勾股定理的逆定理-

要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；。

勾股定理逆定理符号语言勾股定理是初中数学中极为基础的一条定理，它有着广泛的应用和重要的意义。

而勾股定理的逆定理同样也有着很高的实用价值，在实际生活中起到重要的作用。

本文将对勾股定理逆定理进行详细的解释和阐述，探讨其应用领域和数学意义。

首先，我们来复习一下勾股定理的内容。

勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边的平方和。

用符号语言表示为：a² + b² = c²。

其中，a和b为直角边的长度，c为斜边的长度。

那么，勾股定理的逆定理就是：如果一个三角形的三边的边长符合a² + b² = c²的关系，那么这个三角形一定是一个直角三角形。

在证明勾股定理逆定理之前，我们首先来看一下为什么勾股定理成立。

勾股定理可以通过几何方法和代数方法进行证明。

在几何方法中，我们可以用三个正方形的面积之和来证明勾股定理。

具体来说，我们可以将三角形分别取为三个正方形的内切圆，然后计算三个正方形的面积。

在代数方法中，我们可以利用坐标系的方法，将三角形的顶点设为某个点，然后利用勾股定理设立方程来证明勾股定理。

接下来，我们来证明勾股定理的逆定理。

假设有一个三角形，已知三个边的长度为a、b、c，且符合a² + b² = c²的关系。

我们需要证明这个三角形一定是直角三角形。

我们可以假设反证法，假设这个三角形不是直角三角形，而是一个锐角三角形或者钝角三角形。

首先，我们假设这个三角形是一个锐角三角形。

根据锐角三角形的性质，三个内角都是锐角，即都小于90°。

那么根据余弦定理，我们可以得到：c² = a² + b² - 2ab·cosC。

由于c² = a² + b²，可以得到2ab·cosC = 0。

由于a和b都大于0，所以cosC = 0。

但是在三角函数表中，我们知道cos90° = 0，意味着C = 90°，与假设的锐角三角形相矛盾。

勾股定理逆定理推导过程勾股定理是代数和几何之间的重要关系之一，它表明在直角三角形中，两个较小边的平方和等于斜边的平方。

其具体形式为：在直角三角形ABC中，若AC为直角边，AB和BC为斜边，那么有AB² + BC²= AC²。

对于勾股定理的逆定理，我们需要证明的是：若在三角形ABC中，有AB² + BC² = AC²，那么该三角形必定是直角三角形。

为了证明这个逆定理，我们可以使用几何方法和代数方法两种不同的方式进行推导。

首先，我们使用几何方法进行证明。

几何方法：假设在三角形ABC中，有AB² + BC² = AC²，我们需要证明该三角形是直角三角形。

根据已知条件，我们知道AB² + BC² = AC²。

这意味着在平面上，AB的长度的平方加上BC的长度的平方等于AC的长度的平方。

我们可以考虑将三角形ABC放置在一个坐标平面上，其中A点位于原点(0,0)，B点位于x轴上(x,0)，C点位于y轴上(0,y)。

这样，我们可以根据坐标平面上的点的坐标计算出三个点之间的距离。

根据上述坐标设定，我们可以得出以下结论：AB的长度等于xBC的长度等于yAC的长度等于√(x² + y²)根据我们的假设AB² + BC² = AC²，我们可以得到以下等式：x² + y² = √(x² + y²)² = x² + y²从以上等式中，我们可以推断出，只有当x或y中的一个或者两个同时为0时，等式才能成立。

当x=0时，我们可以得到A、B、C三个点共线，形成1个直角，此时三角形为直角三角形。

当y=0时，同理，三角形也为直角三角形。

当x和y同时为0时，A、B、C三个点重合，根据几何定义，三角形为退化三角形，即不存在。

勾股定理的逆定理内容如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

最长边所对的角为直角勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。

若c为最长边，且a^2+b^2=c^2，则△ABC是直角三角形。

如果a^2+b^2>c^2，则△ABC是锐角三角形。

如果a^2+b^2<c^2，则△ABC是钝角三角形。

证明方法已知△ABC的三边AB=c，BC=a，CA=b，且满足a^2+b^2=c^2，证明∠C=90°。

证法1：同一法。

证法的思路是做一个直角三角形，然后证明它和已知三角形全等，从而已知三角形也是直角三角形。

构造一个直角三角形A'B'C'，使∠C'=90°，a'=a，b'=b。

那么，根据勾股定理，c'^2=a'^2+b'^2=a^2+b^2=c^2，从而c'=c。

在△ABC和△A'B'C'中，a=a'b=b'c=c'∴△ABC≌△A'B'C'。

因而，∠C=∠C'=90°。

（证毕）证法2：余弦定理。

由于余弦定理是由勾股定理推出的，故可以用来证明其逆定理而不算循环论证。

根据余弦定理，在△ABC中，cosC=(a^2+b^2-c^2）/2ab。

由于a^2+b^2=c^2，故cosC=0；又因为C小于平角，从而C=90°。

（证毕）证法3：相似三角形。

证法的思路是将已知三角形分割成两块，然后证明它们互补的两角相等，从而这两角都是直角。

在AB边上截取点D使∠DCB=∠A。

在△CDB与△ACB中，∠B=∠B，∠DCB=∠A，∴△CDB∽△ACB（两角对应相等）。

∴BC/BA=BD/BC，从而BD=a^2/c。

又由CD/AC=CB/AB知，CD=ab/c。

另一方面，AD=AB-BD=c-a^2/c=b^2/c（因为c^2=a^2+b^2），在△ACD与△CBD中，DC/AD=(ab/c) / (b^2/c)=a/b,BC/AC=a/b,BD/CD=(a^2/c) / (ab/c)=a/b,∴△ACD∽△CBD（三边对应成比例）。

勾股定理逆定理及其应用知识要点：1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形.2、命题与原命题：勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

3、逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。

4、勾股数：3、4、5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。

常见的勾股数组有：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）例：观察下列各式：32＋42＝52；82＋62＝102；152＋82＝172；242＋102＝262…，你有没有发现其中的规律？请用含n 的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．题型分析：一、判断直角三角形问题：1.下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2 + n 2, m 2 – n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2. 如果△ABC 的三边分别为m 2－1，2 m ，m 2+1(m ＞1)那么( )A.△ABC 是直角三角形，且斜边长为m 2+1B.△ABC 是直角三角形，且斜边长2 为mC.△ABC 是直角三角形，但斜边长需由m 的大小确定D.△ABC 不是直角三角形３．阅读下列解题过程：已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，试判定△ABC 的形状. 解：∵ a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4 ①∴c 2(a 2－b 2)=(a 2+b 2)(a 2－b 2) ②∴c 2=a 2+b 2 ③∴△ABC 是直角三角形问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.４．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.５．如图， 在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ， 求证：∠EFA=90︒.二、边长问题 １．若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x 2则此三角形是直角三角形的x 2的值是（ ）A.42B.52C.7D.52或7 2. 已知，△ABC 中，AB=17cm ，BC=16cm ，BC 边上的中线AD=15cm ，试说明△ABC 是等腰三角形。

勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方A BCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

(用方程)（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段求边长：1. （1）在R t ABC ∆中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，∠C=︒90 ①已知：a =6，c =10，求b ； ②已知：a =40，b =9，求c ；2.已知: a:b=3:4, c=10,求a 、b.3已知：△ABC ，AB ＝AC ＝17，BC ＝16，则高AD ＝＿＿＿，S △ABC ＝＿＿＿4、如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AC ＝5cm ，BC ＝12 cm ，其中斜边上的高不变问题：1、如图,一根旗杆在离地面9米处折裂,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.旗杆原来有多高?2、如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，请你求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？3、如图，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm ， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h .彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm ）.4、在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？C梯子滑动问题：1、如图，一架长2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米，为了安装壁灯，梯子顶端离地面2米，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙的方向拉多远？方向问题：1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米。

第四讲 勾股定理知识梳理一、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方二、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

三、常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13四、勾股定理的作用（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段。

例题讲解1、在ABC ∆中，o90=∠C（1）若25c 20b ==，，则=a （2）若4:3:=b a ，20=c ，则=a （3）若b a 3=，10=c ，则=∆ABC S2、已知一个Rt △的两直角边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A ．25 B ．7 C ．7或25 D ．无法确定3、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A ．25 B ．7 C ．7或25 D ．无法确定4、已知一个△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A ．25 B ．7C ．7或25D ．无法确定5、Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则AB 2＋AC 2＋BC 2的值为( ) A ．8 B ．4C ．6D ．无法计算6、如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( ) A ．4B ．6C ．8D ．102勾股数树1、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中正方形A ，B ，C ，D 的边和长分别为2cm 、1cm 、2cm 、4cm ，则最大的正方形的面积之和为___________cm 2.2、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__________cm 2。