下载文档原格式
牛顿法无约束最优化证明牛顿法是一种常用的非线性优化方法，它通过逐步逼近最优解来求解无约束最优化问题。
本文将介绍牛顿法的数学原理及其证明过程。
首先，我们考虑一个无约束的最优化问题，即：min f(x)其中，f(x)为目标函数，x为优化变量。
我们的目标是找到一个x，使得f(x)最小。
牛顿法的基本思想是通过求解目标函数的局部二次近似来逐步逼近最优解。
具体来说，我们首先选取一个初始点x0，然后利用目标函数的一、二阶导数信息，计算出目标函数在x0处的局部二次近似：f(x) ≈ f(x0) + f(x0)·(x-x0) + 1/2(x-x0)T·H(x0)·(x-x0) 其中，f(x0)为目标函数在x0处的梯度，H(x0)为目标函数在x0处的黑塞矩阵。
我们将局部二次近似表示为：Q(x) = f(x0) + f(x0)·(x-x0) + 1/2(x-x0)T·H(x0)·(x-x0) 然后，我们将Q(x)的导数置为零，得到如下方程：H(x0)·(x-x0) = -f(x0)接着，我们解出上述方程的解x1，将x1作为新的近似点，重复上述步骤，迭代求解，直到收敛于最优解。
接下来，我们来证明牛顿法的收敛性。
我们假设目标函数f(x)满足如下条件：1. f(x)是二次可微的凸函数。
2. H(x)是正定的。
在这种情况下，我们可以证明牛顿法是线性收敛的。
具体来说，设xk为牛顿法第k次迭代的近似解，x*为最优解，则有：f(xk+1) - f(x*) ≤ C·(f(xk) - f(x*))2其中，C>0是一个常数。
这个式子表明，每次迭代后，算法的误差都会平方级别的减小。
证明过程比较复杂，需要利用函数的泰勒展开式、中值定理等工具。
具体证明过程可以参考相关数学文献。
综上所述，牛顿法是一种有效的无约束最优化方法，其收敛速度较快，但需要满足一定的条件才能保证收敛性。
数学中的最优化方法数学是一门综合性强、应用广泛的学科，其中最优化方法是数学的一个重要分支。
最优化方法被广泛应用于各个领域，如经济学、物理学、计算机科学等等。
本文将从理论和应用两个角度探讨数学中的最优化方法。
一、最优化的基本概念最优化是在给定约束条件下，寻找使某个目标函数取得最大（或最小）值的问题。
在数学中，最优化可以分为无约束最优化和有约束最优化两种情况。
1. 无约束最优化无约束最优化是指在没有限制条件的情况下，寻找使目标函数取得最大（或最小）值的问题。
常见的无约束最优化方法包括一维搜索、牛顿法和梯度下降法等。
一维搜索方法主要用于寻找一元函数的极值点，通过逐步缩小搜索区间来逼近极值点。
牛顿法是一种迭代方法，通过利用函数的局部线性化近似来逐步逼近极值点。
梯度下降法则是利用函数的梯度信息来确定搜索方向，并根据梯度的反方向进行迭代，直至达到最优解。
2. 有约束最优化有约束最优化是指在存在限制条件的情况下，寻找使目标函数取得最大（或最小）值的问题。
在解决有约束最优化问题时，借助拉格朗日乘子法可以将问题转化为无约束最优化问题，进而使用相应的无约束最优化方法求解。
二、最优化方法的应用最优化方法在各个领域中都有广泛的应用。
以下将以几个典型的应用领域为例加以说明。
1. 经济学中的最优化在经济学中，最优化方法被广泛应用于经济决策、资源配置和生产计划等问题的求解。
例如，在生产计划中，可以使用线性规划方法来优化资源分配，使得总成本最小或总利润最大。
2. 物理学中的最优化最优化方法在物理学中也是常见的工具。
例如，在力学中，可以利用最大势能原理求解运动物体的最优路径；在电磁学中，可以使用变分法来求解电磁场的最优配置；在量子力学中，可以利用变分法来求解基态能量。
3. 计算机科学中的最优化在计算机科学中，最优化方法被广泛应用于图像处理、机器学习和数据挖掘等领域。
例如，在图像处理中，可以使用最小割算法来求解图像分割问题；在机器学习中，可以使用梯度下降法来求解模型参数的最优值。
无约束最优化问题的求解算法和应用随着科技的发展和应用领域的扩大，无约束最优化问题已经越来越成为一种关注的研究领域。
在现实生活中，无约束最优化问题的求解可以应用在多个方面，比如金融、医学、机械工程等等。
然而，在实际应用中，我们往往需要利用已经发展的优秀算法进行求解。
本文将会介绍无约束最优化问题的求解算法及其应用。
一、无约束最优化问题的概念无约束最优化问题指的是在一定的条件下，通过调整某些变量来最大或最小化指定的目标函数。
这些变量的调整需遵守一定的限制条件，并且通过各种数值分析方法，比如数值解析和计算机数值算法等技术来求解这样的问题。
无约束最优化问题的数学形式一般为：$$ \min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) $$其中，$x \in \mathbb{R}^n$ 是 $n$ 维空间中的一个向量，$f(x)$ 则是目标函数，该函数需要满足一定的条件，比如连续、可微、凸等等。
当函数连续、可微的情况下，就能有效地应用求导法来求解这个问题。
二、基于梯度下降的算法在求解无约束最优化问题时，最常用的算法就是基于梯度下降的算法。
该算法通过沿着负梯度的方向一步步得逼近全局极小值。
算法的主要流程如下：1、初始化变量$x$，比如$x=0$;2、计算目标函数$ f(x)$ 的梯度 $\nabla f(x)$;3、计算下降方向 $p$，$p=-\nabla f(x)$;4、选择步长 $\alpha$，更新$x$ $x_{k+1} = x_{k} + \alpha p$;5、重复执行步骤2-4 进行更新，直到满足一定的终止条件为止。
这种方法的收敛性非常好，同时也比较容易实现。
在实际应用中，通常会将其与其他迭代方法组合使用，比如牛顿、拟牛顿等方法来提升其求解精度。
三、基于共轭梯度的算法基于梯度下降的算法虽然求解精度较好，但是当求解目标函数具有高度弱凸性质时，算法的收敛速度会相对较慢。
为了克服这类问题，研究人员往往会采用共轭梯度法。
⽆约束最优化的常⽤⽅法11/22/2017 12:40:56 PM优化问题在很多领域有着重要的应⽤。
为了⽇后查阅⽅便，本⽂列举常见的⽆约束优化⽅法的计算公式。
需要说明的是，本⽂的⼤部分内容选⾃图书《算法笔记》。
⼀、梯度下降法梯度下降法（Gradient Descent Method）也叫做最速下降法（Steepest Descent Method），因为负梯度是函数局部下降最快的⽅向。
梯度下降梯度下降法的迭代格式为x k+1=x k−αk∇f(x k)梯度下降法⾮常简单，只需要知道如何计算⽬标函数的梯度就可以写出迭代格式。
因此，尽管在不少情况下梯度下降法的收敛速度都很慢，也依然不影响它在⼯业界的⼴泛应⽤。
梯度下降法应⽤到⼀些具体模型上有时也会被视作⼀类特定的算法，例如神经⽹络中的后向传导算法（Back Propagation Algorithm）。
随机梯度下降在机器学习中经常有f(x)=∑m i=1ℓi(x)，其中ℓi(x)是第i个训练样本的损失函数。
这时我们可以使⽤随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent Method）。
其迭代格式为x k+1=x k−αk∇ℓr(x k)其中r∈1,2,⋯,m为随机数。
这种做法可以理解为随机选择⼀个训练样本，进⾏⼀次梯度下降的训练。
在机器学习的问题中，我们通常不需要真的求得最优值，这样不精确的迭代，使得算法不容易过拟合。
由于随机梯度下降法的普及，与此相对的梯度下降法有时被称为批量梯度下降法（Batch Gradient Descent Method），因为它同时考虑所有训练样本。
介于批量梯度下降法和随机梯度下降法之间，还有⼩批量梯度下降法（Min-Batch Gradient Descent Method），也就是每次迭代选择若⼲个训练样本。
步长αk的选取梯度下降法可采⽤BB步长（Barzilai Borwein）。
BB步长有两个计算公式，选择其⼀即可。
最优化方法无约束最优化方法一、无约束最优化方法中常用的方法无约束最优化方法应用广泛，理论也比较成熟；可将约束优化问题转化为无约束优化问题来处理。
1.最速下降法优点：理论明确，程序简单，每次的计算量小，所需的存储量小，对初始点要求不严格。
缺点：收敛速度并不快，因为最速下降方向仅仅是指某点的一个局部性质。
最速下降法相邻两次搜索方向的正交性，决定了迭代全过程的搜索路线呈锯齿状，远快近慢。
最速下降法不是好的实用算法，但是一些有效算法是通过对它的改进或利用它与其他收敛快的算法结合而得到的，因此它是无约束优化的方法之一。
2.Newton法由Newton方向的构造知,对于正定二次函数,Newon方向就是指向其极小点的方向.能快速求得最优解。
对于目标函数不是二次函数的无约束最优化问题,一般地说,用Newton法通过有限轮迭代并不能保证可求得最优解.在初始点离最优解不远的条件下,Newton法是二次收敛的.但初始点远离最优解时,此法并不一定收敛。
Newton法具有二次收敛的优点,但它存在下面四个严重的缺点:虽每次迭代不会使目标函数f(X)上升,但不能保证 f(X)下降.（1）当Hesse矩阵非正定时,Newton法的搜索将会失败.（2）对初始点要求严格.一般要求比较接近或有利于接近极值点,而这在实际计算中是比较难办的. 因搜索方向要求Hesse矩阵的逆,在某迭代时可能求不出此方向.（3）若目标函数Hesse矩阵为奇异,则不有构成牛顿方向,无法迭代.（4）牛顿方向构造困难,计算相当复杂,除了求梯度以外还需计算Hesse矩阵及其逆矩阵,占用机器内存相当大.3.拟牛顿法为了克服Newton法的缺点,人们保留选取Newton方向作为搜索方向,摒弃其步长恒取1,而用一维搜索确定最优步长,由此产生的算法称为拟Newton法.拟Newton法克服了Newton法的缺点.特别是,当迭代点接近于最优解时,此法具有收敛速度快的优点,对初始点的选择要求不严.但是,拟Newton法仍需要计算目标函数的Hesse矩阵和逆矩阵,所以求解的计算量和存贮量均很大.另外,当目标函数的Hesse矩阵在某点处出现奇异时,迭代将无法进行.因此拟Newton法仍有相当的局限性.4.共轭梯度法实际上,可以把共轭梯度法看作是最速下降法的一种改进.当令λk=0时,就变为最速下降法.共轭梯度法由于不涉及矩阵,仅仅有向量运算,因而存储量小,适合于维数较高的优化问题.另外,共轭梯度法可以不要求精确的直线搜索.但是,不精确的直线搜索可能导致迭代出来的向量不再共轭,从而降低方法的效能.克服的办法是,重设初始点,即把经过n+1次迭代得到的Xn+1作为初始点重新迭代.计算实践指出,用Xn+1比Xn用重作初始点要好.5.变尺度法Newton法最突出的优点是收敛速度快,在这一点上其它算法无法比拟的.因此,建议凡是Hesse矩阵比较容易求出的问题尽可能使用Newton法求解.Newton法也有一个严重缺陷,就是每次迭代都要计算目标函数的Hesse矩阵和它的逆矩阵,当问题的维数较大时,计算量迅速增加,从而就抵消了Newton法的优点.为此,人们开始寻找一种算法既可以保持Newton法收敛速度快的优点,又可以摆脱关于Hesse矩阵的计算,这就是变尺度算法.变尺度法是一种非常好的方法.其中DFP算法和BFGS算法,可以说直到目前为止在不用Hesse矩阵的方法中是最好的算法.二、最速下降法对于无约束最优化问题的求解,按最优化算法的基本思想是从一个给定的初始点X0出发,通过基本迭代格式Xk+1=Xk+tkPk,按照特定的算法A产生一串点列{Xk},如果此点列收敛,则其极限点为所求的最优解.1.最速下降法基本原理在基本迭代格式Xk+1=Xk+tkPk中,每次迭代搜索方向Pk取目标函数f(X)的负梯度方向,即Pk=- f (Xk) ,而每次迭代的步长tk取最优步长,由此所确定的算法A称为最速下降法.如图所示,假经过k次迭代得到第 k个迭代点 Xk.现在从Xk出发,可选择的下降方向很多,一个非常自然的想法是沿最速下降方向(即负梯度方向)进行搜索应该是有利的,至少在 Xk邻近的范围内是这样.2.步长因子的确定3.最速下降法迭代步骤4.目标函数为正定二次函数的最速下降法5.最速下降法算法三、利用最速下降法求解10。
无约束最优化绪论人们总是尽可能的找优化方法，航空公司合理安排时刻表，工作人员和飞行器，使支出最小。
投资者寻找投资组合，避免风险，从而获得更高的回报。
生产商在设计和操作方面使他们的操作过程效率最大化。
自然优化，物理系统使一个系统趋向能量最小的状态，分子在一个隔离的化学系统中相互反应直到电子能量总和最小。
光线跟随着一定的路径，使传播的时间最小。
最优化问题在工程技术和科学研究中是一个重要的工具。
为了使用最优化，必须定义一个目标，选取决策变量的值，使函数值取得最大值或者最小值。
这个目标可以用一个简单的数值代表（比如利润、时间、势能或者任何一个组合变量）。
这个目标取决于系统特征，称为变量或者未知量。
我们的目标是求出使目标函数最优的一个值。
这些变量可以是受限的也可以是不受限的。
同样，分子中的电子量和贷款的利率不可能是负数。
对于一个给定的问题，定义目标函数和变量约束条件的时候可以认为是一个最优化问题模型，适当的模型约束条件是第一步也是最重要的一步。
如果模型太简单就不能给实用问题一个有用的解，太复杂就解不出来解了。
一旦模型有了公式表达，最优化算法就可以得到解决。
通常算法和模型可以复杂到连计算机都不能算出整个最优化过程，然而仍然有很多算法可以处理实际问题。
通常由用户选择合适的算法来应用于他们的问题，这个选择很重要，它决定着是否可以很快的解决问题，决定着能否建立解决方案。
一个优化算法是否能用取决于它是否能在一个模型中得到一个确切的解。
很多时候，我们利用决策变量把问题的条件表示成等式或不等式，称为约束条件。
如果约束条件不满足问题，则通常利用给出的信息来估计这个问题是否可以改善。
最后，可以在例如灵敏性分析的应用技术来改善模型和数据。
数学公式在数学中，优化就是在约束条件下求出变量的值，使目标函数取得最大值或者最小值。
我们采用以下符号：X：未知变量F : 目标函数Ci ：约束条件约束问题可以写成********************************************** 式（1.1）其中f 、c 是关于x的函数，Г、ε为指标集。
