定坫分点的坐标公式

线段定比分点公式线段定比分点公式是解决线段分点问题的一种方法，它在数学中有着广泛的应用。

它的原理是根据线段的长度比例，确定分点的位置。

下面我将详细介绍线段定比分点公式的应用和推导过程。

我们来看一个具体的问题。

假设有一条线段AB，长度为L。

我们需要在这条线段上确定一个点C，使得AC:CB的长度比例为m:n。

那么我们可以通过线段定比分点公式来求解这个问题。

根据线段定比分点公式，我们可以得到以下等式：AC/CB = m/n我们可以将这个等式进一步转化为：AC = mL/(m+n)CB = nL/(m+n)这就是线段定比分点公式的具体表达式。

根据这个公式，我们可以在给定的线段上确定一个满足长度比例的分点。

接下来，我们来看一个具体的例子，以更好地理解线段定比分点公式的应用。

例题：在线段AB上，已知AC:CB = 3:2，且AB的长度为10。

求点C的坐标。

解析：根据线段定比分点公式，我们可以得到以下表达式：AC = 3/5 * 10 = 6CB = 2/5 * 10 = 4因此，点C的坐标为(6, 4)。

线段定比分点公式不仅可以用于求解已知长度比例的问题，还可以用于求解已知分点和端点长度的问题。

下面我们来看一个例子。

例题：在线段AB上，已知点A的坐标为(1, 2)，点C的坐标为(5, 6)，且AC:CB = 2:3，求线段AB的长度。

解析：根据线段定比分点公式，我们可以得到以下表达式：AC/AB = 2/5将已知的点的坐标代入上述表达式，可以得到以下等式：√[(5-1)^2+(6-2)^2]/AB = 2/5解方程可得：√[(5-1)^2+(6-2)^2] = 2/5 * AB化简得：√[(5-1)^2+(6-2)^2] = 2/5 * AB两边平方可得：(5-1)^2+(6-2)^2 = (2/5 * AB)^2化简得：16 + 16 = (2/5)^2 * AB^2化简得：32 = (4/25) * AB^2进一步化简可得：AB^2 = 25/4 * 32化简得：AB^2 = 200开平方可得：AB = √200化简得：AB = 10√2因此，线段AB的长度为10√2。

定比分点坐标公式在解题中的应用河北 陈庆新许多同学可能已经能够熟练地应用有向线段的定比分点坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 及定比的坐标公式λ＝x －x 1x 2－x ，求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比了．事实上用这两个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．下面举例说明其解题中的应用． 一、在几何问题中的应用（一）关于公式的正用例1． 证明：三角形内角平分线分其对边之比等于夹这个角的两边长度之比．证明：以ΔOAB 的顶点O 为原点，∠AOB 的平分线OC 所以直线为x 轴，建立平面直角坐标系如图所示，设|OA|＝m ，|OB|＝n ，∠AOC ＝∠COB ＝θ，则A(m cos θ，m sin θ)，B(n cos θ，－nsin θ)，设C 点分−→−AB 的所成的比为λ，由定比分点的坐标公式：m sin θ－λn sin θ1＋λ＝0，解之得，λ＝m n ，即|AC||CB|＝|OA||OB|．点评：本例的结论在解题中有着很多的应用。

请看下面的例子。

例2．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(－1，1)，B(3，1)，C(2，5)，角A 的内角平分线交对边于D ，则向量AD −−→的坐标为 ．解析：容易计算|AB −−→|＝4，|AC −−→|＝5。

根据三角形内角平分线的性质知：ABAC＝BD DC ，于是可知点D 分有向线段BC −−→所成的比为45，从而由定比分点坐标公式可求得点D 的坐标（239，259），于是AD −−→＝（329，169）．例3．已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线把△ABC 的面积分成4∶5两部分，求点P 的坐标．A C OBx y解析：由题意得：ABCAPQ S S ∆∆＝2⎪⎭⎫ ⎝⎛AB AP ＝49．所以AP AB ＝23，即−→−AP ＝2−→−PB ，λ＝2，设P(x ，y )，则x ＝1＋2×41＋2＝3，y ＝2＋2×11＋2＝43．所以P 点的坐标为(3，43)．例4．已知在△ABC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，且A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)，求△ABC 的内心坐标．解析：设I 为△ABC 的内心，AD 为∠A 的平分线，则AB AC ＝BD DC ＝cb ，∴点D 分−→−BC 所成的比为c b ，∴由定比分点的坐标公式可求得D 点的坐标：x D ＝x 2＋c b ×x 31＋c b ＝bx 2＋cx 3b ＋c ，y D ＝by 2＋cy 3b ＋c．又AI ID ＝AB BD ＝AC CD ，∴AI ID ＝AB ＋AC BD ＋CD＝b ＋c a ，即点I 分−→−AD 所成的比b ＋c a ． ∴x I ＝acb c b cx bx a c b x ++++⋅++1321＝ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，同理y I＝ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c ．∴△ABC的内心坐标为(ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c)．（二）公式的逆用例5．已知一次函数y ＝－mx －2图象与线段AB 有交点，若A(－2，3)、B(3，2)，求实数m 的取值范围．解析：设一次函数的图象直线l 交AB 于点P(x ，y )且−→−AP ＝λ−→−PB (λ≥0)，当λ＝0时，直线过A 点，则由定比分点坐标公式知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=λλλλ123132y x ，又因P 在直线ACBDIl 上，故m ·－2＋3λ1＋λ＋3＋2λ1＋λ＋2＝0，解得：λ＝2m －53m ＋4≥0，从而m ≥52或m ＜－43．又当点P 与点B 重合时符合题意，所以将B(3，2)代入直线l 的方程，求得m ＝－43．故m 的取值范围为m ≥52或m ≤－43．本例可以推广为：已知定点P 1（x 1，y 1）、P 2(x 2，y 2)及直线l ：A x ＋B y ＋C=0，设直线l 与直线P 1P 2相交于点P ，求证：点P 分有向线段12PP −−→所成的比λ＝－A x 1+B y 1+C A x 2+B y 2+C ．略解：设点P 分有向线段12PP −−→所成的比λ，由定比分点坐标公式可求得点P 的坐标为：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，将点P 的坐标代入直线l 的方程：A 121x x λλ++＋B 121y y λλ++＋C=0，整理得：（A x 1＋B y 1＋C ）＋λ(A x 2＋B y 2＋C)=0，解之得：λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ．点评：若利用这个结论来解答一下例5，就显得非常简捷：设点P(x ，y )分有向线段AB −−→所成的比为λ，则λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ＝－－2m ＋3＋23m ＋2＋2＝2m －53m ＋4，因为P 为内分点，所以λ＝2m －53m ＋4≥0，解之得：m ≥52或 m ＜－43，当直线l 过点B 时，有m ＝－43．综上知：m ≥52或m ≤－43． 二、在代数问题中的应用 （一）、解不等式例6．解不等式2－x1＋3x≥1．解析：令y ＝2－x 1＋3x －1≥0，则x ＝1－y 4＋3y＝14＋3y 4×(－13)1＋3y 4，且y ≥0，于是此问题可转化为：数轴上以P 1(14)为起点，P 2(－13)为终点，定比λ＝34y ≥0时，求分点P 的坐标x 的范围问题．由λ＝34y ≥0知点P 为有向线段−→−21P P 的内分点，或与点P 1重合，故应有－13＜x ≤14．例7． 解不等式1＜x 2－2x －1x 2－2x －2＜2．解析：在数轴上取P 1，P ，P 2点依次表示1，x 2－2x －1x 2－2x －2，2，由−→−P P 1＝λ−→−2PP 得λ＝1x 2－2x －3，因为P 内分有向线段−→−21P P ，所以λ＞0，即x 2－2x －3＞0，解之即得原不等式的解集为：{x |x ＜－1或x ＞}3． （二）、求函数的值域例8． 求函数y ＝1＋3x ＋11－x ＋1的值域．解析：令λ＝－x ＋1，则λ≤0，依题意有y ＝－1＋λ(－3)1＋λ，根据上式可知λ为点P(y )分有向线段−→−21P P 所成的比，其中P 1(1)、P 2(－3)，于是函数y 为分点P 的坐标，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ＝y －1－3－y ≤0，解之得y ＜－3或y ≥1．即原函数的值域为(－∞，－3)∪[1，＋)∞．例9．求函数y ＝e x －1e x ＋1的反函数的定义域．解析：问题等价于求原函数的值域．令λ＝e x ＞0，P 1(－1)，P(y )，P 2(1)，则y ＝e x －1e x ＋1＝－1＋e x ·11＋e x ＝－1＋λ1＋λ，∵λ＞0，∴P 为有向线段−→−21P P 的内分点，∴－1＜y ＜1，故原函数的值域为(－1，1)，即其反函数的定义域为(－1，1)．例10．求函数y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1(1＜x ＜)3的值域．解析：将原函数式变形为：y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1＝－1＋(x ＋1x )·11＋(x ＋1x )，设P 1(－1，0)、P 2(1，0)，λ＝x ＋1x ，其中1＜x ＜3．由函数λ＝x ＋1x 的单调性可求得，2＜λ＜103．又当λ＝2时，y ＝13；λ＝103时，y ＝713，所以所求函数的值域为(13，713)． （三）、求函数的解析式例11．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过点(－1，0)且x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，对一切实数x 都成立，求f (x )．解析：因为当x ∈R ，总有x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，为此不妨设P 1(x )、P[f (x )]、P 2(x 2＋12)为数轴上三点，则−→−P P 1＝λ−→−2PP ，其中λ≥0，于是由定比分点坐标公式得： f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ，又因为y ＝ f (x )经过点(－1，0)，代入上式得，0＝－1＋λ1＋λ，解得λ＝1，再将λ＝1代入f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ得，f (x )＝ 14x 2＋12x ＋14．（四）、用于处理三角问题例12． 证明：y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．证明：①当sin x ＝1时，y ＝3∉(13，3)；②当sin x ＝－1时，y ＝－1∉(13，3)；③当sin x ≠±1时，将P(y )视为数轴上的点A(13)与B(3)的分点，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ，得λ＝y －133－y ＝sin x ＋13(sin x －1)＜0，即点P(y )为有向线段−→−AB 的外分点，故有y ∉(13，3)．综上可知，y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．（六）、用于解决数列问题数列是定义在正整数集上的特殊函数．而等差数列的通项公式为：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )为变量n 的一次函数(d ≠0)，其图象为直线．故而有A(m ，a m )、B(n ，a n )、C(p ，a p )三点共线(其中a m 、a n 、a p 分别为项数是m 、n 、p 的数列中的项)．为此我们把C 视为−→−AB 的一个定比分点，则有λ＝p －mn －p，a p ＝a m ＋λa n1＋λ． 例13 ．在3与19之间插入31个数，使它们成等差数列，求通项公式． 解析：设通项为a n ，令点P(n ，a n )分A(1，a 1)，B(33，a 33)两点连成的线段所成的比为λ，则有λ＝n －133－n ，又由题意，a 1＝3，a 33＝19，于是有a n ＝a 1＋λa 331＋λ＝3＋n －133－n ×191＋n －133－n ＝12n ＋52．即通项a n ＝12n ＋52．命题2． 设数列{ a n }是等差数列，S n 是数列的前n 项和，其中S P 、S m 、S n 满足λ＝p －m n －p (λ≠－1)，则S m m ＝S p p＋λS n n 1＋λ．例14． 设S n 是等差数列的前n 项和，已知S 10＝100，S 100＝10，求S 110． 解析：取λ＝110－10100－110＝－10，则S 110110＝S 1010＋λS 1001001＋λ ＝10010＋(－10)101001＋(－10) ＝－1，所以S 110＝－110．。

定比分点的向量公式及应用向量是在数学中广泛应用的一种重要概念。

在向量中，可以定义加法、减法和数量乘法等运算，这些运算规则以及向量的模、方向等性质，使得向量在数学、物理和工程等领域的应用中具有重要的意义。

在计算机科学和计算机图形学中，向量被广泛用于表示三维空间中的点、方向和位移等概念。

这些向量通常表示为[x,y,z]，其中x、y和z分别表示在三个坐标轴上的分量。

定比分点的向量公式可以用于计算两个点之间的中点、分点以及线段的长度。

假设有两个点A和B，它们的坐标分别为A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，我们可以使用如下的公式来计算两个点之间的中点：M=(A+B)/2其中M是点A和点B之间的中点，"+"表示向量的加法运算，"/"表示向量与标量的除法运算。

通过这个公式，我们可以计算出两个点之间的中点的坐标。

在计算两个点之间的分点时，可以使用类似的方法。

假设有一个分点P，它位于点A和点B之间的t比例处，我们可以使用如下的公式来计算分点的坐标：P=A+t*(B-A)其中t是一个介于0和1之间的比例值。

当t等于0时，分点P的坐标就是点A的坐标；当t等于1时，分点P的坐标就是点B的坐标。

通过改变t的值，我们可以在点A和点B之间找到任意位置的分点。

除了计算中点和分点之外，向量的长度也是一个重要的概念。

在三维空间中，向量的长度可以通过计算其模来获得。

一个向量的模定义为其各个分量的平方和的平方根。

对于一个三维向量V=[x,y,z]，其模的计算公式如下：V， = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)通过计算向量的模，我们可以获得向量的长度信息。

定比分点的向量公式在计算机图形学中有许多应用。

例如，在三维建模中，我们经常需要计算物体的表面上的点的位置和属性。

通过定比分点的向量公式，我们可以在物体的两个顶点之间找到任意位置的点，从而进行物体的细分或者其他形变操作。

此外，向量的线性插值也是一个重要的应用。

[编辑本段]定比分点定义对于轴上两个已给的点Ｐ，Ｏ，它们的坐标分别为Ｘ１，Ｘ２，在轴上有一点Ｌ，可以使ＰＬ/ＬＯ等于已知常数λ。

即ＰＬ/ＬＯ＝λ，我们就把Ｌ叫做有向线段ＰＯ的定比分点。

若设Ｌ的坐标为Ｘ，则Ｘ＝（Ｘ１+λＸ２）/（１+λ）,Y＝（Y１+λY ２）/（１+λ）[编辑本段]定比分点相关概念1.线段的定比分点及λ：P1，P2是直线L上的两点，P是L上不同于P1，P2的任一点，存在实数λ，使向量P1P=λ向量PP2,λ叫做点P分P1P2所成的比。

P点位置与λ的关系以P1P2中点为原点，x轴表示P相对P1 P2的位置，y轴表示λ的取值根据右图，从左往右看，λ 的取值有以下五种情况①P在P1左边（P在向量P1P2反向延长线上），λ∈（-1，0）②P与P1重合，λ=0③P在P1与P2之间（P在向量P1P2上），λ∈（0，+∞）*i. P在P1与原点之间，即P1P＜PP2，λ∈（0，1）*ii. P与原点重合，即P1P=PP2，λ=1*iii. P在原点与P2之间，即P1P＞PP2，λ∈（1，+∞）④P与P2重合，λ∈Φ⑤P在P2右边（P在向量P1P2正向延长线上），λ∈（-∞，-1）2 定比分点公式：若设点P1（x1,y1），P2（x2,y2），λ为实数，且向量P1P=λ向量PP2即P1P=λPP2由向量的坐标运算，得P1P=（x-x1,y-y1），PP2=（x2-x, y2-y）∴（x-x1,y-y1）=λ（x2-x, y2-y）∴定比分点公式为，λ=（x-x1）/（x2-x）λ=（y-y1）/（y2-y）3.定比分点坐标公式：∴λ=（x-x1）/（x2-x）∴λx2-λx=x-x1λx2+x1=λx+x得，x=（λx2+x1）/（λ+1）同理，y=（λy2+y1）/（λ+1）注：当λ=1时，即中点坐标公式。

定比分点定理目录[隐藏]证明定比分点补充公式补充公式证明已知线段PQ上有一点T,且PT/PQ=a,AB是与PQ无交点的一条线段，则S(AT B)=a*S(ABQ)+(1-a)*S(ABP)其中S(AQB)表示AQB的面积，以此类推。

第九讲 线段的定比分点与平移一、基础知识：1）线段的定比分点及λ： P 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<-1 ( 外分) -1<λ<02）定比分点公式：①向量式：设O 在平面内任一点，P 分有向线段21P P 所成的比为λ，则= ；特别地：当P 为线段P 1P 2的中点时= ； ②坐标式：若点P 1 (x 1,y 1) ，P 2 (x 2,y 2)，λ为实数，且P 1＝λ2PP，则点P(x,y)的坐标满足 (1-≠λ)，当λ=1时得中点坐标公式： ； ③设△ABC 的顶点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)C(x 3,y 3),G(x,y)为重心，则G 的坐标公式： ；若O 为△ABC 所在平面内的任意一点，则=OG ；二、范例分析：例1、已知点A )4,1(--，B （5，2），线段AB 上的三等分点依次为P 1、P 2，求P 1、P 2的坐标及A 、B 分21P P 所成的比．例2、已知点P 1（-1，2），P 2（3，y ），P （2，6），求点P 分有向线段21P P 所成的比及y 的值．例3、已知A (1，3)，B (－２，０)，Ｃ（２，１）为三角形的三个顶点，L 、M 、N 分别是BC 、CA 、AB 上的点，满足BL ∶BC ＝CM ∶CA ＝NA ∶AB＝１∶３，求L 、M 、N 三点的坐标．三、强化训练：1、已知A （2，1），B （-3，-2），AM 32=，则点M 的坐标是（ ） A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21 B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,34 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛0,31 D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-51,0 2、已知()OM +=21，则点M 与线段AB 的关系为（ ）A 、M 不在AB 上B 、M 在AB 外C 、M 是AB 的中点D 、M 与A 、O 、B 这三点构成平行四边形 3、ABC △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（ ）A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c 4、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC = a ，BD = b ，则AF = （ ）A ．1142+a bB ．2133+a bC ．1124+a bD ．1233+a b5、己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 点P 在P 1P 2的延长线上,|2|21PP P P =, 则P 点坐标为( )A ．(－2,11)B ．(4/3，3)C ．(2/3,3)D ．(2,－7)6、已知∆ABC 顶点A （0，0），B （2，3）及重心坐标G （1，1），求顶点C 的坐标．7、已知三点A （0，8），B （-4，0），C （5，-3），D 点内分AB 的比为1：3，E 在BC 上，且DE ∥AC ，求点E 的坐标．8、∆ABC 中，设A （2，5），B （-3，7），若AC 、BC 的中点都在坐标轴上，求C 点的坐标．9、设M 是平行四边形ABCD 中AB 的中点，且DM 与AC 相交于H ，求证：AH =31AC。