()d ()d 2e [e d ]x x x x y z x c l l -òò=+ò，整理可得112()d ()()d e [e x x x x x y l l l --òò=ò 2()d 12(()e d )d ]x x f x x c x c l ò++ò，即为方程(1)的通解，其中1c 、2c 为常数，“”ò表示一个确定的原函数．当12()()()x x x l l l ==时，由定理3可得下面结论．推论2：设二阶变系数非齐次线性微分方程(1)满足12()()()p x x x l l =+，2()()()q x x x l l ¢=+，则方程(1)通解为()d ()d 12e [(()e d )d ]x x x x y f x x c x c l l -òò=++òò． 当12()()()x x x l l l =-=时，由定理3可得下面结论．推论3： 设二阶变系数非齐次线性微分方程(1)满足()0p x =，2()()()q x x x l l ¢=-+，则方程(1)通解为()d 2()d ()d 12e [e (()e d )d ]x x x x x x y f x x c x c l l l --òòò=++òò．当1()x a l =(a 为常数)，2()()x x l l =时，由定理3可得下面结论．推论4：设二阶变系数非齐次线性微分方程(1)满足()()p x a x l =+，()()q x a x l =(其中a 为常数)，则方程(1)通解为()d ()d 12e [e (()e d )d ]ax x x x x ax y f x x c x c l l --òò=++òò．参考文献：[1] 王伟.二阶变系数线性微分方程的通解[J].新乡学院学报：自然科学版，2011，28(4)：301-302.[2] 梁洪亮，徐华伟.一类二阶变系数常微分方程的初等解法[J].数学的实践与认识，2009，39(20)：213-216.新乡学院学报（自然科学版）·410· [3] 张菁.一类二阶常系数非齐次线性微分方程通解的求解方法[J].高等数学研究，2008，11(3)：24-26.[4] 王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2002：33-35.[5] 同济大学数学教研室.高等数学：下册[M].北京：高等教育出版社，1996：228-235.【责任编辑 王云鹏】（上接第403页）[5] GAO Y B, SHAO Y L. New Classes of Spectrally Arbitrary Ray Patterns[J]. Linear Algebra and its Appications, 2011,434: 2140-2148.[6] BERGSMA H, KEVIN N, VANDER M, et al. Potentially Nilpotent Patterns and the Nilpotent-Jacobian Method[J]. LinearAlgebra and its Applications, 2012, 436: 4433-4445. [7] MCDONALD J J, YIELDING A A. Complex Spectrally Arbitrary Zero-nonzero Patterns[J]. Linear and MultilinearAlgebra, 2012, 60: 11-26.[8] BODINE E J, MCDONALD J J. Spectrally Arbitrary Patterns Over Finite Fields[J]. Linear and Multilinear Algebra, 2012,60: 285-299.[9] ZHANG L, HUANG T Z, LI Z S, et al. Several Spectrally Arbitrary Ray Patterns[J]. Linear and Multilinear Algebra, 2013,61: 543-564.【责任编辑 王云鹏】（上接第407页）1T T T T 1121T T 223*m m m m -++éù£+êúëûPDD P E E 0P P K E E K K E E K ， (18) 同1<0P 处理方法一样，左右两边同乘11diag{,}--P P ，则闭环系统是指数渐近稳定的. 由Schur 补引理[6]可知(18)等价于式(13)，即有结论成立.参考文献：[1] 栾小丽，刘飞.非线性不确定性时滞系统观测器型鲁棒无源控制[J].系统工程与电子技术，2008，30(9)：1755-1758.[2] CHOI H H, CHUNG M J. Memoryless Stabilization of Uncertain Dynamic Systems with Time-varying Delayed State andControl[J]. Automatic, 1995, 31: 1349-1351.[3] 郑连伟，刘晓平，黄公胜.一类不确定线性时滞系统输出反馈鲁棒控制[J].控制与决策，2001，16(4)：439-442.[4] CHEN C W. CHIANG W I, YEH K, et al. A Stability Criterion of Time-delay Fuzzy Systems[J]. Journal of MarineScience and Technology, 2002, 10(1): 33-35.[5] 段振辉，刘玉堂.一类扰动和输入滞后系统的鲁棒控制[J].河南机电高等专科学校学报，2010，18(4)：14-15.[6] 俞立.鲁棒控制[M].北京：清华大学出版社，2002：8-88.【责任编辑 王云鹏】。

二阶非齐次线性微分方程的解法研究引言数学分析中所研究的函数，就是指自变量与因变量之间的一种关系。

但在实际问题中，往往很难找到自变量与因变量之间的直接联系（即函数关系），反而比较容易从其变化过程中求出自变量，因变量及它们的导数或微分的关系式。

这种联系着自变量、未知函数及它们的导数或微分的关系式，称之为微分方程。

微分方程特别是线性微分方程在实际问题中有着广泛的应用。

本文除简洁介绍n阶线性微分方程的主要基本理论外，着重对二阶常系数线性微分方程的解法进行研究。

1 线性微分方程的基本理论与初等解法1.1 基本理论«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»（1.1）«Skip Record If...»（1.2）方程（1.1）称为n阶非齐次线性微分方程，方程（1.2）称为n阶齐次线性微分方程。

下面给出方程（1.1）和（1.2）的解的性质和结构。

定理1（齐线性方程解的叠加原理）如果«Skip Record If...»是方程（1.2）的n个解，则它们的线性组合«Skip Record If...»也是方程（1.2）的解。

其中«Skip Record If...»是任意的常数。

定理2（（1.2）的通解结构定理）如果«Skip Record If...»是方程（1.2）的n个线性无关的解，则方程（1.2）的通解可表示为：«Skip Record If...»（1.3）其中«Skip Record If...»是任意的常数，且（1.3）包括了方程（1.2）的所有解。

定理3（非齐线性方程解的叠加原理）如果«Skip Record If...»是方程«Skip Record If...»的解，而«Skip Record If...»是方程«Skip Record If...»的解，则«Skip Record If...»也是方程«Skip Record If...»的解。

二阶非齐次微分方程组的特解理论说明1. 引言1.1 概述二阶非齐次微分方程组是微分方程理论中的重要课题之一。

它在科学与工程领域中具有广泛的应用，并且对于解决实际问题具有重要的意义。

本文将介绍二阶非齐次微分方程组特解的理论说明以及其在物理学、工程学和经济学等领域中的应用。

1.2 文章结构本文主要包含五个部分，即引言、二阶非齐次微分方程组的特解理论、特解的应用领域和意义、数值方法与计算机模拟研究以及结论与展望。

首先在引言部分介绍了文章的背景和目的。

接下来，我们将详细探讨二阶非齐次微分方程组特解的理论，并介绍其存在性定理以及求解方法。

然后，我们将进一步探讨特解在物理学、工程学和经济学等领域中的应用。

随后，我们将介绍数值方法与计算机模拟研究，在该部分中会详细介绍Euler法及其改进方法以及Runge-Kutta法及其变体，并对计算机模拟与实验比较研究结果进行分析。

最后，在结论与展望部分，我们将总结归纳研究成果，并指出存在的问题和未来研究方向。

1.3 目的本文旨在通过对二阶非齐次微分方程组特解理论的详细阐述，以及特解在不同应用领域中的意义和实际应用案例的介绍，给读者提供一个全面了解该领域的机会。

此外，我们介绍了数值方法与计算机模拟研究，以便读者能够了解如何利用现代计算工具来求解和模拟这些复杂方程组。

通过本文的阅读，读者将对二阶非齐次微分方程组特解的理论有更深入的理解，并能够将其应用于实际问题中。

2. 二阶非齐次微分方程组的特解理论：2.1 基本概念和定义：在研究微分方程组时，我们首先要了解二阶非齐次微分方程组的基本概念和定义。

二阶非齐次微分方程组是指含有二阶导数项以及非零常数项的微分方程组。

一般来说，这种微分方程组可以表示为：d²x/dt²= f(t) + g(t)其中，x是待求函数，t是自变量，f(t)代表非零常数项，g(t)则表示与x相关的函数。

2.2 解的存在性定理：解的存在性定理是研究二阶非齐次微分方程组中特解存在与否的重要定理。

二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在数学领域，微分方程一直是研究的重点。

特别是在物理、化学、生物等领域，微分方程的研究具有重要的实际意义。

本文将重点探讨二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及实例分析。

我们来了解一下二阶常系数非齐次线性微分方程的基本概念。

二阶常系数非齐次线性微分方程是指形如：y'' + p(x)y' + q(x)y = 0的方程，其中p(x)和q(x)是关于x的二阶常系数函数。

这类方程的解法通常有三种：分离变量法、特征线法和参数变换法。

下面我们分别介绍这三种方法。

一、分离变量法分离变量法是一种基本的解二阶常系数非齐次线性微分方程的方法。

它的思想是将方程中的齐次项和非齐次项分开处理。

具体步骤如下：1. 将方程变形为：dy/dx = y[p(x) q(x)]/(y'' + p(x))2. 将两边同时积分，得到：ln|y(x)| = ∫[p(x) q(x)]dt + C13. 根据需要，可以求出原方程的通解或特解。

这种方法的优点是简单易行，但缺点是可能存在多个解，且求解过程较为繁琐。

二、特征线法特征线法是一种直观的解二阶常系数非齐次线性微分方程的方法。

它的思想是通过绘制方程的特征线，找到特征线的交点，从而求得方程的解。

具体步骤如下：1. 根据方程的特点，选择合适的参数值，使得方程具有特征线。

例如，当p(x) = 1时，特征线为直线y = ±x。

2. 通过绘制特征线，找到交点，进而求得方程的解。

需要注意的是，特征线的交点可能有多个，因此需要根据实际情况进行判断。

这种方法的优点是直观易懂，但缺点是对于复杂的二阶常系数非齐次线性微分方程，可能难以找到合适的参数值，导致无法绘制出特征线。

三、参数变换法参数变换法是一种将非线性微分方程转化为线性微分方程的方法。

它的思想是通过对原方程进行一系列的参数变换，将非线性问题转化为线性问题。

具体步骤如下：1. 选择一个合适的参数t,将原方程变形为：y'' + p(t)y' + q(t)y = c(t)e^(at)2. 对上式进行积分，得到：dy/dx = y[p(t) q(t)]/(y'' + p(t)) + c'(t)e^(at)3. 将两边同时积分，得到：ln|y(x)| = ∫[p(t) q(t)]dt + ∫c'(t)e^(at)dt + C14. 根据需要，可以求出原方程的通解或特解。

二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题大家好，今天我们来聊聊二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及一些有趣的例子。

让我们来了解一下什么是二阶常系数非齐次线性微分方程。

二阶常系数非齐次线性微分方程是指形如这样的方程：∂y/∂t = a*∂^2y/∂x^2 + b*∂y/∂x + c*y,其中a、b、c是常数，t和x是变量。

这个方程看起来有点复杂，但是我们可以通过一些技巧来求解它。

我们可以将这个方程变形为：y(t) y(0) = c*t*(at^2 + bt),然后令y(0) = 1,得到一个关于t的二次方程。

接下来，我们可以使用二次公式来求解这个方程。

我们将得到的y(t)与初始条件y(0)结合，就可以得到整个方程的解了。

下面我们来看一个具体的例子。

假设我们有一个函数y(t) = e^(-t)^2,我们需要求解它的二阶常系数非齐次线性微分方程。

我们将e^(-t)^2代入y(t) = c*t*(at^2 + bt),得到e^(-t)^2 1 = c*t*(at^2 + bt)。

然后，我们令y(0) = 1,得到e^(-0)^2 1 = c*0*(at^2 + bt)。

这意味着1 = c。

所以，我们可以将方程改写为：e^(-t)^2 1 = -t*(at^2 + bt)。

接下来，我们使用二次公式求解这个方程。

我们将得到的y(t)与初始条件y(0)结合，就可以得到整个方程的解了。

除了上面的例子之外，还有很多其他有趣的问题可以供我们探讨。

例如，我们可以考虑一个简单的问题：如果一个物体在匀加速运动，那么它的加速度是多少？这个问题可以用二阶常系数非齐次线性微分方程来表示。

通过求解这个方程，我们可以得到物体的加速度与时间的关系。

这样一来，我们就可以根据实际情况来计算物体的加速度了。

二阶常系数非齐次线性微分方程虽然看起来有点复杂，但是只要掌握了一些基本方法和技巧，就可以轻松地解决各种问题。

希望大家在学习的过程中能够保持好奇心和探索精神，不断地发现新的问题和答案。

二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题大家好，今天我们来聊聊二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及一些例题。

我们要明确什么是二阶常系数非齐次线性微分方程。

简单来说，就是一个未知函数y关于自变量x的非线性微分方程，形式如下：dy/dt = a * y^2 + b * x * dy/dx + c * x^2其中a、b、c是已知的常数，t表示时间，x和y分别表示自变量和因变量。

接下来，我们来探讨一下如何求解这个方程。

我们需要将这个方程转化为一个标准的线性微分方程。

为了做到这一点，我们需要引入两个辅助函数：P(t, y)和Q(t, y)。

P(t, y)是一个一阶线性微分方程，表示y关于t的导数；Q(t, y)是一个二阶线性微分方程，表示y关于y的导数。

我们有：dy/dt = P(t, y)dP(t, y)/dt = Q(t, y)将这两个方程联立起来，我们可以得到一个关于y的齐次线性微分方程：dy/dt = (P(t, y) a * y^2 / b) * dt + (c * x^2 * Q(t, y)) / b这是一个标准的线性微分方程，可以使用常系数线性初值问题的方法来求解。

具体来说，我们可以将y表示为一个积分形式：y = Y(t) = int[a * y^2 / b * dt + c * x^2 * Q(t, y)] + C1(t)其中C1(t)是y的一个初始条件。

接下来，我们可以通过求解这个积分方程来得到y 的通解。

我们需要将通解代入原方程中，解出x的表达式。

下面我们来看一个具体的例题。

假设我们要求解以下二阶常系数非齐次线性微分方程：dy/dt = 2 * exp(-t) * y^2 + 3 * x * dy/dx + x^2我们首先引入两个辅助函数P(t, y)和Q(t, y):P(t, y) = dy/dt = 2 * exp(-t) * y^2 + 3 * x * dy/dxQ(t, y) = dP(t, y)/dt = 6 * x * dy/dx + 2 * exp(-t) * dx然后我们将这两个方程联立起来，得到一个关于y的齐次线性微分方程：dy/dt = (P(t, y) a * y^2 / b) * dt + (c * x^2 * Q(t, y)) / b将已知的参数代入这个方程，我们可以得到：dy/dt = (2 * exp(-t) * y^2 + 3 * x * dy/dx 2 * exp(-t) * x^2 / b) * dt + (c * x^2 * Q(t, y)) / b整理得：dy/dt = [exp(-t)(by^2 + cxy^2) cxy] dt + [by^3 + cxy^3] dt + C1(t)现在我们可以将y表示为一个积分形式：y = Y(t) = int[exp(-t)(by^2 + cxy^2) cxy] dt + int[by^3 + cxy^3] dt + C1(t)通过求解这个积分方程，我们可以得到y的通解。

二阶非齐次微分方程的解二阶非齐次微分方程是数学中比较经典也是比较难掌握的一种类型，许多数学领域都需要对其进行深入的研究和解决。

如果能够掌握这种类型的微分方程的解法，不仅有利于学术研究，也能够在实际应用中发挥重要作用。

接下来，我们将就二阶非齐次微分方程的解进行一步步解析。

首先，我们需要了解什么是二阶非齐次微分方程。

简单地说，就是二阶微分方程中等号右侧有非零的常数项。

通常情况下，它的形式为：y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x)其中，f(x)表示非零的常数项，p(x)和q(x)则是函数。

为了解这个方程，我们需要分步进行操作。

第一步，我们需要求解它的齐次方程。

对于上面的方程，我们可以将其化为：y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0这是一个齐次方程，我们可以根据方法，求得其特征方程：m^2 + p(x)m + q(x) = 0解特征方程得到方程的两个根m1和m2，那么齐次方程的通解就是：y1(x) = C1e^(m1x) 和 y2(x) = C2e^(m2x)这里的C1和C2则是任意常数。

第二步，我们需要求解非齐次方程。

对于非齐次方程，我们可以采用“待定系数法”求解，即假设其特解为：y(x) = u(x)v(x)其中u(x)和v(x)均为函数。

将其带入到原方程后，我们得到：u''(x)v(x) + 2u'(x)v(x)' + u(x)v''(x) + p(x)u'(x)v(x) + p(x)u(x)v'(x) + q(x)u(x)v(x) = f(x)我们可以看到，这个方程中含有三个变量u(x)，v(x)和f(x)，而且同一阶的参数有重复。

因此，我们需要仔细观察方程，从中获取一些关键信息。

观察上式中等式两侧的关系，我们可以发现f(x)始终是一个已知的常数项，方程中不含有y(x)。

引言数学分析中所研究的函数，就是指自变量与因变量之间的一种关系。

但在实际问题中，往往很难找到自变量与因变量之间的直接联系（即函数关系），反而比较容易从其变化过程中求出自变量，因变量及它们的导数或微分的关系式。

这种联系着自变量、未知函数及它们的导数或微分的关系式，称之为微分方程。

微分方程特别是线性微分方程在实际问题中有着广泛的应用。

本文除简洁介绍n 阶线性微分方程的主要基本理论外，着重对二阶常系数线性微分方程的解法进行研究。

1 线性微分方程的基本理论与初等解法1.1 基本理论]1[]2[()()()()t f x t a dt dxt a dt x d t a dt x d n n n n n x =++++---1111 （1.1） ()()()01111=++++---x t a dt dxt a dtx d t a dt x d n n n n n x （1.2） 方程（1.1）称为n 阶非齐次线性微分方程，方程（1.2）称为n 阶齐次线性微分方程。

下面给出方程（1.1）和（1.2）的解的性质和结构。

定理1（齐线性方程解的叠加原理） 如果()()()t x t x t x n ,,,21 是方程（1.2）的n 个解，则它们的线性组合()()()t x c t x c t x c n n +++ 2211也是方程（1.2）的解。

其中n c c c ,,,21 是任意的常数。

定理2（（1.2）的通解结构定理） 如果()()()t x t x t x n ,,,21 是方程（1.2）的n 个线性无关的解，则方程（1.2）的通解可表示为：()()()t x c t x c t x c x n n +++= 2211 （1.3）其中n c c c ,,,21 是任意的常数，且（1.3）包括了方程（1.2）的所有解。

定理3（非齐线性方程解的叠加原理）如果()t x 是方程[]()t f x L 1=的解，而()t x 是方程[]()t f x L 2=的解，则()()t x t x +也是方程[]()()t f t f x L 21+=的解。

二阶微分方程非齐次特解好吧，今天咱们聊聊二阶微分方程的非齐次特解。

这听起来是不是有点高大上？别担心，咱们就把它聊得轻松点。

二阶微分方程嘛，就像是在说一些关于“变化”的事儿，特别是当你面对的那些方程不是特别简单的时候。

咱们经常会看到的，比如运动学中的物体运动，或者是电路中的电流变化。

那非齐次这俩字呢，其实就是告诉咱们，这个方程里还夹杂了点“外来因素”。

就像你在聚会上遇到的那些突如其来的朋友，瞬间让气氛热闹起来。

想象一下，咱们有个二阶微分方程，像个忠实的老朋友，乖乖地待在这儿等着你来解决。

可突然冒出来个“非齐次”部分，嘿，这可真是让人猝不及防。

你得想办法把这位“外来者”处理掉。

就像你家聚会，来了个不速之客，你得想想怎么把他引导出去，或者让他乖乖坐在一旁，别打扰主角。

咱们的目标就是找到一个“特解”，让这个非齐次部分听话，让整个方程恢复平静。

如何找到这个特解呢？有几种办法，大家常用的方法之一叫做“待定系数法”。

听起来是不是有点儿神秘？其实很简单，就像你在厨房里做饭，你得先想好材料，再决定加多少盐。

先观察一下非齐次部分的形式，看看它是什么类型的。

如果是个多项式，咱们就试着用个同样形式的多项式来解。

就好比你在家做蛋糕，看到面粉、糖、鸡蛋这些材料，心里就有了谱。

你可以设一个待定系数，跟着这个多项式的形式，慢慢调试，最后把它做出来。

如果非齐次部分是个三角函数，比如正弦或余弦，那就得用它们的形式来找特解。

就像在唱歌的时候，唱得特别高亢或者特别低沉，你得调整一下你的音调，才能和伴奏配合得天衣无缝。

还有那种指数函数，嘿，别怕，这些都在咱们的能力范围之内。

灵活变通，找到合适的特解，就像在不同场合换不同的衣服，能让你看起来更合适。

可能还会遇到那种特别复杂的情况，咱们的“非齐次”部分一上来就是个组合，像是一锅大杂烩。

这个时候，你就得一边考虑各种情况，一边耐心去试。

就像做一桌丰盛的菜肴，先把肉和蔬菜分开，先处理简单的，再一步一步组合起来。

二阶常系数非齐次线性微分方程求解教学探讨①朱长青（湖北工业大学工程技术学院，湖北武汉430068）［摘要］从二阶常系数非齐次线性微分方程的求解案例出发，通过所处的不同角度，给出四种不同的解法，并对四种方法的优缺点进行分析，以此对高数二阶常系数非齐次线性微分方程的教学进行了粗略探讨。

［关键词］常系数；非齐次；线性微分方程；通解［中图分类号］G642［文献标志码］A［文章编号］2096-0603（2020）32-0054-02在我们的日常生活中，经常会用微分方程来研究实际问题，比如减肥问题、人口增长问题、考古学中古文物的年代确定和名画真伪的辨别问题、刑事案件中死亡时间的鉴定问题、经济学中预测商品的销售量、关于国民收入和储蓄与投资的关系问题等。

总之，微分方程的应用已经渗透到社会生活中的方方面面，所以微分方程的教学在高等数学的教学中有着举足轻重的作用，但同时微分方程的求解也是教学难点。

尤其是二阶常系数非齐次线性微分方程的求解更是教学中的难点。

对二阶常系数非齐次线性微分方程y"+py ′+qy=f (x )（1）其中p ，q 均为常数，一般教材都是直接给出它的通解结构：y=Y （x ）+y *（x ），其中y=y *（x ）是二阶常系数非齐次线性微分方程（1）的一个特解，Y （x ）是方程（1）对应的齐次方程y"+py'+qy=0的通解。

在实际教学中，我们可以根据不同的题目，分析不同的解法，从而让学生透过各种解法更加深刻地理解求解微分方程的实质。

本文通过一类二阶常系数非齐次线性微分方程的求解案例，通过站在不同角度，采用四种不同的方法，并对四种方法的优缺点进行分析，来探讨高数二阶常系数非齐次线性微分方程的教学。

例求y "-y ′=2x 的通解。

解：方法一：可以把所给方程看作可降阶的二阶微分方程y"=f (x ,y ′)型。

设y ′=p ,则y"=dpdx=p ′,则原方程化为p ′-p =2x ，而此方程为一阶线性非齐次微分方程.根据公式得通解为p=e-∫-1()dx∫2xe∫-1()d xdx+C 1[]=ex∫2xe -x dx+C 1()=e x-2xe -x-2e -x+C 1()=-2x -2+C 1e x=y'故原方程通解为y=∫（-2x-2+C 1e x）dx=-x 2-2x+C 1e x+C 2。

两类二阶变系数非齐次方程求解方法侯致武;张璐;祝学亮【期刊名称】《山东科学》【年(卷),期】2017(030)005【摘要】The solutions to some kinds of second-order non-homogeneous linear differential equations with variable coefficients were discussed by using constant coefficient method and invariant method. The advantages and disadvantages of the two methods were analyzed and compared,and the feasibility of the two methods was illustrated by a concrete example.%使用常系数化法和不变量法对二阶变系数非齐次线性微分方程的求解问题进行了讨论,分析与比较了两种方法的优缺点,并通过具体的例子说明了方法的可行性.【总页数】4页(P91-94)【作者】侯致武;张璐;祝学亮【作者单位】延安大学西安创新学院理工系,陕西西安710100;延安大学西安创新学院理工系,陕西西安710100;延安大学西安创新学院理工系,陕西西安710100【正文语种】中文【中图分类】O175.11【相关文献】1.二阶变系数线性非齐次微分方程求解的"预解法" [J], 张学元2.二阶线性常系数非齐次微分方程特积分的求解新方法 [J], 李关民;赵春元;吴会江3.两类二阶变系数线性微分方程的求解 [J], 李鸿祥4.二阶常系数非齐次线性微分方程特解求解方法 [J], 佘智君5.二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法研究 [J], 杜朝丽因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。