导数 数列

导数数列不等式导数数列不等式，也称前验不等式，是一种数学不等式，它通过研究一个数列对应的模型来验证它们之间的关系。

导数数列不等式属于一类定性性质，能够准确地描述一个数列函数的变化情况。

首先，我们介绍一类特殊的数列，叫做几何数列。

几何数列是一种有规律而递增的数列，每一项的值是前一项的系数乘上某个正值的数字。

几何数列的导数数列不等式，可以用另一种形式表示：begin{eqnarray}t_n leq t_1 cdot r^nend{eqnarray}其中，$t_n$为几何数列的某一项，$t_1$为几何数列的第一项，而$r$为几何数列系数，它也是确定数列每一项和下一项关系的一个基本参数。

换言之，几何数列变化情况可以用该不等式来表示，所以几何数列可以称为导数数列。

几何数列的导数数列不等式是非常重要的，它是用来验证某个几何数列中每一项和下一项系数之间大小关系的一个特殊性质。

当然，几何数列不是唯一一种可以使用导数数列不等式来验证的数字。

除了几何数列，其他类型的数列也可以使用该不等式来进行检验。

比如抛物线数列，导数数列不等式可以用如下方式表示：begin{eqnarray}t_n leq t_1 cdot (1+n/n)^nend{eqnarray}其中，$t_n$为抛物线数列的某一项，$t_1$为抛物线数列的第一项，而$n$为抛物线数列的项数。

抛物线数列也可以用该不等式来验证它们之间的大小关系，所以抛物线数列也可以称为导数数列。

此外，对于其他类型的数列，也可以使用导数数列不等式来验证它们之间的关系。

例如，线性数列的导数数列不等式可以用如下方式表示：begin{eqnarray}t_n leq t_1 cdot (1+n/n) cdot nend{eqnarray}其中，$t_n$为线性数列的某一项，$t_1$为线性数列的第一项，而$n$为线性数列的项数。

线性数列也可以用该不等式来验证它们之间的大小关系，所以线性数列也可以称为导数数列。

数列导数知识点总结一、数列的概念1.数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一系列数字的集合，其中每个数字称为数列的项。

一般地，数列可以表示为$a_1,a_2,a_3,...,a_n$，其中$a_n$表示数列的第n项。

2.数列的性质数列具有一些重要的性质，比如常见的等差数列、等比数列等，这些性质对于数列的导数求解非常重要。

二、数列导数的概念数列的导数，也称为差商，是指数列相邻两项的变化率。

数列导数的概念对于分析数列的变化规律和求解数列的通项公式有着重要的作用。

1.差商的定义对于数列$a_1,a_2,a_3,...,a_n$，其相邻两项的差商可表示为：$$\frac{a_{n+1}-a_n}{n+1-n} = a_{n+1}-a_n$$2.导数的性质数列的导数具有一些性质，如数列的导数为固定值时，称为等差数列；数列的导数为比值时，称为等比数列等。

三、数列导数的求解方法数列导数的求解方法有一些常用的技巧和原理，下面将主要介绍几种常用的求解方法。

1.直接求解对于一些简单的数列，可以直接对相邻两项进行求差商，得到数列的导数。

2.利用求导法则对于一些复杂的数列，可以利用求导法则进行求解，如使用差商的性质、导数的加减法则、导数乘除法则等进行计算。

3.利用数学归纳法对于一些特殊的数列，可以利用数学归纳法进行求解，即先求出数列的通项公式，再对通项公式进行求导，得到数列的导数。

4.利用数列性质对于特定性质的数列，如等差数列、等比数列等，可以利用其性质进行导数的求解，简化计算过程。

四、数列导数的应用数列导数在数学中有着广泛的应用，特别是在分析数列的变化趋势和推导数列的通项公式方面。

1.分析数列变化趋势通过求解数列的导数，可以分析数列的变化趋势，了解数列的增减性、凹凸性等特点，进而更好地理解数列的性质和规律。

2.推导数列的通项公式通过求解数列的导数，可以得到数列的变化规律，并进一步推导出数列的通项公式，从而更好地描述和表达数列的特点。

数列和函数的导数导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。

在数学中，我们经常使用导数来研究数列和函数的性质。

本文将深入探讨数列和函数的导数，并介绍一些相关的概念和方法。

一、数列的导数数列是由一系列有序的数按照规律排列而成的序列。

对于数列中的每一个元素，我们可以计算其相邻两项之差，称为差分。

差分表示了数列的递推关系和变化趋势。

对于数列{an}，如果其相邻两项之差始终趋近于一个常数，即存在一个常数k，使得an+1 - an = k，那么我们称数列{an}是等差数列。

等差数列的导数为常数k。

同样地，如果数列{an}的差分an+1 - an 的极限存在，那么我们称这个极限为数列{an}的导数，并用an'表示。

数列的导数表示了数列的变化率和变化趋势。

二、函数的导数函数是一种将自变量映射到因变量的关系。

对于函数f(x)，我们可以通过求取其导数来描述函数在某一点的变化率。

函数的导数可以用以下两种方式表示：一阶导数和高阶导数。

一阶导数表示了函数在某一点的切线斜率，表示为f'(x)或df/dx。

高阶导数表示了函数的变化率变化率，表示为f''(x)、f'''(x)等。

使用导数的定义来计算函数的导数是一种常见的方法。

根据导数的定义，函数f(x)在点x处的导数可以表示为极限lim(x->a)[f(x) - f(a)]/(x- a)，其中a为x的一个邻近点。

另一个常用的方法是使用导数的性质和求导法则来计算函数的导数。

一些常见的求导法则包括：常数规则、幂函数规则、和差规则、乘积规则和商规则等。

通过运用这些规则，我们可以更便捷地计算函数的导数。

函数的导数在数学中具有广泛的应用。

它可以用来求解函数的极值、判断函数的增减性、研究函数的曲线形状等。

导数在物理学、经济学等领域也有着重要的应用价值。

三、数列和函数的关系数列和函数之间存在着密切的联系。

实际上，数列可以看作是一种特殊的函数，即定义域为自然数集的函数。

数列问题的导数方法
在数学中，数列是一组按照特定规律排列的数字序列。

解决数
列问题的一个常见方法是使用导数。

导数是用来描述函数变化率的
工具，它可以帮助我们找到数列中每一项的变化规律，从而更好地
理解和分析数列的性质。

首先，我们可以将数列表示为一个函数，例如将数列的第n项
记作an，我们可以将数列看作是一个关于n的函数an=f(n)。

然后，我们可以使用导数来描述数列项之间的变化规律。

对于数列的项an，我们可以计算其导数f'(n)，这个导数可以告诉我们数列项之间的
变化速率。

例如，如果数列的导数f'(n)是一个常数，那么这个数列可能
是一个等差数列，每一项之间的差值是固定的。

如果数列的导数
f'(n)是一个线性函数，则可能是一个等比数列，每一项与前一项之
比是一个固定的比率。

此外，导数还可以帮助我们找到数列的极值点，即数列中的最
大值和最小值。

通过计算导数f'(n)的零点和变号区间，我们可以
找到数列中的极值点，这对于分析数列的性质和趋势非常有帮助。

总之，数列问题的导数方法可以帮助我们更深入地理解和分析数列的性质和规律。

通过计算数列的导数，我们可以找到数列项之间的变化规律，进而更好地解决数列相关的问题。

因此，导数方法在数列问题的研究中具有重要的意义，也为我们提供了一种新的思考数列问题的角度。

高二竞赛解几、导数、数列训练一、解几1.已知曲线c上任意一点P到两个定点F1(-3，0)和F2(3，0)的距离之和为4．（1）求曲线c的方程；（2）设过(0，-2)的直线l与曲线c交于C、D两点，且OODOC(0=⋅为坐标原点），求直线l的方程．解：（1）根据椭圆的定义，可知动点M的轨迹为椭圆，其中2a=，c=则1b==．所以动点M的轨迹方程为2214xy+=．（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为2y kx=-，设11(,)C x y，22(,)D x y，∵0OC OD⋅=，∴1212x x y y+=．∵112y kx=-，222y kx=-，∴21212122()4y y k x x k x x=⋅-++．∴21212(1)2()40k x x k x x+-++=．…①由方程组221,42.xyy kx⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()221416120k x kx+-+=．则1221614kx xk+=+，1221214x xk⋅=+，代入①，得()222121612401414kk kk k+⋅-⋅+=++．即24k=，解得，2k=或2k=-．所以，直线l的方程是22y x=-或22y x=--．2.已知点P（4，4），圆C：22()5(3)x m y m-+=<与椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求AP AQ⋅的取值范围．【解】（Ⅰ）点A代入圆C方程，得2(3)15m-+=．m＜3，∴m＝1．圆C：22(1)5x y-+=．设直线PF1的斜率为k，则PF1：(4)4y k x=-+，即440kx y k--+=．∵直线PF1与圆C=解得111,22k k ==或．当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4，∴c ＝4．F 1（－4，0），F 2（4，0）．2a ＝AF 1＋AF 2＝=a =a 2＝18，b 2＝2．椭圆E 的方程为：221182xy+=．（Ⅱ）(1,3)AP =，设Q （x ，y ），(3,1)A Qx y =--，(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-．∵221182xy+=，即22(3)18x y +=，而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥，∴－18≤6xy ≤18．则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[0，36]．3x y +的取值范围是[－6，6]．∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是[－12，0]．3.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2，且经过点(4,1)M . 直线:l y x m =+交椭圆于,A B 两不同的点.(1);(2);(3),:m l M M A M B x 求椭圆的方程求的取值范围若直线不过点求证直线，与轴围成一个等腰三【解】222222222222(1)1,4,2161(4,1),1,5,20,1.205x y e ab abM b a abxy+===+===+=设椭圆方程为因为所以又椭圆过点所以解得故椭圆方程为222222(2)1584200.205(8)20(420)0,5 5.xyy x m x m x m m mm =++=++-=∆=-->-<<将代入并整理得得121221122121212122112121212211212(3),,0.8420(,),(,),,.5511(1)(4)(1)(4)44(4)(4)(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(M A M B k k k k m m A x y B x y x x x x y y y x y x k k x x x x x m x x m x x x m x x m +=-+=-=----+--+=+=----=+--++--=+-+--=设直线斜率分别为和只要证设则分子2420)8(5)8(1)0,55,.m m m m M A M B x -----=因此与轴所围的三角形为等腰三角形4.已知椭圆22122:1(0)xyC a b a b+=>>3，直线l :2y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切.（I ）求椭圆1C 的方程；（II ）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直1l 于点P ，线段2P F 垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（III ）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点S R ,在2C 上，且满足0,Q R RS ⋅=求Q S 的取值范围.解：（Ⅰ）∵222222221,2333c a b e e a b ac-=∴===∴=∵直线22202:b y x y x l =+=--与圆相切，∴2,2,222==∴=bb b ∴32=a椭圆C 1的方程是12322=+yx（Ⅱ）∵MP=MF 2，∴动点M 到定直线1:1-=x l 的距离等于它到定点F 1（1，0）的距离，∴动点M 的轨迹是C 为l 1准线，F 2为焦点的抛物线∴点M 的轨迹C 2的方程为 x y 42=（Ⅲ）Q （0，0），设),4(),,4(222121y y S y y R ∴),4(),,4(122122121y y y y RS y y QR --== ∵0=⋅RS QR ∴0)(16)(121212221=-+-y y y y y y∵0,121≠≠y y y ，化简得 ∴)16(112y y y +-=∴6432256232256212122=+≥++=yy y当且仅当 4,16,2561212121±===y y yy 时等号成立∵6464)8(41)4(||2222222222≥-+=+=y y y y QS ，又∴当||58||8,64min 222QS QS y y ，故时，=±==的取值范围是),58[+∞二、导数及其应用1．设函数()()()f x x x a x b =--，R b a ∈,。

高中数学复习：导数中的数列1．已知函数()()ln 1x f x x+=. （1）分析函数()f x 的单调性；（2）证明：2111ln 3ln 212n n n ⎛⎫+⎛⎫+++≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，2n ≥. 2．已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.3．已知数列{}n a 的首项11a >，且211nn n a a a +=-，N n *∈.（1）求2a 的最小值； （2）求证：2115222nkk a n n =>+-∑. 4．已知函数()ln 1x x a f x x++=，在区间[]1,2有极值．（1）求a 的取值范围； （2）证明：()()sin 1a x f x x+>．5．已知函数()ln f x x x =-.（1）若()11f x x ax x +>-+恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若函数()()h x f x m =+有两个不同的零点1x ，2x ，且12x x <，求证：2211x x m +>+.6．已知函数f(x)=elnx −x +1. （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）证明：n(n+1)ln(1×2×3×⋯×n)>2e （n ∈N ∗，且n ≥2）. 7．已知函数()12ln f x a x x x=-+． （Ⅰ）若2a =，求()f x 在()1,0处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 对任意(]0,1x ∈均有()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）求证：()2111ln 12nk k n k n *=+<-∈+∑N ． 8．已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--. （1）判断函数()f x 的单调性； （2）已知数列{}n a ，()*123ln(1),1n n n n a T a a a a n n +==∈+N ，求证：[]ln (2)12n n n T +<-. 9．已知函数()()ln 1f x m x x =+-，()sin g x mx x =-.（1）若函数()f x 在()0+∞，上单调递减，且函数()g x 在02，上单调递增，求实数m的值；（2）求证：()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭（*n N ∈，且2n ≥）.10．已知函数f （x ）＝﹣2x 2+4x ，g （x ）＝alnx （a ＞0）（I ）若直线l 1交函数f （x ）的图象于P ，Q 两点，与l 1平行的直线l 2与函数f （x ）的图象切于点R ，求证P ，R ，Q 三点的横坐标成等差数列；（II ）若不等式f （x ）≤4x ﹣g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围； （III ）求证：44441n2ln 3ln 4ln 1234n n e+++⋯+< （其中n ≥2，n ∈N *，e 为自然对数的底数）． 11． 已知函数，数列满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求；（Ⅲ）求证：12．已知函数()2ln f x a x x =+，其中a R ∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当1a =时，证明：()21f x x x ≤+-；（Ⅲ）求证：对任意正整数n ，都有2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（其中e ≈2.7183为自然对数的底数） 13．设函数()()()1ln 10x f x x x++=>.（1）若()1kf x x >+恒成立，求整数k 的最大值； （2）求证：()()()2311212311n n n e -+⨯⋅+⨯+⨯+>⎡⎤⎣⎦. 14．设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠．（1）当2b =时，求函数()y f x =的图象在点(0,0)处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当*n ∈N ，且n 2≥时，证明不等式33311111111ln (1)(1)(1)232321n n n ⎡⎤+++++++>-⎢⎥+⎣⎦……．15．已知函数2()1f x ax bx =++在3x =处的切线方程为58y x .(1)求函数()f x 的解析式； (2)若关于x 的方程()x f x ke 恰有两个不同的实根,求实数k 的值；(3)数列{}n a 满足*112(2),(),n n a f a f a n N +==∈.证明：①11n n a a +>>；②12320191111S=++++2a a a a <.16．已知函数()e xf x kx x =-∈R ，（Ⅰ）若e =k ，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x R ∈，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e2)()n n F F F n n +*>+∈N ．17．已知()sin(1)ln f x a x x =-+，其中a R ∈．（1）当0a =时，设函数2()()g x f x x =-，求函数()g x 的极值．（2）若函数()f x 在区间(0,1)上递增，求a 的取值范围；（3）证明：211sinln 3ln 2(2)nk k =<-+∑．18．已知函数()()1ln f x x x x λλ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭R .（1）当1x >时，不等式()0f x <恒成立，求λ的最小值； （2）设数列()*1N n a n n =∈，其前n 项和为n S ，证明：2ln 24n n n a S S -+>. 19．已知函数()2ln f x a x x =+，其中a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明:()21f x x x ≤+-；（3）试比较22222222ln2ln3ln4ln 234n n++++与()()()12121n n n -++ ()*2n N n ∈≥且的大小，并证明你的结论。

导数及其应用一．导数的概念：x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0'.二．导数的几何意义： (1) 导数的几何意义: 函数在y=f(x)在x 0处的导数，就是曲线y=f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f(x)在点P(x 0, f(x 0))处的切线斜率是)('0x f 。

相应地，切线方程为：))(('000x x x f y y -=-。

注：在导数几何意义的应用过程中，应注意几种关系：① 切点),(00y x P 在曲线上，即)(00x f y =；②切点),(00y x P 也在切线上； ③在切点处的切线斜率为)('0x f k = （2）求曲线过点),(00y x P 的切线方法：①设切点为),(11y x M ；②求导得)('1x f ；③列方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)()(')(1011011x x x f y y x f y ，解出x 1 ④点斜式写出切线方程：))(('000x x x f y y -=-注：曲线在P 点处的切线与曲线过点P 的切线不是同一个概念：前者P 点为切点；后者P 点可能是切点也可能不。

一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的切点。

三、导数的计算 （1）常见函数的导数： 1．0='C 2．1)(-='n n nx x 3．xx e e =')( 4．a a a x x ln )(=' 5．1(ln )x x'= 6．a x e x x a a ln 1log 1)(log =='7．x x cos )(sin =' 8．x x sin )(cos -='（2）导数的四则运算1．和差：()u v u v '''±=± 2．积：v u v u uv '+'=')( 3．商：2)(v v u v u v u '-'=' 四、判断函数的单调性：设函数y=f(x)在区间（a ,b ）内可导（1） 如果恒有0)('>x f ，则函数f(x)在区间（a ,b ）内为增函数；（2） 如果恒有0)('<x f ，则函数f(x)在区间（a ,b ）内为减函数；（3） 如果f(x)在区间（a ,b ）上递增（或递减），则在该区间内0)('≥x f （或0)('≤x f ）。

专题1 导数放缩与数列构造导数和数列，在老高考时代，尤其是广东卷时代很流行，后来由于数列难度被降低（之前还出过压轴题),压轴题逐步把数列逐出了舞台，数列和导数都需要放缩思想，而数列能输出裂项相消、和式代换以及积式代换的思想，导数则在函数方程不等式的三位一体体系中牢牢把控，它们在一起的综合题会怎样呢？考点一 不等式的累加VS 数列和式代换通常求导后得到一个不等式，形如()(),01ln ><+x x x 利用这种式子构造n 个不等式迭加，得到一个结果，我们也可以考虑和式代换逆推。

【例1】已知：若()(),01ln ><+x x x 1+=n n a n ，n S 是数列{}n a 前n 项和，求证：22ln +-<n n S n这一系列题目中，往往前一两问都是求导数的极值或者参数取值范围，需要用到前面的一些结论作为不等式证明的条件，然后利用累加不等式来证明。

本题思考过程正方向比较难，可以考虑利用和式代换逆推，即： 要证22ln+-<n n S n ，同时也证21ln 11+--<-n n S n ，故只需证：12ln 1++-<n n a n ， 只需证12ln 11++-<+=n n n n a n ，只需证1112ln +-<++n n n n ；只需证：11111ln +<⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n ， 根据题意，()(),01ln ><+x x x 故令11+=n x ，即证⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-<+-<++-<-23ln 11ln 112ln 111a n n a n n a n n，累加得：22ln+-<n n S n . 注意：和式代换仅限于()n f S n <类型，对于()为常数m m S n <不适用，因为常数一作差就是0,我们接着来看一下模型题.【例2】设曲线y = f (x ) =cx bx x a ++23213在点x 处的切线斜率为k (x )，且k (-1) = 0.对一切实数x ，不等式).0()1(21)(2≠+≤≤a x x k x 恒成立（1）求f (1)的值；（2）求函数k (x )的表达式； （3）设数列)(1n k 的前n 项和为S n ，求证22+>n nS n 【例3】（2022•新高考Ⅱ）已知函数()ax x f x xe e =-． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； （3）设*n N ∈(1)ln n >+．注意：按照第（2）问的条件直接构造，这需要相对比较强的数感，如果按照和式代换来逆推，则相对好把握数据，选择哪一种方法，看个人习惯，个人建议按照和式代换得出数据后直接构造。

导数在数列中的应用摘 要：导数是解决函数问题的有力工具，更为数学解题注入了新的活力。

由于数列可看做特殊的函数，所以自然可联想尝试应用导数知识解决数列问题。

一．导数的概念1、定义：0'0000()()()()()limlim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ∆→∆→→-∆+∆-===∆∆-左导数：0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ----∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- 右导数： 0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ++++∆→∆→→-∆+∆-===∆∆-'''()()()f x A f x f x A -+∴=⇔==可以证明：可导⇒连续 即：可导是连续的充分条件连续是可导的必要条件导函数：'00()()()lim limx x y f x x f x f x y x x∆→∆→∆+∆-===∆∆ 二．导数在数列问题中的应用1.利用导数确定数列的最大或最小项例1 已知数列{n a }的通项n a =328x x -,n ∈N+,求数列{n a }的最大项 解：构造辅助函数f(x )=328x x -(x>0),则()x f '=16x-23x 显然，当0<x<316时，()x f '>0,当x>316时，'f (x )<0,故f(x)在区间（0,316）上是增函数，在区间（316,+∞）上是减函数，所以当x=316时，函数取最大值。

对于n ∈N+,f(n )=328n n -,f(5)=75,f(6)=72,所以f(n)的最大值是75，即数列{n a }的最大项为5a =75. 2.利用导数研究数列的增减性例2 设定以在R 上的函数f(x )与数列{n a }满足：1a >a,其中a 是方程f(x )=x的实数根，()n n a f a =+1,f(x )可导，且()x f '∈（0,1）.（1） 证明：n a >a,(1)判定n a 与1+n a 的大小关系，并证明 证明（1）由已知1a >a,即n=1时，n a >a 成立. (2)设n=k 时 k a >a因为'f (x )>0，所以f(x )是增函数，所以1+k a =f(k a )>f(a) 又由题设可知 f(a)=a ，所以k k a a >+1 即n=k+1时，命题成立. 由（1）（2）知 n ∈N+时，n a >a 成立.(2) 要比较 n a ,1+n a 的大小，即比较n a 和f(n a )的大小，构造辅助函数g(x )=x-f(x )，则'g (x)=1-'f (x)>0,故g(x )是增函数，所以当n a >a 时，g （n a ）>g(a)，又因为g(a)=a-f(a)=0,g(n a )=()n n a f a -，所以()n n a f a ->0，故()n n a f a >即1+>k k a a 3.利用导数求数列前n 项和例3 求数列,...,...3,2,112-n nx x x 前项的和 s n . 解：当x=1时，n s =1+2+3+…+n=()121+n n 当x ≠1时，因x+2x+23x+…+nx=xx x n --+11，两边求导数，得1+2x+32x +…+n-1-n x =1-(n+1)nx +()()21111x x x n n n -++-+ 综上可知：当 x=1时，()121+=n n s n ,当x ≠1时，()()21111x nx x n s n n n -++-=+ 4．利用导数证明数列不等式例4 若⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n t t a 121 其中t ∈[21,2],n T 是数列{n a }前n 项的和，求证：nnn T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<222证明： 构造辅助函数 f (t )=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n t t 121,t ∈[21,2] 则'f (t )=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-1112n n t t n . 当121≤≤t 时 'f (t)<0 当1<t ≤2时 'f (t )>0故f(t )在[21,1]上递减，在[1,2]上递增 所以 ()m a x t f =f(21)=f(2)=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 21221 即n a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤n n 21221 所以()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++≤n n n T 21 (2)1212...222122nn n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫⎝⎛+-=222211212说明这里需要证明 ：212221121n nn =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 121221222122121221212121212==∙>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-+n nn n n n ∴nn n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=>⎪⎭⎫ ⎝⎛+2221211212所以命命题的证. 5. 导数在数列求和中的应用 例5 1≠x ，求下列数列之和 （1）12...321-++++n nx x x （2）22221123...n x x n x -++++（3）222242322...-+++n n x c x c x c c 分析 （1）由),...,2,1()'(1n k kx x k k ==- 可设12...321)('-++++=n nx x x x f 则n x x x x x f ...1)(32++++=而 )1(11 (11)32≠--=++++++x xx x x x x n n上式两端对x 求导，并整理得 2212)1()1(1...321x nx x n nxx x n n n -++-=+++++- [1]（2） 比较（1），（2）两式中的通项可发现，只需对[1]两端同乘以x ，再对x 求导 便可得到：22212212222)1()122()1(1...321x x n x n n x n x xn x x n n n n ---+++-+=+++++--（3） 由 21222)(212)1(---=-=n n n n nx x n n x c 可知只需对[1]式两端继续求导便可得到： 22)1(...34232--++∙+∙+n x n n x x=212212)1()()1(2)(2x x n n x n x n n n n n ----++-+- ∴ 312212222242322)1(2)()1(2)(2...x x n n x n x n n xc x c x c c n n n n n----++-=+++++--三．数列是特殊的函数（导数的应用）1. 函数的单调性与导数 例1 已知函数f(x)=3x -ax -1.（1）若f(x)在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由.解析 （1）由已知)('x f =32x -a.因为f(x)在R 上是单调增函数， 所以f ′(x)=32x -a ≥0在R 上恒成立，即a ≤32x 对x ∈R 恒成立. 又因为32x ≥0，所以只需a ≤0.又因为当a=0时，f ′(x)=32x ≥0, 即f(x)=3x -1在R 上是增函数，所以a ≤0.(2)由)('x f =32x -a ≤0在(-1，1)上恒成立,得a ≥32x ，x ∈(-1,1)恒成立.因为-1<x<1,所以32x <3,所以只需证明a ≥3. 当a=3时，)('x f =3(2x -1),在x ∈(-1,1)上，f ′(x)<0，即)(x f 在(-1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3,使f(x)在(-1，1)上单调递减.2. 函数的极值与导数例2 已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+2x -10x 的一个极值点. (1)求a;(2)求函数f(x)的极大值；(3)若直线y=b 与函数y=)(x f 的图象有3个交点，求b 的取值范围.解析 (1)因为)('x f = x a +1+2x-10, 所以)3('f = 4a+6-10=0, 因此a=16.(2)由(1)知，)('x f =x+116+2x-10 = xx x +--1)3)(1(2 (x>-1).此时，)('x f 、)(x f 随x 的变化情况如下表：x(-1,1)1(1,3)3(3,∞)f ′(x) + 0- 0 +f(x)单增极大值 单减极小值单增由上表知函数f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9.(3)由(2)知，f(x)在(-1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3,+∞)上单调递增，且当x=1或x=3时,f ′(x)=0，所以f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9,极小值为f(3)=32ln2-21.若直线y=b 与函数y=f(x)的图象有3个交点，当且仅当f(3)<b<f(1). 因此，b 的取值范围为(32ln2-21，16ln2-9). 3. 函数的最大值、最小值与导数例3 已知函数f(x)=3x -12x+8在区间［-3,3］上的最大值与最小值分别为M,N ，试求M-N 的值.解析 )('x f =32x -12=3(x+2)(x-2)， 令)('x f =0，得1x =-2，2x =2.则)('x f ，f(x)随x 的变化情况如下表：x -3 (-3,-) -2(-2,2) 2 (2,3) 3 f ′(x) + 0 - 0 + y=f(x) 17单增极大 值24单减极小 值-8单增-1显然，M=24，N=8，则M-N=24+8=32.。

导数应用之数列一．导数的概念1、定义：0'0000()()()()()limlim limx x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- 左导数：0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ----∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- 右导数： 0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ++++∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- '''()()()f x A f x f x A -+∴=⇔==可以证明：可导⇒连续 即：可导是连续的充分条件连续是可导的必要条件导函数：'00()()()lim lim x x y f x x f x f x y x x∆→∆→∆+∆-===∆∆二．导数在数列问题中的应用1.利用导数确定数列的最大或最小项例1 已知数列{n a }的通项n a =328x x -,n ∈N+,求数列{n a }的最大项 解：构造辅助函数f(x )=328x x -(x>0),则()x f '=16x-23x 显然，当0<x<316时，()x f '>0,当x>316时，'f (x )<0,故f(x)在区间（0,316）上是增函数，在区间（316,+∞）上是减函数，所以当x=316时，函数取最大值。

对于n ∈N+,f(n )=328n n -,f(5)=75,f(6)=72,所以f(n)的最大值是75，即数列{n a }的最大项为5a =75.2.利用导数研究数列的增减性例2 设定以在R 上的函数f(x )与数列{n a }满足：1a >a,其中a 是方程f(x )=x 的实数根，()n n a f a =+1,f(x )可导，且()x f '∈（0,1）.（1） 证明：n a >a,(1)判定n a 与1+n a 的大小关系，并证明 证明（1）由已知1a >a,即n=1时，n a >a 成立.(2)设n=k 时 k a >a因为'f (x )>0，所以f(x )是增函数，所以1+k a =f(k a )>f(a) 又由题设可知 f(a)=a ，所以k k a a >+1 即n=k+1时，命题成立. 由（1）（2）知 n ∈N+时，n a >a 成立.(2) 要比较 n a ,1+n a 的大小，即比较n a 和f(n a )的大小，构造辅助函数g(x )=x-f(x )，则'g (x)=1-'f (x)>0,故g(x )是增函数，所以当n a >a 时，g （n a ）>g(a)，又因为g(a)=a-f(a)=0,g(n a )=()n n a f a -，所以()n n a f a ->0，故()n n a f a >即1+>k k a a 3.利用导数求数列前n 项和例3 求数列,...,...3,2,112-n nx x x 前项的和 s n . 解：当x=1时，n s =1+2+3+…+n=()121+n n 当x ≠1时，因x+2x+23x+…+nx=xx x n --+11，两边求导数，得1+2x+32x +…+n-1-n x =1-(n+1)nx +()()21111x x x n n n -++-+ 综上可知：当 x=1时，()121+=n n s n ,当x ≠1时，()()21111x nx x n s n n n -++-=+ 4．利用导数证明数列不等式例4 若⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n t t a 121 其中t ∈[21,2],n T 是数列{n a }前n 项的和，求证：nn n T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<222 证明： 构造辅助函数 f (t )=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n t t 121,t ∈[21,2] 则'f (t )=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-1112n n t t n . 当121≤≤t 时 'f (t)<0 当1<t ≤2时 'f (t )>0故f(t )在[21,1]上递减，在[1,2]上递增 所以 ()m a x t f =f(21)=f(2)=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 21221 即n a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤n n 21221 所以()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++≤n n n T 21 (2)1212...222122nn n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫⎝⎛+-=222211212说明这里需要证明 ：212221121n nn =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 121221222122121221212121212==∙>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-+n nn n n n ∴nn n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=>⎪⎭⎫ ⎝⎛+2221211212所以命命题的证. 5. 导数在数列求和中的应用 例5 1≠x ，求下列数列之和 （1）12...321-++++n nx x x （2）12222...321-++++n x n x（3）222242322...-+++n n x c x c x c c分析 （1）由),...,2,1()'(1n k kx x k k ==- 可设12...321)('-++++=n nx x x x f 则n x x x x x f ...1)(32++++=而 )1(11 (11)32≠--=++++++x xx x x x x n n上式两端对x 求导，并整理得 2212)1()1(1...321x nx x n nxx x n n n -++-=+++++- [1] （2） 比较（1），（2）两式中的通项可发现，只需对[1]两端同乘以x ，再对x 求导 便可得到： 22212212222)1()122()1(1...321x x n x n n x n x xn x x n n n n ---+++-+=+++++-- （3） 由 21222)(212)1(---=-=n n n nnx x n n x c 可知只需对[1]式两端继续求导便可得到： 22)1(...34232--++∙+∙+n x n n x x=212212)1()()1(2)(2x x n n x n x n n n n n ----++-+-∴ 312212222242322)1(2)()1(2)(2...x x n n x n x n n xc x c x c c n n n n n----++-=+++++-- 三．数列是特殊的函数（导数的应用）1. 函数的单调性与导数 例1 已知函数f(x)=3x -ax -1.（1）若f(x)在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由.解析 （1）由已知)('x f =32x -a.因为f(x)在R 上是单调增函数， 所以f ′(x)=32x -a ≥0在R 上恒成立，即a ≤32x 对x ∈R 恒成立. 又因为32x ≥0，所以只需a ≤0.又因为当a=0时，f ′(x)=32x ≥0, 即f(x)=3x -1在R 上是增函数，所以a ≤0.(2)由)('x f =32x -a ≤0在(-1，1)上恒成立,得a ≥32x ，x ∈(-1,1)恒成立.因为-1<x<1,所以32x <3,所以只需证明a ≥3. 当a=3时，)('x f =3(2x -1),在x ∈(-1,1)上，f ′(x)<0，即)(x f 在(-1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3,使f(x)在(-1，1)上单调递减.2. 函数的极值与导数例2 已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+2x -10x 的一个极值点. (1)求a;(2)求函数f(x)的极大值；(3)若直线y=b 与函数y=)(x f 的图象有3个交点，求b 的取值范围. 解析 (1)因为)('x f = x a +1+2x-10, 所以)3('f = 4a+6-10=0, 因此a=16.(2)由(1)知，)('x f =x+116+2x-10 = xx x +--1)3)(1(2 (x>-1).此时，)('x f 、)(x f 随x 的变化情况如下表：x(-1,1)1(1,3)3(3,∞)f ′(x) + 0 -0 +f(x) 单增 极大值 单减 极小值单增由上表知函数f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9.(3)由(2)知，f(x)在(-1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3,+∞)上单调递增，且当x=1或x=3时,f ′(x)=0，所以f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9,极小值为f(3)=32ln2-21.若直线y=b 与函数y=f(x)的图象有3个交点，当且仅当f(3)<b<f(1). 因此，b 的取值范围为(32ln2-21，16ln2-9). 3. 函数的最大值、最小值与导数例3 已知函数f(x)=3x -12x+8在区间［-3,3］上的最大值与最小值分别为M,N ，试求M-N 的值.解析 )('x f =32x -12=3(x+2)(x-2)， 令)('x f =0，得1x =-2，2x =2.则)('x f ，f(x)随x 的变化情况如下表：x -3 (-3,-) -2(-2,2) 2 (2,3) 3 f ′(x) + 0 - 0 + y=f(x) 17单增极大 值24单减极小 值-8单增-1显然，M=24，N=8，则M-N=24+8=32.。