二阶常系数线性非齐次微分方程特解简易求法讲解

二阶常系数非齐次微分方程的特解1. 引言微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域中。

其中，二阶常系数非齐次微分方程是一类常见且重要的微分方程。

本文将详细介绍二阶常系数非齐次微分方程的特解求解方法，并给出一些具体例子进行说明。

2. 二阶常系数非齐次微分方程的一般形式二阶常系数非齐次微分方程的一般形式如下：ay″+by′+cy=g(x)其中，a,b,c为常数，g(x)为已知函数。

我们需要寻找满足该方程的特解。

3. 特解求解方法3.1 齐次线性微分方程的通解首先，我们需要求解对应的齐次线性微分方程：ay″+by′+cy=0这个方程称为齐次线性微分方程。

其通解可以表示为：yℎ(x)=C1e r1x+C2e r2x其中，C1,C2为任意常数，r1,r2为方程的特征根。

3.2 特解的形式我们假设二阶常系数非齐次微分方程的特解形式为：y p(x)=u(x)v(x)其中，u(x)和v(x)是待定函数。

3.3 确定待定函数的形式根据已知函数g(x)的形式，我们可以确定待定函数u(x)和v(x)的形式。

•若g(x)是多项式，则取u(x)和v(x)都为多项式。

•若g(x)是指数函数，则取u(x)为指数函数，v(x)为多项式。

•若g(x)是三角函数，则取u(x)和v(x)都为三角函数。

•若g(x)是指数函数与三角函数的乘积，则取u(x)和v(x)都为指数函数与三角函数的乘积。

3.4 代入原方程求解将特解形式代入原方程，得到一个关于待定系数的代数方程。

通过求解这个代数方程，可以确定待定系数的值。

3.5 特解与通解特解加上齐次线性微分方程的通解即为二阶常系数非齐次微分方程的通解：y=yℎ+y p4. 实例分析下面我们通过一些具体的例子来说明二阶常系数非齐次微分方程的特解求解方法。

4.1 例子1考虑方程：y″−2y′+y=x2+3x首先，我们求解对应的齐次线性微分方程：y″−2y′+y=0。

特征根为r1=r2=1，因此齐次线性微分方程的通解为：yℎ(x)=C1e x+C2xe x接下来，我们确定待定函数的形式。

二阶常系数非齐次线性微分方程特解如下：二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)，其特解y*设法分为：一、如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。

二、如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。

①设f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。

②设f(x)=P（x）e^αx，Pn （x）为n阶多项式。

③假设f(x)=[Pl（x）cos(βx)+Pn（x）sin(βx)]e^αx，Pl（x）为l阶多项式，Pn（x）为n阶多项式。

①设f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式：在这个假设情况下，若0不是特定值的话，在特解中，要导入Qm(x)与Pn（x）多项式，所以要根据Qm(x)设法要根据Pn（x）的具体问题和情况而定。

②设f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式：在该项假设情况下，若α不是特定值的话，y*=Qm(x)*e^αx，Qm(x)的设法要根据Pn（x）的情况来定。

③假设f(x)=[Pl（x）cos(βx)+Pn（x）sin(βx)]e^αx，Pl（x）为l阶多项式，Pn（x）为n阶多项式：在该假设情况下如果α±iβ并不是特征数值，则即y*=x*[Rm1(x)cos(βx)+Rm2(x)sin(βx)]e^αx。

特解y设法二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。

自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。

特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在数学的领域中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的研究对象。

它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。

接下来，让我们深入探讨一下二阶常系数非齐次线性微分方程的解法以及相关例题。

首先，我们来明确一下二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ f(x)＄，其中＄p$、＄q$ 是常数，＄f(x)＄是一个已知的函数。

为了求解这个方程，我们通常分为两个步骤：第一步，先求解对应的齐次方程：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ 0$ 。

对于这个齐次方程，我们假设它的解为＄y ＝ e^｛rx}＄，代入方程中得到特征方程：＄r^2 ＋ pr ＋ q ＝ 0$ 。

通过求解这个特征方程，可以得到两个根＄r_1$ 和＄r_2$ 。

当＄r_1$ 和＄r_2$ 是两个不相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ C_1e^｛r_1x} ＋ C_2e^｛r_2x}＄；当＄r_1 ＝ r_2$ 是相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝（C_1 ＋ C_2x)e^｛r_1x}＄；当＄r_1$ 和＄r_2$ 是一对共轭复根＄r_{1,2} ＝＼alpha ＼pm ＼beta i$ 时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ e^｛＼alpha x}（C_1\cos(＼beta x) ＋ C_2\sin(＼beta x)）＄。

第二步，求出非齐次方程的一个特解＄y_p$ 。

求特解的方法通常根据＄f(x)＄的形式来决定。

常见的形式有以下几种：1、当＄f(x) ＝ P_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄P_n(x)＄是＄n$ 次多项式。

如果＄＼alpha$ 不是特征根，设特解为＄y_p ＝ Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄Q_n(x)＄是与＄P_n(x)＄同次的待定多项式；如果＄＼alpha$ 是特征方程的单根，设特解为＄y_p ＝ xQ_n(x)e^｛＼alpha x}＄；如果＄＼alpha$ 是特征方程的重根，设特解为＄y_p ＝x^2Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄。

黑龙江工业学院学报JOURNAL OF HEILONGJIANG UNIVERSITY OF TECHNOLOGYVol. 20 No. 12Dec. 2020第20卷第12期2020年12月文章编号：2096 - 3874(2020)12 - 0141 -04二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法蔺琳(大连财经学院，辽宁大连116622)摘要：为剖析二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法，拓宽非齐次线性微分方程的应用领域。

分析对比了迭代法、升阶法、降阶法、算子法、积分求法、Laplace 变换法、变量变换法 和化为方程组法等方法的优缺点和适用条件。

关键词:常微分方程;非齐次;特殊解法;分析;利弊中图分类号:0175 文献标识码:A常微分方程是数学分析与微分方程运算中不可或缺的一个组成部分⑴。

例如,在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存 在满足常微分方程关系式的数学模型，需要通过求解微分方程来了解未知函数的性质⑵。

因此, 常微分方程是解决实际问题的重要工具。

其中， 形如y" +py' +qy =/(%)(其中p,g 为常数)的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程⑶。

众所周知，待定系数法和常数变易法是二阶常系数非齐 次线性微分方程的普遍解法，但这两种方法都有不足之处，例如求解过程较为繁琐，计算量较 大“T o 本文综述了积分法、算子法、降阶法、升阶法、拉普拉斯变换法、化为方程组法和迭代法求解 方程的原理与应用。

同时,分析了各个二阶常系数非齐次线性微分方程特殊解法的利弊,为微分 方程在不同的条件下快捷使用相应的求解方法研 究奠定基础。

1二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法1」积分法求解方程设卩(％)是齐次方程y" +py +qy =0的一个解，且卩(0) =0,卩'(0)工0,则 y" +py' +qy =f(x) 的特解为 y* (%) =cp (:x - t) dt 。

二阶常系数非齐次微分方程的特解二阶常系数非齐次微分方程是微积分中的重要内容之一，它的解法可以通过特解和通解的相加得到。

本文将介绍如何求解二阶常系数非齐次微分方程的特解。

首先，我们来看一个具体的例子：求解方程y''+2y'+y=3e^x。

这是一个二阶常系数非齐次微分方程，其中的非齐次项为3e^x。

为了求解这个方程的特解，我们可以猜测特解的形式。

由于非齐次项为3e^x，我们可以猜测特解的形式为Ae^x，其中A为待定常数。

将猜测的特解代入原方程，得到(Ae^x)''+2(Ae^x)'+Ae^x=3e^x。

对特解进行求导，得到Ae^x+2Ae^x+Ae^x=3e^x。

化简得到4Ae^x=3e^x。

由于等式两边的指数项相等，所以系数也必须相等。

因此，我们可以得到A=3/4。

所以特解为y=3/4e^x。

接下来，我们将特解和通解相加，得到原方程的解。

通解可以通过求解对应的齐次方程y''+2y'+y=0得到。

齐次方程的特征方程为r^2+2r+1=0，解得r=-1。

所以齐次方程的通解为y=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}，其中C_1和C_2为待定常数。

将特解和通解相加，得到原方程的解为y=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}+3/4e^x。

至此，我们已经求解出了二阶常系数非齐次微分方程的特解。

总结起来，求解二阶常系数非齐次微分方程的特解的步骤如下：1. 猜测特解的形式，根据非齐次项的形式进行猜测。

2. 将猜测的特解代入原方程，得到待定常数的值。

3. 求解对应的齐次方程，得到通解。

4. 将特解和通解相加，得到原方程的解。

需要注意的是，特解的形式需要根据非齐次项的形式进行猜测，如果非齐次项是多项式，则特解的形式也应为多项式；如果非齐次项是指数函数，则特解的形式也应为指数函数。

通过以上的求解步骤，我们可以求解二阶常系数非齐次微分方程的特解。

二阶常系数非齐次微分方程是微分方程中的一类基本形式，在实际问题中具有广泛的应用。

它的一般形式可以表示为：[ay’’ + by’ + cy = F(x)]其中 (a, b, c) 是常系数，(F(x)) 是非零的连续函数。

解此方程的一般步骤是先求其对应的齐次线性微分方程的通解，再找到特解，将二者相加，得到非齐次微分方程的通解。

在这里，我将向你介绍二阶常系数非齐次微分方程特解的具体求解方法，并给出其特解公式。

通过这篇文章，你将全面了解并深入理解这一概念。

1. 二阶常系数非齐次微分方程的特解求解步骤我们来看如何求解二阶常系数非齐次微分方程的特解。

求解步骤如下：步骤1：求解对应的齐次线性微分方程的特征方程，得到其通解。

对于给定的二阶常系数非齐次微分方程(ay’’ + by’ + cy =F(x))，其对应的齐次线性微分方程是(ay’’ + by’ + cy = 0)。

我们先解这个齐次微分方程，得到其特征方程。

特征方程的根将决定齐次微分方程的通解形式。

步骤2：求特解。

接下来，我们要找到对于非齐次项 (F(x)) 的特解。

特解的形式取决于 (F(x)) 的具体形式，可以通过待定系数法或者叠加原理等方法求解。

步骤3：组合通解和特解。

我们将齐次微分方程的通解与非齐次微分方程的特解相加，得到非齐次微分方程的通解。

这样，我们就得到了原方程的完整解。

2. 二阶常系数非齐次微分方程的特解公式对于二阶常系数非齐次线性微分方程(ay’’ + by’ + cy = F(x))，其特解的一般形式如下：[y_p(x) = K(x) e^{mx}]其中 (K(x)) 是待定的函数形式，(m) 是非齐次项 (F(x)) 的特征根。

特解的形式将根据 (F(x)) 的具体形式和对应齐次微分方程的特征根来确定。

通过本文的介绍，我希望你对二阶常系数非齐次微分方程的特解求解和特解公式有了更加深入的理解。

这一概念在物理、工程、经济学等领域有着广泛的应用，掌握好这一知识点对于进一步的学习和工作都是非常重要的。

二阶常系数非齐次线性微分方程特解求解方法
二阶常系数非齐次线性微分方程的特解求解方法是指利用一般解的特殊形式来求解二阶常
系数非齐次线性微分方程的方法。

特解也称为积分形式解决方案，是求解微分方程的经典
方法之一。

本文旨在介绍二阶常系数非齐次线性微分方程特解求解方法的基本原理及其应
用方法。

首先，要解决二阶常系数非齐次线性微分方程，需要考虑到方程的形式，即
d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=f(x)（1）
其中，p（x）和q（x）是方程的系数，f（x）是方程的右端项，d^2y/dx^2是导数的二阶导数。

解决（1），需要先将其化为可积分形式，即
(d/dx)[p(x)y]=f(x)-q(x)y (2)
式（2）可以变换为
y=(1/p(x))[d/dx INT[f(x)-q(x)y]dx+C] (3)
其中，INT[f(x)-q(x)y]dx是不定积分，C是常数。

将式（3）带入（2），即可求出y的解。

特别地，当f（x）=0时，式（3）就会变为
y=Cexp[-INT[q(x)]dx/p(x)] (4)
即y的解是一个泛函数。

利用二阶常系数非齐次线性微分方程特解求解方法，可以求解出不同场合下的一般解及其
特殊解。

如，一般解可以用来求解模式间的变形关系，特殊解可以用来求解瞬态现象的明
确形态及其变化规律。

综上所述，特解求解方法是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的经典方法之一。

它不仅
可以求解出一般解及其特殊解，而且可以有效地解决一些场景无法解决的瞬态问题，是一种非常有效的微分方程求解方法。

2011年 6月第 25卷第 2期总 84期北京联合大学学报 (自然科学版Journal of Beijing Union University (Natural Sciences Jun．2011Vol．25No．2Sum No．84[收稿日期 ]2010－09－20[作者简介 ]王海菊 (1966— , 女 , 黑龙江人 , 北京联合大学基础部讲师 , 研究方向为应用数学与数学教学。

二阶常系数线性非齐次微分方程特解简易求法王海菊(北京联合大学基础部 , 北京100101[摘要 ]求二阶常系数线性非齐次微分方程特解通常是采用待定系数法 , 计算量很大。

本文在不脱离教材特解的求法 ,利用推导特解过程中出现的重要式子 Qᵡ (x +(2λ+p Q' (x +(λ2+p λ+q Q (x =P m (x , 简化待定系数法求特解的过程。

对右端非齐次项e λx [P l (x cos ωx +P n (x sin ωx ]是先设变换 , 化简右端非齐次项。

[关键词 ]微分方程 ; 特解 ; 待定系数法 [中图分类号 ]O 241. 8[文献标志码 ]A[文章编号 ]1005-0310(2011 02-0073-03Simplification for Particular Solution of Second Order Linear Non-homogeneous Differential Equation with Constant CoefficientsWANG Hai-ju(Basic Courses Department Of Beijing Union University , Beijing100101, ChinaAbstract :The particular solution of second order linear non-homogeneous differential equation with constant coef-ficients is by means of undermined coefficients , which is relatively complex．Instead of using the method of parti-cular solution in teaching materials , important formula in deducing particular solution is adopted．The solution of the problem can be simplified．Key words :differential equation ; constant coefficients ; particulars0引言一般教材中 , 二阶常系数线性的非齐次方程 yᵡ+py' +qy =f (x (1 的特解采用待定系数法 [1], 计算量很大 , 也很繁琐 ; 有的文献给出特解公式[2-3],又很难记住公式。

二阶常数系数非齐次方程解法二阶常数系数非齐次方程是大学数学课程中的一个重要内容。

在解决实际问题中，常常需要求解这类方程的通解。

本文将着重讲解二阶常数系数非齐次方程的解法。

二阶常数系数非齐次方程的一般形式为$$y''+ay'+by=f(x)$$其中$a$和$b$为常数，$f(x)$为已知函数。

要解决这个方程，我们需要先求解对应的齐次方程$$y''+ay'+by=0$$齐次方程的解为$$y_c=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$$其中$r_1$和$r_2$是齐次方程的特征根，$c_1$和$c_2$是待定系数。

特征根的求法为解方程$$r^2+ar+b=0$$解得$$r_1=\frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2},\quad r_2=\frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2}$$接下来，我们需要利用待定系数法求得非齐次方程的特解。

特解的形式根据$f(x)$的形式而定。

当$f(x)$为多项式时，特解的形式为对应的多项式；当$f(x)$为三角函数时，特解的形式为对应的三角函数；当$f(x)$为指数函数或幂函数时，特解的形式为对应的指数函数或幂函数。

例如，当$f(x)=e^{mx}$时，特解的形式为$y_p=Ae^{mx}$，其中$A$是待定系数。

将特解代入非齐次方程，解出待定系数$A$。

如果特解的形式和齐次方程的解重复，则需要乘上$x$的幂次，直到与齐次方程的解不同为止。

最终的通解为$y=y_c+y_p$。

对于特殊情况，如$f(x)$是多项式乘以指数函数的形式，可以尝试通过变形将其化为多项式或者指数函数加上一个乘积的形式再进行求解。

总之，二阶常数系数非齐次方程的解法需要求解齐次方程和非齐次方程的特解。

通过待定系数法可以求得正确的特解，并得到最终的通解。

在实际问题中，需要仔细分析方程的形式和已知函数的性质，选择合适的解法求解。