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二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在数学的领域中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的研究对象。
它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。
接下来，让我们深入探讨一下二阶常系数非齐次线性微分方程的解法以及相关例题。
首先，我们来明确一下二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ f(x)＄，其中＄p$、＄q$ 是常数，＄f(x)＄是一个已知的函数。
为了求解这个方程，我们通常分为两个步骤：第一步，先求解对应的齐次方程：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ 0$ 。
对于这个齐次方程，我们假设它的解为＄y ＝ e^｛rx}＄，代入方程中得到特征方程：＄r^2 ＋ pr ＋ q ＝ 0$ 。
通过求解这个特征方程，可以得到两个根＄r_1$ 和＄r_2$ 。
当＄r_1$ 和＄r_2$ 是两个不相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ C_1e^｛r_1x} ＋ C_2e^｛r_2x}＄；当＄r_1 ＝ r_2$ 是相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝（C_1 ＋ C_2x)e^｛r_1x}＄；当＄r_1$ 和＄r_2$ 是一对共轭复根＄r_{1,2} ＝＼alpha ＼pm ＼beta i$ 时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ e^｛＼alpha x}（C_1\cos(＼beta x) ＋ C_2\sin(＼beta x)）＄。
第二步，求出非齐次方程的一个特解＄y_p$ 。
求特解的方法通常根据＄f(x)＄的形式来决定。
常见的形式有以下几种：1、当＄f(x) ＝ P_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄P_n(x)＄是＄n$ 次多项式。
如果＄＼alpha$ 不是特征根，设特解为＄y_p ＝ Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄Q_n(x)＄是与＄P_n(x)＄同次的待定多项式；如果＄＼alpha$ 是特征方程的单根，设特解为＄y_p ＝ xQ_n(x)e^｛＼alpha x}＄；如果＄＼alpha$ 是特征方程的重根，设特解为＄y_p ＝x^2Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄。
第九节二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程x xf(x) [P(x)cos x Q(x)sin x]ef(x) P(x)emmm教学目的：掌握自由项为和的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的方法教学重点：二阶常系数非齐次线性微分方程求特解的待定系数法教学难点：二阶常系数非齐次线性微分方程求特解的待定系数法教学内容：二阶常系数非齐次线性微分方程的形式为：y py qy f(x)根据二阶线性微分方程解的结构，要求解二阶常系数非齐次线性微分方程，只需先求得对应齐次线性微分方程的通解和该非齐次线性微分方程的一个特解即可。
而齐次线性微分方程的通解已在上一目得到解决，因此本节将解决非齐次线性微分方程的特解问题。
为此，针对自由项的特点，采用如下待定系数法：根据二阶非齐次线性微分方程解的结构，要求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，__yy Y就是非齐次方程的通Y只需先求得非齐次方程的特解和对应齐次方程的通解，则解。
而用待定系数法求二阶常系数非齐次线性微分方程y py qy f(x)的特解分两种情形讨论：一、f(x) e xPm(x)型这里是常数,Pm(x)是m次多项式.由于指数函数与多项式之积的导数仍是同类型的函数,而现在微分方程右端正好是这种类型的函数.因此,不妨假设方程y py qy f(x)的特解为y* Q(x)e x 其中Q(x)是x的多项式,将y*代入方程并消去e x得Q (2 p)Q ( 2 p q)Q Pm(x)(1) 若不是y py qy 0的特征方程r2 pr q 0的根,那么2 p q 0这时Q(x)与Pm(x)应同次,于是可令Q(x) Qm(x) a0xm a1xm 1 代入Q (2 p)Q ( 2 p q)Q Pm(x), 比较等式两端x同次幂的系数，就得到含a0,a1,以定出这些系数,并求得特解y* Qm(x)e x(2) 若是特征方程r2 pr q 0的单根,那么2 p q 0,而2 p 0.,am的m+1个方程的联立方程组，从而可am 1x amgood此时，Q 应是m次多项式,再注意到此时，Ce x(C为常数)为y py qy 0 的解,故可令Q(x) xQm(x)(3) 若是特征方程r2 pr q 0的重根,那么2 p q 0且2 p 0这时Q (x)应是m次多项式，再注意到此时C1e x和C2xe x(C1,C2为常数)均为y py qy 0的解.故可设Q(x) x2Qm(x)综上所述,有如下结论：如果f(x) e xPm(x),则方程y py qy f(x)具有形如y* xkQm(x)e x的特解，其中Qm(x)是与Pm(x)同次的特定多项式，而k按不是特征方程的根,是特征方程的单根或者是特征方程的重根依次取0,1或2. 例1 求方程y 2y 3y 3x 1的一个特解解本题0,而特征方程为r2 2r 3 0,0不是特征方程的根，设所求特解为y* b0x b1,代入方程:3b0x 3b1 2b0 3x 13b0 31比较系数, 得所以b0 1,b13 2b0 3b1 1于是所求特解为y* x1. 32x例2 求方程y 5y 6y xe的通解解特征方程为r 5r 6 0,其根为r1 2, 2r2 32,对应齐次方程的通解为Y C1e2x C2e3x设非齐次方程特解为y* x(b0x b1)e2x 代入方程得2b0x b1 2b0 x2b0 11比较系数, 得解得b0 ,b1 12 2b0 b1 0因此特解为y* x( x 1)e2x.1good所求通解为y C1e2x C2e3x (x2 x)e2x. 二f(x) e x Pl(x)cos x Pn(x)sin x 型分析思路：( i )x( i )x 第一步将f (x) 转化为f(x) P Pm(x)em(x)e( i )x第二步求出如下两个方程的特解y py qy P m(x)e( i )x y py qy P (x)em 1第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点解法：第一步利用欧拉公式将f (x) 变形ei x e i xei x e i xf(x) e Pl(x) Pn(x) 22ixPl(x)Pn(x)22i ( i )x Pl(x)Pn(x)e22i ( i )xe( i )x( i )x令m max n,l ,则f(x) P (x)e P(x)emm( i )x第二步求如下两方程的特解y py qy P m(x)e( i )x y py qy Pm(x)e( i )x设i 是特征方程的k 重根( k = 0, 1), 则y py qy P m(x)e 特解: y1 xkQm(x)e( i )x( i )x故(y1 ) p(y1) qy1 Pm(x)e等式两边取共轭y1py qy1 Pm(x)e( i )x1y1 为方程y py qy Pm(x)e( i )x的特解x第三步求原方程的特解y py qy e Pl(x)cos x Pn(x)sin x利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解(1)x Rm y* y1 y1 xke x Rmcos(2)si nx第四步分析y的特点y y1 y1 xek x(1)(2) Rcos x Rsin x mmgoody y1 y1 y1 y1 y1 y1 y*(1)(2) 所以y 本质上为实函数，所以Rm均为m 次实多项式,Rm例3 求方程y y xcos2x的一个特解r 1 0 ,l(x) x,Pn(x) 0特征方程解0, 2P,i 2i不是特征方程的根,故设特解为2y* (ax b)cos2x (cx d)sin2x代入方程得( 3ax 3b 4c)cos2x (3cx 3d 4a)sin2x xcos2x4,b c 0 914于是求得一个特解y* xcos2x sin2x.39比较系数, 得a ,d例4 第七节例1中若设物体只受弹性恢复力f和铅直干扰力F Hsinpt 的作用求物体的运动规律解问题归结为求解无阻尼强迫振动方程13d2x2kx hsinp t2dt当p ≠ k 时, 齐次通解X C1sinkt C2coskt Asin(kt ) 非齐次特解形式x asinpt bcospt 代入可得ah,b 0k2 p2hsinpt 22k p因此原方程之解为x Asin(kt )自由振动强迫振动当干扰力的角频率p ≈固有频率k 时振幅hk2 p2将很大当p = k 时非齐次特解形式: x t(asinkt bcoskt) 代入可得:a 0,b h 2kgood方程的解为x Asin(kt )htcoskt 2k自由振动强迫振动随着t 的增大, 强迫振动的振幅ht可无限增大,这时产生共振现象 . 2k若要避免共振现象, 应使p 远离固有频率k ;若要利用共振现象, 应使p 与k 尽量靠近, 或使p = k .对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理. 小结与思考：xf(x) P(x)ef(x)m①自由项为多项式与指数函数的乘积，即的情形，此时非齐次*k xQ(x)是与已知多项式Pm(x)同次的多项式(其系数可y xQ(x)em方程的特解，其中m将特解代入非齐次方程，比较方程两端同类项的系数，联立求解而得到)，而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根和是特征方程的重根分别取0、1和2；xf(x) [P(x)cos x Q(x)sin x]emm②自由项的情形，此时非齐次方程的特解R(x)和Ts(x)是s次的多项式(其系数可将y* xk[Rs(x)cos x Ts(x)sin x]e x，其中s特解代入非齐次方程，比较方程两端同类项的系数，联立求解而得到)，s max m,n ，而k按i不是特征方程的根、是特征方程的单根和是特征方程的重根分别取0和1。
