勾股定理及其逆定理 一、知识点
1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2=c 2）
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2
，那么这个三角形是直角三角形。
3、满足2
22c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
二、典型题型
1、求线段的长度题型
2、判断直角三角形题型
3、求最短距离 三、主要数学思想和方法(1)面积法．
例1已知 △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5㎝．BC ＝3㎝，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．
(2)构造法．例8、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13．求△ABC 的面积．
(3)分类讨论思想．（易错题）
例3在Rt △ABC 中，已知两边长为3、4，则第三边的长为 ． 例4. 在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高线AD=12。试求BC 的长。
例5、在△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高等于8，则△ABC 的周长为 ． 练习： 1、在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 2、等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________，面积是_________。
(5)方程思想．
例6如图4，AB 为一棵大树，在树上距地面10米的D 处有两只猴子，它们同时发现C 处有一筐苹果，一只猴子从D 往上爬到树顶A 又沿滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 滑到B ，再由B 跑到C ．已知两只猴子所经路程都是15米．试求大树AB 的高度．
例题7、如图，已知长方形ABCD 中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.
例9. 如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，且AB=10，BC=8，求CD 的长。
练习： 1、如图，把矩形ABCD 纸片折叠，使点B 落在点D 处，点C 落在C ’处，折痕EF 与BD 交于点O ，已知AB=16，AD=12，求折痕EF 的长。
C '
F
E
O D
C
B
A
图4
D
C
B
A
2、已知：如图，△ABC中，∠C＝90º，AD是角平分线，CD＝15，BD＝25．
求AC的长．
(4)转化思想．
例10.如图3，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？
例5．如图6是一块长、宽、高分别为6厘米、4厘米、3厘米的长方题木块．一只蚂蚁要从木块的一定点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）．
A.)3
3( 厘米 B.97厘米 C.85厘米 D.9厘米
2
例4．如图3所示，有一根高为2m的木柱，它的底面周长为0.3m，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，问：小明至少需要准备多长的一根彩带？
（5）、数形结合思想
例 5. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广。如图：
以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边△的面积，S1、S2、S3之间有何关系，说明理由。
（2）如图，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1，S2，S3之间有何关系？
（3）如果将上图中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，成为下图，求阴影部分的面积。（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）
例2．有一直立标杆，它的上部被风吹折，杆顶着地，离杆脚20cm，修好后又被风吹杆，因新断处比前次低了5cm，且标杆顶着地处比前次远10cm，求标杆的高．
五、整体思想
例6：已知a、b、c分别是Rt△ABC的两条直角边和斜边，且a+b=14，c=10，则S△ABC=
例7：如图10，BC长为3厘米，AB长为4厘米，
AF长为13厘米．求正方形CDEF的面积．
