第四章 圆与方程集体备课教案(吴元江、袁利梅)

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直线与圆的位置关系第课时明确目标能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.重点难点重点：难点：课型□讲授□习题□复习□讨论□其它教学内容与教师活动设计学生活动设计一、先学后讲1.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种,即、和相离，判定的方法有两种:（1）代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究.若有两组不同的实数解，即0∆>，则；若有两组相同的实数解，即0∆=，则；若无实数解，即0∆<,则．即（判别式法）∆>⇔⎧⎪∆=⇔⎨⎪∆<⇔⎩相交相切相离（2）几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当d<r时，直线与圆；当d=r时，直线与圆；当d>r时，直线与圆．即d rd rd r<⇔⎧⎪=⇔⎨⎪>⇔⎩相交相切相离以上两种方法比较：为避免运算量过大，一般不用代数法,而是用几何法.二、合作探究1。

直线与圆的位置关系例1试判断直线:l y =2x +1和圆:C x 2+y 2=4的位置关系。

【思路分析】解决本题的方法主要有两个,其一是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系（几何法);其二是引入二次函数,利用方程根来解决(判别式法)。

第四章圆与方程本章教材分析上一章,学生已经学习了直线与方程,知道在直角坐标系中,直线可以用方程表示,通过方程,可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题,对数形结合的思想方法有了初步体验.本章将在上章学习了直线与方程的基础上,学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程,运用代数方法研究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,了解空间直角坐标系,以便为今后的坐标法研究空间的几何对象奠定基础,这些知识是进一步学习圆锥曲线方程、导数和微积分的基础,在这个过程中进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力.通过方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重点内容之一,坐标法不仅是研究几何问题的重要方法,而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法,通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一,因此在教学过程中,要始终贯穿坐标法这一重要思想,不怕反复.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆;然后对坐标和方程进行代数运算;最后把运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是坐标法解决几何问题的三步曲.坐标法还可以与平面几何中的综合方法、向量方法建立联系,同时可以推广到空间,解决立体几何问题.§4.1 圆的方程§4.1.1 圆的标准方程一、教材分析在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.二、教学目标1．知识与技能（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.（2）会用待定系数法求圆的标准方程.2．过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.3．情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.三、教学重点与难点教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.课前准备：(用淀粉在一张白纸上画上海和山)说明:在白纸上要表演的是一个小魔术,名称是《日出》,所以还缺少一个太阳,请学生帮助在白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳.课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美(点评:其实每个人心中都有一个自己的太阳,每个人都有自己的审美观点).然后上升到数学层次：不同的圆心和半径对应着不同的圆,进而对应着不同的圆的方程.从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.那么在给定圆心和半径的基础上,结合我们前面所学的直线方程的求解,应该如何建立圆的方程？教师板书本节课题:圆的标准方程.思路2.同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程.（二）推进新课、新知探究、提出问题①已知两点A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离?②具有什么性质的点的轨迹称为圆？③图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图1④我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么?⑤如果已知圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r,我们如何写出圆的方程? ⑥圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？讨论结果：①根据两点之间的距离公式221221)()(y y x x -+-,得 |AB|=212)59()62(22=++-,|CD|=22)8()3(++-y x .②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上画一个圆). ③圆心C 是定点,圆周上的点M 是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.④确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了.⑤确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a 、b 、r 都是常数,r ＞0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件22)()(b y a x -+-=r.①将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r 2. 化简可得(x-a)2+(y-b)2=r 2.②若点M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点M 的坐标满足方程②,反之若点M 的坐标满足方程②,这就说明点M 与圆心C 的距离为r,即点M 在圆心为C 的圆上.方程②就是圆心为C(a,b),半径长为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.⑥这是二元二次方程,展开后没有xy 项,括号内变数x,y 的系数都是1.点(a,b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x 2+y 2=r 2.提出问题①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么? ②确定圆的方程的方法和步骤是什么?③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?讨论结果：①圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2中,有三个参数a 、b 、r,只要求出a 、b 、r 且r ＞0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.②确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a 、b 、r 的方程组,求a 、b 、r 或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为：1°根据题意,设所求的圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2； 2°根据已知条件,建立关于a 、b 、r 的方程组； 3°解方程组,求出a 、b 、r 的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程. ③点M(x 0,y 0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r 2的关系的判断方法：当点M(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上时,点M 的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r 2.当点M(x 0,y 0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上时,点M 的坐标不满足方程(x-a)2+(y-b)2=r 2. 用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为: 1°点到圆心的距离大于半径,点在圆外⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2＞r 2,点在圆外; 2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2,点在圆上; 3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2＜r 2,点在圆内.（三）应用示例思路1例1 写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点,半径是3；⑵圆心在点C(3,4),半径是5;(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)；(4)圆心在点C(1,3),并且和直线3x-4y-7=0相切.解:(1)由于圆心在原点,半径是3,所以圆的标准方程为(x-0)2+(y-0)2=32,即x 2+y 2=9.(2)由于圆心在点C(3,4),半径是5,所以圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5.(3)方法一:圆的半径r=|CP|=25)31()85(22=++-=5,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.方法二:设圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=r 2,因为圆经过点P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r 2,r 2=25,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题的方便而定.(4)设圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=r 2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以r=25|16|25|7123|=--.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=25256. 点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例2 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M 1(5,-7),M 2(-5,-1)是否在这个圆上.解:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是 (x-2)2+(y+3)2=25,把点M 1(5,-7),M 2(-5,,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25,则M 1的坐标满足方程,M 1在圆上.M 2的坐标不满足方程,M 2不在圆上.点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何.例3 △ABC 的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.活动：教师引导学生从圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a 、b 、r 三个参数.另外可利用直线AB 与AC 的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法.解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上, 它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r 2,于是⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-=-+-)3(.)8()2()2()3()7()1(,)1()5(222222222r b a r b a r b a 解此方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.5,3,2r b a 所以△ABC 的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.解法二:线段AB 的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段AB 的垂直平分线的方程为y+1=21(x-6). 同理线段AC 的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为3,所以线段AC 的垂直平分线的方程为y+3.5=3(x-3.5).解由①②组成的方程组得x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径r=22)31()25(++-=5,所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.点评:△ABC 外接圆的圆心是△ABC 的外心,它是△ABC 三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路.思路2例1 图2是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,在建造时每隔4 m 需用一个支柱支撑,求支柱A 2P 2的长度(精确到0.01 m).图2解:建立坐标系如图,圆心在y 轴上,由题意得P(0,4),B(10,0). 设圆的方程为x 2+(y-b)2=r 2,因为点P(0,4)和B(10,0)在圆上,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.)0(10,)4(0222222r b r b 解得⎩⎨⎧=-=,5.14,5.1022r b 所以这个圆的方程是x 2+(y+10.5)2=14.52.设点P 2(-2,y 0),由题意y 0＞0,代入圆方程得(-2)2+(y 0+10.5)2=14.52, 解得y 0=2225.14--10.5≈14.36-10.5=3.86(m). 答：支柱A 2P 2的长度约为3.86 m.例2 求与圆x 2+y 2-2x=0外切,且与直线x+3y=0相切于点(3,-3)的圆的方程.活动:学生审题,注意题目的特点,教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题.首先利用配方法,把已知圆的方程写成标准方程,再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组,求出参数,得到所求的圆的方程.解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.圆x 2+y 2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1.因为两圆外切,所以圆心距等于两圆半径之和,即22)0()1(-+-b a =r+1, ①由圆与直线x+3y=0相切于点(3,-3),得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-∙-+)3(.)3(1|3|)2(,1)31(332r b a a b解得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-43,r=6.故所求圆的方程为(x-4)2+y 2=4或x 2+(y+43)2=36.点评:一般情况下,如果已知圆心(或易于求出)或圆心到某一直线的距离(或易于求出),可用圆的标准方程来求解,用待定系数法,求出圆心坐标和半径.变式训练一圆过原点O 和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,求此圆的方程.解法一：因为圆心在直线y=x+2上,所以设圆心坐标为(a,a+2). 则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r 2. 因为点O(0,0)和P(1,3)在圆上,所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-,)23()1(,)20()0(222222r a a r a a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.825,412r a 所以所求的圆的方程为(x+41)2+(y-47)2=825.解法二：由题意：圆的弦OP 的斜率为3,中点坐标为(21,23), 所以弦OP 的垂直平分线方程为y-23=-31(x-21),即x+3y-5=0. 因为圆心在直线y=x+2上,且圆心在弦OP 的垂直平分线上,所以由⎩⎨⎧=-++=,053,2y x x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,47,41y x ,即圆心坐标为C(-41,47).又因为圆的半径r=|OC|=825)47()41(22=+-, 所以所求的圆的方程为(x+41)2+(y-47)2=825.点评:(1)圆的标准方程中有a 、b 、r 三个量,要求圆的标准方程即要求a 、b 、r 三个量,有时可用待定系数法.(2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用. 例3 求下列圆的方程:(1)圆心在直线y=-2x 上且与直线y=1-x 相切于点(2,-1). (2)圆心在点(2,-1),且截直线y=x-1所得弦长为22.解:(1)设圆心坐标为(a,-2a),由题意知圆与直线y=1-x 相切于点(2,-1),所以2222)12()2(11|12|+-+-=+--a a a a ,解得a=1.所以所求圆心坐标为(1,-2),半径r=22)12()21(+-+-=2.所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(2)设圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=r 2(r ＞0),由题意知圆心到直线y=x-1的距离为d=2211|112|+-+=2.又直线y=x-1被圆截得弦长为22,所以由弦长公式得r 2-d 2=2,即r=2.所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4. 点评:本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关,故都利用了圆的标准方程求解,此外平面几何的性质的应用,使得解法简便了许多,所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用,从确定圆的圆心和半径入手来解决.（四）知能训练课本本节练习1、2.（一）拓展提升1.求圆心在直线y=2x 上且与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圆的方程.活动:学生思考交流,教师提示引导,求圆的方程,无非就是确定圆的圆心和半径,师生共同探讨解题方法. 解:首先两平行线的距离d=2221B A C C +-=2,所以半径为r=2d =1. 方法一：设与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距离相等的直线方程为3x+4y+k=0,由平行线间的距离公式d=2221||BA C C +-,得222234|3|43|7|+-=++k k ,即k=-2,所以直线方程为3x+4y-2=0.解3x+4y-2=0与y=2x 组成的方程组⎩⎨⎧==-+,2,0243x y y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,114,112y x ,因此圆心坐标为(112,114).又半径为r=1,所以所求圆的方程为(x-112)2+(y-114)2=1. 方法二：解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==++⎩⎨⎧==-+.113,116117,1114,2,0343,2,0743x y x y x y y x x y y x 和得与因此圆心坐标为(112,114).又半径r=1,所以所求圆的方程为(x-112)2+(y-114)2=1. 点评:要充分考虑各几何元素间的位置关系,把它转化为代数问题来处理.（六）课堂小结①圆的标准方程.②点与圆的位置关系的判断方法.③根据已知条件求圆的标准方程的方法.④利用圆的平面几何的知识构建方程.⑤直径端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.（七）作业1.复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系有关内容.2.预习有关圆的切线方程的求法.3.课本习题4.1 A组第2、3题.§4.1.2 圆的一般方程一、教材分析教材通过将二元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0配方后化为(x+2D )2+(y+2F )2=4422FE D -+后只需讨论D 2+E 2-4F ＞0、D 2+E 2-4F=0、D 2+E 2-4F ＜0.与圆的标准方程比较可知D 2+E 2-4F ＞0时,表示以(-2D ,-2E)为圆心,21F E D 422-+为半径的圆；当D 2+E 2-4F=0时,方程只有实数解x=-2D ,y=-2E ,即只表示一个点(-2D ,-2E);当D 2+E 2-4F ＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形. 从而得出圆的一般方程的特点：(1)x 2和y 2的系数相同,不等于0；(2)没有x·y 这样的二次项；(3)D 2+E 2-4F ＞0.其中(1)和(2)是二元一次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的必要条件,但不是充分条件,只有三条同时满足才是充要条件.同圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2含有三个待定系数a 、b 、r 一样,圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0中也含有三个待定系数D 、E 、F,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆.同样可以用待定系数法求得圆的一般方程.在实际问题中,究竟使用圆的标准方程还是使用圆的一般方程更好呢？应根据具体问题确定.圆的标准方程的特点是明确指出了圆心的坐标和圆的半径,因此,对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题,一般采用圆的标准方程.如果已知条件和圆心坐标、圆的半径都无直接关系,通常采用圆的一般方程；有时两种方程形式都可用时也常采用圆的一般方程的形式,这是因为它可避免解三元二次方程组.圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长.我们知道,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,它有利于研究圆的有关性质和作图.而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中,哪些是圆的方程,哪些不是圆的方程,它们各有自己的优点,在教学过程中,应当使学生熟练地掌握圆的标准方程与圆的一般方程的互化,尤其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和半径.要画出圆,就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程,然后才能画出曲线的形状.这充分说明了学生熟练地掌握这两种方程互化的重要性和必要性.二、教学目标1．知识与技能（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2．过程与方法通过对方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3．情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.三、教学重点与难点教学重点：圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D 、E 、F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.①说出圆心为(a,b),半径为r 的圆的标准方程.②学生练习:将以C(a,b)为圆心,r 为半径的圆的标准方程展开并整理得x 2+y 2-2ax-2by+a 2+b 2-r 2=0.③指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a 2+b 2-r 2,得到方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.④能不能说方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢?这就是我们本堂课的内容,教师板书课题:圆的一般方程.思路2.问题：求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式.教师板书课题:圆的一般方程.（二）推进新课、新知探究、提出问题①前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法?②这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢?③给出式子x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,请你利用配方法化成不含x 和y 的一次项的式子.④把式子(x －a)2＋(y －b)2=r 2与x 2+y 2+Dx+Ey+F=0配方后的式子比较,得出x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.⑤对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点?讨论结果：①以前学习过直线,我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式,最后学习一般式.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、…)展开整理而得到的.②我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程,把标准形式展开,整理得到,也是从特殊到一般.③把式子x 2+y 2+Dx+Ey+F=0配方得(x+2D )2+(y+2E )2=4422FE D -+.④(x －a)2＋(y －b)2=r 2中,r ＞0时表示圆,r=0时表示点(a,b),r ＜0时不表示任何图形.因此式子(x+2D )2+(y+2E )2=4422FE D -+.(ⅰ)当D 2+E 2-4F ＞0时,表示以(-2D ,-2E )为圆心,21F E D 422-+为半径的圆； (ⅱ)当D 2+E 2-4F=0时,方程只有实数解x=-2D ,y=-2E ,即只表示一个点(-2D ,-2E);(ⅲ)当D 2+E 2-4F ＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.综上所述,方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D 2+E 2-4F ＞0时,它表示的曲线才是圆.因此x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D 2+E 2-4F ＞0. 我们把形如x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程称为圆的一般方程. ⑤圆的一般方程形式上的特点:x 2和y 2的系数相同,不等于0.没有xy 这样的二次项.圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.（三）应用示例思路1例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.(1)4x 2+4y 2-4x+12y+9=0;(2)4x 2+4y 2-4x+12y+11=0.解:(1)由4x 2+4y 2-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=49, 而D 2+E 2-4F=1+9-9=1＞0,所以方程4x 2+4y 2-4x+12y+9=0表示圆的方程,其圆心坐标为(21,-23),半径为21； (2)由4x 2+4y 2-4x+12y+11=0,得 D=-1,E=3,F=411,D 2+E 2-4F=1+9-11=-1＜0, 所以方程4x 2+4y 2-4x+12y+11=0不表示圆的方程.点评:对于形如Ax 2+By 2+Dx+Ey+F=0的方程判断其方程是否表示圆,要化为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的形式,再利用条件D 2+E 2-4F 与0的大小判断,不能直接套用.另外,直接配方也可以判断.变式训练求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x 2+y 2-8x+6y=0;(2)x 2+y 2+2by=0.解:(1)把x 2+y 2-8x+6y=0配方,得(x －4)2＋(y+3)2=52,所以圆心坐标为(4,-3),半径为5； (2)x 2+y 2+2by=0配方,得x 2＋(y+b)2=b 2,所以圆心坐标为(0,-b),半径为|b|.例2 求过三点O(0,0)、M 1(1,1)、M 2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标.解:方法一：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,由O 、M 1、M 2在圆上,则有⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=.02024,02.0F E D F E D F 解得D=-8,E=6,F=0,故所求圆的方程为x 2+y 2-8x+6y=0,即(x －4)2＋(y+3)2=52.所以圆心坐标为(4,-3),半径为5.方法二：先求出OM 1的中点E(21,21),M 1M 2的中点F(25,23), 再写出OM 1的垂直平分线PE 的直线方程y-21=-(x-21), ①AB 的垂直平分线PF 的直线方程y-23=-3(x-25), ②联立①②得⎩⎨⎧=+=+,93,1y x y x 得⎩⎨⎧-==.3,4y x 则点P 的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5为半径.方法三：设所求圆的圆心坐标为P(a,b),根据圆的性质可得|OP|=|AP|=|BP|,即x 2+y 2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2,解之得P(4,-3),OP=5为半径.方法四：设所求圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2=r 2,因为O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于a 、b 、r 的方程组,即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+=-+-.)2()4(,,)1()1(222222222r b a r b a r b a解此方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.5,3,4r b a 所以所求圆的方程为(x －4)2＋(y+3)2=52,圆心坐标为(4,-3),半径为5.点评：请同学们比较,关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程.一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程.例3 已知点P(10,0),Q 为圆x 2+y 2=16上一动点.当Q 在圆上运动时,求PQ 的中点M 的轨迹方程.活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.图1解法一:如图1,作MN ∥OQ 交x 轴于N, 则N 为OP 的中点,即N(5,0). 因为|MN|=21|OQ|=2(定长). 所以所求点M 的轨迹方程为(x-5)2+y 2=4.点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M 的运动情况,探求它是由什么样的点控制的.解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0,y 0).因为M 是PQ 的中点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2.102,20,2100000y y x x y y x x 即 (*) 又因为Q(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=16上,所以x 02+y 02=16.将(*)代入得(2x-10)2+(2y)2=16.故所求的轨迹方程为(x-5)2+y 2=4.点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x 0,y 0). ②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎪⎩⎪⎨⎧==).,(),,(002001y x f y y x f x (Ⅰ)③从(Ⅰ)中解出⎪⎩⎪⎨⎧==).,(),,(2010y x g y y x g x (Ⅱ)④将(Ⅱ)代入主动点Q 的轨迹方程(已知曲线的方程),化简得被动点的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法也叫相关点法,以后要注意运用. 变式训练已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)2+y 2=4上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.解:设点M 的坐标是(x,y), 点A 的坐标是(x 0,y 0).由于点B 的坐标是(4,3)且M 是线段AB 的中点,所以x=240+x ,y=230+y .于是有x 0=2x-4,y 0=2y-3. 因为点A 在圆(x+1)2+y 2=4上运动,所以点A 的坐标满足方程(x+1)2+y 2=4,即(x 0+1)2+y 02=4.② 把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得(x-23)2+(y-23)2=1. 所以点M 的轨迹是以(23,23)为圆心,半径长为1的圆.思路2例1 求圆心在直线l ：x+y=0上,且过两圆C 1:x 2+y 2-2x+10y-24=0和C 2:x 2+y 2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程.活动:学生审题,教师引导,强调应注意的问题,根据题目特点分析解题思路,确定解题方法.由于两圆的交点可求,圆心在一直线上,所以应先求交点再设圆的标准方程.解:解两圆方程组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-+-+.0822,0241022222y x y x y x y x 得两圆交点为(0,2),(-4,0). 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,因为两点在所求圆上,且圆心在直线l 上,所以得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+=+--.0,)2(,)4(222222b a r b a r b a 解得a=-3,b=3,r=10.故所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.点评：由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程.例2 已知圆在x 轴上的截距分别为1和3,在y 轴上的截距为-1,求该圆的方程.解法一:利用圆的一般方程.设所求的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,由已知,该圆经过点(1,0),(3,0)和(0,-1),则有⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++=++.0)1(,033,0122F E F D F D ,解之得D=-4,E=4,F=3.故所求圆的方程为x 2+y 2-4x+4y+3=0. 解法二:利用圆的标准方程.由题意该圆经过P(1,0),Q(3,0),R(-1,0),设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,则圆心C(a,b)在PQ 的垂直平分线上,故a=2.因为|PC|=|RC|,所以2222)1()1(++=+-b a b a .将a=2代入,得b=-2,所以C(2,-2).而r=|PC|=5,故所求圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=5.例3 试求圆C:x 2+y 2-x+2y=0关于直线l:x-y+1=0对称的曲线C′的方程.活动：学生先思考,然后解答,教师引导学生抓住本质的东西,即圆的圆心坐标变化、半径不变,另外可利用相关点法来求.解法一:设P′(x,y)为所求曲线C′上任意一点,P′关于l 的对称点为P(x 0,y 0),则P(x 0,y 0)在圆C 上.。

一、教学内容：1范围：数学必修2，课本78—86页。

2.课时划分：§2圆与圆的方程§2.1圆的标准方程---------1课时。

§2.2圆的一般方程---------1课时§2.3直线与圆、圆与圆的位置关系-------2课时。

二课标要求：1. 回顾确定圆的几何要素，通过具体的实例，探索并掌握圆的标准方程，可以根据圆的标准方程找出圆心与半径，并能由条件写出圆的方程。

2. 理解记忆圆的一般方程的代数特征，掌握用待定系数法求圆的一般方程，并能应用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径．3. 了解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系； 理解“直线与圆的位置关系”与“圆心到直线的距离d 与半径r 的数量关系”的对应关系，从而实现“形”到“数”的转化，掌握方程组解的个数与直线与圆的位置关系的联系，实现“数” 到“形”的转化。

4. 掌握圆和圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法并能解决简单的问题。

三、重点要求：§2圆与圆的方程§2.1圆的标准方程1. 圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.2. 圆的标准方程的求法与应用.§2.2圆的一般方程1. 圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=. 2. 圆的一般方程的代数特征、一般方程与标准方程的互化、待定系数法求圆的一般方程的步骤.§2.3直线与圆、圆与圆的位置关系:1.能根据给定的直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系.2.圆与圆的五种位置关系、性质和判定的探究及应用。

3.培养学生“数形结合”的意识。

四、难点分析：§2.1圆的标准方程：1.利用圆的标准方程解决与圆有关的问题。

§2.2圆的一般方程1. 圆的一般方程220++++=x y Dx Ey F2.待定系数法的掌握、应用。

§2.3直线与圆、圆与圆的位置关系：1.直线与圆的位置关系的应用2.根据方程组解的情况判断直线与圆位置关系，3.如何得出两圆的五种位置中两圆半径、圆心距的数量关系。

圆的一般方程
例3 点P(10,0),Q 为圆x 2+y 2
=16上一动点.当Q 在圆上运动时,求PQ 的中点M 的轨迹方程.
活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,此题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.
图1
解法一:如图1,作MN∥OQ 交x 轴于N, 那么N 为OP 的中点,即N(5,0). 因为|MN|=
2
1
|OQ|=2(定长). 所以所求点M 的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M 的运动情况,探求它是由什么样的点控制的. 解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0,y 0).
因为M 是PQ 的中点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=.2.102,20,2100000y y x x y y x x 即(*) 又因为Q(x 0,y 0)在圆x 2
+y 2
=16上,所以x 02
+y 02
=16.将(*)代入得 (2x-10)2
+(2y)2
=16.
故所求的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x 0,y 0).
②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎪⎩⎪⎨⎧==).
,(),
,(002001y x f y y x f x (Ⅰ)。

圆与方程的教案教案标题：探索圆与方程教学目标：1. 理解圆的定义和性质，包括半径、直径、弦、弧等概念。

2. 掌握圆的方程及其在平面几何中的应用。

3. 能够解决与圆相关的问题，包括圆的位置关系、切线与法线等。

教学资源：1. 教材：包含圆与方程的相关内容。

2. 平面几何工具：圆规、直尺、量角器等。

3. 计算机或投影仪：用于展示示意图和解决问题的演示。

教学过程：引入活动：1. 利用一个圆形物体（如硬币）向学生展示圆的形状，并引导学生描述圆的特点。

2. 提问：圆的定义是什么？有哪些重要的属性？知识讲解：1. 通过教材内容或投影仪展示圆的定义和性质，包括圆的半径、直径、弦、弧等概念。

2. 引导学生理解圆的方程表示形式，并解释方程中各个参数的含义。

3. 通过示意图和实例演示，讲解圆与方程在平面几何中的应用。

实践活动：1. 分组讨论：要求学生合作解决一些与圆相关的问题，如给定圆心和半径，求圆的方程等。

2. 给予学生一些练习题，让他们独立或合作解决问题，巩固所学知识。

拓展活动：1. 引导学生思考圆的位置关系，如相交、相切等情况，并讨论解决这些问题的方法。

2. 引导学生思考圆的切线和法线的概念，并讲解相关定理和推论。

总结回顾：1. 对本节课所学内容进行总结，并强调重点和难点。

2. 回答学生提出的问题，并澄清可能存在的疑惑。

评估与反馈：1. 布置作业：要求学生完成一些与圆与方程相关的题目，检验他们对所学知识的掌握程度。

2. 收集学生的作业并进行评估，及时反馈学生的表现，并提供必要的指导和帮助。

注意事项：1. 在讲解过程中，要注重启发式教学，引导学生主动思考和发现。

2. 鼓励学生积极参与讨论和实践活动，培养他们的合作能力和解决问题的能力。

3. 根据学生的实际情况，适当调整教学内容和方式，确保教学效果的最大化。

教案撰写完成后，建议进行细节检查和修订，确保教案的逻辑性和可操作性。

《圆与方程》的教学设计一、教学分析1、分析教材本章教材整体主要分成三大部分：（1）、圆的标准方程与一般方程；（2）、直线与圆、圆与圆的位置关系；（3）、空间直角坐标系以及空间两点间的距离公式。

圆的方程是在前一章直线方程基础上引入的新的曲线方程，更进一步要求“数与形”结合。

所以学习有关圆的方程时，仍仍然沿用直线方程中使用的坐标法，继续运用坐标法研究直线与圆、圆与圆的位置关系等几何问题。

此外还要学习空间直角坐标系的有关知识，以便为今后用坐标法研究空间几何对象奠定基础。

这些知识是进一步学习圆锥曲线方程、导数和积分的基础。

2、分析学生高中一年级的学生还没有建立起比较好的数形结合的思想，前面学习过直线知识，只是使学生有了用坐标法研究问题的基本思路，通过圆的概念的引入及其现实生活中圆的例子，启发学生学习的兴趣及研究问题的方法，培养学生分析探索问题的能力，熟练的掌握解决解析几何问题的方法-坐标法，渗透数形结合的思想研究问题时抓住问题的本质，研究细致思考，规范得出解答，体现运动变化，对立统一的思想3、教学重点与难点重点：圆的标准方程与一般方程；利用直线与圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系；空间直角坐标系的基本认识。

难点：直线与圆的方程的应用；会求解简单的直线与圆的相关曲线的方程；建立空间直角坐标系。

二、教学目标1、掌握圆的定义和圆标准方程、一般方程的概念；能根据圆的方程求圆心和半径，初步掌握求圆的方程的方法。

2、掌握直线与圆的位置关系的判定。

3、在进一步培养学生类比、数形结合、分类讨论和化归的`数学思想方法的过程中，提高学生学习能力。

4、培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想。

三、教学策略1、教学模式本节内容是运用“问题解决”课堂教学模式的一次尝试，采用探究、讨论的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，掌握数学基本知识和基本能力，培养积极探索和团结协作的科学精神。

第四章圆与方程圆的方程圆的标准方程教材解析本节内容数学必修2第四章第一节的初步课，是在学习了直线的有关知识后学习的，圆是学生比较熟悉的曲线，在初中就已学过圆的定义．这节课主若是依照圆的定义，推出圆的标准方程，并会求圆的标准方程．本节课的授课重点是圆的标准方程的理解、掌握；难点是会依照不同样的已知条件，利用待定系数法，几何法求圆的标准方程．经过本节课的学习培养学生用坐标法研究几何问题的能力，使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解，加强学生的数学意识．课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解圆的标准方程的推导和应用．授课目的重点: 圆的标准方程的理解、掌握．难点：会依照不同样的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程．知识点：会求圆的标准方程.能力点：依照不同样的已知条件求圆的标准方程.教育点：试一试用代数方法解决几何问题研究过程，领悟数形结合、待定系数法的思想方法 .自主研究点：点与圆的地址关系的判断方法.考试点：会求圆的标准方程.易错易混点：不同样的已知条件，怎样适合的求圆的标准方程.拓展点：怎样依照不同样的条件，灵便适合地采用适合的方法求圆的标准方程．教具准备多媒体课件和三角板课堂模式教学设计导学一、引入新课问题 1：什么是圆？【设计妄图】回顾圆的定义便于问题2的回答．【设计说明】学生回答．问题 2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆？【设计妄图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心（定位）和半径（定形）．【设计说明】教师引导，学生回答．问题 3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？【设计妄图】使学生在已有知识和经验的基础上，研究新知，引出本课题．【设计说明】教师指出建立圆的方程正是我们本节课要研究的问题．二、研究新知1/6问题 4：已知圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r（其中a、b、r都是常数， r 0），怎样确定圆的方程？师：类比直线点斜式方程的推导方法，引导学生回答求曲线的方程的一般步骤．师生：教师引导学生回答怎样求曲线的方程．(1)建立适合的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标；(2)写出适合条件P的点M的会集P={M|P(M)|}；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0；y化方程f(x，y)=0为最简形式；z说明化简后的方程就是所求曲线的方程．aa师：设M(x,y)是圆上任意一点，依照圆的定义怎样建立x，y满足的关系式？bbcc生：利用两点间的距离公式，写出点M的坐标适合的条件．师：怎样进一步化简上述关系式得出圆的方程？生：学生自己化简得出圆的方程为 2 ( )2 2(x a) y b r．A M【设计妄图】让学生掌握圆的标准方程的推导方法．【设计说明】学生自己化简得出结论便于学生理解记忆．Ox三、理解新知圆的标准方程：2()22(xa)yb r，其中圆心为A(a,b)，半径为r．重申：熟记圆的标准方程的结构特点，并能观察出圆心和半径．师：那么确定圆的标准方程需要几个独立条件？生：只要a、b、r三个量确定了且r 0，圆的方程就给定了．师：圆心在原点圆的方程是什么？生： 2 y r22x【设计妄图】便于学生理解掌握圆的标准方程，为正确地运用新知，作必要的铺垫．【设计说明】学生自己归纳总结．基础检测：2y21.圆(x2)2的圆心A的坐标为______,半径r为________.2 y 2 a a22. 圆(x 1) ( 3) ( 0)的圆心,半径是？【设计妄图】熟练掌握圆的标准方程与圆心坐标,半径长的关系．【设计说明】学生口答．四、运用新知例1.写出圆心为A(2,3),半径长等于5的圆的方程，并判断点1(5,7),M(5,1)M可否在这个圆上．2解析：判断圆心可否在圆上，可以从计算点到圆心的距离下手．【设计妄图】圆的标准方程的直接应用，并会判断点与圆的地址关系．【设计说明】培养学生解析问题、解决问题的能力和优异的解题习惯．研究：怎样判断点M(x0,y0)在圆2()22(xa)yb r上？圆内？还是圆外？2/6【设计妄图】学生自己商议发现点与圆的地址关系的判断方法，从而归纳出以下结论．（1）222a)(y b)r，点在圆外(x0（2）(x0222a)(y b)r，点在圆上（3）(x0222a)(y b)r，点在圆内【设计说明】培养学生解析问题、解决问题的能力练习：2y21.点P(m,5)与圆x25的地址关系（）Ａ．在圆外Ｂ．在圆上Ｃ．在圆内Ｄ．在圆上或圆外2.求经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)的圆的标准方程．3.求以点(2, 1)位圆心且与直线3x 4y 5 0相切的圆的标准方程．【设计妄图】依照圆心和半径熟练写出圆的标准方程．【设计说明】学生爬黑板．例2. ABC的三个极点的坐标是 A(5,1),B(7, 3),C(2, 8)，求它的外接圆的方程．师生共同解析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．从圆的标准方程2()22(xa)y b r可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a,b,r三个参数．解法一：设所求圆的方程是2()22(xa)yb r(1)由于A(5,1),B(7, 3),C(2, 8)都在圆上，因此它们的坐标都满足方程（1）．于是2 2 2(5a)(1b)r a2(72(32r23 a)b)b222(2a)(8b)rr52 y 2因此，ABC的外接圆的方程为(x 2) ( 3) 25．【设计妄图】掌握待定系数法求圆的标准方程．【设计说明】学生自己运算解决．y 师：除上述方法求圆的标准方程外还有没有其他方法？师：教师画图引导．L2A生：学生谈论发现，还可利用几何法求ABC的外接圆的方程．x 师：确定一个圆只要确定圆心地址与半径大小．那么怎样确定圆心？OD生：学生商议发现：弦AB的垂直均分线与弦BC的垂直均分线的交点即为圆心M．师：怎样确定半径？M B生：圆心M与圆上任一点的距离即为半径．E解法二：（师生共同完成）L1C由于A(5,1),B(7,3)，因此线段AB的中点D的坐标为(6,1)，直线AB的斜率k2，AB1因此线段AB的垂直均分线L的方程是y1(x6)，123/6即x2y80同理可得线段BC的垂直均分线L的方程是x y 1 0，．2圆心M的坐标是方程组x2y80x y1的解．0解此方程组，得x2，y3因此圆心 M的坐标是(2, 3)．22圆心M的圆的半径长r|AM|(52)(13)5．2y2因此，ABC的外接圆的方程为(x2)(3)25．总结归纳：（教师启示，学生自己比较、归纳）比较例2得出ABC外接圆的标准方程的两种求法：方法一：代数法—待定系数法；方法二：几何法—数形结合．【设计妄图】结合例 2的理解，学生自己归纳出求任意三角形外接圆的标准方程的两种方法，并比较两种方法的利害．【设计说明】学生自己归纳总结．练习：课本第120页，例3（不看课本，结合例2的理解，学生自己解决例3）已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2)，且圆心C在直线上l:x y10，求圆心为C的圆的标准y l 方程．（给学生充分思虑的时间，教师引导．）师：本题求圆的标准方程，可否用上述两种不同样方法解决？A 生：学生画图思虑．师：找两位同学分别用两种不同样的方法到黑板上解该题．【设计妄图】结合对例2的理解，学生依照不同样的条件，灵便适合地采用适合的方法求圆的标准方程，并xO D 比较两种方法的利害．CB 【设计说明】学生爬黑板板书解题过程，以规范学生的解题步骤．五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1．知识：（1）圆的标准方程的结构特点．（2）点与圆的地址关系的判断．(3) 求圆的标准方程的方法：①待定系数法；②几何法 .2．思想：数形结合的思想．教师总结:圆的标准方程的推导方法用到了前面学过的知识，提示学生 :在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”．在应用中加强对知识的理解，及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．【设计妄图】加强对学生学习方法的指导．六、部署作业4/61．书面作业必做题：P124习题A组第2，3，4题选做题：P124习题A组第5题2．课外思虑圆的标准的方程形式是2()22(x a)y b r，该式张开后形式是什么？张开后的形式都表示圆吗？【设计妄图】设计书面作业必做题，是引导学生先复习，再作业，培养学生优异的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生可以依照不同样的条件，灵便适合地采用适合的方法求圆的标准方程；选做题是激励学有余力的同学进一步加深本节内容的理解；课外思虑的安排，是让学生理解圆除了标准形式，还有一般形式，起让学生课下研究发现、预习新课的作用．七、教后反思1.本授课设计的亮点是圆的标准方程的推导以及任意三角形外接圆的标准方程的两种方法的得出，都是在学生已有的知识基础上获取，不是僵直的抛出，而是水到渠成．例题也是变讲为练，都是学生在独立或小组谈论中解决的，很好的调动学生的积极性与主动性，提高了学生的解题能力．2.由于各校的情况不同样，建议教师在使用本授课设计时灵便掌握，但必定在公式的推导过程上下足功夫．3.本节课的弱项是课容量大，时间所限，在课堂上没有充分裸露学生的思想过程，感觉一节课下来比较紧，学生理解不透彻．八、板书设计圆的标准方程一、知识点ABC的外接圆的方程为因此，1．圆的标准方程：(2y2()22x2)(3)25．2解法二：(x a)y b r其中圆心为A(a,b)，半径为r．由于A(5,1),B(7,3)，因此线段AB的中点D重申：（1）熟记圆的标准方程的结构特点；（2）确定圆的标准方程的三个独立条件的坐标为(6,1)，直线AB的斜率k2，—a，b，r；AB （3）特别地，圆心在原点圆的方程是因此线段AB的垂直均分线L的方程是12y2r21y1(x6)，22．点M(x0,y0)与圆2()即22(x a)y b r的地址关系的判断方法：222x2y80，（1）(x0a)(y b)r，点在圆外BC的垂直均分线同理可得线段L的方程是2（2）(x0222a)(y b)r，点在圆上x y10．（3）(x222a yb r，点在圆内0)()二、应用圆心M的坐标是方程组5/6x x 2 8 0 y y10yA(2,3),半径长等于的解．例1.写出圆心为5的圆的方程，并解此方程组，得x2判断点M1(5,7),M(5,1)可否在这个圆上．，y3 2练习：1．因此圆心M的坐标是(2,3)．2．圆心M的圆的半径长3．例2.ABC的三个极点的坐标是22A(5,1),B(7,3),C(2,8)，求它的外接圆的方程．r|AM|(52)(13)5．因此，ABC的外接圆的方程为解法一：设所求圆的方程是2()(2y222x2)(3)25．(x a)y b r(1)由于A(5,1),B(7,3),C(2,8)都在圆上，因此它们课堂小结：练习：课本第120页，例3的坐标都满足方程（1）．于是222(5a)(1b)r a2222(7a)(3b)rb3222(2a)(8b)r r56/6。

2019-2020 年新课标人教A 版必修二第四章圆与方程（教案）求圆的方程求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：第一步：选择圆的方程的某一形式；第二步：由题意得 a，b，r（或 D，E，F）的方程（组）；第三步：解出a，b，r （或 D，E，F）；第四步：代入圆的方程．注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切时，连心线过切点等．已知圆的半径为 10，圆心在直线 y＝2x 上，圆被直线 x－y＝0 截得的弦长为 4 2，求圆的方程．思路点拨】 解题流程可为：设出圆方程 → 确定待定系数→ 根据半径、圆心、弦长的已知条件列方程 → 求出圆心坐标 → 写出圆方程 【规范解答】 法一 设圆的方程是 （x －a ）2＋（y －b ）2＝10. 因为圆心在直线 y ＝ 2x 上，所以 b ＝ 2a.①由弦长公式得 2·?a ＋b?2－2?a 2＋b 2－10?＝4 2，化简得 （a －b ）2＝4.② 解①②组成的方程组，得 a ＝2，b ＝4 或 a ＝－ 2，b ＝－ 4. 故所求圆的方程是 （x －2）2＋（y －4）2＝10 或（x ＋2）2＋（y ＋4）2＝10.法二 设圆的方程为 （x －a ）2＋（y －b ）2＝10，则圆心为 （a ，b ），半径 r ＝ 10，又因为 b ＝2a ，所以 a ＝2，b ＝4或 a ＝－ 2， b ＝－ 4. 故所求圆的方程是 （x －2）2＋（y －4）2＝10 或（x ＋2）2＋（y ＋4）2＝10.求圆心在直线 y ＝－4x 上，且与直线 l ：x ＋y －1＝0 相切于点 P （3，－2）的圆 的方程．【解】 法一 设所求圆的标准方程为 （x －a ）2＋（y － b ）2＝r 2（r>0），则有 |a ＋b －1|2 ＝ r. 故所求圆的方程为 （x － 1）2＋（y ＋4）2＝8.x －y ＝0 ?x －a?2＋?y －b?2＝10，得 2x 2－2（a ＋b ）x ＋a 2＋b 2－ 10＝0， 所以 x 1＋x 2＝ a ＋b ， a 2＋b 2－10 x 1·x 2＝圆心（a ，b ）到直线 x －y ＝0 的距离 d ＝ |a －b| 2由半弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得2?a －b?2 2 ＋ 8＝ 10，所以 （a － b ）2＝4. b ＝－ 4a ，?3－a?2＋?－2－b?2＝r 2， 解得 a ＝1，b ＝－ 4，r ＝2 2.法二过切点且与 x＋y－1＝0 垂直的直线为 y＋2＝x－3，与 y＝－4x 联立可求得圆心为 (1,－ 4)．故半径 r ＝ ?3－1?2＋ [－2－?－4?]2＝ 2 2，于是所求圆的方程为 (x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆相切时， 圆心到直线的距离等于半径， 圆心和切点的连线垂直于切 线．直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路：(1) 代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次 方程，在判别式 Δ>0 的前提下，可利用根与系数的关系求弦长．(2) 几何方法：若弦心距为 d ，圆半径为 r ，则弦长 l ＝2 r 2－d 2.解决直线与圆相交问题时， 常利用几何方法， 即构造直角三角形， 利用勾股 定理．已知圆 M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线 l 过点 P(2,3)且与圆 M 交于A ，B 两点，且 |AB|＝2 3，求直线 l 的方程．【思路点拨】 分斜率存在与不存在两种情况．(1) 斜率存在 ? 设直线l 方程 ? 利用勾股定理 ? 求k ? 直线方程(2) 斜率不存在 ? 验证规范解答】 (1)当直线 l 存在斜率时，设直线 l 的方程为 y －3＝k(x －2)，即 kx － y ＋ 3－ 2k ＝0.故直线 l 的方程为 3x －4y ＋ 6＝0.(2)当直线 l 的斜率不存在时， 其方程为 x ＝2，且 |AB|＝2 3，所以符合题意． 综上所述，直线 l 的方程为 3x －4y ＋6＝0或 x ＝2. 已知圆 C 与圆 x 2＋y 2－2x ＝0相外切，并且与直线 x ＋ 3y ＝0 相切于点 Q(3，作示意图如图， MC ⊥AB 于 C.在 Rt △MBC 中， |BC|＝21|AB|＝ 3，|MB|＝2，故|MC|＝ |MB|2－|BC|2＝1由点到直线的距离公式得 |k －1＋3－2k|＝1， k 2＋13 解得 k ＝34.－ 3） ，求圆 C 的方程．【解】 设所求圆 C 的方程为 （x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，圆心 C （a ，b ）与 Q （3，－ 3）的连线垂直于直线 x ＋ 3y ＝ 0，且斜率为 3.a ＝4， a ＝0， 解得b ＝0， 或 b ＝－ 4 3，r ＝2 r ＝6.∴所求圆的方程为 （x －4）2＋y 2＝4或 x 2＋（y ＋4 3）2＝36.求轨迹方程的步骤： （1）建系设点； （2）列出动点满足的轨迹条件； 条件坐标化； （4）化简整理； （5）检验．在检验中要排除不符合要求的点， 或者补充上漏掉的部分． 检验一般有两种： 一种是文字说明，一种是式子说明．所谓式子说明，就是用式子注明方程中 x 或 y 的取值条件 （即范围 ） ，由于式子说明的形式往往比文字说明显得清楚，因此一 般采用这种方法．求曲线的方程或者求动点的轨迹方程是解析几何中重要的题型， 解答这种问 题常用的方法有直接法、定义法、消参法、代入法等．如图 4－1，圆 O 1与圆 O 2的半径都是 1，O 1O 2＝4，过动点 P 分别作圆 O 1、圆 O 2的切线 PM ，PN ，（M ，N 分别为切点 ），使得 |PM|＝ 2|PN|，试 建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程．图 4－ 1【思路点拨】 由△ PMO 1 与△ PNO 2 均为直角三角形表示出切线长 |PM|与 |PN|，建立坐标系后，设出 P 点坐标即可由等式 |PM|＝ 2|PN|求出 P 点的轨迹方 程．规范解答】 如图，以 O 1，O 2所在直线为 x 轴，线段 O 1O 2的垂直平分线 由题意得 ?a －1?2＋b 2＝r ＋1，|a ＋ 3b|＝r ， 2 ＝r ， 轨迹问题（3）把轨迹为 y 轴，建立直角坐标系，则 O1（－2,0），O2（2,0），设动点 P 的坐标为（x，y）．在 Rt△PMO1中， |PM|2＝|PO1|2－1，在 Rt△PNO2中，|PN|2＝|PO2|2－1. 又因为 |PM|＝ 2|PN|，所以 |PM|2＝2|PN|2，即 |PO1|2－1＝2（|PO2|2－1），即|PO1|2＋1＝2|PO2|2，所以（x＋2）2＋y2＋1＝2［（x－2）2＋y2］，整理得 x2＋y2－12x＋3＝0，即为所求点 P 的轨迹方程．已知线段 AB 的长为 3,平面上一动点 M 到 A 的距离是到 B 的距离的两倍 ,求动点 M 的轨迹方程．解】在线段 AB 上取一点 O，使 |AO|＝2|OB|，以 O 点为坐标原点、AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则 A（－2,0），B（1,0）．设动点 M（x， y），则有 ?x＋2?2＋y2＝2 ?x－1?2＋y2，整理得 x2＋y2－ 4x＝0. 即动点 M 的轨迹方程为 x2＋y2－4x＝0.数形结合思1.数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数（方程）的思想反映几何问题．2．（1）形如 u＝x y－－b b的最值问题，可借助于图形分析转化为直线斜率的最值问题；（2）形如 t＝ ax＋ by 的最值问题，可借助于图形分析动直线斜率的最值问题；（3）形如（x－a）2＋（y－b）2的最值问题，可借助于图形分析动点到定点距离的最值问题．已知圆 C：（x＋2）2＋y2＝1，P（x，y）为圆 C 上任一点．y－2（1）求x－－1的最大值与最小值；(2)求 x－2y 的最大值与最小值．【思路点拨】结合几何性质求解式子的最值．规范解答】(1)显然y－2可以看作是点 P(x，y)与点 Q(1,2)连线的斜率．令 x－ 1y－2＝k，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q(1,2)的圆 C 的两条切x－1线的斜率．对上式整理得 kx－y－k＋2＝0，∴2＝1，∴ k＝3 3.1＋k 4故y x－－21的最大值是3＋43，最小值是3－43.(2)令 u＝x－2y，则 u 可视为一组平行线，当直线和圆 C 有公共点时， u 的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得．依题意，得|－2－u|＝1，解得 u5＝－2± 5，故 x－2y 的最大值是－ 2＋ 5，最小值是－ 2－ 5.当曲线 y＝1＋ 4－x2与直线 y＝k(x－2)＋ 4有两个相异交点时，实数 k 的取解析】曲线 y＝1＋ 4－x2是以(0,1)为圆心， 2 为半径的半圆 (如图)，直线 y＝k(x－2)＋4是过定点 (2,4)的直线．设切线 PC 的斜率为 k0，则切线 PC 的方程为 y＝k0(x－2)＋4，圆心(0,1) 到直线 PC 的距离等于半径 2，即|1＋12＋k0－k24|＝2，k0＝152.3 5 3直线 PA 的斜率为 k1＝4. 所以12<k≤4答案】 C分类讨论思分类讨论思想是中学数学的基本思想之一， 是历年高考的重点， 其实质就是 整体问题化为部分问题来解决， 化成部分问题增加了题设的条件． 在用二元二次 方程表示圆时要分类讨论， 在求直线的斜率问题时， 用斜率表示直线方程时都要 分类讨论．已知直线 l 经过点 P （－4，－3），且被圆（x ＋1）2＋（y ＋2）2＝25 截 得的弦长为 8，求直线 l 的方程．【思路点拨】 求直线 l 的方程时，可分直线 l 的斜率存在与不存在两种情 况求解．【规范解答】 圆（x ＋1）2＋（y ＋2）2＝25的圆心为（－1，－2），半径 r ＝5.①当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x ＝－ 4，由题意可知直线 x ＝－4 符 合题意．②当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y ＋3＝k （x ＋4），即 kx －y ＋4k － 3＝ 0. 由题意可知 |－k ＋21＋＋k 42k －3|2＋ 28 2＝52，解得 k ＝－34，综上所述，满足题设的直线 l 方程为 x ＝－ 4 或 4x ＋ 3y ＋25＝0. 过点 A （4，－ 3）作圆 C ：（x －3）2＋ （y －1）2＝【解】 ∵ （4－ 3）2＋ （－3－1）2＝17>1，15.8.所以切线方程为 y ＋3＝－ 8 （x －4），即 15x ＋8y －36＝ 0. 由题意可知 1＋k 即所求直线方程为 4x ＋3y ＋25＝0. 1 的切线，求此切线方程． ∴点 A 在圆外．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为 k ，则切线方程为 y ＋ 3＝k （x － 4）．因为圆心 C （3,1）到切线的距离等于半径 1，所以 k 2＋1 ＝1，解得 k②若切线斜率不存在，圆心 C（3,1）到直线 x＝4 的距离也为 1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是 x＝4.综上，所求切线方程为 15x＋ 8y－36＝ 0 或 x＝4.。

第五课时直线与圆的方程的应用
一、教学目标
1、知识与技能：（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题。

2、过程与方法：用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论。

3、情态与价值观：让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．
二、教学重点、难点：重点与难点：直线与圆的方程的应用．
三、教学方法：学导式
四、教学过程
师：启发学生回顾直线与圆的
生：回顾，说出自己的看法．将选择什么方法解决例
的方程的要点吗？
题与代数问题相互转化的依据．么思想方法吗？
师：指导学生完成练习题．
“坐标法”
五、教后反思：。