下载文档原格式
二阶常系数非齐次的通解1. 引言非齐次线性微分方程是研究微分方程中的重要内容之一。
二阶常系数非齐次线性微分方程是其中的一类典型问题，其形式为：$$\frac{d^2y}{dt^2}+a\frac{dy}{dt}+by=f(t)$$其中a,b为常数，f(t)为已知函数。
本文将着重讨论这类微分方程的通解。
2. 齐次线性微分方程的通解为了解决非齐次线性微分方程，首先需要求解其对应的齐次方程：$$\frac{d^2y}{dt^2}+a\frac{dy}{dt}+by=0$$其通解可以表示为：$$y_h(t)=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}$$其中，$r_1$，$r_2$为齐次方程的特征根，$c_1$，$c_2$为任意常数。
根据特征根的不同情况，可以将齐次方程分为三类：两个实根、两个虚根、一个实根和一个重根。
分别讨论如下。
2.1 两个实根当齐次方程的特征方程有两个实根$r_1$和$r_2$时，通解为：$$y_h(t)=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}$$此时，$r_1$和$r_2$可以通过特征方程求得：$$r_1,\ r_2=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$$如果$a^2<4b$，则$r_1$和$r_2$是两个虚根。
2.2 两个虚根当齐次方程的特征方程有两个虚根时，通解可以表示为：$$y_h(t)=e^{\alpha t}(c_1\cos\beta t+c_2\sin\beta t)$$其中，$\alpha$和$\beta$为实数，可以通过特征方程求得：$$\alpha=-\frac{a}{2},\ \beta=\frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}$$ 2.3 一个实根和一个重根当齐次方程的特征方程仅有一个实根$r_1$且其重根时，通解可以表示为：$$y_h(t)=(c_1+c_2t)e^{r_1t}$$其中$c_1$、$c_2$为任意常数。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在数学的领域中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的研究对象。
它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。
接下来，让我们深入探讨一下二阶常系数非齐次线性微分方程的解法以及相关例题。
首先，我们来明确一下二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ f(x)＄，其中＄p$、＄q$ 是常数，＄f(x)＄是一个已知的函数。
为了求解这个方程，我们通常分为两个步骤：第一步，先求解对应的齐次方程：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ 0$ 。
对于这个齐次方程，我们假设它的解为＄y ＝ e^｛rx}＄，代入方程中得到特征方程：＄r^2 ＋ pr ＋ q ＝ 0$ 。
通过求解这个特征方程，可以得到两个根＄r_1$ 和＄r_2$ 。
当＄r_1$ 和＄r_2$ 是两个不相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ C_1e^｛r_1x} ＋ C_2e^｛r_2x}＄；当＄r_1 ＝ r_2$ 是相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝（C_1 ＋ C_2x)e^｛r_1x}＄；当＄r_1$ 和＄r_2$ 是一对共轭复根＄r_{1,2} ＝＼alpha ＼pm ＼beta i$ 时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ e^｛＼alpha x}（C_1\cos(＼beta x) ＋ C_2\sin(＼beta x)）＄。
第二步，求出非齐次方程的一个特解＄y_p$ 。
求特解的方法通常根据＄f(x)＄的形式来决定。
常见的形式有以下几种：1、当＄f(x) ＝ P_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄P_n(x)＄是＄n$ 次多项式。
如果＄＼alpha$ 不是特征根，设特解为＄y_p ＝ Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄Q_n(x)＄是与＄P_n(x)＄同次的待定多项式；如果＄＼alpha$ 是特征方程的单根，设特解为＄y_p ＝ xQ_n(x)e^｛＼alpha x}＄；如果＄＼alpha$ 是特征方程的重根，设特解为＄y_p ＝x^2Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄。
