重庆一中2020级高三下模拟考试理科数学试卷

()()12,+-='='x x g e x f x ，()111:x x e e y l x x -=-∴，即()1111:x x e x x e y l -+=，又()()()2222221:x x x a x x y l --=++--，即()a x x x y l ++-=22221:， ()⎩⎨⎧+=--=∴ax e x x e x x 221211121，由()a e e x e x x x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∴-=212211,21111， 即()()014641112=++-+a e x e x x ， )(x f 与)(x g 有两条不同的公切线⇔()()014642=++-+a e x e x x 在R 上有两个不同实根， 令()()R x a e x e x h x x ∈++-+=,1464)(2，由于()122)(-+='x e e x h x x ，令,12)(-+=x e x u x 02)(>+='x e x u ，∴)(x u 在R 上单增，而0)0(=u ，∴当()0,∞-∈x 时，()↓<'<)(,0,0)(x h x h x u ；当()+∞∈,0x 时，()↑>'>)(,0,0)(x h x h x u 。

∴44)0()(-=≥a h x h ，必须1044<⇒<-a a 。

当+∞→x 时，()+∞→x h ；当-∞→x 时，()()()14144146422+→++-+→++-+=--a a e e a e x ex h x x x x ， 必须141,014<<-∴>+a a . 21.解：（1）1,2323,3=∴=⇒====b a a a c e c ，椭圆14:22=+y x E . （2）易知l 的斜率存在且不为0，设)0(3:≠+=t ty x l ，()()2211,,,y x D y x C ， 由()()01324143143222222=-++⇒=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=ty y t y ty y x ty x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+∴41432221221t y y t t y y ， 设点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t P 3,0，()00,y x Q ，则t y 03-=⋅， 由C Q A 、、三点共线，110011x y x y -=-，由D Q B 、、三点共线，220011x y x y +=+， 上面两式相除得：()()1111211200+-=+-y x y x y y ，()()()()()()22212122222121222001141141111+---=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∴y y y y y x y x y y ()()()()()()212121************y y y y y y y y y y y y +++++-=++--=222222233332332414321414321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-++=+-+-+-++=t t t t t t t t t t t t ，结合图形易知1100+-y y 与33-+t t 同号，33311000t y t t y y -=⇒-+=+-∴， 130=-=⋅∴t y OQ OP ，即OQ OP ⋅为定值1. 22.（1）由)4πρθ=+，得4cos 4sin ρθθ=-，所以24cos 4sin ρρθρθ=-，即2244x y x y +=-，22(2)(2)8x y -++=.所以曲线2C 是以(2,2)-为圆心，为半径的圆.（2）将cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩代入22(2)(2)8x y -++=，整理得24cos 40t t α--=. 设点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，则124cos t t α+=，124t t =-.121212114MA MB t t t t MA MB MA MB t t ++-+======， 解得21cos 16α=，则sin α=. 23.解（1）当0,1a b ==时，不等式()()f x g x ≥为411x x x +≥++-.当1x ≥时，原不等式4114x x x x ⇔+≥++-⇔≤，此时，原不等式的解为14x ≤≤； 当11x -≤<时，原不等式2x ⇔≥-， 此时，原不等式的解为11x -≤<；当1x <-时，原不等式4423x x x ⇔+≥-⇔≥-，此时，原不等式的解为413x -≤<-. 综上，原不等式的解集为4,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）当[]1,1x ∈-时，()112g x x x =++-=故当1a =时，不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-220x bx ⇔++≥在[]1,1-上恒成立 当0x =时，显然成立；当(]0,1x ∈时，问题等价于20x b x ++≥在(]0,1上恒成立，而min 2()3x b b x++=+， 故3b ≥- 当[)1,0x ∈-时，问题等价于20x b x ++≤在[)1,0-上恒成立，而max 2()3x b b x ++=-， 故3b ≤ 综上，实数b 的取值范围是[]3,3-。

重庆一中高2020级高三下期第二次学月考试(理科)数学试题一、选择题:(本大题12个小题,每小题5分,共60分,每小题有且只有一项是正确的).1.已知集合{}|(23)(3)0,A x Z x x =∈+-<{|B x y ==,则A∩B=( )A.(0,e]B.{0,e}C.{1,2}D.(1,2) 2.已知复数z 满足11212i i z +=+(i 为虚数单位),则z 的虚部为( ) A.4 B.4i C.-4 D.-4i3.下列说法正确的是()A.a ∈1,"1"R a<是“a>1"的必要不充分条件 B."p ∧q 为真命题"是"p ∨q 为真命题"的必要不充分条件C.命题"∃x ∈R,使得x 2+2x-3<0"的否定是:"∀x ∈R,x 2+2x-3>0"D.命题p:"∀x ∈R,sin cos x x +…则⌝p 是真命题4.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话:"今有金锤,长五尺.斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重二斤.由本至末递次减,中间三尺重几何."意思是:"现有一根金锤,长5尺,头部1尺,重4斤;尾部1尺,重2斤.且从头到尾,每一尺的重量构成等差数列,问中间三尺共重多少斤."( )A.6斤B.7斤C.8斤D.9斤5.设sin5a π=,设b =c 231()4=,则() A.a<c<b B.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a 6.过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点,若线段AB 中点的横坐标为3,且5||2AB p =,则p=() A.8B.2C.6D.4 7.一架飞机有若干引擎,在飞行中每个引擎正常运行的概率为p,且相互独立.已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行,飞机就可安全飞行;2引擎飞机要2个引擎全部正常运行,飞机才可安全飞行.若已知4引擎飞机比2引擎飞机更安全,则p 的取值范围是() A 2(,1)3 B.1(,1)3 C.2(0,)3 D.1(0,)38.下列关于函数1()2sin()26f x x π=+的图像或性质的说法中,正确的个数为() ①函数f(x)的图像关于直线83x π=对称②将函数f(x)的图像向右平移3π个单位所得图像的函数为12sin()23y x π=+ ⑧函数f(x)在区间5(,)33ππ-单调递增④若f(x)=a,则1()232a cos x π-= A.1个 B.2个C.3个D.4个 9.已知S={1,2,3,…,40},A ⊆S 且A 中有三个元素,若A 中的元素可构成等差数列,则这样的集合A 共有()个A.460B.760C.380D.19010.已知三棱锥P-ABC 的四个顶点均在同一个确定的球面上,底面△ABC 满足BA BC ==2ABC π∠=,若该三棱锥体积的最大值为3,则其外接球的体积为() A.8π B.16π C.163π D.323π 11.若曲线21()(11)ln(1)f x e x e a x =-<<-+和g(x)=-x 3+x 2(x<0)上分别存在点A 和B,使得ΔAOB 是以原点O 为直角顶点的直角三角形,且斜边AB 的中点在y 轴上,则实数a 的取值范围是()A. (e,e 2)B. 2(,)2e e C. (1,e 2) D.[1,e)12.在平面直角坐标系xOy 中,A 和B 是圆C:(x-1)2+y 2=1上的两点,且AB =点P(2,1),则|2PA PB -u u u r u u u r |的取值范围是()A.B.1⎤⎦C .6⎡-+⎣ D.7⎡-+⎣ 二、填空题:(本大题4个小题,每小题5分,共20分).13.双曲线22163x y -=的渐近线与圆(x-3)2+y 2=r 2(r>0)相切,则r=______ 14.某个正四棱柱被一个平面所截,得到的几何体的三视图如右图所示,则这个几何体的体积为____15. 61(1)(0)x ax a x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭的展开式中x 2的系数为240,则0⎰=___16.已知数列{a n }满足:a 1=1*1,(2n n n a a n N a +=∈+).设*11(2)(1)(),n n b n n N a λ+=-⋅+∈b 1=λ2-5λ,且数列{b n }是单调递增数列,则实数λ的取值范围是_____.三、解答题:本大题6个小题,共70分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内.必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.17.(本小题满分12分)如图,在△ABC 中,点D 在BC 边上,∠ADC=60∘,AB =(1)求△ABD 的面积.(2)若∠BAC=120°,求sinC 的值.18.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,正三角形ABC 的边长为2,BB 1=3,1AB =∠CBB 1=60°.(1)求证:面ABC ⊥面BCCB 1;(2)求二面角C-BB 1-A 的余弦值.19.(本小题满分12分)为了了解同学们的视力情况,学校研究性学习小组对高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,并得到左图的频率分布直方图.(1)若直方图中后四组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以下的人数;(2)小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与成绩是否有关系,对年级名次在1～50名和951~1000名的学生进行了调查,得到右表中数据,根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与成绩有关系?(3)在(2)中调查的100名学生里,按分层抽样从不近视的学生中抽取了9人,进一步调查他们良好的护眼习惯.现从这9人中随机选出3人,记名次在1～50名的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.20.(本小题满分12分)已知椭圆22221(0x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为4,直线l1:by xc=与椭圆相交于A、B两点,F2关于直线l1的对称点E恰好在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程;(2)与直线l 1垂直的直线l 2与线段AB(不包括端点)相交,且与椭圆相交于C 、D 两点,求四边形ACBD 面积的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sinx-aln(x+b),g(x)是f(x)的导函数.(1)若a>0,当b=1时,函数g(x)在(0,)2π内有唯一的极大值,求a 的取值范围; (2)若a=1,(1,)2b e π∈-,试研究f(x)的零点个数.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果都做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4-4-坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中,曲线C 的参数方程为 (2cos 22sin x y θθ=⎧⎪⎨⎪=+⎩(θ为参数).以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系. (I)写出曲线C 的极坐标方程;(I)设点M 的极坐标为()4π,过点M 的直线l 与曲线C 相交于A,B 两点,若|MA|=2|MB|,求AB 的弦长.23.(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲已知a>-1,函数f(x)=|2x-a|+|2x+1|,g(x)=4x2+ax-3(1)当1,22ax⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.(2)在(1)中a的最大值为m,若bc ca abma b c++=,证明:a+b+c≤m。

2020年重庆一中2020级高三下期三月月考数学试题（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．集合{}2,A y y x x R ==∈，{}2(,),B x y y x x R ==∈，以下正确的是（ ）A ．AB =B ．AB R =C ．A B φ=D ．2B ∈2．二项式8(1)x +的展开式的各项系数之和为（ ）A ．256B ．257C ．254D ．2553．复数134ii+-的模是（ ）A. 25D.2254．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．129B ．126C ．128D ．256 5．已知一个四棱柱的侧棱垂直于底面，条件p ：该四棱柱是正四棱柱，条件q ：该棱柱底面是菱形，那么p 是q 的（ ）条件A ．既不充分也不必要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．充要 6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品A 过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y根据上表的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，那么t 的值为（ ） A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.57．平面上三个单位向量a ，b ，c 两两夹角都是23π，则a b -与a c +的夹角是（ ） A.3πB.23πC.12πD. 6π8．2020年东京夏季奥运会将设置4100⨯米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由一名运动员完成，每个运动员都要出场.现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上，那么中国队共有（ ）种排兵布阵的方式. A.6 B.12 C.24 D.1449．已知直线l ：240x y -+=，圆C ：22(1)(5)80x y -++=，那么圆C 上到直线l的点一共有（ ）个 A.1 B ．2 C ．3 D ．410．已知12sin2a =，13sin 3b =，13cos 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a c b <<11．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，曲线cos()y b x b π=经过双曲线的焦点，则双曲线的离心率为（ ）A*12,)k k k N +≥∈ B*2,)k k N ≥∈ C*12,)k k k N +≥∈D*2,)k k N ≥∈12．不等式22420x x x x e e x ae ae ax -----++≥对于任意正实数x 恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A ．7错误！未找到引用源。

2020年重庆一中高2020级高三下期模拟考试数 学 试 题 卷（理科）参考答案1--6：DABCAD 7---12:CABCBD 13.3 14.9 15.6 16.217.解：（1）122310,40,4a a a a q +=+==所以公比故111410,2a a a +==得，121242n n n a --=⨯=所以212log 221n n b n -==-，()()1212122n n n n n a a S n +-⎡⎤+⎣⎦===（2）假设存在正整数m ，使得24,4,85m m m b S b +成等差数列，则28485m m m S b b =++，即223200m m --=解得542m m =-=或，由,4m N m *∈=得，故存在. 18.解：（1）证明：因为2AC =，12CC ，16AC =所以22211AC CC AC +=，即1AC CC ⊥.又因为1BC BB ⊥，11BB CC ∥，所以1BC CC ⊥，AC BC C =I ，所以1CC ⊥平面ABC .因为1CC ⊂平面11BB C C ，所以平面ABC ⊥平面11BB C C .（2）解：连接AM ，因为2AB AC ==，M 是BC 的中点，所以AM BC ⊥.由（1）知，平面ABC ⊥平面11BB C C ，所以AM ⊥平面11BB C C .以M 为原点建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，则平面11BB C C 的一个法向量是(0,0,1)m =u r，3)A ，2,0)N ，1(12,0)C -.设1AP t AC =u u u r u u u u r（01t <<），(,,)P x y z ， (,,3)AP x y z =u u u r，1(12,3)AC =--u u u u r ，代入上式得x t =-，2y t =，3(1)z t =-，所以(233)P t t t -.设平面MNP 的一个法向量为111(,,)n x y z =r ，2,0)MN =u u u u r ，(233)MP t t t =-u u u r，x由00n MN n MP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u rr u u u r，得11110)0tx t z =-++-=⎪⎩.，令1z t =，得,0,)n t =r . 因为二面角P MN C --的平面角的大小为30°，所以2m n m n =u r r g u r r=，解得34t =. 所以点P 为线段1AC 上靠近点1C的四等分点，故1PC =19.解：（1）9组数据中需要充电的数据组数为3组.X 的所有可能取值为1,2,3.()()()1625343636367779991151,2,312212C C C C C C P X P X P X C C C =========（2）由题意知()()11.880.9924 1.5niix x r ωω---==≈=-⨯⨯∑， 0.990.789r =>Q ，∴有99%的把握认为x 与ω之间具有线性相关关系；（3）对bx y ae =两边取对数得ln ln y a bx =+,设ln a μ=，又ln y ω=，则ˆˆˆbx ωμ=+， ()()()9192111.88ˆ0.19860iii ii x x bx x ωω==---===--∑∑，易知5x =， 1.550.1729ω=≈. µ=1.162 1.16bx μω∴=-≈$，而ˆ0.20b ≈-，故µ0.20 1.16x ω=-+， ∴所求y x 与的经验关系式为0.20 1.16x y e -+=$，即0.203.19x y e -=$.20.解：（1）设()2()()()=⋅=-++xF x f x g x exx a ，()2()1'=--++x F x e x x a ，由条件知：()0'≤F x 在R 上恒成立，即210--++≤x x a 在R 上恒成立，即45-≤a ，∴a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-45,.（2）设公切线l 分别与)(x f 、)(x g 切于B A 、两点，设()()a x x x B e x A x++-22221,,,1，()()12,+-='='x x g e x f x ，()111:x x e e y l x x -=-∴，即()1111:x x e x x e y l -+=，又()()()2222221:x x x a x x y l --=++--，即()a x x x y l ++-=22221:，()⎩⎨⎧+=--=∴ax e x x e x x 221211121，由()a e e x e x x x x +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-∴-=212211,21111， 即()()014641112=++-+a ex e x x ，)(x f 与)(x g 有两条不同的公切线⇔()()014642=++-+a e x e x x 在R 上有两个不同实根，令()()R x a ex e x h xx∈++-+=,1464)(2，由于()122)(-+='x e e x h x x ，令,12)(-+=x e x u x02)(>+='x e x u ，∴)(x u 在R 上单增，而0)0(=u ，∴当()0,∞-∈x 时，()↓<'<)(,0,0)(x h x h x u ；当()+∞∈,0x 时，()↑>'>)(,0,0)(x h x h x u 。

重庆市2020届第⼀中学⾼三下学期第⼀次⽉考数学（理）试题（有答案）2020届重庆市第⼀中学⾼三下学期第⼀次⽉考数学（理）试题⼀、单选题 1．设11z i i=++，则|z =（）A ．12 BC ．2D ．2【答案】B【解析】由复数的四则运算以及模长公式求解即可. 【详解】111111(1)(1)222i i i i i i i i i --+=+=+=+++-，则2z ==，故选B . 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及模长公式，属于基础题.2．已知命题 p 为真命题，命题 q 为假命题.在命题① p ∧ q ；① p ∨ q ；①p ∧ (?q ) ；① (?p ) ∨ q 中，真命题是（） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①【答案】C【解析】根据题意，结合复合命题的判断原则，逐⼀判断即可. 【详解】根据题意，p 为真命题，命题 q 为假命题，故?p 为假命题，?q 为真命题，必须满⾜两个均为真，且命题才能真；只要⼀个为真，或命题就为真. 故：①假，①真，①真，①假. 故选：C. 【点睛】本题考查复合命题的真假性的判断，属基础题. 3．已知函数 f ( x ) =231x x -- ，若在[-2，5] 上随机取⼀个实数 x ，则 f (x ) ≥ 1 的概率为（）A ．17C ．47D ．67【答案】D【解析】解不等式，求出满⾜题意的区间长度，⽤⼏何概型概率计算公式进⾏计算即可. 【详解】因为f (x ) ≥ 1，解得()()210x x --≥且1x ≠，即[)()2,,1x ∈+∞?-∞与[-2，5]取交集可得[)[]2,12,5x ∈-? 故满⾜题意的概率为67P =. 故选：D. 【点睛】本题考查⼏何概型，涉及分式不等式的求解，属基础题.4．等⽐数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝5，则数列{lg a n }的前10项和等于( ) A ．2 B ．lg 50C ．5D ．10【答案】C【解析】由题意可知a 4a 7＝a 5a 6＝a 3a 8＝a 2a 9＝a 1a 10，即a 1a 2…a 9a 10＝105，所以数列{lg a n }的前10项和等于lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 9＋lg a 10＝lg a 1a 2…a 10＝lg 105＝5 选C 5．若函数()()12log 213f x a x ??=-+??1()2a ≠ 的定义域为R ，则下列叙述正确的是（）A ．f (x )在R 上是增函数B ．f (x )在R 上是减函数C ．f (x )在1(,)2+∞上是减函数 D ．f (x ) 在[0，+∞) 上是增函数【答案】C【解析】根据函数的定义域为R ，可求得参数a 的取值范围，根据函数的单调性和奇偶性即可判断. 【详解】()()12log 213f x a x ??=-+??的定义域为R则()2130a x -+>要在x R ∈上恒成⽴，故可得1因为()()()12log 213f x a x f x ??=-+=-??故该函数为偶函数；⼜当[)0,x ∈+∞时，()213y a x =-+是增函数，同时12log y x =是减函数，故当[)0,x ∈+∞时，()f x 是减函数；当(),0x ∈-∞时，()f x 是增函数；故选：C. 【点睛】本题考查复合函数的单调性，属函数性质基础题.6．设 F 1，F 2分别是双曲线C:2222x y a b-= 1(a > 0， b > 0) 的左右焦点，点 M (a ，b ) ，∠MF 1F 2= 30? ，则双曲线的离⼼率为（）A ．4B CD ．2【答案】D【解析】根据题意，1MF 的斜率已知，利⽤坐标，即可求得. 【详解】因为112MF b k tan MF F a c=∠==+ 两边平⽅，结合222b c a =- 整理得：()()20a c a c +-= 解得2ca=. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离⼼率的求解，关键步骤是利⽤斜率公式建⽴,,a b c 之间的关系. 7．已知甲、⼄、丙三⼈中，⼀⼈是公务员，⼀⼈是医⽣，⼀⼈是教师.若丙的年龄⽐教师的年龄⼤；甲的年龄和医⽣的年龄不同；医⽣的年龄⽐⼄的年龄⼩，则下列判断正确的是（）A ．甲是公务员，⼄是教师，丙是医⽣B ．甲是教师，⼄是公务员，丙是医⽣C．甲是教师，⼄是医⽣，丙是公务员D．甲是医⽣，⼄是教师，丙是公务员【答案】B故答案为B.8．⼀个⼏何体的平⾯展开图如图所⽰，其中四边形ABCD 为正⽅形，E ?F 分别为PB ?PC 的中点，在此⼏何体中，下⾯结论中⼀定正确的是（）A．直线AE 与直线DF 平⾏B．直线AE 与直线DF 异⾯C．直线BF 和平⾯PAD 相交D．直线DF ⊥平⾯PBC【答案】C【解析】根据题意，还原⼏何体，根据直线与直线的位置关系，以及线⾯垂直的判定，对选项进⾏逐⼀分析即可.【详解】根据题意，还原的⼏何体如下图所⽰：对A、B选项：因为EF//AD，且12EF AD=，故四边形AEFD为梯形，,AE DF是梯形的腰，故,AE DF⼀定相交，故A、B错误；对C：取PD中点为M，因为MF//AB，MF=12AB，故四边形FMAB为梯形，AM，BF是梯形的腰，故AM，BF⼀定相交，故BF与平⾯P AD⼀定相交，故C正确；对D：没有⾜够的条件证明垂直关系，故D错误；故选：C. 【点睛】本题考查由平⾯展开图还原⼏何体，涉及直线的位置关系，线⾯垂直问题和平⾏问题，属综合题.9．某校实⾏选科⾛班制度，张毅同学的选择是物理?⽣物?政治这三科，且物理在 A 层班级，⽣物在 B 层班级，该校周⼀上午课程安排如下表所⽰，张毅选择三个科⽬的课各上⼀节，另外⼀节上⾃习，则他不同的选课⽅法有（）A ．8 种B ．10 种C ．12 种D ．14 种【答案】B可以⾃由安排；故分为两类：第⼀类：⽣物课选在第⼆节，则共有1232C A ?种；第⼆类：⽣物课选在第三节，则共有1222C A ?种，故合计有1212322210C A C A ?+?=种.故选：B. 【点睛】本题考查计数原理，采⽤先分类后分步的原则即可求解. 10．下列说法中正确的个数是（）（1）已知沙坪坝明天刮风的概率P(A )=0.5，下⾬的概率()P B =0.3，则沙坪坝明天⼜刮风⼜下⾬的概率 ()()()0.15P AB P A P B ==.（2）命题 p :直线ax + y +1 = 0 和3x + (a - 2) y - 3 = 0 平⾏；命题 q : a = 3 .则 q 是 p 的必要条件.（3）2019501+被7 除后所得的余数为5.（4）已知i 是虚数单位，,,x y R ∈复数11,34,||1Z x yi Z i Z Z =+=--=，则||Z 最⼩值是2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【解析】根据独⽴事件的定义，直线位置关系，以及⼆项式定理，复数的运算，逐项求解，即可判断. 【详解】对（1）：因为两个事件不⼀定独⽴，故()()()0.15P AB P A P B ==不正确；对（2）：两直线平⾏，可得()23a a -=，但是1a =-时两直线重合，所以必有3a =，故命题q 是p 的必要条件，故（2）正确；对（3）：()201920195014911+=++020191201820181201920192019201920194949491C C C C =++++L ，其余数为：2019201912C +=，故（3）错误；对（4）：()()1341z z x y i -=-++==，解得：()()22341x y -++=⽽z =(),x y 到原点的距离，由因为该点在()()221 4.=故（4）错误. 综上所述，正确的只有（2）. 故选：A. 【点睛】本题考查独⽴事件乘法公式计算概率，判断命题之间的关系，以及⼆项式定理的应⽤和复数的模长计算，属综合基础题.11．已知,a b r r为单位向量，则a b a b ++-r rr r 的最⼤值为（）A．1 B ．3C．D．【答案】C【解析】设t a b a b =++-r r r r ，则224242()2a b a b t a b a b ++-=++?-≤+?r rr r r r r r ，即所以22242()82t t t ≤+??≤，即t ≤C ．点睛：解答本题的关键是借助题设条件，巧妙运⽤基本不等式分析求解．解答时，充分借助题设中的结构形式，先令t a b a b =++-r rr r ，再两边平⽅进⾏等价转化，再运⽤基本不等式将积化为和的形式，从⽽建⽴不等式22242()82tt t ≤+??≤，通过解不等式使得问题巧妙获解．【答案】D【解析】将问题转化为过()0,1-能做()f x 的三条切线的问题，进⽽求解. 【详解】设()f x 上任意点坐标为()00,x y ，则过该点的切线⽅程为：()()3220000002322y x ax x x ax x x +-+=-+--⼜因为该切线过点()0,1-故可得：3200210x ax -+=则满⾜条件的k 有三个，等价于上述⽅程有三个根. 令()3221g x x ax =-+则问题等价于()g x 有三个零点，()()26223g x x ax x x a -='=-⼜()010g =>，故只需03a g ??<即3221033a a a -?+< ?解得327a > 故()3,a ∈+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查三次⽅函数切线的个数问题，属基础题.⼆、填空题13．已知公差不为0的等差数列{a n }中，125a a a ，，依次成等⽐数列，则= ．【答案】9【解析】试题分析：设等差数列的公差为d ，由已知得2121511114,()(4),a a a d a a d a d a a d =+=++=?+，，整理得，212d a d =，由0 d ≠得12d a =.所以，51111114429a a d a a a a a ++?===. 【考点】1.等差数列的通项公式；2.等⽐数列的性质. 14．若椭圆2216x y m m-=+，(63)m -<<-上的点到两焦点距离之和为4，则该椭圆的短轴长为_________. 【答案】.【解析】根据椭圆的定义，结合题意，即可求解椭圆的,,a b c . 【详解】由题可知：24,2a a ==，由63m -<<-，可知：24m a -==，故4m =-则262b m =+=，故b =则短轴长为2b = 故答案为：【点睛】本题考查椭圆⽅程的求解，涉及椭圆的定义，属基础题. 15．已知001112220012()()(1)()(1)()(1)()(1)n n n nn n n n n n g x C f x x C f x x C f x x C f x x n n n n--=-+-+-++-其中 f (x ) = x .若r ≥1时，有11r n n n rC nC --=成⽴，则 g (6) =___________.【答案】6【解析】根据题意，以及给定的公式，对问题进⾏合理的转化，利⽤⼆项式定理进⾏求解. 【详解】因为()()()()()1111!11!k k n n n k k n C C n n k n k k n k ---=?==-----故()()()12121111011n n n nn n n g x C x x C x x C x------=+-+-++L ()()()121111111n n n n n n n x C x C x x C x1n x x x x -=-+=故()66g =. 故答案为：6. 【点睛】本题考查⼆项式定理的应⽤，主要是对问题的转化能⼒，属中档题.16．如图，在四棱锥 E - ABCD 中， EC ⊥底⾯ ABCD ， FD / /EC ，底⾯ ABCD 为矩形， G 为线段 AB 的中点， CG ⊥ DG ，CD = DF = CE =2 ，则四棱锥 E - ABCD 与三棱锥 F - CDG 的公共部分的体积为________________ .【答案】49. 【解析】根据题意，公共部分的体积应该为两个三棱锥体积之差，据此求解. 【详解】连接EF ，在四边形EFDC 中，因为FD //EC ，确定⼀个平⾯，则DE 与FC 必然相交，记其交点为M ；同理，因为EF //AB ，确定⼀个平⾯，则FG 与EA 必然相交，记其交点为N ，连接MN ，如图所⽰：则公共部分的体积D MNGC C FDG M FDN V V V ---=- 因为,FD CG CG DG ⊥⊥，故CG ⊥平⾯FDG ，则11122?3263C FDG V FD DG CG -==?= 在三⾓形EFN 和三⾓形ANG 中，因为EF //AG ，且12AG EF =故可得N 为FG 的三等分点，则21323GDN S FD DG ==n ⼜因为M 点为FC 的中点，故M 点到平⾯FDN 的距离为C 点到平⾯FDN 距离的12= 故公共部分的体积为：224399-=. 故答案为：49. 【点睛】本题考查棱锥体积的计算，涉及线⾯垂直，属综合中档题.三、解答题17．已知函数 f (x )=(42cos x -2)sin 2x + cos 4x . （1）求 f (x ) 的最⼩正周期及最⼤值；（2）设 A ， B ，C 为?ABC 的三个内⾓，若cos 3B =，()12A f =-，且⾓ A 为钝⾓，求sin C 的值.【答案】(1)2π；(2) 【解析】（1）先化简函数解析式，再根据解析式求最值以及最⼩正周期；（2）由（1）及已知条件，可得A ，根据()sin sinC A B =+即可求解. 【详解】f (x )=(42cos x -2)sin 2x + cos 4x =2224cos xsin x cos x + 44sin x cos x =+44x π?=+ ??故该函数的最⼩正周期为：242T ππ== ()max f x =.（2）因为12A f ??=-214A π??解得：52244A k πππ+=+，或722,44A k k Z πππ+=+∈⼜因为,2A ππ??∈，592,444A πππ??+∈故解得：34A π=⼜cos B =，故可得13sinB =()14sin 23236sinC A B =+=-=. 【点睛】本题考查三⾓函数的化简，涉及倍⾓公式的利⽤，以及和⾓公式，属三⾓综合基础题. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正⽅形，PA ⊥平⾯ABCD ，PA AB =，M 是PC 上⼀点，且BM PC ⊥.（1）求证：PC ⊥平⾯MBD ；（2）求直线PB 与平⾯MBD 所成⾓的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】试题分析：（1）连接AC ，由线⾯垂直的性质定理可得BD PA ⊥，且BD AC ⊥，故BD ⊥平⾯PAC ，PC BD ⊥，⼜PC BM ⊥，利⽤线⾯垂直的判断定理可得PC ⊥平⾯MBD .（2）法1：由（1）知PC ⊥平⾯MBD ，即PBM ∠是直线PB 与平⾯MBD 所成⾓，设1PA =，则1BC =，PC =，PB =3PM sin PBM PB ∠==，即直线PB 与平⾯MBD 所成⾓的正弦值为3. 法2：取A 为原点，直线MB ，MD ，MP 分别为x ，y ，z 轴，建⽴坐标系A xyz -，不妨设1PA AB ==，结合(1)的结论可得平⾯MBD 得法向量()1,1,1PC =-u u u v，⽽()1,0,1PB =-u u u v ，据此计算可得直线PB 与平⾯MBD 所成⾓的正弦值为3. 试题解析：（1）连接AC ，由PA ⊥平⾯ABCD ，BD ?平⾯ABCD 得BD PA ⊥，⼜BD AC ⊥，PA AC A ?=，①BD ⊥平⾯PAC ，得PC BD ⊥，⼜PC BM ⊥，BD BC B ?=，①PC ⊥平⾯MBD .（2）法1：由（1）知PC ⊥平⾯MBD ，即PBM ∠是直线PB 与平⾯MBD 所成⾓，易证PB BC ⊥，⽽BM PC ⊥，不妨设1PA =，则1BC =，PC =PB =在Rt PBC ?中，由射影定理得22::2:1PM MC PB BC ==，可得233PM PC ==，所以3PM sin PBM PB ∠==，故直线PB 与平⾯MBD.法2：取A 为原点，直线MB ，MD ，MP 分别为x ，y ，z 轴，建⽴坐标系A xyz -，不妨设1PA AB ==，则0,0,1)P（，()1,0,0B ，()1,1,0C ，由（1）知平⾯MBD 得法向量()1,1,1PC =-u u u v ，⽽()1,0,1PB =-u u u v，①1,0,11,1,1,cos PB PC -?-=u u u v u u u v=.故直线PB 与平⾯MBD .19．某芯⽚公司对今年新开发的⼀批 5G ⼿机芯⽚进⾏测评，该公司随机调查了 100 颗芯⽚，所调查的芯⽚得分均在[7，19]内，将所得统计数据分为如下：[7,9)，[9,1)，[11,13)，[13,15)， [15,17),[17,19)六个⼩组，得到如图所⽰的频率分布直⽅图，其中0.06a b -=.（1）求这 100 颗芯⽚评测分数的平均数；（2）芯⽚公司另选 100 颗芯⽚交付给某⼿机公司进⾏测试，该⼿机公司将每颗芯⽚分别装在 3 个⼯程⼿机中进⾏初测?若 3个⼯程⼿机的评分都达到 13 万分，则认定该芯⽚合格；若 3 个⼯程⼿机中只要有 2 个评分没达到 13 万分，则认定该芯⽚不合格；若 3 个⼯程⼿机中仅 1 个评分没有达到 13万分，则将该芯⽚再分别置于另外 2 个⼯程⼿机中进⾏⼆测，⼆测时，2 个⼯程⼿机的评分都达到 13万分，则认定该芯⽚合格；2个⼯程⼿机中只要有 1 个评分没达到 13 万分，⼿机公司将认定该芯⽚不合格.已知每颗芯⽚在各次置于⼯程⼿机中的得分相互独⽴，并且芯⽚公司对芯⽚的评分⽅法及标准与⼿机公司对芯⽚的评分⽅法及标准都⼀致(以频率作为概率).每颗芯⽚置于⼀个⼯程⼿机中的测试费⽤均为 160 元，每颗芯⽚若被认定为合格或不合格，将不再进⾏后续测试．现⼿机公司测试部门预算的测试经费为 5 万元，试问预算经费是否⾜够测试完这 100 颗芯⽚?请说明理由. 【答案】(1)1?3.12；(2)不⾜够，理由见详解.【解析】（1）根据频率分布直⽅图，先求出参数,a b ，再计算其平均数；（2）先计算每颗芯⽚测试费⽤的分布列，以及数学期望，再根据题意⽐较是否⾜够. 【详解】（1）根据概率之和为1，可得：()20.0250.1250.111a a b ?+++++=结合0.06a b -= 可得：0.10,0.04a b ==故这 100 颗芯⽚评测分数的平均数为：()20.02580.1100.125120.11140.1160.041813.12??+?+?+?+?+?=（2）由题可知公司抽取⼀颗芯⽚置于⼀个⼯程机中进⾏检测评分达到13万分的概率为0.2220.140.5P =+?=设每颗芯⽚的测试费⽤为X 元，则X 可能取值为：320,480,640,800，()23200.50.25P X ===()3334800.50.50.50.375P X ==++=()1236400.50.50.50.1875?P X C === ()1238000.50.50.50.1875P X C ===故每颗芯⽚的测试费⽤的数学期望为：()0.253200.3754800.18756400.1875800530E X =?+?+?+?=元，则1005305300050000?=>，故经费不⾜够测试完这100颗芯⽚. 【点睛】本题考查频率分布直⽅图中平均数的求解，以及离散型随机变量的分布列，难点是对题⽬的理解和把握.20．已知a ∈ R ， a ≠0，函数 f (x ) = e ax -1- ax ，其中常数e =2.71828 .（1）求 f (x ) 的最⼩值；（2）当a ≥1时，求证:对任意 x >0 ，都有 xf (x ) ≥ 2ln x +1- ax 2. 【答案】(1)0；(2)证明见详解.【解析】（1）求导，对函数的单调性进⾏讨论，从⽽求得最⼩值；（2）将不等式恒成问题，进⾏转换，结合（1）中的结论，构造新的函数，将问题转换为最值的问题即可. 【详解】（1）因为()1ax f x eax -=-，则()()11ax f x a e -'=-，()210ax f x a e -'=>'故()f x '为R 上的增函数，令()0f x '=，解得1x a= 故当()1,,0x f x a ??∈-∞< '，()f x 单调递减；当()1,,0x f x a ??∈+∞>'，()f x 单调递增，则()10min f x f a ??==故函数()f x 的最⼩值为0.（2）证明：要证明xf (x ) ≥ 2ln x +12ax -等价于证明121ax xe lnx -≥+由（1）可知：10ax e ax --≥，即1ax e ax -≥ 因为0x >，故12ax xe ax -≥ 故等价于证明221ax lnx ≥+ 即()2210,0,ax lnx x --≥∈+∞令()221g x ax lnx =--，即证()()0,0,g x x ≥∈+∞恒成⽴.⼜())21122g x ax x x +-=-='令()0g x '=，解得x =故当(),0x g x ?'∈< ?，()g x 单调递减；当(),0x g x ?∈+∞>'??，()g x 单调递增；故()2g x g lna ≥== 有因为1a ≥，故0lna ≥ 故()0g x lna ≥≥即证.即对任意 x >0 ，都有 xf (x ) ≥ 2ln x +1- ax 2. 【点睛】本题考查利⽤导数求函数的最⼩值，以及证明不等式恒成⽴的问题，属导数综合基础题.21．在平⾯直⾓坐标系中,已知曲线C的参数⽅程为2(x cos y θθθ==??为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系,直线l过极坐标系内的两点π4A和π3,2B ?? ???. (1)写出曲线C 的普通⽅程,并求直线l 的斜率; (2)设直线l 与曲线C 交于,P Q 两点,求BP BQ ?.【答案】（1）22143x y +=，2-；（2）12019 【解析】试题分析：利⽤消参法将参数⽅程转化成普通⽅程,再利⽤斜率公式求出斜率;写出直线l 的参数⽅程,代⼊22143x y +=,得2192405t +=,然后根据直线参数⽅程的⼏何意义解答.试题解析：(1)由题意得曲线C 的普通⽅程为22143x y +=,①()()1,1,0,3A B ,①直线l 的斜率为2-.(2)易知直线l的参数⽅程为(3x t y ?=??=+为参数) 代⼊22143x y +=,得2192405t ++=,设⽅程2192405t +=的两个根为12,t t , 所以1212019BP BQ t t ?==. 点睛：本题主要是考查普通⽅程与参数⽅程的互化,极坐标与直⾓坐标的互化,直线参数⽅程的⼏何意义.22．已知,a b 都是实数，0a ≠，()|1||2|f x x x =-+- （1）求不等式()2f x >的解集M ；（2）求证：当R x M ∈e时，||||||()a b a b a f x ++-≥恒成⽴. 【答案】(1)15 ,,22?-∞?+∞ ? ??；(2)证明见详解. 【解析】（1）分类讨论，将函数写为分段函数，进⾏求解；（2）⽤分析法，结合绝对值三⾓不等式进⾏证明即可. 【详解】（1）由题可知，()23,21,1223,1x x f x x x x -≥??=<故2x ≥时，()2f x >，解得52x > 当 1x ≤时，()2f x >，解得12x <故不等式的解集为：15,,22-∞+∞ ?U .（2）由（1）知：15,22R A ??=e 要证||||||()a b a b af x ++-≥即证12a b a bx x a++--+-≤恒成⽴，即证()12max a b a bx x a++--+-≤⽽由（1）可知：当()15,,12222maxx x x ??∈-+-=则只需证：2a b a ba++-≥等价于证：2a b a b a ++-≥ ⼜2a b a b a b a b a ++-≥++-=，当且仅当()()0a b a b +-≥时取得. 故原不等式成⽴，即：当R x M ∈e时，||||||()a b a b a f x ++-≥恒成⽴【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，以及绝对值三⾓不等式的应⽤，属综合基础题.。

2020届重庆市重庆一中高三下学期第一次月段考试数学（理科）试题一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =A. 12i +B. 12i -C. 12i -+D. 12i --2.已知{}{},|12,|3U R M x x N x x ==-≤≤=≤，则()U C M N =IA. {}|123x x x <-<≤或B. {}|23x x <≤C. {}|123x x x ≤-≤≤或D. {}|23x x ≤≤3.下列说法正确的是A. 1,"1"a R a∈<是"1"a >的必要不充分条件 B. “p q ∧”为真命题是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件C. 命题"x R ∃∈,使得2230"x x ++<的否定是 "x R ∀∈,2230"x x ++>D.命题:",sin cos p x R x x ∀∈+≤，则p ⌝是真命题4.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且其图象向左平移3π个单位后得到函数()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象A. 关于直线12x π=对称 B. 关于直线512x π=对称 C. 关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D. 关于点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 5. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为A. 2B. 3C. 4D. 56. 在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的x 取值范围是A. (]2,4B. ()2,+∞C. (]4,10D. ()4,+∞7.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高，计算其体积V 的近似公式2148V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为4，那么近似公式2175V L h ≈相当于将圆锥体积公式中π的近似取为 A. 256 B. 258 C. 253 D.2548.等比数列{}n a 中，181,4a a ==，函数()()()()()123n f x x x a x a x a x a =----L ，若()y f x =的导函数为()y f x '=，则()0f '=A. 1B. 02C. 122D.1529.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的情况下，甲丙也相邻的概率为A. 110B. 23C. 13D.1410.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为22若直线32y x =-与椭圆交于点M,满足122112MF F MF F ∠=∠，则离心率是 A. 22 B. 31 C. 312 D. 3211.点M 为棱长是221111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 的中点，若满足DM BN ⊥，则动点M 的轨迹的长度为A. 25πB. 45πC. 210π 410π12.已知函数()()x f x x R =∈，若关于x 的方程()()2111022f x mf x m -+-=恰好有4个不相等的实根，则m 的取值范围是 A. 22,2e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ B. 21,1e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ C.21,1e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭D.22,2e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. ()5ax x +的展开式中3x 项的系数为20，则实数a = . 14. 已知R α∈，则函数()()()()21sin cos sin f x x x x ααα=-++++的最大值为 .15. 一般吧数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行，数字2,3出现在第2行；数字6,5,4（从左到右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，以此类推，第21行从左到右的第4个数字应是 .16. 如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 上的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中正确的序号为 . ①DMN ∆可能是直角三角形；②三棱锥1A DMN -的体积为定值；③平面DMN ⊥平面11BCC B ；④平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C 的对边，且cos 2cos C a c B b-=，且 2.a c += （1）求角B;（2）求边长b 的最小值.18.（本题满分12分）某校高三（5）班的一次数学小测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求全班人数，并计算频率分布直方图中[]80,90间的矩形的高；（2）若要从分数在[]80,100之间的试卷中任选三份来分析学生失分情况，其中u 表示分数在[]80,90之间被选上的人数，v 表示分数在之[]90,100间被选上的人数，记变量u v ξ=-，求ξ的分布列和期望.19.（本题满分12分）如图，正方形AMDE 的边长为2，,B C 分别为,AM MD 的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱,PD PC 分别交于,G H 两点.（1）求证：//AB FG ；（2）若PA ⊥平面ABCDE ，且PA AE =，求平面PCD 与平面ABF 所成角（锐角）的余弦值，并求线段PH 的长.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点()1,0F -，过点F 作与x 轴垂直的直线与椭圆交于M,N 两点，且 3.MN =（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0F -的直线交椭圆于A,B 两点，线段AB 的中为G ,AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，记GFD ∆的面积为1S ，OED ∆的面积为2S ，若12S S λ=，求λ的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()()22ln .f x c x x c R =-∈（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若1c =，设函数()()g x f x mx =-的图象与x 轴交于()()12,0,,0A x B x 两点，且120x x <<，又()y g x '=是()y g x =的导函数，若正常数,a b 满足1,a b b a +=≥，证明：()120g ax bx '+<请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分.22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为)sin a ρθθ-=，曲线2C 的参数方程为sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），且1C 与2C 有两个不同的交点.（1）写出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）求实数a 的取值范围.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()223,1 2.f x x a x g x x =-++=-+（1）解不等式()22g x x <-+；（2）若对任意1x R ∈都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.2020届重庆市重庆一中高三下学期第一次月段考试数学（理科）试题参考答案。

2020年重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学试题一、单选题1．某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取25名职工进行问卷调查，若采用分层抽样方法，则40~50岁年龄段应抽取的人数是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．102．若圆锥的轴截面是一个顶角为23π，腰长为2的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（ ）A ．2B ．1CD ．23．已知在等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7,则数列{}n a 的通项公式（ ） A ． B ．-1 C ．+1 D ．-34．已知集合A ＝{}2650x x x -+≤，B ＝{x y =，则A∩B 等于( )A ．[1,3]B ．[1,5]C ．[3,5]D ．[1，＋∞) 5．非零向量a ⃑,b ⃑⃑满足|a ⃑|=√2|b ⃑⃑|，且(a ⃑−b ⃑⃑)⊥(2a ⃑+3b⃑⃑)，则a ⃑与b ⃑⃑夹角的大小为（ ） A ．π3 B ．π4 C ．2π3 D ．3π4 6．已知复数z 满足21i z i =+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．2 BC ．D ．4 7．已知函数()sin()f x x ϕθ=++的图象关于直线x π=对称，其中0ϕπ<<，02θπ-<<，且tan 2θ=-，则sin 2ϕ的值为（ ）A ．34B ．14C ．35D ．45-8．已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于,A B 两点．若223AF BF =，125BF BF =，则C 的方程为（ ）.A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=9． 的直线与双曲线22221x y a b-=恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．[2，+∞）B ．（2，+∞）C ．(D ．)+∞ 10．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）A ．19B ．112C ．115D ．11811．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（ ） A ．()()sin cos βα<f fB ．()()sin cos βα>f fC ．()()sin =cos βαf fD ．以上情况均有可能12．已知π()cos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，ππ63f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭内有最大值，无最小值，则ω可能的值为（ ）A ．83B ．143C ．503D ．263二、双空题13．如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，将四边形ABEF 沿EF 折起，使得二面角1A EF D --的大小为120︒（如图2），则1B C =__________；三棱锥1B CDE -的外接球的表面积为____________．（本题第一空2分，第二空3分）三、填空题14．已知实数x ，y 满足{11y xx y y ≤+≤≥-，则2x y +的最大值是________．15．在曲线33y x x =-的所有切线中，平行于x 轴的切线的切点坐标是_________________________ .16．如图，已知三点,,A B C 在球O 的表面上，ABC ∆是边长为O ABC -的体积为6，则球O 的表面积为______.四、解答题17．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的左视图、俯视图、直观图，在直观图中，M 是BD 的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.（Ⅰ）求该几何体的表面积和体积；（Ⅱ）求点C 到平面MAB 的距离.18．已知等差数列{a n }满足a 1=3, a 5=15, 数列{b n }满足b 1=4, b 5=31, 设正项等比数列{c n }满足c n =b n −a n .（1）求数列{a n }和{c n }的通项公式;（2）求数列{b n }的前n 项和.19．某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名考生的笔试成绩，分为 5 组制出频率分布直方图如图所示.(1)求,,,a b c d的值.(2)该校决定在成绩较好的 3、4、5 组用分层抽样抽取 6 名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？(3)在(2)的前提下，从抽到 6 名学生中再随机抽取 2 名被甲考官面试，求这 2 名学生来自同一组的概率.20．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为：12cos2sinxyαα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线():0l y kx k =>，以坐标原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求OA OB +的取值范围.21．（Ⅰ）解不等式|1||4|7++-≤x x（Ⅱ）已知0a >，0b >，且2a b +=，求9411+++a b 的最小值. 22．已知a 为实常数，函数()ln 1f x x ax =+-. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．23．已知函数()()()2121ln 12f x mx x x m R =-+++∈ （Ⅰ）当0m =时，求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）当01m <≤时，曲线():C y f x =在点()0,1P 处的切线l 与C 有且只有一个公共 点，求m 的值.参考答案1．C先计算出饼图中40~50岁的职工所占的比例，再乘以25即可得出结果.由题中饼图可知，40~50岁年龄段的职工所占的比例为10.440.20.36--=，因此，40~50岁年龄段应抽取的人数是250.369⨯=.故选：C.本题考查利用分层抽样计算所抽取的人数，根据分层抽样的特点列方程是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.2．D根据题意得到，母线长为2，截面顶角为2π，此时截面面积最大，即可得到答案. 由题知：圆锥的轴截面是一个顶角为23π，母线长为2， 所以当截面顶角为2π，此时截面面积最大，max 12222=⨯⨯=S . 故选：D 本题主要考查圆锥截面面积问题，属于简单题.3．D试题分析：由于数列{}n a 是等差数列，所以26a a 与的等差中项是，故有，又有37a a 与的等差中项是，所以，从而等差数列的公差，因此其通项公式为，故选Ｄ．考点：等差数列．4．C求出A 中不等式的解集确定出A ，求出B 中x 的范围确定出B ，找出A 与B 的交集即可 由A 中不等式变形可得：()()150x x --≤，解得15x ≤≤ []15A ∴=，由B中y =30x -≥，即3x ≥)3B ⎡∴=+∞⎣，则[]A B 35⋂=，。