高数2009-2010学年第一学期期末_...

诚信考试 沉着应考 杜绝违纪浙江大学2009–2010学年 秋冬 学期《 高等数学 》课程期末考试试卷开课学院： 理学院 ，考试形式： 闭 卷，允许带___________入场 考试时间： 2010 年 1 月 23 日,所需时间： 120 分钟考生姓名： _____学号： 专业： ______一、填空题（每个空格3 分，共33 分）1.设函数⎩⎨⎧<+≥-=0 ,0,1)(2x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k -1 。

2.计算极限：11lim 21--→x x x = 2 ；)sin 11(lim 0xx x -→= 0 。

3.设函数x x y sin =，则=dxdysin cos x x x +；=22dx y d 2cos sin x x x -。

4.设1=-yxe y ，则==0|x dxdye 。

5.5001.1的近似值为 1.0002 。

6.函数)1ln(+-=x x y 的单调增加区间为 (0,+∞) 。

7.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1 2 4 16 5 2 2 4 2 2 1 A ，则A 的秩为 3 。

8.假设有100件产品，其中有70件为一等品，30件为二等品。

从中一次随机地抽取3件，则恰好有2件一等品的概率为2170303100 C C C 。

9.甲、乙二人各投篮一次，设甲投中的概率为0.6，乙投中的概率为0.7，则甲、乙二人至少有一人投中的概率为 0.88 。

二、（本题 6分）欲造一个容积为250m 3的圆柱形无盖蓄水池，已知池底的单位面积造价是周围的单位面积造价的两倍。

要使水池造价最低，问其底半径与高应是多少？解： 设所做的圆柱形底半径为r ，高为h ，侧面造价为1单位，则总造价2()22P r r rh ππ=+．由2V r h π=得到2Vh rπ=，代入上式消去h ，得22()2VP r r r π=+，(0,)r ∈+∞． 令22()4=0VP r r rπ'=-，得到唯一驻点r =点，即底面半径r ===三、计算不定积分与定积分（每小题 5分，共 15分）1.解：()3222111(1)23x x C =+=++⎰2.解：()()()()11sin 2sin 22cos 2221111cos(2)cos 2cos(2)sin 22224x xdx x x d x xd x x x x dx x x x C ==-=-+=-++⎰⎰⎰⎰3.解：()()()()242044242404sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin 2x x dx x x dx x x dxx x dx x x dx x x x x ππππππππππ==-=-+-=-+-=++--=⎰⎰⎰⎰⎰四、（本题5分）求由直线x y =与曲线2x y =所围成平面图形的面积。

新疆大学2012—2013学年度第一学期期末考试《高等数学》试卷一、 单项选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分）1. 任意给定0M >，总存在0X >，当x X <-时，()f x M <-，则（ ） （A ）lim ()x f x →-∞=-∞ （B ）lim ()x f x →∞=-∞（C ）lim ()x f x →-∞=∞ （D ）lim ()x f x →+∞=∞2. 若0lim ()x x f x -→与0lim ()x x f x +→都存在，则（ ）（A ）0lim ()x x f x →存在且00lim ()()x x f x f x +→=；（B ）0lim ()x x f x →存在但不一定有00lim ()()x x f x f x +→=；（C ）0lim ()x x f x →不一定存在； （D ）0lim ()x x f x →一定不存在。

3. 设sin ()xf x x=，则0x =是()f x 的（ ） （A ）连续点； （B ）可去间断点； （C ）跳跃间断点； （D ）第二类间断点。

4. 设()f x 的导函数是cos x e x -+，则()f x 的一个原函数为（ ）（A ）cos x e x --； （B ）sin x e x --+； （C ）cos x e x ---； （D ）sin x e x -+. 5. 定积分定义()ba f x dx =⎰i i ni x f ∆∑=→)(lim 1ξλ说明（ ）（A ）],[b a 必须n 等分，i ξ是],[1i i x x -的端点；（B ）],[b a 可以任意分法，i ξ必须是],[1i i x x -的端点；（C ）],[b a 可以任意分法，max{}0i x λ=∆→，i ξ可在],[1i i x x -内任取； （D ）],[b a 必须等分，max{}0i x λ=∆→，i ξ可在],[1i i x x -内任取。

2009 至 2010学年度第 1 期 高等数学（1） 课程考试试题册（A ）试题使用对象 ：2009级理工科各专业本科学生命题人： 考试用时 120 分钟 答题方式采用： 闭卷说明：1.答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整.2.考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废.一. 填空题（每小题3分，本题15分）. 1. 11lim(sinsin )x x x x x→∞+=（ ）. 2. 微分 tan ()x de f x dx -⎰＝（ ）. 3. 曲线x e y x -=在点（0，1）处的切线方程是（ ）. 4.设连续函数)(x f 满足：)(x f = 2xx +1()f x dx ⎰，则)(x f =（ ）.5. 微分方程22250d y dyy dx dx-+=的通解为（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，本题15分）.1. 0sin 3limln(13)x xx →=+（ ）. A. 0 B. 1 C. 1/2 D. 32.下列广义积分收敛的是（ ）. A.sin xdx +∞⎰B.20xedx +∞-⎰C.1dx x+∞⎰D. 0dx +∞⎰3.下列变量中，（ ）是无穷小量. A. )1(ln →x x B. )0(1ln+→x x C. )0(cosx →x D. )2(422→--x x x 4. 定积分22sin 1x x x ππ-+⎰dx =（ ）. A. 2 B. -1 C. 0 D. 15．已知(),()1x y f e f x x '==-,0x dy dx=则=（ ）.A. 1B. eC. 2D. 0 三.计算题（每小题7分，本题共49分）.21. 求极限 2011lim()tan x x x x→-. 2. 设cot (1tan )()2sin x b x f x arc ax x ⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩000x x x <=> 在0=x 处连续，求b a ,的值.3. 已知⎩⎨⎧+=-=)sin (cos )cos (sin t t t a y t t t a x ，求 22dx y d 在 2t π= 处的值.4. 计算积分π⎰dx .5. 计算积分 2(1)xxe x +⎰dx . 6. 已知()1f π=，(()())sin 3f x f x xdx π''+=⎰，求(0)f .7. 求解微分方程sin dy y xdx x x+=，1x y π==.四. 应用题（本题10分）.设抛物线2y ax bx c =++通过点(0,0)，且当[0,1]x ∈时，0y ≥. 试确定,,a b c 的值，使得该抛物线与直线1,0x y ==所围图形的面积为49，且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小.五. 证明题（1小题5分，2小题6分，本题共11分）.1. 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且0)()(==b f a f . 证明：至少有一点),(b a ∈ξ，使得0)()(='+ξξξf f .2. （1）设0>x ，证明：11ln(1)1x x+>+. （2）证明：当1x >时，函数1(1)xy x=+单调递增.2009 至 2010 学年度第 1 期高等数学（上）课程考试试题(A)参考答案一. 填空题（每小题3分，本题15分）.1. 12. tan ()x e f x dx -3. 1=y4. +x 243x 5. (cos2sin2)x y e a x b x =+，,a b 为任意常数. 二. 单项选择题（每小题3分，本题15分）.1.B2. B3. A4. C5. D 三.计算题（每小题7分，本题共49分）. 1.解： 220011tan lim()limtan tan x x x xx x xx x →→--= 2分 300tan lim limtan x x x x xx x →→-= 4分 222200sec 1tan 1lim lim 333x x x x x x →→-=== 7分 2. 1tan 0lim ()lim (1tan )xx x f x b x --→→=+b e = ２分sin lim ()lim x x arc axf x a x++→→== ４分 因为 )(x f 在0=x 处连续, 所以0lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→==即 2be a == ， 所以 2,l n a b ==7分3.(sin sin cos )cos dya t t t t at t dt=-++= (cos cos sin )sin dxa t t t t at t dt=-+= 2分 cos cot sin dy at t t dx at t == 4分 2223(cot )csc 1()sin sin d y t t dx x t at t at t'-===-' 6分4所以 2222t d y dx a ππ==-7分 4. 解：原式 1/20(sin )cos x x dx π=⎰2分/21/21/20/2(sin )cos (sin )(cos )x xdx x x dx πππ=+-⎰⎰5分3/2/23/20/222(sin )(sin )33x x πππ=-43=7分 5. 21(1)1x xxe dx xe d x x=-++⎰⎰ 2分 1(())11x x xe d xe x x =--++⎰ ()11x x xxe e xe dx x x +=--++⎰ 6分1x x xe e dx x =-++⎰1x xxe e c x =-+++1x e c x=++ 7分6. 0(()())sin ()sin ()sin f x f x xdx f x xdx f x xdx πππ''''+=+⎰⎰⎰（1） 1分而()sin sin ()f x xdx xdf x ππ'''=⎰⎰()sin ()sin f x x f x d x ππ''=-⎰()cos cos ()f x xdx xdf x ππ'=-=-⎰⎰(()cos ()cos )f x xf x d x ππ=--⎰(()cos (0)cos0)()(sin )f f f x x dx πππ=--+-⎰()(0)()sin f f f x xdx ππ=+-⎰（2） 6分把（2），()1f π=代入（1），原式为 31(0)f =+，得(0)2f = 7分7. 解：对于0dy y dx x +=， 分离变量 d y d x y x=-， 积分得1ln ln y x c =-+， cy x=3分令 ()u x y x =，则 ()sin u x xx x'=，()sin u x x '=， 积分得()cos u x c x =-，方程通解 cos c x y x-=，代入,1x y π==，解出 1c π=-， 特解 1cos x y xπ--=. 7分四. 应用题（本题10分）.1. 解：2y ax bx c =++通过点(0,0)，得0c =，所以2y ax bx =+. 1分抛物线与直线1,0x y ==所围图形的面积为120()S ax bx dx =+⎰321011()32ax bx =+ 32a b =+=49，869a b -= (1) 4分 图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积1220()V ax bx dx π=+⎰1243220(2)a x abx b x dx π=++⎰4252310121()543abx a x b x π=++22()523a ab b π=++2286186(())52939a a a a π--=++222418(())1358139a a π=++ (2) 7 分 44()()13581a V x π'=+, 令()0V x '=，得 1355813a =-=-，从而2b =. 10分 五. 证明题（1小题5分，2小题6分，本题共11分）.1. 证明：()()F x xf x =， 2分 由题意()F x 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内 可导， ()()()F x f x xf x ''=+，()()0F a F b ==. 由罗尔定理知，至少存在一点(,)a b ξ∈， 使()()()0F f f ξξξξ''=+=. …5分2. 证明：（1）令()ln f x x =，当0x >时，显然()f x 在[,1]x x +上连续，在(,1)x x +上可导，1()f x x'=，由Lagrange 中值定理知，存在(,1)x x ξ∈+，使得 1ln(1)ln 11ln(1)(1)1x x x x x xξ+-+==>+-+ 3分6（2）令1(1)xy x=+，则ln [ln(1)ln ]y x x x =+-，方程两边同时对x 求导1111ln(1)()1y x y x x x'=++-+，11(ln(1))1y y x x '=+-+ 由（1）知，0y '>，1(1)xy x=+单调递增. 6分。

A卷2009—2010学年第一学期《高等数学（2-1）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2010年1月11日注意事项1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废.一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）1．21lim()xx x e x →-=.2．()()1200511xx x x e e dx --+-=⎰ .3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x+-=⎰确定，则0x dydx==.4. 设()x f 可导，且1()()xtf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f . 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为 .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设常数0>k ，则函数k e x x x f +-=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）.(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）.（A ）cos2y A x *=; （B ）cos2y Ax x *=;（C ）cos2sin2y Ax x Bx x *=+; （D ）x A y 2sin *=. 3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数. 4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1．计算定积分230x x e dx-.2．计算不定积分dx x xx ⎰5cos sin .3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程.4. 设20()cos()xF x x t dt=-⎰，求)(x F '.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1( +++=，求nn x ∞→lim .四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.3. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'一．填空题（每小题4分，5题共20分）：1． 21lim()xx x e x →-=21e .2．()()1200511x x x x e e dx --+-=⎰e 4.3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x +-=⎰确定，则0x dydx==1-e .4. 设()x f 可导，且1()()x tf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f 221x e.5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为xe x C C y 221)(-+=.二．选择题（每小题4分，4题共16分）：1．设常数0>k ，则函数ke x x xf +-=ln )( 在),0(∞+内零点的个数为（ B ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为 （ C ）（A ）cos2y A x *=； （B ）cos2y Ax x *=； （C ）cos2sin2y Ax x Bx x *=+； （D ）x A y 2sin *= 3．下列结论不一定成立的是 （ A ）(A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;(B) 若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;(C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;(D) 若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ C ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分⎰-232dxe x x .解：⎰⎰⎰----===202020322121,2tt x tde dt te dx ex t x 则设 -------2⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰--200221dt e te t t -------2 2223210221----=--=e e e t --------22．计算不定积分dx x x x ⎰5cos sin .解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰⎰x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin --------3C x x x x x d x x x +--=+-=⎰tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 41cos 43424 -----------3 3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程. 解：切点为)),12((a a -π-------22π==t dx dy k 2)c o s 1(s i n π=-=t ta ta 1= -------2切线方程为)12(--=-πa x a y 即ax y )22(π-+=. -------24. 设 ⎰-=xdtt x x F 02)cos()(，则=')(x F )cos()12(cos 222x x x x x ---.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1( +++=，求nn x ∞→lim .解：)1l n (1ln 1∑=+=n i n n i n x ---------2 ⎰∑+=+==∞→∞→101)1ln(1)1ln(lim ln lim dxx n n i x n i n n n --------------2=12ln 211)1ln(1010-=+-+⎰dx x x x x ------------2故 nn x ∞→lim =e e 412ln 2=- 四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.解：设切点为),00y x （，则过原点的切线方程为xx y 2210-=，由于点),00y x （在切线上，带入切线方程，解得切点为2,400==y x .-----3 过原点和点)2,4(的切线方程为22xy =-----------------------------3面积dyy y s )222(22⎰-+==322-------------------3或 322)2221(2212042=--+=⎰⎰dx x x xdx s2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.解： 法一：21V V V -=[][]⎰⎰⎰---=-----=102212122)1(12)2()11(2dyy ydyy dy y πππ -------6)314(201)1(31423-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ππππy --------3 法二：V =⎰---12)2)(2(2dxx x x x π⎰⎰----=101022)2(22)2(2dxx x dx x x x ππ ------------------ 5[]⎰--+--=102234222)22(ππdx x x x x x ππππππππ322134213234141201)2(3222232-=-+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+-=x x ------------- 43. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.解:.ln ln ln 1)(0ln )(a aa t a a a t f t -==-='得由 --------------- 30)(l n 1ln ln )(2e e a a a a a t ==-='得唯一驻点又由------------3.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当a t e a a t e a a t e a e e e =<'<>'>-----2故.11ln 1)(,)(e e e e t a t e a e e -=-==最小值为的最小值点为--------------1五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'证明：设()()F x f x x =-，()F x 在[0,1]上连续在(0,1)可导，因(0)=(1)=0f f ,有(0)(0)00,(1)(1)11F f F f =-==-=-,--------------- 2又由1()=12f ，知11111()=()-=1-=22222F f ，在1[1]2，上()F x 用零点定理，根据11(1)()=-022F F <，--------------- 2可知在1(1)2，内至少存在一点η，使得1()=0(,1)(0,1)2F ηη∈⊂，,(0)=()=0F F η由ROLLE 中值定理得 至少存在一点(0,)(0,1)ξη∈⊂使得()=0F ξ'即()1=0f ξ'-，证毕. --------------3。

06-07（上）高一数学期末试卷（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（填空题、解答题）两部分共150分）（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷一、 选择题（每小题只有唯一正确答案，请将答案填在答卷纸的表格中，每小 题5 分，共60分）1．已知U 为全集，集合M 、N 是U 的子集，若M ∩N=N ，则( ) A 、u u C M C N ⊇ B 、u M C N ⊆ C 、u u C M C N ⊆ D 、u M C N ⊇2、过直线0121=--y x l ：和0442=++y x l ：的交点，且平行于直线01=+-y x 的直线方程为（ ）。

Ａ、x-y+２=0 Ｂ、x －y －２=0 Ｃ、2x-2y+3=0 Ｄ、2x －2y －3=03、向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止，如果注水量Ｖ与水深ｈ的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( ).4、下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有( ).A 、1B 、2C 、3D 、4 5、若1,0,022<<>>b a b a ，则 （ ）A 、10<<<b aB 、10<<<a bC 、1>>a bD 、1>>b a 6、方程022=++-+m y x y x 表示一个圆，则m 的取值范围是（ ）A 、2≤mB 、m ＜ 2C 、 m ＜ 21D 、21≤m7、木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ）倍.Ａ、60Ｂ、120 Ｃ、3060 Ｄ、301208、函数y=11+-x x In是 （ ） A 、是奇函数但不是偶函数 B 、是偶函数但不是奇函数 C 、既是奇函数又是偶函数 D 、非奇非偶函数9、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是( )A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1B C成60角10若圆022=++b y x 与圆08622=+-+y x y x 没有公共点，则b 的取值范围 是（ ）.A 、b<－5B 、b<－25C 、 b<－10D 、b<－100 11、函数(]2,1,322-∈--=x x x y 的值域：（ ）A 、[-3，0）B 、[-4,0)C 、(-3,0]D 、(-4,0]12、已知圆Ｃ方程为：9)1()2(22=-+-y x ，直线a 的方程为3x －4y －12=0,在圆Ｃ上到直线a 的距离为１的点有（ ）个。

新疆大学2009—2010学年度第一学期期末考试 《高等数学》试卷（同济版理工科汉本A 卷）一、单项选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分）1.关于1()sin g x x x=的间断点，下列正确的是 （ ）A ．0x =是第二类间断点； B. 0x =是可去间断点； C ．0x =是跳跃间断点； D. 0x =不是间断点。

2. 设()y f x =在a 处可导，则0(5)()lim2h f a h f a h→+-=（ ） A ．)('a f ； B ．5)('a f ； C ．2)('a f ； D ．5'()2f a .3. 下列等式正确的是（ ）A ．()()()df x dx f x =⎰； B. ()()df x f x C =+⎰； C ．()()()df x dx f x C dx=+⎰； D. '()()f x dx f x =⎰.4. 下列广义积分中收敛的是（ ）A ．sin xdx +∞-∞⎰；B. 1+∞⎰； C ．0xe dx -∞⎰； D. 231x dx x +∞+⎰. 5. 设)(x f 在[,]a a -上连续，则下列各式一定正确的是（ ）A ．()0aa f x dx -=⎰； B ．[]0()()()aaa f x dx f x f x dx -=--⎰⎰；C ．[]0()()()aa af x dx f x f x dx -=+-⎰⎰； D ．0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰.6. 下列不等式关系中正确的是（ ）A ．112xdx x dx <⎰⎰； B ．22211xdx x dx <⎰⎰； C ．21100xxe dx e dx <⎰⎰；D ．00sin cos xdx xdx ππ>⎰⎰. 二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分） 1.函数y =的定义域是 。

高数B武汉大学数学与统计学院2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题一、（42分）试解下列各题：1、计算30arctan lim1x x x xe →--. 2、求解微分方程096=+'-''y y y 的通解。

3、计算-+⎰121(1)d x x x .4、计算+∞⎰d xe x .5、求曲线⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰11cos d sin d t t ux u u u y u u自1=t 至2π=t 一段弧的长度。

6、设2132y x x =++，求()n y . 二、（8分）已知xyu e =，其中()y f x =由方程22d cos d y x te t t t =⎰⎰确定，求d d u x.三、（8分）设11x =,+11(1,2,)1nn nx x n x =+=+L ，试证明数列{}n x 收敛，并求lim n n x →∞.四、（8分）证明结论：可导函数在其导数为正值的区间上为单调增加函数。

并说明此结论的几何意义。

五、（15分）已知函数324x y x+=，求： 1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值； 2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。

六、（12分）已知函数()y y x =满足微分方程2(1)y y x '''-=-，且x 轴为曲线()y y x =的一条切线，在曲线()y y x =（0x ≥）上某B 点处作一切线，使之与曲线、x 轴所围平面图形的面积为112，试求：（1）曲线()y y x =的方程；（2）切点B 的坐标；（3）由上述所围图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积。

七、（7分）若()f x 在[,]a b 上连续，且()()0==f a f b 及()()0''>f a f b ，则()f x 在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()0ξ=f .高数B2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题参考答案一、 （42分）试解下列各题：1、解：323200011arctan arctan 11limlim lim 331x x x x x x x xx x x e →→→---+===- 2、解：方程的特征方程为：2690r r -+=，其特征根为321==r r ， 故方程的通解为：xe x c c y 321)(+= 3、解：原式=1202x dx ⎰ =234、解：00022()x tx t t e dx te dt td e +∞+∞+∞=---==-⎰⎰⎰02[]22t t te e dt +∞-+∞-=-+=⎰ 5、解：s =/1π=⎰/211ln 2dt t ππ==⎰6、解：1112y x x =-++ ()(1)(1)(1)![(1)(2)]n n n n y n x x -+-+=-+-+ 二、（8分）解：=()xy du dye y x dx dx+ ，方程两边微分得： 222cos y e dy x x dx = 222cos y dy x x e dx -=故有222=(2cos )xy y du e y x x e dx-+三、（8分）解：0n x >, 21102x x -=>，因此21x x > 设1n n x x ->，则1111(1)11n n n n n n x x x x x x -+--=+-+++110(1)(1)n n n n x x x x ---=>++ n x ∴单调增加，且111112211n n n n x x x x ---=+=-<++,故lim n n x →∞存在设lim n n x a →∞=，则: 11a a a=++ 解得a =因为a 非负，∴lim n n x →∞=四、（8分）证：设函数()f x 在区间(,)a b 内()0f x '>，12,(,)x x a b ∀∈，且12x x <，函数()f x 在12[,]x x 上可导，由拉格朗日中值定理得:212112()()()(),(,)f x f x f x x x x ξξ'-=-∈，由于2121()0,0()()f x x f x f x ξ'>->⇒>由12,x x 的任意性，()f x 在(,)a b 上单调增加。

高等代数（北大版）第一学期考试卷答案一、选择题（每小题3分，共24分）1.Ｄ2.Ｃ3.Ｂ4.Ｄ5.Ａ6.Ｂ7.Ｃ8.Ａ二、填空题（每小题3分，共１８分）1．322(1)5(1)7(1)1x x x -+-+-- 2．2x + 3．1()2n n +- 4．)1,,1,1( c x = 5．d6．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-3/13/1003/23/100005200211A三、计算题（本大题共３个小题，共2２分.请写出必要的推演步骤和文字说明）１．（6分）设b ax x x x x f +++-=23463)(，1)(2-=x x g ，a 与b 是什么数时，)(x f 能被)(x g 整除？解：方法一、利用辗转相除法，得余式：7)3()(++-=b x a x r ，………………………………………..4分由已知， 7,3-==b a ……………………………………………..2分方法二、由于)(x f 能被)(x g 整除，而1)(2-=x x g 的零点为1和-1，所以1和-1也应是)(x f 的零点，即04)1(=++=b a f 和 010)1(=+-=-b a f …………5分 故7,3-==b a …………………………………………………...….1分２．（8分）已知B AX X +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101111010A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=350211B ，求矩阵X 。

解：由 B AX X += 得 B X A E =-)(而 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-201101011101111010100010001A E 可逆…………….2分可以求得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--11012312031)(1A E ……………………………………….. .3分 所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-11012312031)(1B A E X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--350211=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110213………………3分３．（８）b a ,取什么值时,线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325432154321334536223231有解？在有解的情形求一般解。

复旦大学2009～2010学年第一学期期末考试试卷A 卷一. （本题共20分，每小题5分）1.求x x y 2sin 2=的二阶导数 ;2.计算23422x dx x x +++⎰ ;3.计算⎰+∞+0211dx e x ;4.求x x )dt t (x x sin 1ln lim 22tan 020⎰+→.二. （本题共20分，每小题5分）1.求矩阵的秩; ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=51041482212121221A2.设矩阵B ,A 满足2B A AB +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=312021321A ，求矩阵B ;3.设A 是一个43⨯的矩阵，2)A (rank =，方程组b A =x 有三个特解 T )3(T )2(T )1(1)2,2,(3,3)1,1,(2,2)1,2,(1,-=-=-=x ,x ,x ,试求方程组b A =x 的通解。

4.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=f 00e d 0c b a A 为正交阵，求f ,e ,d ,c ,b ,a 。

三. （本题10分）求⎰-=πxdx t x t f 0sin )(在]2,0[π上的最大值和最小值。

四. （本题10分）设有方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=++-=-++=+-+125233212224321432143214321x x x x b x x x x x ax x x x x x x ，问b a ,为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？有无穷多解时请求出其通解。

五. （本题10分）设A 是一个实三阶方阵，其特征值为2,1,1-，证明: A 可逆，且 )A 2A I (21A 21-+=-六. （本题10分）设有一个质量为m 的均匀细棒放在xoy 平面的第一象限，细棒两端的坐标分别是2),0(),0,2(，有一个单位质量的质点位于坐标原点，求细棒对这质点的引力。

七. （本题12分）设线性空间⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=R a,b,c c b b a V （1）记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111,0111,0001321βββ，说明321,,βββ是V 的一组基； （2）记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110,1000,0001321ααα，求出基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵；（3） 定义线性变换A 为：A 211)(ββα+=，A 322)(ββα+=，A 33)(βα=，求出A 在基321,,βββ下的表示矩阵。