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直线与平面平面与平面平行的判定定理ppt课件

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《面面平行的判定》课件

《面面平行的判定》课件
总结词
直接应用定义进行判定
详细描述
根据面面平行的定义，如果两个平面没有公共点，则它们平行。因此，通过检 查两个平面内所有对应点来确定它们是否平行。
反证法
总结词
通过假设相反情况来进行证明
详细描述
首先假设两个平面不平行，然后 根据假设推导出矛盾，从而证明 假设不成立，即两个平面平行。
平行四边形法
总结词
判定定理的应用
总结词：实际应用
详细描述：面面平行的判定定理在几何学中有着广泛的应用。例如，在建筑设计、机械工程和空间科 学等领域中，经常需要判断两个平面是否平行。通过应用面面平行的判定定理，可以准确地判断出两 个平面是否平行，从而为实际问题的解决提供重要的理论依据。
02
面面平行的判定方法
定义法
利用平行四边形的性质进行判定
详细描述
如果两个平面都与第三个平面平行， 并且它们之间的距离相等，则这两个 平面平行。这是基于平行四边形的性 质得出的结论。
03
面面平行的判定实例
实例一：长方体中的面面平行
总结词
直观易懂，易于理解
详细描述
长方体是三维空间中最简单的几何体之一，其六个面均为矩 形。通过观察长方体的结构，可以清晰地理解面面平行的概 念。在长方体中，相对的两个面是平行的，即它们永远不会 相交。
题目1
在一个长方体中，给出三个平 面的交线，判断这三个平面是
否平行，并说明理由。
题目2
在一个三棱锥中，给出四个平 面，判断它们之间的位置关系
，并说明理由。
题目3
根据给定的条件，判断两个平 面是否平行，并说明理由。
综合练习题
总结词
难度较大，考察综合运用和推 理能力
题目1

直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定(共38张PPT)

直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定(共38张PPT)

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【解析】 A 错误，若 b⊂α，a∥b，则 a∥α 或 a⊂α；B 错误，若 b⊂α，c∥α， a∥b，a∥c，则 a∥α 或 a⊂α；C 错误，若满足此条件，则 a∥α 或 a⊂α 或 a 与 α 相交；D 正确．
【答案】 D
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教材整理 2 平面与平面平行的判定定理
【解析】 因为 AB∥CD，AB⊂平面 α，CD⊄平面 α，由线面平行的判定定 理可得 CD∥α.
【答案】 CD∥α
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5．如图 2-2-7 所示，在直角梯形 ABCP 中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP， AD＝DC＝PD.E，F，G 分别为线段 PC，PD，BC 的中点，现将△PDC 折起， 使点 P∉平面 ABCD.
阅读教材 P56～P57“例 2”以上的内容，完成下列问题. 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平
自然语言 面平行
符号语言
a⊂β，b⊂β，aa∩∩bb＝＝PP，a∥α，bb∥∥αα ⇒β∥α
图形语言
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
平面与平面平行的判定
直线与平面平行的判定
【答案】 平面与平面平行的判定 (1)× (2)√ (3)× (4)×
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直线与平面平行的判定
[小组合作型]
已知公共边为 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在 同一平面内，P，Q 分别是对角线 AE，BD 上的点，且 AP＝DQ(如图 2-2-1)．求证：PQ∥平面 CBE.

线面平行的判定定理ppt课件

线面平行的判定定理ppt课件
平面垂直。
2024/1/27
方法二
利用直线与平面的法线重合，则这 条直线与这个平面垂直。
方法三
利用两个互相垂直的平面，其中一 个平面内的一条直线必然与另一个 平面垂直。
17
05
线面平行判定的其他方法
2024/1/27
18
向量法
利用向量平行性质
若直线方向向量与平面法向量平行， 则直线与平面平行。
向量数量积为零
线面平行是指一条直线与一个平 面没有公共点，且与该平面内的 任意一条直线都不相交。
02
线面平行可以用符号表示为：直 线l平行于平面α，记作l//α。
8
线面平行的性质
若一条直线与一个平面平行，则 该直线与该平面内的任意一条直
线都不相交。
若一条直线与一个平面平行，则 该直线与该平面的任意一条垂线
都垂直。
13
04
判定定理的应用举例
2024/1/27
14
举例一：证明两直线平行
方法一
利用同位角相等或内错角 相等，证明两直线平行。
2024/1/27
方法二
利用同一平面内，垂直于 同一条直线的两条直线平 行。
方法三
利用平行线的传递性，即 如果一条直线与另外两条 直线分别平行，那么这两 条直线也平行。
15
举例二：证明平面与平面平行
2024/1/27
用于判断直线与平面 是否平行的重要依据
4
定理的表述和符号
2024/1/27
定理表述
如果一条直线平行于平面内的一 条直线，那么这条直线就平行于 这个平面。
符号表示
若直线$l$平行于平面$alpha$内 的直线$m$，则记作$lparallel m$，且$lparallel alpha$。

线面平行的判定定理ppt课件

线面平行的判定定理ppt课件

三个条件缺一不可，缺少其中任何一条，则 结论就不一定成立了.
2、简记：线线平行，则线面平行。
3、定理告诉我们：
直线间平行关系
直线与平面平行关系
空间问题
平面问题
理论迁移
例1.空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的
中点，试判断EF与平面BCD的位置关系，并予
以证明.P29例1.
A
解：EF∥平面BCD。
求证：AB1//平面DBC1
A1
C1
B1
P
D
A
C
B
2、如图，在正方体 ABCD——A1B1C1D1中， O是底面ABCD对角线的交点. 求证：C1O//平面AD1B1.
A1 C1
B1
E
A D C
B
4、如图 ,正方体AC1中,点N是BD中点,点M是B1C中 点.
求证: MN // 平面AA1B1B .
件是要满足六个字，
b
“面外、面内、平行”. b//a
a //
反思3:运用定理的关键是找平行线,找平行线又经常会 用到三角形中位线定理.
理论迁移
例2. 如图，四面体ABCD中，E，F，G，H分别 是AB，BC，CD，AD的中点.
(1)E、F、G、H四点是否共面？
(2)试判断AC与平面EFGH的位置关系；A
根据定义，判定直线与平面是否平行，只需 判定直线与平面有没有公共点．但是，直线无限 延长，平面无限延展，用定义这种方法来判定直 线与平面是否平行是很困难的.
那么，是否有简单的方法来判定直线与平面 平行呢？
知识探究（三）：直线与平面平行的判断定理 1、直观感知
三.线面平行判定定理的探究
动手操作—确认定理

直线和平面平行的判定定理ppt课件

直线和平面平行的判定定理ppt课件

判定定理二：向量
03
共线法
向量共线法原理
定义
若两向量方向相同或相反，则称这两 向量共线。
性质
应用
在直线与平面平行判定中，通过判断 直线的方向向量与平面上两不共线向 量的关系，确定直线与平面的位置关 系。
共线的向量可以表示为同一基向量的 倍数。
向量运算规则
加法运算
向量加法满足平行四边形 法则或三角形法则。
$l parallel alpha$。
实例二
若直线$l$的方向向量$vec{a}$ 与平面$alpha$的法向量
$vec{n}$满足$vec{a} cdot vec{n} = 0$，则$l parallel
alpha$。
讨论
通过实例分析，我们可以发现向 量共线法在直线与平面平行判定 中的重要作用。同时，需要注意 判定条件的充分性和必要性，以
及特殊情况的处理。
判定定理三：距离
04
相等法
距离相等法原理
直线与平面平行时，直线上任意一点 到平面的距离都相等。
利用这一性质，可以通过比较直线上 不同点到平面的距离是否相等来判断 直线与平面是否平行。
点到直线距离公式
点$P(x_0, y_0, z_0)$到平面 $Ax + By + Cz + D = 0$的距 离公式为
直线与平面的距离为零
当直线上的任意一点到平面的距离都为零时，直线与平面平行。可 以通过计算点到平面的距离公式来判断。
复杂问题简化策略
转化为基本问题
将复杂问题转化为判断直线与平面是否平行的基本问题，以便运 用上述方法进行求解。
利用已知条件
充分利用题目中给出$d = frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

8.5空间直线、平面的平行(1)PPT课件(人教版)

8.5空间直线、平面的平行(1)PPT课件(人教版)

形,BD∩AC=G,∴G是BD的中点.又∵E是
BB1的中点,∴DB1∥GE.又DB1⊄平面
ACE,GE⊂平面ACE,∴B1D∥平面ACE.
变式 (1)如图,四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形,M为棱PC的中点.
求证:(1)BC∥平面PAD;
(2)AP∥平面MBD.
证明:(1)因为四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形,所以BC∥AD,又BC⊄平面
意可知四边形ABC1D1为平行四边形,则AD1∥BC1.又AD1∥EF,所以EF∥BC1.因
为EF⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,所以EF∥平面BCC1B1.显然正方体的其
余4个面都不与EF平行.故选B.
变式 (3)如图所示,四棱锥S - ABCD的底面是平行四边

形,M,N分别是SA,BD上的点,且 = .求证:MN∥平面

SBC.

证明:连接AN并延长,使之交BC于点P,连接SP.因为AD∥BC,所以 = .又



= ,所以 = ,所以MN∥SP.


因为MN⊄平面SBC,SP⊂平面SBC,所以MN∥平面SBC.
小结
1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的一般步骤
解析
思考►►►
如何判定一条直线与一个平面平行？
【解析】 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面
平行．
解析
直线与平面平行的判定定理：
表示定理
直线与平面
平行的
判定定理
图形
文字
符号
如果平面外一条直线
a⊄α，
与此平面内的一条直
b⊂α，
线平行，那么该直线

人教A版高中数学必修第二册教学课件PPT-第八章 -8-5-2直线与平面平行


A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D解析 由题图知正方体的前、后、左、右四个面都与EF平行.
高中数学 必修第二册 RJ·A
4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，
DA上的点(不与端点重合)，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
A解析 ∵EH∥FG，EH⊄平面BDC，FG⊂平面BDC， ∴EH∥平面BDC， 又EH⊂平面ABD且平面ABD∩平面BDC＝BD， ∴EH∥BD.
高中数学 必修第二册 RJ·A
反思感悟
利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与 已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等.
高中数学 必修第二册 RJ·A
跟踪训练
如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分 别是AB，PC的中点.求证：MN∥平面PAD.
所以 a∥EG，即 BD∥EG，所以AACF＝AAEB.
又EBGD＝AAEB，所以AACF＝EBGD， 于是 EG＝AFA·CBD＝55×＋44＝290.
高中数学 必修第二册 RJ·A
反思感悟
(1)利用线面平行的性质定理找线线平行，利用线线平行得对应线段成比例即 可求线段长度. (2)通过定理的运用和平行的性质，提升直观想象和逻辑推理素养.
高中数学 必修第二册 RJ·A
典例剖析
一、直线与平面平行的判定定理的应用
例1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点， 求证：EF∥平面AD1G.
高中数学 必修第二册 RJ·A

第八章 第三节 直线、平面平行的判定与性质 课件(共58张PPT)

第八章 立体几何初步
第三节 直线、平面平行的判定与性质
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.以立体几何的定义、公理和定理为
出发，借助长方体，通过直观感知， 考情分析： 直线与平面以及平面与
了解空间中线面平行的有关性质与 平面平行的判定和性质仍会是高考
所以 A1G 綊 EB，所以四边形 A1EBG 是平行四边形，
所以 A1E∥GB. 因为 A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG， 所以 A1E∥平面 BCHG. 又因为 A1E∩EF＝E，所以平面 EFA1∥平面 BCHG.
1．如图，平面 α∥平面 β，△PAB 所在的平面与 α，β分别交于 CD，AB，
平行命题的判断 (1)解决与平行相关命题的判断问题，以与平行相关的判定定理和性质定 理为依据，注意定理中相关条件的检验，必须进行严密的逻辑推理． (2)如果判断某个命题错误，则往往利用正方体或其他几何体作为模型构 造反例说明．
直线与平面平行的判定与性质 角度一 直线与平面平行的判定
如图所示，斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 D，D1 分别为 AC，A1C1 的中点．求证：
BC∥平面ADF
BC⊂平面BCPQ
⇒BC∥PQ.
平面BCPQ∩平面ADF＝PQ
PQ∥BC
PQ⊄平面ABCD PQ∥平面 ABCD.
BC⊂平面ABCD
应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时 需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．该定理的作用是由线面平行转化 为线线平行．
1．(2020·深圳市统一测试)如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是平行四边形，点 M，

直线与平面平行的判定定理(公开课)ppt课件

若两向量的点积为零，则 它们垂直。
应用
通过计算直线方向向量与 平面法向量的点积，可以 判断直线与平面是否平行 。
判定定理三：法向量垂直
定义
若一直线与一平面平行， 则该直线的法向量与该平 面的法向量平行。
推论
若两向量平行，则它们的 分量成比例。
应用
通过比较直线法向量与平 面法向量的分量比例，可 以判断直线与平面是否平 行。
直线与平面平行的定义
阐述直线与平面平行的基本概念，为后续判定定理 的引入做铺垫。
判定定理的重要性
说明直线与平面平行判定定理在几何学中的地位和 作用，以及在实际应用中的价值。
教学目标
80%
知识与技能
掌握直线与平面平行的判定定理 及其证明方法，理解相关概念， 能够运用所学知识解决相关问题 。
100%
过程与方法
应用举例二：判断两平面是否平行
方法一
利用平行平面的性质，通过证明一个 平面内有两条相交直线分别与另一个 平面平行，从而判定两个平面平行。
方法二
利用向量法，通过计算两个平面的法 向量是否共线，从而判定两个平面是 否平行。
应用举例三：解决实际问题中的平行问题
1 2
实例一
在建筑设计中，利用直线与平面平行的性质，确 保建筑物的立面、地面等各部分保持平行，以达 到美观和稳定的效果。
定义
应用
若一直线与一平面平行，则该直线与 该平面内任意一条直线的斜率相等。
通过比较直线与平面内某一直线的斜 率，可以判断直线与平面是否平行。
推论
若两直线的斜率相等，则它们或者平 行或者重合。
判定定理二：方向向量平行
01
02
03
定义
若一直线与一平面平行， 则该直线的方向向量与该 平面的法向量垂直。

直线与平面平行的判定(公开课课件)

反证法
假设直线与平面不平行，则该直线与平面内至少有一条直线相交，这与已知条件 矛盾。
03
直线与平面平行判定定 理的应用
利用直线与平面平行判定定理求直线方程
已知平面内一条直线和平面外一条直线平行，求平面内这条 直线的方程。
解题思路：首先确定平面内直线的方向向量，然后利用直线 与平面平行的判定定理，将平面外直线的方向向量与平面内 直线的方向向量平行，从而得到平面内这条直线的方程。
利用直线与平面平行判定定理求平面方程
已知平面内两条平行直线和平面外一条直线，求平面的方 程。
解题思路：首先确定平面内两条平行直线的方向向量，然 后利用直线与平面平行的判定定理，将平面外直线的方向 向量与平面内两条平行直线的方向向量都平行，从而得到 平面的法向量，进一步得到平面的方程。
利用直线与平面平行判定定理解决实际问题
01
02
03
04
设直线l的方向向量为a，平面 α的法向量为b。
如果a与b不垂直，则l与α不 平行。
如果a与b垂直，则l与α平行 。
因此，利用向量法可以通过判 断直线l的方向向量与平面α的 法向量是否垂直来判断l与α是
否平行。
利用空间几何性质证明直线与平面平行
如果a与b不垂直，则l与α不平行。
因此，利用空间几何性质可以通过判断直线l的方向 向量与平面α的法向量是否垂直来判断l与α是否平行
例如：在建筑设计中，为了确保建筑物的采光和通风效果，需要确定建筑物的窗 户和通风口的朝向。这时可以利用直线与平面平行的判定定理，通过分析建筑物 墙面和平行光线的方向向量之间的关系，来确定窗户和通风口的最佳朝向。
另外，在机械设计中，为了确保机械零件的顺利运转，也需要利用直线与平面平 行的判定定理来分析机械零件的运转轨迹和润滑油平面的平行关系。
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D G
EF∥平面ACD，
F C
AC∥平面EFGH， HG∥平面ABC.
由BD∥EH∥FG，得
BD∥平面EFGH， EH∥平面BCD，FG∥平面ABD.
7
复习引入
1. 平面与平面有几种位置关系？
（1）平行
（2）相交
//
没有公共点
I a
有一条公共直线
8
复习引入
2.问题：还可以怎样判定平面与平面平行呢？ ①问1：两个平面平行，那么其中一个平面的直线与另一 个平面的位置关系如何? 平行 ②问2：如果一个平面内的所有直线，都与另一个平面 平行，那么这两个平面的位置关系如何? 平行
D1
N
A1
M
F
B1
C1
E
D1 M
A1
N
C1 B1
D A
C B
D
K
A
Q
C
P B
变15式
例 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别为DD1，DB的中点.求证：EF//平面ABC1D1.
证明：如图，连接BD1 ，
D1
C1
在△DBD1中，EF为三角形中位线，
所以EF//BD1 ，
12
2.平面与平面平行的判定定理
若一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面， 则这两个平面平行.
(1)该定理中，“两条”，“相交”都是必要条件，缺一不可：
a , a //
b


,
b
//




//

a I b A
b 线不在多，
Pa
重在相交！

(2)该定理作用：“线面平行面面平行”
边CD在各个位置时，是不是都与桌面所在的平面平行？
C
D
①直线AB、CD与桌面分别是什么位置关系呢？
CD是桌面外一条直线， AB是桌面内一 条直线， 若CD ∥ AB ，则CD ∥桌面.
②从中你能得出什么结论？
A
B
猜想：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行.
3
1.直线与平面平行的判定定理
情况1.若a // b时，则与平行吗？

a b

a
b
l

（两平面平行）
D' E
A'
D

（两平面相交）
C'
B'
直线的条数不是关键!
C
F
A
B
11
探究 (2)若内有两条直线a、b分别与 平行, 则 与 平行吗？
情况2.若a I b P时，则与平行吗？
b

Pa
D'
C'
B'
D
C

A
B
直线相交才是关键！
又EF
BD1
平平面面ABACB1CD11D，1
A1
∴D1C1∥AB，D1C1＝AB，
∴D1C1BA是平行四边形，
∴D1A∥C1B，
D
又因为D1A 平面C1BD，CB平面C1BDA.
由直线与平面平行的判定，可知 D1A∥平面C1BD，
C1
B1
C
B
同理 D1B1∥平面C1BD. 又 D1A∩D1B1=D1， 所以，平面AB1D1∥平面C1BD.
(3)应用该定理，关键是在一平面内找到两条相交直线分别与另一 平面内两条直线平行即可.
线线平行线面平行面面平行
13
例 正方体ABCD A1B1C1D1中，证明平面C1BD // 平面AB1D1.
证明：因为ABCD－A1B1C1D1为正方体， 所以D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1
D1
又AB∥A1B1，AB＝A1B1，
结论：两个平面平行的问题可以转化为一个平面内的直线与另一 个平面平行的问题.
③当然我们不需要证明所有直线都与另一平面平行，那 么需要几条直线才能说明问题呢？
9
探究
(1)若内有一条直线a与平行，则与平行吗？
a
a

l

（两平面平行） D'

（两平面相交）
C'
A' D
B' C
A
B
10
探究 (2)若内有两条直线a、b分别与 平行, 则 与 平行吗？
证明：连接BD，
B
∵在△ABD中，E、F分别是AB、AD的中点
∴EF∥BD
∩
又∵ EF 平面BCD，BD 平面BCD
∴EF∥平面BCD
三角形的中位线是常 用的找平行线的方法5 .
练习
1.如图，四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，
AD的中点.
A
(1)E、F、G、H四点是否共面？ (2)试判断AC与平面EFGH的位置关系；
平行四边形对边平行是 常用的找平行线的方14法.
练习
练1: 正方体ABCD-A1B1C1D1中，若M、N、E、F分别是棱A1B1， A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证:平面AMN//平面EFDB.
练2: 正方体ABCD-A1B1C1D1中，若M、N、P、Q分别是棱A1D1， A1B1，BC，CD的中点，求证：平面AMN//平面C1QP.
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行.
(1)用该定理判断直线a和平面平行，须具备三个条件：
“面外、面内、平行”
a
a
即
b




a
//

a // b

b
a //
(2)该定理作用：“线线平行线面平行”——空间问题“平面
化(3)”应用该定理，关键是在平面内找到一条直线与已知直线a平行.
H E
(3)你能说出图中满足线面平行位置关系
的所有情况吗？
解：(1)E、F、G、H四点共面.
B
D G
∵在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点.
F
C
∴EH∥BD且 EH= 1 BD
同理GF∥BD且
2
GF=
1
BD
2
(2) AC ∥平面EFGH AC // HG
∴ EH∥GF且 EH＝GF
AC 面EFGH
2.2.1 直线与平面平行的判定定理
1
复习引入
1.空间直线与平面的位置关系有哪几种?
直线a在平面内 直线a与平面相交 直线a与平面平行
a a
a
A



a
aI A
a //
a
2.如何判定一条直线和一个平面平行呢？
2
观察:
将课本的一边AB紧靠桌面，并绕AB转动，观察AB的对
∴E、F、G、H四点共面.
HG 面EFGH
6
1.如图，四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，
AD的中点.
A
(1)E、F、G、H四点是否共面？ (2)试判断AC与平面EFGH的位置关系；
H E
(3)你能说出图中满足线面平行位置关系
的所有情况吗？
解:（3）由EF∥HG∥AC，得
B
4
例 求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过 另外两边的平面.
已知:空间四边形ABCD中，E、F分别是AB分析：
EF在面BCD外，要证明EF∥面BCD，只要 证明EF和面BCD内一条直线平行即可.
EF和面BCD哪一条直线平行呢？ 直线BD
EF D
C