2017武汉元调与圆有关的动点问题

2016-2017武汉元调数学试卷含答案解析考试时间120分钟，总分120分一、选择题1．从下列四张卡片中任取一张，卡片上的图形既是轴对称又是中心对称图形的概率是（）A．B．C．D．12．方程（x﹣1）（x+2）=x﹣1的解是（）A．﹣2 B．1，﹣2 C．﹣1，1 D．﹣1，33．由二次函数y=3（x﹣4）2﹣2，可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线x=﹣4C．其最小值为2 D．当x＜3时，y随x的增大而减小4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y=bx+c 在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．5．如图，C，D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA=CD，且∠ACD=30°，则∠CAB=（）A．15°B．20°C．25°D．30°6．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线于点F，若S△DEC=9，则S△BCF=（）A．6 B．8 C．10 D．127．如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=30°，点B为弧AN的中点，点P 是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．48．某市2015年国内生产总值（GDP）比2014年增长了10%，由于受到国际金融危机的影响，预计2016年比2015年增长6%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A．10%+6%=x% B．（1+10%）（1+6%）=2（1+x%）C．（1+10%）（1+6%）=（1+x%）2D．10%+6%=2•x%9．二次函数y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=33，则m的值为（）A．5 B．﹣3 C．5或﹣3 D．以上都不对10．在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足，设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．11．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB 于点P、Q，连接AC，给出下列结论：①∠DAC=∠ABC；②AD=CB；③点P是△ACQ的外心；④AC2=AE•AB；⑤CB∥GD，其中正确的结论是（）A．①③⑤B．②④⑤C．①②⑤D．①③④12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，系列结论：（1）4a+b=0；（2）4a+c＞2b；（3）5a+3c＞0；（4）若点A（﹣2，y1），点B（，y2），点C（，y2）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若m≠2，则m（am+b）＞2（2a+b），其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，则CD的长为．14．PA，PB分别切⊙O于A，B两点，点C为⊙O上不同于AB的任意一点，已知∠P=40°，则∠ACB的度数是．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为．16．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为．三、解答题（本大题共6小题，共64分）17．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是；（3）△A2B2C2的面积是平方单位．18．某中学举行演讲比赛，经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛．（1）请直接写出九年级同学获得第一名的概率是；（2）用列表法或是树状图计算九年级同学获得前两名的概率．19．某商场试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=60时，y=50；x=70时，y=40．（1）求一次函数y=kx+b的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？20．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（4，6）．双曲线y=（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是边上一点，且△BCF∽△EBD，求直线FB的解析式．21．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）当BC=4，AC=6时，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．22．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A 和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC 的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．2016-2017学年山东省日照市五莲县九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，其中1-8小题每小题3分，9-12小题每小题3分，共40分）1．从下列四张卡片中任取一张，卡片上的图形既是轴对称又是中心对称图形的概率是（）A．B．C．D．1【考点】概率公式；轴对称图形；中心对称图形．【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．【解答】解：∵四张卡片中任取一张既是轴对称又是中心对称图形的有2张，∴卡片上的图形既是轴对称又是中心对称图形的概率是=，故选：B．2．方程（x﹣1）（x+2）=x﹣1的解是（）A．﹣2 B．1，﹣2 C．﹣1，1 D．﹣1，3【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：移项得：（x﹣1）（x+2）﹣（x﹣1）=0，（x﹣1）[（x+2）﹣1]=0，x﹣1=0，x+2﹣1=0，x=1或﹣1，故选C．3．由二次函数y=3（x﹣4）2﹣2，可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线x=﹣4C．其最小值为2 D．当x＜3时，y随x的增大而减小【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，可求得答案．【解答】解：∵y=3（x﹣4）2﹣2，∴抛物线开口向上，故A不正确；对称轴为x=4，故B不正确；当x=4时，y有最小值﹣2，故C不正确；当x＜3时，y随x的增大而减小，故D正确；故选D．4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y=bx+c 在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．【分析】先根据二次函数的图象开口向下可知a＜0，再由函数图象经过原点可知c=0，利用排除法即可得出正确答案．【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，∴反比例函数y=的图象必在二、四象限，故A、C错误；∵二次函数的图象经过原点，∴c=0，∴一次函数y=bx+c的图象必经过原点，故B错误．故选D．5．如图，C，D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA=CD，且∠ACD=30°，则∠CAB=（）A．15°B．20°C．25°D．30°【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质先求出∠CDA，根据∠CDA=∠CBA，再根据直径的性质得∠ACB=90°，由此即可解决问题．【解答】解：∵∠ACD=30°，CA=CD，∴∠CAD=∠CDA==75°，∴∠ABC=∠ADC=75°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣∠B=15°，故选A．6．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线于点F，若S△DEC=9，则S△BCF=（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC和△DEF∽△BCF，由已知条件求出△DEF的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，=（）2，∵E是边AD的中点，∴DE=AD=BC，∴=，=3，∴△DEF的面积=S△DEC=12；∴S△BCF故选D．7．如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=30°，点B为弧AN的中点，点P 是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．4【考点】圆周角定理；轴对称-最短路线问题．【分析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知=，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．【解答】解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，连接OB，OA′，AA′，∵AA′关于直线MN对称，∴=，∵∠AMN=30°，∴∠A′ON=60°，∠BON=30°，∴∠A′OB=90°，过O作OQ⊥A′B于Q，在Rt△A′OQ中，OA′=2，∴A′B=2A′Q=2，即PA+PB的最小值2．故选B．8．某市2015年国内生产总值（GDP）比2014年增长了10%，由于受到国际金融危机的影响，预计2016年比2015年增长6%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A．10%+6%=x% B．（1+10%）（1+6%）=2（1+x%）C．（1+10%）（1+6%）=（1+x%）2D．10%+6%=2•x%【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】根据平均增长率：a（1+x）n，可得答案．【解答】解：由题意，得（1+10%）（1+6%）=（1+x%）2，故选：C．9．二次函数y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=33，则m的值为（）A．5 B．﹣3 C．5或﹣3 D．以上都不对【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】二次函数解析式令y=0得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系表示出两根之和与两根之积，已知等式变形后代入求出m的值即可．【解答】解：令y=0，得到x2+（2m﹣1）x+m2﹣1=0，∵二次函数图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=33，∴x1+x2=﹣（2m﹣1），x1x2=m2﹣1，△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）≥0，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=（2m﹣1）2﹣2（m2﹣1）=33，整理得：m2﹣2m﹣15=0，即（m﹣5）（m+3）=0，解得：m=5或m=﹣3，当m=5时，二次函数为y=x2+9x+24，此时△=81﹣96=﹣15＜0，与x轴没有交点，舍去，则m的值为﹣3，故选B10．在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足，设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】先利用线段垂直平分线的性质得到AD=CD=y，AH=CH=AC=2，∠CHD=90°，再证明△CDH∽△ACB，则利用相似比可得到y=（0＜x＜4），然后利用反比例函数的图象和自变量的取值范围对各选项进行判断．【解答】解：∵DH垂直平分AC，∴AD=CD=y，AH=CH=AC=2，∠CHD=90°，∵CD∥AB，∴∠DCH=∠BAC，∴△CDH∽△ACB，∴=，=，∴y=（0＜x＜4）．故选B．11．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB 于点P、Q，连接AC，给出下列结论：①∠DAC=∠ABC；②AD=CB；③点P是△ACQ的外心；④AC2=AE•AB；⑤CB∥GD，其中正确的结论是（）A．①③⑤B．②④⑤C．①②⑤D．①③④【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；射影定理．【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，据此推理可得①正确，②错误；通过推理可得∠ACE=∠CAP，得出AP=CP，再根据∠PCQ=∠PQC，可得出PC=PQ，进而得到AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，故P为Rt△ACQ 的外心，即可得出③正确；连接BD，则∠ADG=∠ABD，根据∠ADG≠∠BAC，∠BAC=∠BCE=∠PQC，可得出∠ADG≠∠PQC，进而得到CB与GD不平行，可得⑤错误．【解答】解：∵在⊙O中，点C是的中点，∴=，∴∠CAD=∠ABC，故①正确；∵≠，∴≠，∴AD≠BC，故②错误；∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵CE⊥AB，∴∠ACE+∠CAE=∠ABC+∠CAE=90°，∴∠ACE=∠ABC，又∵C为的中点，∴=，∴∠CAP=∠ABC，∴∠ACE=∠CAP，∴AP=CP，∵∠ACQ=90°，∴∠ACP+∠PCQ=∠CAP+∠PQC=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵CE⊥AB∴根据射影定理，可得AC2=AE•AB，故④正确；如图，连接BD，则∠ADG=∠ABD，∵≠，∴≠，∴∠ABD≠∠BAC，∴∠ADG≠∠BAC，又∵∠BAC=∠BCE=∠PQC，∴∠ADG≠∠PQC，∴CB与GD不平行，故⑤错误．故答案为：D．12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，系列结论：（1）4a+b=0；（2）4a+c＞2b；（3）5a+3c＞0；（4）若点A（﹣2，y1），点B（，y2），点C（，y2）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若m≠2，则m（am+b）＞2（2a+b），其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】根据对称轴可判断（1）；根据当x=﹣2时y＜0可判断（2）；由图象过点（﹣1，0）知a﹣b+c=0，即c=﹣a+b=﹣a﹣4a=﹣5a，从而得5a+3c=5a﹣15a=﹣10a，再结合开口方向可判断（3）；根据二次函数的增减性可判断（4）；根据函数的最值可判断（5）．【解答】解：∵抛物线的对称轴为x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，故（1）正确；由图象知，当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＜0，∴4a+c＜2b，故（2）错误；∵图象过点（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，即c=﹣a+b=﹣a﹣4a=﹣5a，∴5a+3c=5a﹣15a=﹣10a，∵抛物线的开口向下，∴a＜0，则5a+3c=﹣10a＞0，故（3）正确；由图象知抛物线的开口向下，对称轴为x=2，∴离对称轴水平距离越远，函数值越小，∴y1＜y2＜y3，故（4）错误；∵当x=2时函数取得最大值，且m≠2，∴am2+bm+c＜4a+2b+c，即m（am+b）＜2（2a+b），故（5）错误；故选：A．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，则CD的长为5．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】易证△BAD∽△BCA，然后运用相似三角形的性质可求出BC，从而可得到CD的值．【解答】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，∴=．∵AB=6，BD=4，∴=，∴BC=9，∴CD=BC﹣BD=9﹣4=5．故答案为5．14．PA，PB分别切⊙O于A，B两点，点C为⊙O上不同于AB的任意一点，已知∠P=40°，则∠ACB的度数是70°或110°．【考点】切线的性质．【分析】连接OA、OB，可求得∠AOB，再分点C在上和上，可求得答案．【解答】解：如图，连接OA、OB，∵PA，PB分别切⊙O于A，B两点，∴∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣40°=140°，当点C1在上时，则∠AC1B=∠AOB=70°，当点C2在上时，则∠AC2B+∠AC1B=180°，∴∠AC2B=110°，故答案为：70°或110°．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为﹣．【考点】扇形面积的计算；中心对称图形．【分析】阴影部分的面积=三角形的面积﹣扇形的面积，根据面积公式计算即可．【解答】解：由旋转可知AD=BD，∵∠ACB=90°，AC=，∴CD=BD，∵CB=CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=∠CBD=60°，∴BC=1，∴阴影部分的面积=﹣，故答案为：﹣．16．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为2．【考点】反比例函数综合题．【分析】设M点坐标为（a，b），而M点在反比例函数图象上，则k=ab，即y=，由点M为矩形OABC对角线的交点，根据矩形的性质易得A（2a，0），C（0，2b），B（2a，2b），利用坐标的表示方法得到D点的横坐标为2a，E点的纵坐标为2b，而点D、点E在反比例函数y=的图象上（即它们的横纵坐标之积为ab），可得D点的纵坐标为b，E点的横坐标为a，利用S矩形OABC=S△OAD+S△OCE+S四边形ODBE，得到2a•2b=•2a•b+•2b•a+6，求出ab，即可得到k的值．【解答】解：设M点坐标为（a，b），则k=ab，即y=，∵点M为矩形OABC对角线的交点，∴A（2a，0），C（0，2b），B（2a，2b），∴D点的横坐标为2a，E点的纵坐标为2b，又∵点D、点E在反比例函数y=的图象上，∴D点的纵坐标为b，E点的横坐标为a，=S△OAD+S△OCE+S四边形ODBE，∵S矩形OABC∴2a•2b=•2a•b+•2b•a+6，∴ab=2，∴k=2．故答案为2．三、解答题（本大题共6小题，共64分）17．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0）；（3）△A2B2C2的面积是10平方单位．【考点】作图-位似变换；作图-平移变换．【分析】（1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可；（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．【解答】解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为：（2，﹣2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）∵A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：×20=10平方单位．故答案为：10．18．某中学举行演讲比赛，经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛．（1）请直接写出九年级同学获得第一名的概率是；（2）用列表法或是树状图计算九年级同学获得前两名的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）根据概率公式可得；（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）九年级同学获得第一名的概率是=，故答案为：；（2）画树状图如下：∴九年级同学获得前两名的概率为=．19．某商场试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=60时，y=50；x=70时，y=40．（1）求一次函数y=kx+b的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）根据总利润=单件利润×销售量列出函数解析式，再结合自变量的取值范围，依据二次函数的性质可得函数的最值情况．【解答】解：（1）根据题意得，解得：，∴一次函数的表达式为y=﹣x+110；（2）W=（x﹣50）（﹣x+100）=﹣x2+160x﹣5500，∵销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，即50≤x≤50×（1+40%），∴50≤x≤70，∵当x=﹣=80时不在范围内，∴当x=70时，W最大=800元，答：销售单价定为70元时，商场可获得最大利润，最大利润是800元．20．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（4，6）．双曲线y=（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是边上一点，且△BCF∽△EBD，求直线FB的解析式．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）由条件可先求得点D的坐标，代入反比例函数可求得k的值，又由点E的位置可求得E点的横坐标，代入可求得E点坐标；（2）由相似三角形的性质可求得CF的长，可求得OF，则可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线FB的解析式．【解答】解：（1）在矩形OABC中，∵B（4，6），∴BC边中点D的坐标为（2，6），∵又曲线y=的图象经过点（2，6），∴k=12，∵E点在AB上，∴E点的横坐标为4，∵y=经过点E，∴E点纵坐标为3，∴E点坐标为（4，3）；（2）由（1）得，BD=2，BE=3，BC=4，∵△FBC∽△DEB，∴=，即=，∴CF=，∴OF=，即点F的坐标为（0，），设直线FB的解析式为y=kx+b，而直线FB经过B（4，6），F（0，），∴，解得，∴直线BF的解析式为y=x+．21．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）当BC=4，AC=6时，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）连接OM，如图1，先证明OM∥BC，再根据等腰三角形的性质判断AE⊥BC，则OM⊥AE，然后根据切线的判定定理得到AE为⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，利用等腰三角形的性质得到BE=CE=BC=2，再证明△AOM∽△ABE，则利用相似比得到=，然后解关于r的方程即可；（3）作OH⊥BE于H，如图，易得四边形OHEM为矩形，则HE=OM=，所以BH=BE﹣HE=，再根据垂径定理得到BH=HG=，所以BG=1．【解答】（1）证明：连接OM，如图1，∵BM是∠ABC的平分线，∴∠OBM=∠CBM，∵OB=OM，∴∠OBM=∠OMB，∴∠CBM=∠OMB，∴OM∥BC，∵AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∴AE⊥BC，∴OM⊥AE，∴AE为⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，∵AB=AC=6，AE是∠BAC的平分线，∴BE=CE=BC=2，∵OM∥BE，∴△AOM∽△ABE，∴=，即=，解得r=，即设⊙O的半径为；（3）解：作OH⊥BE于H，如图，∵OM⊥EM，ME⊥BE，∴四边形OHEM为矩形，∴HE=OM=，∴BH=BE﹣HE=2﹣=，∵OH⊥BG，∴BH=HG=，∴BG=2BH=1．22．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A 和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC 的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定．【分析】方法一：（1）先把C（0，4）代入y=ax2+bx+c，得出c=4①，再由抛物线的对称轴x=﹣=1，得到b=﹣2a②，抛物线过点A（﹣2，0），得到0=4a﹣2b+c③，然后由①②③可解得，a=﹣，b=1，c=4，即可求出抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；（2）假设存在满足条件的点F，连结BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G．设点F的坐标为（t，﹣t2+t+4），则FH=﹣t2+t+4，FG=t，先=OB•FH=﹣t2+2t+8，S△OFC=OC•FG=2t，再由根据三角形的面积公式求出S△OBFS四边形ABFC=S△AOC+S△OBF+S△OFC，得到S四边形ABFC=﹣t2+4t+12．令﹣t2+4t+12=17，即t2﹣4t+5=0，由△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0，得出方程t2﹣4t+5=0无解，即不存在满足条件的点F；（3）先运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+4，再求出抛物线y=﹣x2+x+4的顶点D（1，），由点E在直线BC上，得到点E（1，3），于是DE=﹣3=．若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE=PQ，设点P的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣m2+m+4）．分两种情况进行讨论：①当0＜m＜4时，PQ=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+2m，解方程﹣m2+2m=，求出m的值，得到P1（3，1）；②当m＜0或m＞4时，PQ=（﹣m+4）﹣（﹣m2+m+4）=m2﹣2m，解方程m2﹣2m=，求出m的值，得到P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．方法二：（1）略．（2）利用水平底与铅垂高乘积的一半，可求出△BCF的面积函数，进而求出点F 坐标，因为，所以无解．（3）因为PQ∥DE，所以只需PQ=AC即可，求出PQ的参数长度便可列式求解．【解答】方法一：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点C（0，4），∴c=4 ①．∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a ②．∵抛物线过点A（﹣2，0），∴0=4a﹣2b+c ③，由①②③解得，a=﹣，b=1，c=4，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；（2）假设存在满足条件的点F，如图所示，连结BF、CF、OF，过点F作FH⊥x 轴于点H，FG⊥y轴于点G．设点F的坐标为（t，﹣t2+t+4），其中0＜t＜4，则FH=﹣t2+t+4，FG=t，=OB•FH=×4×（﹣t2+t+4）=﹣t2+2t+8，∴S△OBFS△OFC=OC•FG=×4×t=2t，=S△AOC+S△OBF+S△OFC=4﹣t2+2t+8+2t=﹣t2+4t+12．∴S四边形ABFC令﹣t2+4t+12=17，即t2﹣4t+5=0，则△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0，∴方程t2﹣4t+5=0无解，故不存在满足条件的点F；（3）设直线BC的解析式为y=kx+n（k≠0），∵B（4，0），C（0，4），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．由y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣1）2+，∴顶点D（1，），又点E在直线BC上，则点E（1，3），于是DE=﹣3=．若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE=PQ，设点P的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣m2+m+4）．①当0＜m＜4时，PQ=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+2m，由﹣m2+2m=，解得：m=1或3．当m=1时，线段PQ与DE重合，m=1舍去，∴m=3，P1（3，1）．②当m＜0或m＞4时，PQ=（﹣m+4）﹣（﹣m2+m+4）=m2﹣2m，由m2﹣2m=，解得m=2±，经检验适合题意，此时P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．综上所述，满足题意的点P有三个，分别是P1（3，1），P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．方法二：（1）略．（2）∵B（4，0），C（0，4），∴l BC：y=﹣x+4，过F点作x轴垂线，交BC于H，设F（t，﹣t2+t+4），∴H（t，﹣t+4），=S△ABC+S△BCF=17，∵S四边形ABFC∴（4+2）×4+（﹣t2+t+4+t﹣4）×4=17，∴t2﹣4t+5=0，∴△=（﹣4）2﹣4×5＜0，∴方程t2﹣4t+5=0无解，故不存在满足条件的点F．（3）∵DE∥PQ，∴当DE=PQ时，以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，∵y=﹣x2+x+4，∴D（1，），∵l BC：y=﹣x+4，∴E（1，3），∴DE=﹣3=，设点F的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣m2+m+4），∴|﹣m+4+m2﹣m﹣4|=，∴m2﹣2m=或m2﹣2m=﹣，∴m=1，m=3，m=2+，m=2﹣，经检验，当m=1时，线段PQ与DE重合，故舍去．∴P1（3，1），P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．。

2017~2018学年度武汉市部分学校九年级调研测试数学试卷考试时间：2018年1月25日14:00~16:00一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程x (x －5)＝0化成一般形式后，它的常数项是（ ）A ．－5B ．5C ．0D ．12．二次函数y ＝2(x －3)2－6（ ）A ．最小值为－6B ．最大值为－6C ．最小值为3D ．最大值为33．下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．事件①：射击运动员射击一次，命中靶心；事件②：购买一张彩票，没中奖，则（ ）A ．事件①是必然事件，事件②是随机事件B ．事件①是随机事件，事件②是必然事件C ．事件①和②都是随机事件D ．事件①和②都是必然事件5．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，下列说法正确的是（ ）A ．连续抛掷2次必有1次正面朝上B ．连续抛掷10次不可能都正面朝上C ．大量反复抛掷每100次出现正面朝上50次D ．通过抛掷硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的6．一元二次方程0322=++m x x 有两个不相等的实数根，则（ ）A ．m ＞3B ．m ＝3C ．m ＜3D ．m ≤3 7．圆的直径是13 cm ，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5 cm ，那么该直线和圆的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相切8．如图，等边△ABC 的边长为4，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 的中点，分别以A 、B 、C 三点为圆心，以AD 长为半径作三条圆弧，则图中三条圆弧的弧长之和是（ ） A ．πB ．2πC ．4πD ．6π9．如图，△ABC 的内切圆与三边分别相切于点D 、E 、F ，则下列等式：① ∠EDF ＝∠B ；② 2∠EDF ＝∠A ＋∠C ；③ 2∠A ＝∠FED ＋∠EDF ；④ ∠AED ＋∠BFE ＋∠CDF ＝180°，其中成立的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10．二次函数y ＝－x 2－2x ＋c 在－3≤x ≤2的范围内有最小值－5，则c 的值是（ ）A ．－6B ．－2C ．2D ．3二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．一元二次方程x 2－a ＝0的一个根是2，则a 的值是___________12．把抛物线y ＝2x 2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式是____13．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球标号的和等于5的概率是_______14．设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2 m ，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高x m ，列方程，并化成一般形式是___________15．如图，正六边形ABCDEF 中，P 是边ED 的中点，连接AP ，则ABAP＝___________16．在⊙O 中，弧AB 所对的圆心角∠AOB ＝108°，点C 为⊙O 上的动点，以AO 、AC 为边构造□AODC ．当∠A＝__________°时，线段BD 最长 三、解答题（共8题，共72分） 17．（本题8分）解方程：x 2＋x －3＝018．（本题8分）如图，在⊙O 中，半径OA 与弦BD 垂直，点C 在⊙O 上，∠AOB ＝80°(1) 若点C 在优弧BD 上，求∠ACD 的大小 (2) 若点C 在劣弧BD 上，直接写出∠ACD 的大小19．（本题8分）甲、乙、丙三个盒子中分别装有除颜色外都相同的小球，甲盒中装有两个球，分别为一个红球和一个绿球；乙盒中装有三个球，分别为两个绿球和一个红球；丙盒中装有两个球，分别为一个红球和一个绿球，从三个盒子中各随机取出一个小球 (1) 请画树状图，列举所有可能出现的结果 (2) 请直接写出事件“取出至少一个红球”的概率20．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中有点A (－4，0)、B (0，3)、P (a ，－a )三点，线段CD 与AB 关于点P 中心对称，其中A 、B 的对应点分别为C 、D (1) 当a ＝－4时① 在图中画出线段CD ，保留作图痕迹② 线段CD 向下平移个单位时，四边形ABCD 为菱形 (2) 当a ＝___________时，四边形ABCD 为正方形21．（本题8分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，CD切⊙O于点C，AE⊥CD于点E(1) 求证：AC平分∠DAE(2) 若AB＝6，BD＝2，求CE的长22．（本题10分）投资1万元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24 m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为x m(1) 设垂直于墙的一边长为y m，直接写出y与x之间的函数关系式(2) 若菜园面积为384 m2，求x的值(3) 求菜园的最大面积23．（本题10分）如图，点C为线段AB上一点，分别以AB、AC、CB为底作顶角为120°的等腰三角形，顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在AB的同侧，点D在另一侧）(1) 如图1，若点C是AB的中点，则∠AED＝___________(2) 如图2，若点C不是AB的中点①求证：△DEF为等边三角形②连接CD，若∠ADC＝90°，AB＝3，请直接写出EF的长24．（本题12分）已知抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，一次函数y＝kx＋b的图象l经过抛物线上的点C(m，n)(1) 求抛物线的解析式(2) 若m＝3，直线l与抛物线只有一个公共点，求k的值(3) 若k＝－2m＋2，直线l与抛物线的对称轴相交于点D，点P在对称轴上．当PD＝PC时，求点P的坐标。

2014.1.14元月调考《圆》2．如图所示，点A ，B 和C 在⊙O 上，已知∠AOB ＝40°，则∠ACB 的度数是（ ） A ．10° B ．20° C ．30° D ．40°10．如图，扇形AOD 中，∠AOD ＝90°，OA ＝6，点P 为弧AD 上任意一点（不与点A 和D 重合），PQ ⊥OD 于Q ，点I 为△OPQ 的内心，过O ，I 和D 三点的圆的半径为r . 则 当点P 在弧AD 上运动时，r 的值满足（ ）A ．30<<rB ．3=rC ．233<<rD ．23=r15．如图，P 为直径AB 上一点，点M 和N 在⊙O 上，且∠APM ＝∠NPB ＝30°，若 OP ＝2cm ，AB ＝16 cm ，则PN +PM ＝ cm ．16．已知圆锥的底面半径为1，全面积为4π，则圆锥的母线长为． 18．（本题6分）．如图，点A ，C 和B 都在⊙O 上，且四边形ACBO 为菱形． 求证：点C 是弧AB的中点．22．（本题8分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与边BC 和AC 相交于点E 和F ，过E 作⊙O 的切线交边AC 于H ．（1）求证：CH ＝FH ；（2）如图2，连接OH ，若OH ＝7，HC ＝1，求⊙O 的半径．CA 图1图2第5题图25．（本题12分）如图1，⊙P 的直径AB 的长为16，E 为半圆的中点，F 为劣弧EB 上的一动点，EF 和AB 的延长线交于C ，过C 作AB 的垂线交AF 的延长线于点D ． （1）求证：BC ＝DC ； （2）以直线AB 为x 轴，线段PB 的中垂线为y 轴，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，则点B 的坐标为（4，0）. 设点D 的坐标为（m ，n ），若m ，n 是方程082=+++p px x 的两根，求p 的值；（3）在（2）中的坐标系中，直线8+=kx y 上存在点H ，使△ABH 为直角三角形，若这样的H 点有且只有两个，请直接写出符合条件的k2015.1.28元月调考《圆》5．如图,在⊙O 中,弦AB 、AC 互相垂直,D 、E 分别为AB 、AC 的中点,则四边形OEAD 为A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．直角梯形7．圆的直径为13cm ，如果圆心与直线的距离是d ，则A ．当d=8cm 时，直线与圆相交B ．当d =4.5cm 时，直线与圆相离C ．当d =6.5cm 时，直线与圆相切D ．当d =13cm 时，直线与圆相切A图1D 图2图3A10．如图，在⊙O 中，弦AD 等于半径，B 为优弧AD 上的一动点，等腰△ABC 的底边BC 经过点D，若⊙O 的半径等于1，则OC 的长不可能为 A．2 B 1C ．2D 115．半径为3的圆内接正方形的边心距等于 。

2017年武汉市九年级元月调研测试数学试卷分析如火如荼的九年级元月调考在各校紧锣密鼓的组织中顺利拉下帷幕。

本次考试由武汉市教育科学研究院命题,因为这次考试既是对学生这半年来知识结构的查漏补缺,又适当透露出今年中考命题趋势,而且对学生能否入围分配生的选拔,起着重要的参考作用,所以无论是对考生,家长还是我们老师而言,结果都非常重要。

下面我就自己所带九(2)班考试情况作如下分析。

表一：实验中学九年级(02)班单科试卷分数段统计表(班级)(数学)表二：实验中学九年级(02)班单科试卷分数等级统计表(班级)(数学)（1）.试题结构稳定考试题型由选择题, 填空题，解答与证明题三个部分构成。

一直是平时我们熟识和训练的题型，因此能够被所有学生和我们老师接受，没有出现偏，难，怪的题目，其中，选择题满分30分，占全卷25%，填空题18分，占全卷15%，解答与证明共8题，共72分，占全卷60%，考试时间120分钟，分值120分。

（2）试题取材课本，回归教材本次数学考试结束后，学生们都有一个感受，比平时训练的题目容易上手，我们老师也有一个感受，很多题目来源课本，如选择题第9题源自数学课本152页综合运用第7题的情境；第19题一元二次方程与应用源自数学课本第22页拓广探索第9题；第20题概率问题中的题1和题2源自课本第139页中的练习和课本140页的拓广探索第7题，所以学生做来很有亲切感，就可以排除考试带来的紧张和压抑的心情，让学生在从容和镇定的最佳状态中应战。

（3）元调反思一、重视双基教学从整份试卷看，大多数题都是教材中常见的一般题型，然而试卷中发现学生做的不尽如人意，甚至有的学生做的很差，说明我们在教学中贪多，贪难，而不重视基础知识和基本技能的培养是不行的，不能眼高手低，所以今后要站在学生的角度加强基础知识基本技能的训练，并注意落实和巩固好。

二、重视数学思想和方法的指导其实每次考试的试题是不定性的，而解题的知识是永恒性的，在以后的教学中我们不能为教知识而教知识，不能处于一种模式化的教学，而要教会学生解题的思想和方法，这样才能使学生掌握数学的精髓，才能真正的提高能力。

与圆相关的动点轨迹问题1、 过动点P 向圆222:a y x C =+引两条切线，这两条切线的夹角为定值θ2，求动点P 的轨迹方程。

2、 已知定点()0,4A 和圆4:22=+y x C 上的动点B ，求动弦AB 的中点P 的轨迹方程。

3、 已知定点()0,3A 和圆1:22=+y x C 上的动点B ，AOB ∠的平分线交AB 于点P ，求点P 的轨迹方程。

4、 已知定点())0,1(,0,1B A -，BC 是圆1:22=+y x C 上的动弦，延长BC 到点D ，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程。

5、 已知定点())0,(,0,0a C B ，P 是PBC ∆的顶点，PB 的中线长为m 到点D ，求：点P 的轨迹方程。

6、 动圆被两条直线03,03=-=+y x y x 截得的弦长依次为8和4，求动圆圆心P 的轨迹方程。

7、 动圆与圆100:22=+y x C 内切，且过点)6,0(M ，求动圆圆心P 的轨迹方程。

8、 已知045,04B )0,4(=∠-APB A ），（，,动点P 的轨迹方程。

9、 已知)0,(),0,(a B a A -,以AB 为斜边作直角三角形，求两锐角的外角平分线的交点P 的轨迹方程。

10、对定点)0,1(A 和第一象限的动点B ，若090=∠OBA ，求OAB ∆的内切圆圆心的轨迹方程，并求内切圆面积的最大值。

11、点)0,(a A 是圆222:r y x O =+内一点)00(<<<r a ，C B ,是圆O 上两动点，且090=∠BAC ，求ABC ∆外心P 的轨迹方程。

12、已知)0,2(A 是圆4:22=+y x O 上一点，在圆上另取两点C B ,，使060=∠BAC ，求ABC ∆的重心G 的轨迹方程。

13、求两条动直线05=+-m y mx 与05=-+my x 的交点P 的轨迹方程。

14、已知)2,0(A ，圆4:22=+y x O ，S 为过点A 的切线上任意一点，SR 为圆的另一条切线，R 为切点，ASR ∆的垂心为H ，当S 在切线上变动时，求点H 的轨迹方程。

旋转最近二年真题1．（2017武汉元调）在平面直角坐标系中，有A（2，－1）、B（－1，－2）、C（2，1）、D（－2，1）四点，其中，关于原点对称的两点为（）A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A2．（2017武汉元调）在平面直角坐标系中，点C沿着某条路径运动，以点C为旋转中心，将点A（0，4）逆时针旋转90°到点B（m，1）．若－5≤m≤5，则点C运动的路径长为．3．（2017武汉元调）如图，在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别为A（4，0）、B（0，2），将△ABO绕点P（2，2）顺时针旋转得到△OCD，点A、B和O的对应点分别为点O、C和D．（1）画出△OCD，并写出点C和点D的坐标；（2）连接AC，在直线AC的右侧取点M，使∠AMC＝45°．①若点M在x轴上，则点M的坐标为，②若△ACM为直角三角形，求点M的坐标．综合题案例研究案例1旋转与作图【真题呈现】如图，正方形ABCD和直角△ABE，∠AEB＝90°，将△ABE绕点O旋转180°得到△CDF．（1）在图中画出点O和△CDF，并简要说明作图过程．（2）若AE＝12，AB＝13，求EF的长．DAECB真题解读第一问：将△ABE绕点O旋转180°得到△CDF可知，A的对应点为C，B的对应点为D，而中心对称图形的旋转中心为两对对应点的交点，故连接AC、BD相交点即为O，E的对应点为F，故延长EO得到F，使OF＝OE，连接CF、DE，则△CDF即为所求．第二问：考虑到△AOB为等腰直角三角形，可将△EOB绕点O顺时针旋转90°．【真题变式】1．△ABC中，∠ACB＝120°，以AB为边作等边△AB D．（1）将△ABC绕点D旋转180°，得到△EFG，画出△EFG，并简要说明作图过程；（2）若AC＝12，BC＝5，求CG的长．DC BA2．四边形ABCD中，AC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝45°．（1）以D为中心，将△ABC绕点D旋转180°，得到△EFG，画出△EFG，并简要说明作图过程；（2）若AB＝3，BC＝4，直接写出BF的长．案例2旋转变换与几何计算【真题呈现】如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为．【真题解读】直接求出BD不现实，我们可以考虑条件等腰直角△ABC，故可利用旋转，将△ADB绕A点顺时针旋转90°，得到△AD′C，连接DD′，条件即可集中．作AD′⊥AD，使AD′＝AD，连接CD′、DD′，易证：△BAD≌△CAD'（SAS）．由勾股定理得DD′＝42＋42＝42，D′C＝DC2＋DD′2＝9＋32＝41．∴BD′＝CD′＝41．【真题变式】C BADC BADD′C DAB1．四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，∠BCD ＝90°，BC ＝8，CD ＝6，则AC 的长为 ．2．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，∠BCD ＝60°，BC ＝2，CD＝，则AC 的长为 ．DCBA3．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，∠BCD ＝30°，BC ＝2，AC ＝14，则DC 的长为 ．DCBA案例3 等边三角形与旋转变换【真题呈现】如图，等边△ABC 和等边△ADE 摆放如图1，点D 、E 分别在边AB ，AC 上，以AB ，AE 为边作平行四边形ABFE ．连CF ，FD ，D C ．（1）求证：△CFD 为等边三角形；（2）将△ADE 绕点A 顺时针旋转一定角度，如图2，其它条件不变，求证：△CFD 为等边三角形．C EBF DFBA E C【真题解读】第一问：要证△CFD 为等边三角形，先证其他两边相等，再证有一个角为60°，几何直观：△CDA 绕点C 顺时针旋转60°得到△CFB ，如何证明：∵ CA ＝CB ，DA ＝AE ，而□AEF B ．∴AE ＝FB ，故AD ＝FB ，差夹角相等．故考虑平行线或导角，规范表述如下：∵∠FBC ＋∠CBA ＋∠A ＝180°，∴∠FBC ＝180°－60°×2＝60°＝∠A 易证△CFB ≌△CDA ，∴∠FCB ＝∠DCA ，CF ＝C D ． ∵∠DCA ＋∠BCD ＝60°，∴∠FCB ＋∠BCD ＝60°， 即△FCD 为等边三角形．CB DA第二问：用上一问的方法，仍证△CDA≌△CBF，难点仍是如何证∠FBC＝∠DAC，考虑△ADE旋转，也可以看作∠CAD变化，设∠CAD＝α，则∠EAB＝60°×2－α＝120°－α，∵FB∥EA，∴∠FBA＝180°－（120°－α）＝60°＋α，∴∠FBC＝∠FBA－∠CBA＝60°＋α－60°＝α从而得证，读者不妨设∠BAD＝β．【真题变式】 1．（1）（回归教材，九年级P 63）如图，△ABD ，△AEC 都是等边三角形，EB 与DC 有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？AE CBD（2）四边形ACBD 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝60°，∠ADB ＝α，BD ＝a ，AD ＝b ，①如图1，当α＝30°，a ＝6，b ＝8时，则CD ＝ ．②如图2，当α＝90°，a ＝3，b ＝2时，则CD ＝ ． ③如图3，当α＝75°，a ＝2，b ＝2时，则CD ＝ ． ④如图4，当α＝60°，a ＝3，b ＝4时，则CD ＝ ．图4B ACCAB 图3图2BAC图1BAC案例4 中点的妙用【真题呈现】如图，∠BAC ＝60°，∠CDE ＝∠120°，AB ＝AC ，DC ＝DE ，连接BE ，P 为BE 的中点． （1）如图1，若A 、C 、D 三点共线，求∠P AC 的度数； （2）如图2，若A 、C 、D 三点不共线，求证：AP ⊥DP ；（3）如图3，若点C 在线段BE 上，AB ＝1，CD ＝2，请直接写出PD 的长度．P E DC AB 图2图1图3ED P C AB【真题解读】第一问：从几何直观看所求结论∠P AC 估计为12∠BAC ＝30°；如何证明呢．从条件P 为BE 的中点，可倍长中线，寻求思路，即延长AP ，DE 相交于F ，读者不妨一试．规范表述如下：延长AP 、DE 相交于F ，∵P 为BE 的中点，∴BP ＝EP ，∵∠BAC ＝60°， ∠CDE ＝120°，∴∠BAC ＋∠CDE ＝180°，∴BA ∥DE ，∴∠ABP ＝∠FEP∠BAP ＝∠EFP ，∴△ABP ≌△FEP ，∴JF ＝∠BAP ，AB ＝AC ，CD ＝DE ，∴AB ＝AC ＝EF ， ∴AC ＋CD ＝FE ＋DE ，即DA ＝DF ，∴∠P AD ＝∠F ，∵∠F ＝∠BAP ，∴∠P AC ＝∠BAP ＝12∠BAC ＝12×60°＝30°．同样的理由，延长AB 、DP ，相交于F ，可试一试． 易证：△PDE ≌△PEB ，得到DE ＝BF ＝CD ；PD ＝PF ，再证AF ＝AD ，再利用等腰三角形“三线合一”得到AP平分∠BA C．联想中点的相关定理，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是否可先构造直角，连BC，CE，CP，则∠BCE＝90°，∴CP＝BP，再证△BAP≌△CAP．5．如图，AB＝BC，AB⊥EC，CD＝DE，CD⊥DE，M为AE中点．求证：BM＝MD，BM⊥M D．6．如图，AB＝BC，∠ABC＝α，CD＝DE，∠CDE＝β，且α＋β＝180°，M为AE的中点，求证：BM⊥M D．E7．如图1，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝C D．（1）求证：BD＝DE；（2）在图1中，将△DBE绕点B逆时针旋转到如图2所示位置，连AE，P为AE中点，连接PD、P C．探究线段PD、PC之间的关系；（3）如图3，将△DBE继续绕点B逆时针旋转，使D落在线段BC上，连AE，P为AE中点，连PD，若AB＝4，直接写出PD的长．C E。

21．（8分）已知：如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BC∥OP交⊙O于点C．（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若OA：PC=1：3，AD⊥PC于点D，求AD：PA的值．21.(8分）在⊙O中，AB是直径，C是⊙O上的一点.（1）如图1，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点D,若∠CAB=320,求∠D的度数；（2）如图2，F为AC上的一点，且OF经过弦AC的中点E,直线FC交AB的延长线于D,若AB=20,∠D=22.50,求△AOE的面积.21．（本题8分）已知：AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，C是优弧AD的中点，CE⊥DB交DB的延长线于点E(1) 如图1，判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由(2) 如图2，若CE＝4，BE＝3，连BC、CD，求cos∠BCD的值21．（本题8分）如图，以AB 为直径的⊙O 交△ABC 的边AC 于D 、BC 于E ，过D 作⊙O 的切线交BC 于F ，交BA 延长线于G ，且DF ⊥BC (1) 求证：BA ＝BC (2) 若AG ＝2，cosB ＝53，求DE 的长21．（8分）（2015•武汉校级二模）AB 为⊙O 的直径，PA 为⊙O 的切线，BC ∥OP 交⊙O 于C ，PO 交⊙O 于D ，（1）求证：PC 为⊙O 的切线；（2）过点D 作DE ⊥AB 于E ，交AC 于F ，PO 交AC 于H ，BD 交AC 于G ，DF=FG ，DF=5，CG=6，求⊙O 的半径．21．（8分）（2015•潜江）如图，AC 是⊙O 的直径，OB 是⊙O 的半径，PA 切⊙O 于点A ，PB 与AC 的延长线交于点M ，∠COB=∠APB ． （1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）当OB=3，PA=6时，求MB ，MC 的长．2，sin∠ABC 21．（本题8分）如图，已知⊙O的内接四边形ABCD的边AB是直径，BD平分∠ABC，AD＝5 4＝5(1) 求⊙O的半径(2) 如图2，点E是⊙O一点，连接EC交BD于点F．当CD＝DF时，求CE的长21．（本题8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC 于点F，CE为⊙O的直径(1) 求证：OD⊥CE(2) 若DF＝1，DC＝3，求AE的长21．（本题8分）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以BC为直径作⊙O交AB于点D(1) 点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由(2) 过O作BC的垂线交⊙O于F点，交AB于G点，求tan∠FBG21．（本题8分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上不同于A 、B 的两点，∠ABD ＝2∠BAC ，连接CD .过点C 作CE ⊥DB ，垂足为E ，直线AB 与CE 相交于点F (1) 求证：CF 为⊙O 的切线(2) 当BF ＝5，sinF ＝35时，求BD 的长21．（8分）（2015•东西湖区校级模拟）如图，在▱ABCD 中，AB ⊥AC ，以点A 为圆心，AB 为半径的圆交BC 于点E ．（1）求证：DE 为⊙O 的切线； （2）如果BE=4，CE=2，求DE 的值．21．（本题满分8分）（2014•泸州）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AC 和BD 相交于点E ，且DC 2＝CE ·CA ． （1）求证：BC ＝CD ；（2）分别延长AB ，DC 交于点P ，过点A 作AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F ，若PB ＝OB ，CD ＝22，求DF 的长．22．（本题8分）如图，C 和D 分别是⊙O 的半径OA 和弦AB 上的点，CD ⊥OA ，点E 在CD 的延长线上，ED＝EB(1) 求证：BE 与⊙O 相切(2) 如图2，已知AC ＝2CO ，△DEB 为等边三角形，若BE ＝3，求⊙O 的半径22.（本小题满分8分）如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙于点E 、F ， 过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长 AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF ．（1）试探究线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系，并加以证明； （2）若BC=6，tan∠F=12，求cos∠ACB 的值和线段PE 的长．21．已知，⊙O 的直径AB ＝12，AM 和BN 是它的两条切线，DE 与⊙O 相切于点E ，并与AM 、BN 分别相交于D 、C 两点(1) 如图1，设AD ＝x ，BC ＝y ，求y 与x 的函数解析式 (2) 如图2，连BD ，若AD ＝4，求sin ∠BDC。

元调中的圆【13年】10.点I 利点0分别是Z\ABC 的内心和外心，则ZATB 和ZAOB 的关系为()A. ZAIB=ZAOBB. ZAIBHZA0BC. 2ZAIB--ZAOB=180°D. 2ZAOB--ZA1B=18O° 2 2 13.如图在00中，半径OA 丄弦BC, ZAOB 二50。

，则圆周角ZADC= _________ ；22.如图,在RtAABC 中,ZACB 二90° , BOAC, 00为△ABC 的外接圆，以点C 为圆心,BC 长为半径作弧交CA 的延长线于点D,交于点E,连BE, DE(1) 求ZDEB 的度数；(2) 若冇线DE 交于F,判断点F 在半圆AB 上的位置，并证明你的结论.24.己知等边三角形ABC,边长为4,点D 从点A 出发，沿AB 运动到点到点B 停止运动, 点E 从点A 出发沿直线AC 运动，点D 的速度为每秒1个驻位，点E 的速度为每秒2个单位, 它们同时出发，同时停止，以点E 为圆心，DE 长为半径作圆，设E 点的运动时间为t 秒. (1) 如图1,判断OE 与AB 的位置关系，并证明你的结论；(2) 如图2,当OE 与BC 切于点F 时，求t 的值；(3) 以点C 为圆心,CE 的长为半径作OC, OC 与射线AC 交于点G,当OC 与OE 相切时, 直接写岀t 的值为 ______________ •BDC CD A25.如图，在边长为1的等边AOAB中，以边AB为直径作OD,以0为圆心，0A的长为半径作恻0, C为半恻AB上不与A、13重合的一动点，射线AC交恻0于点E, BC=a, AC=b.(1)求证：AE=b+ V3tz(2)求a+b的最大值;(3)若m是关于x的方程X1 +^cix = b2的一个根，求m的取值范围•【12年】12.如图，AB是半圆直径，半径0C丄AB于O,AD平分ZCAB交弧BC 丁•点D,连接CD, 0D.下列结论：①AC〃OD;②CE二0E ;③ZOED=ZAOD :④CD二DE.其中止确结论的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个c B14.半径为4的正六边形的边心距为______ ,中心角筹于_______ 度，而积为________ .19.如图，A、B是上的两点，ZA0B=1200, C是弧AB的中点，求证：四边形OACB是菱形21・小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图，在00中，0\1丄弦AB 于点M, ON 丄弦CD 于点N,若0M 二ON,则AB =CD ・（1） 请帮小辩证明拉个结论；（2） 运用以上结论解决问题：在RtAABC 中，ZABC=90° , 0为AABC 的内心，以0为圆 心，0B 为半径的。

与圆有关的动点问题（近3年均在第10题考查）1．如图，AB 为⊙O 的直径，AB ＝8，点C 为圆上任意一点，OD ⊥AC 于D ，当点C 在⊙O 上运动一周，点D 运动的路径长为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π2．如图，⊙O 的半径为6，B 是优弧AD 上一动点，∠B ＝30°，AC 是⊙O 的切线，则CD 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．63．如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 的优弧AB 上一动点，且∠ACB ＝30°，点E 是AC 的中点，直线EF ∥AB 与⊙O 交于G 、H 两点，交BC 于点F ，若⊙O 的半径为6，则GE＋FH 的最大值( )A ．不存在B ．6C ．8D ．94．如图，在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝9，BC ＝9，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、F ，则线段EF 长度的最小值是（ ）A ．7B ．185 C ．14 D ．3655．如图，点C 是⊙O 上一动点，弦AB ＝6，∠ACB ＝120°，△ABC 内切圆半径r 的最大值为（ ）AB ．C ．6－D ．6ABC 内接于⊙O ，点D 为劣弧AC 上一动点（且与A 、C 不重合），则四边形ABCD 的最大面积为（ ）A ．2B ．4 CD ．7．如图，半径为2的⊙O 中，弦BC ＝A 是优弧 BC上的一个动点，P 点是△ABC 的第1题图BA第2题图第3题图第4题图AF ECB 第5题图第6题图第7题图第8题图内心，经过B 、C 、P 三点作⊙M ，当点A 运动时，⊙M 的半径（ ）A ．发生变化，随A 位置决定B ．不变，等于2C ．有最大值为D ．有最小值为18．如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝6，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB ＝45°，若点M 、 N 分别是AB 、BC 的中点，则MN 长的最大值是（ ） A ．B ．C ．D ．9．如图，A 、B 是半圆O 上的两点，MN 是直径，OB ⊥MN ．若AB ＝4，OB ＝5，P 是MN 上的一动点，则PA ＋PB 的最小值为（ ） A ．B ．2 C ．D10．在半径为7的圆O 中，AC 为其直径，点B 是圆上的定点，∠ACB ＝30°，点A ＇在AC 上运动（不与A ，C 重合），C ＇B ⊥A ＇B 交A ＇C 的延长线于点C ＇，则BC ＇的最大值为（ ）A ．14B ．21C ．D ．11．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝D 是直线AC 上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的范围是（ ） A ．－2≤CE ≤＋2 B ．≤CE ≤＋2 C ．－2＜CE ＜＋2 D ．CE ＜212．如图，⊙O 的半径为2，AB 、CD 是互相垂直的两条直径，点P 是⊙O 上任意一点（P 与A ，B ，C ，D 不重合），过点P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥CD 于点N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周转过45°时，点Q 走过的路径长为（ ） A ．4π B ．2π C ．6π D ．3π 13．在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，点E 是AD 边的中点，点F 是AB 延长线上的一动点，将△AEF 沿EF 所在直线翻折得到△A ＇EF ，连接A ＇C ，则A ＇C 的最小值为（ ） A ．3 BC1 D ．2第9题图第10题图第11题图BC第12题图14．已知A 、B 为⊙O 上两点，且OB ＝AB ＝4，C 为优弧 AB 上一动点（C 不与A 、B 重合），过点B 作BD ⊥BC 交直线CA 的延长线于点D ，则△ABD 面积的最大值为（ ） A ．B ．C ．D15．如图，AB 为⊙O 的直径，AB ＝C 为半圆AB 上一动点，以BC 为边向⊙O 作等边△BCD （点D 在直线AB 的上方），连接OD ，则线段OD 的长（ ）A ．随点C 的运动而变化，最大值为4B ．随点C 的运动而变化，最大值为C ．随点C 的运动而变化，最大值为2D ．随点C 的运动而变化，但无最值16．如图，⊙O 的半径是2，直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点，M 、N 是⊙O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若∠AMB ＝45°，则四边形MANB 面积的最大值是（ ） A ．8 B ．C ．D ．417．如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠BCA ＝90°，AB ＝2AC ＝4，点P 在优弧 CAB上由点C 向点B 移动，但不与点C 、B 重合，点I 为△PBC 的内心，则点I 随点P 移动所经过的路径长l 的取值范围是（ ）A ．l ＜43πB ．l ＜23πC ．0＜l ＜43πD ．0＜l ＜23π 18．如图，已知线段AB ＝4，C 为线段AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），分别以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O 的半径最小值为（ ）ABCD ．2第20题图19．如图，⊙O 的半径是2，AB 、CD 是⊙O 的直径，P 是 BC上任意一点，PM ⊥CD 于M ，第13题图CDA'E F BAD第14题图A第15题图D第16题图第17题图第18题图第19题图PN ⊥AB 于N ，MN 的最大值为（ ） AB ．1C ．2D ．20．如图，等腰Rt △ABC 内接于⊙O ，AB=D 为AB 的中点，P 为⊙O 上一动点，则线段DP 的最大值为（ ） A．2B．4 C． D．621．如图，正方形OABC 的边长为2．以O 为圆心，EF 为直径的半圆经过点A ，连接AE ，CF 相交于点P ，将正方形OABC 从OA 与OF 重合的位置开始，绕着点O 逆时针旋转90°，则点P 运动的路径长是 ( )A ．2πB ．π CD ．3π第21题图第22题图第23题图第24题图第25题图22．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AD ＝2，AB ＝6，以AB 为直径的⊙O 切CD 于点E ，F 在劣弧 BE上运动，过点F 的直线MN 为⊙O 的切线，MN 交BC 于M ，交CD 于N ，则△MCN 的周长 ( )A ．不变，等于9B ．随点F 的运动而变化，最大值为9C ．随点F 的运动而变化，最小值为9D ．随点F 的运动而变化，无法确定23如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A =45°，BC =4，当点D 在优弧 BAC上由B 点运动到C 点时，弦AD 的中点E 运动的路径长为 （ ）．AπB. C ． 2πD. 24如图，在等腰Rt △ABC 中,BC =AB =4,点D 在以斜边AC 为直径的圆上，点E 在线段DB 的延长线上，EB ＝12BD ，当点D 在劣弧 AB 上从点A 运动至点B 时，点E 运动的路径长是（ ）A．2π Bc ．π D 2π 25如图，已知直线l 经过圆心O ，P 是半径OM 上一动点，当半径OM 绕点O 旋转时，总有点P 到点O 的距离等于点M 到直线l 的距离，若OM ＝10，则当OM 绕点O 旋转一周时，点P 运动的路程是（ ）A ．10πB ． 15πC ． 20πD ．25π。