1.2独立性检验的基本思想及其初步应用(选修2-3).ppt03

1、列联表 2、三维柱形图
不吸烟 吸烟 总计
不患肺癌 7775 2099 9874
患肺癌 42 49 91
总计 7817 2148 9965
3、二维条形图
8000 7000 6000 5000 4000 不患肺癌 患肺癌
3000
不吸烟
不患肺癌
2000 1000
患肺癌
吸烟
0
不吸烟
吸烟
从三维柱形图能清晰看出各 个频数的相对大小.
2、利用独立相关性检验来考察两个分类变量是 否有关系，并且精确地给出这种判断的可靠程度。 具体步骤如下：
a .根 据 实 际 问 题 需 要 的 可 信 程 度 确 定 临 界 值 k 0 b .根 据 观 测 数 据 计 算 随 机 变 量 K 的 值 k c .如 果 k k 0 , 就 以 （ 1 - P ( K k 0 ) ） 1 0 0 % 的 把 握 认 为 H 1
解：在假设“性别与是否喜欢数学之间没有关系” 的前提下，K 应该很小，并且 P(K
2 2 2
3 .8 4 1) 0 .0 5
而 K 的 观 测 值 k 4 .5 1 4 超 过 了 3 .8 4 1， 这 就 意 味 着 “性别与是否喜欢数学课程之间有关系”这一结论 是 错 误 的 可 能 性 约 为 0.05， 即 有 95%的 把 握 认为“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”
• 3．对于分类变量X与Y的随机变量K2 的观测值k，下列说法 正确的是 ( ) • A．k越大，推断“X与Y有关系”，犯错误的概率越大 • B．k越小，推断“X与Y有关系”，犯错误的概率越大 • C．k越接近于0，推断“X与Y无关”，犯错误的概率越大 • D．k越大，推断“X与Y无关”，犯错误的概率越小 • [答案] B
这一结论只适用于被调查的学校
• 如图所示是根据调查人的性格与性别有无 关系的相应数据画出的三维柱形图，由该 三维柱形图可知，人的性格与性别______ 关系．(填“有”或“没有”)．
• 练习（1）下面2×2列联表的K2的值为 1.780
392(39×167－157×29)2 [解析] K2＝ ＝1.780 196×196×68×324
如是否吸烟、宗教信仰、是否患肺癌、国籍等等. 在日常生活中，主要考虑分类变量之间是否有关系： 例如，吸烟是否与患肺癌有关系？ 性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等.
两个分类变量的相关关系的分析：
①通过图形直观判断两个分类变量是否相关； ②独立性检验.
为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机 地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）：
2
说 明 H 0不 成 立 ， 而 这 种 判 断 可 能 出 错 ， 出 错 的 概 率 不 会 超 过 P(K >k0 ) 当 k < k 0时 ， 含 义 是 样 本 数 据 没 有 充 分 的 理 由 证 明 H 0 不成立
2
解 ： 假 设 H0 :吸 烟 与 患 肺 癌 没 有 关 系 K 的观测值为 k 9 9 6 5(7 7 7 5 4 9 4 2 2 0 9 9 ) 7817 2148 9874 91
（2）从上面计算结果中有多少把握判断A和B相关
因为1.780>1.323,只有约75%的把握判断A和B相 关，即没有确切把握判断A和B相关
• 练习 有甲、乙两个班级进行一门考试，按照 学生考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下 的列联表 • 班级与成绩列联表
• 试问能有多大把握认为“成绩与班级有关系”？
178
300

2
（ a b )( c d )( a c )( b d )
n （ ad - bc ）

300 ( 37 143 85 35 ) 72 228 122 178
2
k 4 .5 1 4
由表中数据计算得到 K 2 的观测值 k 4 .5 1 4 。 能够以95%的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学 课程之间有关系吗？为什么？
不患肺癌 a c a+c 患肺癌 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d
吸烟与患肺癌的列联表： 不吸烟 吸烟 总计 不患肺癌 a c a+c 患肺癌 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d
如果“吸烟与患肺癌没有关系”，则在吸烟者中不患 肺癌的比例应该与不吸烟者中相应的比例应差不多， c 即 a
2
5 6 .6 3 2 .
在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率：
P(K
2
6 .6 3 5 ) 0 .0 1
k 5 6 .6 3 2
也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量K2进行多次 观测，观测值超过6.635的频率约为0.01，是一个小概 率事件.现在K2的观测值为56.632，远远大于6.635，所
从二维条形图能看出，吸烟者中 患肺癌的比例高于不患肺癌的比例.
上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸 烟和患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？这需要 用统计观点来考察这个问题. 现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌 有关”，为此先假设： H0：吸烟与患肺癌没有关系
把数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表： 不吸烟 吸烟 总计
2
1 6 .3 7 3 6 .6 3 5
所以有99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”
例2 为了考察高中生的性别与是否喜欢数学课 程之间的关系，在某城市的某校高中生中随即 抽取300名学生，得到如下列联表：
喜欢数学课程 男 37 不喜欢数学课程 85 总计 122
女
总计
35
72
143
228
2
甲班 乙班 总计
优秀 10 7 17
不优秀 35 38 73
总计 45 45 90
90×(10×38－7×35)2 K2＝ ＝0.653， 17×73×45×45 0．653＜3.841， 所以没有充分证据认为成绩与班级有关．
• 一、选择题 • 1．可以粗略地判断两个分类变量是否有关系的是 • ( ) • A．散点图 • B．三维柱形图和二维条形图 • C．独立性检验的思想 • D．以上都不对 • [答案] B
2
( a b )( c d )( a c )( b d )
（1）
其中n=a+b+c+d为样本容量.
若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应很小. 由列联表中数据，利用公式（1）计算得K2的观测值为：
k 9965(7775 49 42 2099) 7817 2148 9874 91
• 2．下表是一个2×2列联表：
x1 x2 总计
y1 a 2 b
y2 21 25 46
总计 73 27 100
D．54,52
a＝52， 得 b＝54.
• 则表中a，b处的值分别为( ) • A．94,96 B．52,50 C．52,54
• [答案] C
[解析]
a＋21＝73， 由 a＋2＝b，
a b cd a (c d ) c(a b ) ad bc 0
|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱； |ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强.
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于 上述分析，我们构造一个随机变量
K
2

n(ad bc )
以有理由断定H0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系” 但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即 我们有99％的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”.
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值 分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表（称为 2x2列联表）为： y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d
独立性检验
首先，假设结论不成立，即 H ：两个分类变量没有关系
（在这种假设下k应该很小）
其次，由观测数据计算K 的观测值k，
（如果k很大，则在一定可信程度上说明H 不 成立,即两个分类变量之间有关系）
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
最后，根据k的值判断假设是否成立
临界值表：
P (K
2
k0 )
0
0.50
0.40
0.25
0.15
如身高、体重、考试成绩、温度等等.
两个定量变量的相关关系分析：回归分析（画散点图、 相关指数R2、残差分析）
对于性别变量，其取值为男和女两种，这种变量的不 同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称 为分类变量.
分类变量也称为属性变量或定性变量，它们的取值一 定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别， 如性别变量，只取男、女两个值
临界值
P (K
2
k)
0.50
0.40
0.5
0.15
0.10
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k
0.445 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）如果k>10.828，就有99.9%的把握认为“X与Y有关系” （2）如果k>7.879，就有99.5%的把握认为“X与Y有关系”； （3）如果k>6.635，就有99%的把握认为“X与Y有关系”； （4）如果k>5.024，就有97.5%的把握认为“X与Y有关系”； （5）如果k>3.841，就有95%的把握认为“X与Y有关系”； （6）如果k>2.706，就有90%的把握认为“X与Y有关系”； （7）如果k<=2.706，就认为没有充分的证据显示 “X与Y有关系”.