2.1 认识无理数
1、在实数3.14，25
，3.33330.412??
，0.10110111011110…，π，中，有（ ）个无理数？
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
2、下列说法中，正确的是（ ）
A ．带根号的数是无理数
B ．无理数都是开不尽方的数
C ．无限小数都是无理数
D ．无限不循环小数是无理数
3．下列命题中，正确的个数是（ ）
①两个有理数的和是有理数； ②两个无理数的和是无理数； ③两个无理数的积是无理数；
④无理数乘以有理数是无理数； ⑤无理数除以有理数是无理数； ⑥有理数除以无理数是无理数。
A ．0个
B ．2个
C ．4个
D ．6个
4．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
①带根号的数是无理数；（ ） （ ） ③绝对值最小的实数是0；（ ）
④平方等于3（ ） ⑤有理数、无理数统称为实数；（ ） ⑥1的平方根与1的立方根相等；（ ）
⑦无理数与有理数的和为无理数；（ ） ⑧无理数中没有最小的数，也没有最大的数。（ ）
5．a ）
A ．有理数
B ．正无理数
C ．正实数
D ．正有理数
6．下列四个命题中，正确的是（ ）
A ．倒数等于本身的数只有1
B ．绝对值等于本身的数只有0
C ．相反数等于本身的数只有0
D ．算术平方根等于本身的数只有1
7．下列说法不正确的是（ ）
A ．有限小数和无限循环小数都能化成分数
B ．整数可以看成是分母为1的分数
C ．有理数都可以化为分数
D ．无理数是开方开不尽的数
8．代数式21a +y ，()21a -中一定是正数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
9 ）
A ．m 是完全平方数
B ．m 是负有理数
C ．m 是一个完全平方数的相反数
D ．m 是一个负整数
10．已知a 为有理数，b 为无理数，则a+b 为（ ）
A ．整数
B ．分数
C ．有理数
D ．无理数
11215
的大小关系是（ ）
A ．
215<< B ．215< C ．215
<<
D 215<<
12的相反数之和的倒数的平方为 。
13、设a 、b 互为相反数，但不为0;c 、d 互为倒数;m 的倒数等于它本身，化简111c m m m d a b ??÷++- ???
的结果是 。
14、大于的负整数是
15、试比较下列各组数的大小；
①_______②
，1π-，310-
16、若
210x -+=，求20012002x y +的值为_________
1710b -=，则33a b -+= 。
18．一个正数扩大到原来的9倍，则它的算术平方根扩大到原来的 。
19．若a π-=a π-，则4a -= 。
20．若a=5，b=-a -= 。
21．已知4y =
，求y x ÷y=________
22．已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数。求：22
22
a b a b --+___________。
23y x -()1
xy -的值为_____________。
24．化简12+
+=____________
7.4 平行线的性质
1.如图，DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ，求证：BC
DE AC AE AB AD ==。
2 如图，△ABC 中，E 、G 、D 、F 分别是边AB 、CB 上的点，且GF ∥ED ∥AC ，EF ∥AD 。求证：BC
BD BE BG =。
3 已知：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，过C 任作一直线交AD 于E ，交AB 于F 。 求证：FB
AF ED AE 2=。
北师大版数学八年级上册《认识无理数（2）》教案 一、学生起点分析 学生在小学阶段已经学习了非负数，七年级又学习了有理数.本章第一课时的学习，学生感受到了生活中确实存在着不是有理数的数，让学生认识到所学的数又不够用了，从而激发他们学习的好奇心，能积极主动地参与到学习中，充分认识到学习无理数引入的必要性，发展学生的合情推理能力. 二、教学任务分析 《数不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节，第一课时让学生感受数的发展，感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 本课时为第二课时，内容是建立无理数的基本概念，借助计算器，感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数，并能结合实际判别有理数和无理数.在活动中进一步发展学生独立思考的意识和合作交流的能力，在学习中领悟数学知识来源于生活，体会数学知识与现实世界的联系，而且对今后学习数学也有着重要意义.为此，本节课的教学目标是: 1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想. 2．探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力. 3．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力. 4.充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力. 三、教学过程设计 本节课设计六个教学环节: 第一环节：新课引入；第二环节：活动与探究；第三环节：知识分类整理；第四环节：知识运用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置. 第一环节：新课引入 内容:想一想： 1. 有理数是如何分类的？
八年级上册《认识无理数》知识点整理北师 大版 无限小数都是无理数无限小数分：为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环的小数才是无理数。 无理数包括正无理数、负无理数和零。受思维习惯的影响，有些同学错误认为正无理数与负无理数之间应有零，零也是无理数，其实零是一个有理数，因此，无理数只分为正无理数和负无理数两类。 带根号的数是无理数。是有理数2，是有理数-2，可见带根号的数不一定是无理数。 无理数是用根号形式表示的数。是无理数，但并不是用根号形式表示的，再如：0.1010010001，亦为不带根号的无理数。 无理数是开方开不尽的数。无理数并非由开方的结果来定义的，事实上，如，0.232232223，等无理数，都不是由开方得到的。 两个无理数的和、差、积、商仍是无理数。两个无理数的和，差，积，商不一定是无理数，如：等都是有理数。 无理数与有理数的乘积是无理数。这种说法是错误的!由等似乎易见无理数与有理数的积是无理数，就下肯定结
论，错了!如等足以推翻以上结论。8.有些无理数是分数。因为分数属于有理数，且无理数与有理数是两类不同的数，所以说，无理数不可能写成分数，当然，有些无理数可以借助分数线来表示。如，但一定要注意它并不是分数。 无理数比有理数少。这种说法错误，无理数在人们生产和生活中使用的少一些，但并不是说无理数就少一些，我们平常的计算中没有特别需要时，习惯地把一些无理数按要求通过取近似值的方法用有理数来表示，这样似乎就觉得使用无理数少一些，实际上，无理数也有无限个且比有理数多得多。 0.一个无理数的平方一定是有理数。这种说法错误，不要误认为只有等无理数，如等也是无理数，显然等不是有理数。
课题2.1 认识无理数 课型新授授课日期 主备人温亚玲审核人杨海东授课人使用班级学生姓名学号 学习目标 ①通过探究活动，让学生感受客观世界中无理数的存在； ②能判断三角形的某边长是否为无理数； ③学生亲自探究，培养学生的自主学习能力和探索精神； ④能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解； 学习重点能判断三角形的某边长是否为无理数； 学习难点能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解 教具及实验设 计 教学活动知识与方法第一环节：课题引入 【想一想】 一个边长为1的正方形，对角线长为多少？ 第二环节：自主探究 1．【算一算】 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平 方，请问：x是整数（或分数）吗？ 2．【做一做】 （1）图1—1中，以直角三角形的斜边为边的正 方形的面积是多少？22 1
（2）设该正方形的边长为b，b满足个什么条件？ （3）b是有理数吗？ 第三环节：获取新知 【议一议】：已知22 a=，请问：①a可能是整数吗？②a可能是分数吗？【释一释】：1．满足22 a=的a为什么不是整数？ 2．满足22 a=的a为什么不是分数？ 【忆一忆】：回顾“有理数”概念，既然a不是整数也不是分数，那么a一定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础 【找一找】：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长Array度不是有理数的线段 第四环节：应用与巩固 1．如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？ A 2 h D B C
2. 下图中阴影部分是正方形，求出此正方形的面积。此正方形的边长是有理数吗？为什么？ 8 15 第五环节：课堂小结 1．通过本课学习，感受有理数又不够用了，请问你有什么收获与体会？ 2．客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？ 3．除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？ 第六环节：课后反思
认识无理数 1．下列各数中的无理数是( ) A ．0.7 B.12 C ．π D ．－8 2．面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为( ) A ．整数 B ．分数 C ．无理数 D ．不能确定 3．下列说法正确的是( ) A ．有理数是有限小数 B ．有理数是无限小数 C ．无理数是无限循环小数 D ．无限不循环小数是无理数 4．已知直角三角形的两直角边长分别是4和5，则这个直角三角形的斜边的长度( ) A ．在4和5之间 B ．在5和6之间 C ．在6和7之间 D ．在7和8之间 5．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，对于网格中的△ABC ，边长为无理数的有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条 6．在37，0，π2 ，－xx ，65，0.01001这六个数中，无理数有________个. 7．如图所示，Rt△ABC 的三边长分别是a ，b ，c. (1)计算： ①若a ＝1，c ＝2，则b 2＝______； ②若a ＝3，c ＝5，则b 2=＝______； ③若a ＝0.6，c ＝1，则b 2＝________． (2)通过(1)中计算出的b 2值，我们知道，b 是整数的有______；b 是分数的有______；b 既不是整数，也不是分数的有______．(填序号) 8．已知m 2＝5，x ，y 为两个连续的整数，且x ＜m ＜y ，则x －y ＝________． 9．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
－34，－1.42··，π，3.1416，23 ，0，42，－1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).
2.1 认识无理数 ※课时达标 1.在下列数:2, 1.44,∏, 3.14, -9, 2+3, 3 1, 1.2121……中,无理数有 _____________.有理数有_____________. 2.判断正误: （1）有理数包括整数、分数和零.( ) （2）无理数都是开方开不尽的数.( ) （3）不带根号的数都是有理数.( ) （4）带根号的数都是无理数.( ) （5）无理数都是无限小数.( ) （6）无限小数都是无理数.( ) 3.已知一直角三角形的两直角边长分别为1, 2,斜边长为x. (1)根据一直角三角形,写出关于x 的方程, 并说明x 是有理数吗?为什么? (2)估计x 的值(结果精确到十分位), 并用 计算器验证你的估计. (3)如果结果精确到百分位呢? 4.面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形边长是有理数的正方形有________个，边长是无理数的正方形有________个. ★基础巩固 1.下列各数中：－1,23,3.14,－π,3,0,2,27, 2 5,－0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1).其中，是有理数的是_____________，是无理数的是_______________.在上面的有理数中，分数有____________，整数有______________. 2.x 2=8，则x______分数，______整数，______有理数．（填“是”或“不是”） 3.面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数．（填“是”或“不是”） 4.一个高为2米，宽为1米的大门，对角线大约是______米（精确到0.01）. 5.下列数中是无理数的是（ ）. A.0.12??32 B.2π C ．0 D ．7 22
第二章实数 2.1认识无理数（一） 基础导练 1 ?边长为4的正方形的对角线长是（ ） 2. 在下列各数一0.333……，-n - , 3.1415, 2.0101001……（相邻两个1之间依 次多1个0）, 76.0123456??…（小数部分由相继的正整数组成）中， 是无理数的 有（ ） A . 3个 B . 4个 3. 下列说法正确的是（ ） A .有理数只是有限小数 C .无限小数是无理数 4. _________________________ 下列语句错误的是 （填序 （1）无限小数都是无理数； （2） n 是无理数，故无理数也可能是有限小数. (2) 3.57 , -, 3.1415926,, 0, n 6 .比较大小：22 ________ n 7 7.已知直角三角形的两条直角边分别是 4和5,这个直角三角形的斜边的长度在两 个相邻的整数之间，这两个整数是 ____________ 和 _________ . 8 .如图，数轴上表示数 3的点是 _________________ . A B C * -------- L B _I ! 1_ad --------------------- > --10 12 3 4 A .整数 B .分数 C .有理数 D .不是有理数 C. 5个 D . 6个 B .无理数是无限小数 D. 丄是分数 3 5. 下列各数属于有理数的是 属于无理数的是 ______________ . 1 丄,0.1212212221 2 0.1234
9. 边长为1的正方形，它的对角线的长可能是整数吗？可能是分数吗?
第二章 实数 2.1 认识无理数 ※课时达标 1.在下列数:2, 1.44,∏, 3.14, -9, 2+3, 3 1 , 1.2121……中,无理数有 _____________.有理数有_____________. 2.判断正误: （1）有理数包括整数、分数和零.( ) （2）无理数都是开方开不尽的数.( ) （3）不带根号的数都是有理数.( ) （4）带根号的数都是无理数.( ) （5）无理数都是无限小数.( ) （6）无限小数都是无理数.( ) 3.已知一直角三角形的两直角边长分别为1, 2,斜边长为x. (1)根据一直角三角形,写出关于x 的方程, 并说明x 是有理数吗?为什么? (2)估计x 的值(结果精确到十分位), 并用 计算器验证你的估计. (3)如果结果精确到百分位呢? [来源:学|科|网Z|X|X|K] 4.面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形 边长是有理数的正方形有________个，边长 是无理数的正方形有________个. https://www.doczj.com/doc/7810912213.html, ※课后作业 ★基础巩固 1.下列各数中：－1,2 3 ,3.14,－π,3,0,2,2 7, 2 5 ,－0.2020020002……(相邻两个2之间0 的个数逐次加1). 其中，是有理数的是_____________，是无 理数的是_______________. 在上面的有理数中，分数有____________， 整数有______________. 2.x 2=8，则x______分数，______整数，______ 有理数．（填“是”或“不是”） 3.面积为3的正方形的边长______有理数；面 积为4的正方形的边长______有理数． （填“是”或“不是”） 4.一个高为2米，宽为1米的大门，对角线大 约是______米（精确到0.01）. 5.下列数中是无理数的是（ ）. A.0.12? ?32 B. 2π C ．0 D ．7 22 6.下列说法中正确的是（ ）. A.不循环小数是无理数 B.分数不是有理数 C.有理数都是有限小数 D.3.1415926是有理数 7.下列语句正确的是（ ）. A.3.78788788878888是无理数 B.无理数分正无理数、零、负无理数 C.无限小数不能化成分数 D.无限不循环小数是无理数 ☆能力提高 8.在直角△ABC 中，∠C=90°，AC=2 3 ，BC=2， 则AB 为（ ）. A.整数 B.分数 C.无理数 D.不能确定 9.面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽
第二章实数 2.1. 认识无理数 教学目标 (一)教学知识点 1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性. 2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出理由. (二)能力训练要求 1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神. 2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力. (三)情感与价值观要求 1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情. 2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神. 3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神. 教学重点 1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 2.会判断一个数是否为有理数. 教学难点 1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程. 2.判断一个数是否为有理数. 教具准备 有两个边长为1的正方形，剪刀. 投影片两张： 第一张：做一做(记作§2.1.1 A)； 第二张：补充练习(记作§2.1.1 B). 教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课： ［师］同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢? ［生］在小学我们学过自然数、小数、分数. ［生］在初一我们还学过负数. ［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题. Ⅱ.讲授新课 1.问题的提出［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？ ［生］好.(学生非常高兴地投入活动中). ［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下. 同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师. ［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：
2.1 认识无理数 一、选择题 1.下列数中是无理数的是（ ） A. 0.1223 B.2π C.0 D.7 22 2.下列说法中正确的是（ ） A.不循环小数是无理数 B.分数不是有理数 C.有理数都是有限小数 D.3.1415926是有理数 3.下列语句正确的是（ ） A.3.78788788878888是无理数 B.无理数分正无理数、零、负无理数 C.无限小数不能化成分数 D.无限不循环小数是无理数 4.在直角△ABC 中，∠C =90°，AC =2 3，BC =2，则AB 为（ ） A.整数 B.分数 C.无理数 D .不能确定 5.面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为（ ） A.小数 B.分数 C.无理数 D .不能确定 二、填空题 6.在0.351，23 -，4.969696…，6.751755175551…，0， －5.2333，5.411010010001…中，无理数的个数有______. 7.______小数或______小数是有理数，______小数是无理数. 8.x 2=8,则x ______分数，______整数，______有理数.(填“是”或“不是”) 9.面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”) 10.一个高为2米，宽为1米的大门，对角线大约是______米(精确到0.01). 三、解答题
11.已知：在数－43， 1.42??-，π，3.1416，3 2，0，42，(－1)2n ，－1.424224222…中， （1）写出所有有理数； （2）写出所有无理数； （3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接. 12.我们知道，无限不循环小数叫无理数.试根据无理数的意义，请你构造写出两个无理数. 13.体积为3的正方体的边长可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？请说明你的理由. 14.如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，AC =6，AD =5，问：CD 可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？ 15.设面积为5π的圆的半径为y ，请回答下列问题： （1）y 是有理数吗？请说明你的理由； （2）估计y 的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计.
八年级数学上册同步练习：2.1 认识无理数 一、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分） 1．一个长方形的长与宽分别是6、3，它的对角线的长可能是（） A．整数 B．分数 C．有理数D．无理数 2．在﹣1.414，π，3.，3.1212212221…（两个1之间的2依次增加1个），0这些数中无理数的个数为（） A．5 B．2 C．3 D．4 3．下列说法正确的是（） A．有理数只是有限小数B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 4．如图，正方形网格中，每小格正方形边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数有（） A．0条B．1条C．2条D．3条 二、填空题（共2小题，每小题3分，满分6分） 5．直角三角形两直角边长为2和5，以斜边为边的正方形的面积是，此正方形的边长（填“是”或者“不是”）有理数． 6．任意写出两个大于6小于7的无理数． 三、解答题（共3小题，满分22分） 7．在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A=20°，∠B=60°．求∠BCD 和∠ECD的度数．
8．如图，在3×3的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的边长为1个单位．请解决下面的问题． （1）阴影正方形的面积是多少？ （2）阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？ 9．在△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，如图，若AC=6cm，AD=5cm，求BD的值．（精确到0.01cm）
2016年北师大新版八年级数学上册同步练习：2.1 认识无理数 参考答案与试题解析 一、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分） 1．一个长方形的长与宽分别是6、3，它的对角线的长可能是（） A．整数 B．分数 C．有理数D．无理数 【考点】勾股定理． 【专题】计算题． 【分析】长方形的长、宽和对角线，构成一个直角三角形，可用勾股定理，求得对角线的长，再进行选择即可． 【解答】解：∵==3， ∴对角线长是无理数． 故选D． 【点评】本题考查了长方形性质及勾股定理的应用，考查了利用勾股定理解直角三角形的能力以及实数的分类． 2．在﹣1.414，π，3.，3.1212212221…（两个1之间的2依次增加1个），0这些数中无理数的个数为（） A．5 B．2 C．3 D．4 【考点】无理数． 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：π，3.1212212221…（两个1之间的2依次增加1个）是无理数， 故选：B． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2.1认识无理数 （第一课时） 一、教学目标叙写 １．学生通过预习教材21页,并思考情景引入中的问题1． ２．学生通过合作探究部分，初步感知数不够用了,让学生充分感受“新数”（无理数）的存在. ３．学生通过交流知识点、易错点和思想方法，培养学生归纳能力和有条理的表达能力．４．学生能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解． 二、教学重难点 １．重点：让学生经历无理数的发现过程. ２．难点：会判断一个数是否为无理数． 三、教学过程 （一）、情景引入 ［师］同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢? ［生］在小学我们学过自然数、小数、分数. ［生］在初一我们还学过负数. ［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题. 1、思考：⑴一个整数的平方一定是整数吗？⑵一个分数的平方一定是分数吗？ 2、已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，并提出问题：x是整数（或分数）吗？ （二）、自主探究 1.问题的提出 ［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？ ［生］好.(学生非常高兴地投入活动中). ［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下. 同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师. ［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：
《认识无理数》 勾股定理在日常生活中有着非常重要而广泛的应用，因此它是整个初中数学的一个重点。因此为了提高学生质疑、发现、解决问题的能力，根据学生的实际情况，利用教材资源和学生的智慧设计本节课的内容。在本节课中，通过丰富的情境，使学生更深刻地体会勾股定理在现实生活中的应用。为后面的学习打下良好的基础。 【知识与能力目标】 能灵活运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题． 【过程与方法目标】 在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想． 【情感态度价值观目标】 激发学生强烈的求知欲，使学生享受运用数学思想解决生活问题的成功体验. 【教学重点】 应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题． 【教学难点】 ◆ 教学目标 ◆ 教材分析 ◆ 教学重难点 ◆
从实际问题中合理抽象出数学模型． 一、创设情境，引出课题 课件展示：小红是刚升入八年级的新生，一个周末的上午，当工程师的爸爸给小红出了一道数学题：一个边长为6cm 的正方形木板，按如图的痕迹锯掉四个一样的直角三角形.请计算剩下的正方形木板的面积是多少？剩下的正方形木板的边长又是多少厘米呢？见过这个数吗？你能帮小红解决这个问题吗？ 二、探索新知 【剪剪拼拼】 把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？ 目的：选取客观存在的“无理数“实例，让学生深刻感受“数不够用了”． 效果：巧设问题背景，顺利引入本节课题． 获取新知 内容：【议一议】→【释一释】→【忆一忆】→【找一找】 【议一议】： 已知22a =，请问：①a 可能是整数吗？②a 可能是分数吗？ 【释一释】：释1．满足22a =的a 为什么不是整数？ 释2．满足22a =的a 为什么不是分数？ 【忆一忆】：让学生回顾“有理数”概念，既然a 不是整数也不是分数，那么a 一定不 是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定 了基础 【找一找】：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是 有理数的线段 目的：创设从感性到理性的认知过程，让学生充分感受“新数”（无理数）的存在，从而◆ 教学过程
北师大版八年级上册数学认识无理数知识 点 知识点 1.无限小数都是无理数无限小数分：为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环的小数才是无理数。 2.无理数包括正无理数、负无理数和零。受思维习惯的影响，有些同学错误认为正无理数与负无理数之间应有零，零也是无理数，其实零是一个有理数，因此，无理数只分为正无理数和负无理数两类。 3.带根号的数是无理数。是有理数2，是有理数-2，可见带根号的数不一定是无理数。 4.无理数是用根号形式表示的数。是无理数，但并不是用根号形式表示的，再如：0.1010010001(两个1之间依次多一个)，亦为不带根号的无理数。 5.无理数是开方开不尽的数。无理数并非由开方的结果来定义的，事实上，如，0.232232223，等无理数，都不是由开方得到的。 6.两个无理数的和、差、积、商仍是无理数。两个无理数的和，差，积，商不一定是无理数，如：等都是有理数。
7.无理数与有理数的乘积是无理数。这种说法是错误的!由等似乎易见无理数与有理数的积是无理数，就下肯定结论，错了!如等足以推翻以上结论。8.有些无理数是分数。因为分数属于有理数，且无理数与有理数是两类不同的数，所以说，无理数不可能写成分数，当然，有些无理数可以借助分数线来表示。如，但一定要注意它并不是分数。 9.无理数比有理数少。这种说法错误，无理数在人们生产和生活中使用的少一些，但并不是说无理数就少一些，我们平常的计算中没有特别需要时，习惯地把一些无理数按要求通过取近似值的方法用有理数来表示，这样似乎就觉得使用无理数少一些，实际上，无理数也有无限个且比有理数多得多。 10.一个无理数的平方一定是有理数。这种说法错误，不要误认为只有等无理数，如等也是无理数，显然等不是有理数。 课后练习 1.(2016bull;湖北宜昌中考)如果“盈利5%”记作 +5%，那么—3%表示( ) A.亏损3% B.亏损8% C.盈利2% D.少赚2% 2.下列说法中正确的有( ) ①同号两数相乘，符号不变; ②异号两数相乘，积取负号;
《认识无理数》教学设计 平山乡后山小学：陶旭 教学目标： (一)知识目标: 1、通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性。 2、能判断给出的数是否为有理数；并能说出理由。 (二)能力训练目标: 1、让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养学生的动手能力和合作精神。 2、通过回顾有理数的有关知识，让学生能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力。 (三)情感与价值观目标: 1、激励学生积极参与教学活动，提高学习数学的热情。 2、引导学生充分进行交流、讨论与探索等教学活动，培养他们合作与钻研精神。 3、了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神。 教学重点： 1、让学生经历无理数发现的过程。感知生活中确实存在着不同于有理数的数。 2、会判断一个数是否为有理数。 教学难点： 1、把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程。 2、判断一个数是否为有理数。 教学过程： （一）创设情境，导入新课： 讲故事：（播放课件） 早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，他认为在生活中还存在除有理数之外的另一种数。 [师]到底谁的观点正确呢我们以前学的有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢 这节课我们就共同来研究这个问题。（板书课题） 学生认真听故事。做好学前准备。 （本环节设计意图：以故事引入新课首先能激起学生的学习兴趣，同时让学生带着问题听讲新课会收到良好的效果。） （二）操作观察，总结归纳： 1、分组活动： [师]请学生拿出课前准备好的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。学生分小组讨论，组长带领组员动手剪、拼。 各小组组长展示自己的操作成果（利用投影仪） 教师演示拼图过程（播放课件） 2、探索新知 [师]a2=2中a是整数吗是分数吗 [甲生]因为12=1，22=4所以a应在1和2之间，故a不能是整数。 [乙生]因为两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数。 [师]同学们说的都不错，我们可以来回顾一下前面学过的有理数的范围。 [生]有理数包括整数、分数。 [师]经过我们刚才的分析可知，在a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数。看来我们学的有理数的范围又不够用了。 3、做一做：（播放课件）
2. 1认识无理数 I pi础知识必橙?一 一：预习探究 1.做一做 （1）在下图屮，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？错误!未找到引用源。（2）设该正方形的边长为b,则b应满足什么条件？（3）b是有理数吗? 二：展示探究 1?为了加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线位置加固一条木板，设木板长为。米, 则由勾股定理得,= 12+22,即/=5, d的值大约是多少？这个值可能是分数吗？错误!未找到引用源。 2. X2=8,则x _________ 分数，_____ 整数，______ 有理数.（填“是”或“不是”） 三：当堂训练 L下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段. 错误!未找到引用源。 四：屮考链接 如图，在厶ABC屮，CD丄AB,垂足为D, AC=6, AD=5，问：CD可能是整数吗？可 能是分数吗？可能是有理数吗？ 错误!未找到引用源。 四、无理数的概念 事实上，这些数既不是整数又不是分数，它们是无限不循环小数。又叫无理数。 1.无理数 ⑴无理数的概念 无限不循环小数叫做无理数. （2）有理数与无理数的区别 事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来，任何有限小数或无 限循环小数也都是有理数.如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为］这样的分数形7 式；无限循环小数都可以化为分数，如：3.14可化为3瓦. 有理数与无理数的主要区别：①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循坏小数；②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能. 【例1】下列各数屮，哪些是有理数？哪些是无理数？ 4 22 3. 141 592 6, -y 2.58, 6.751 75 5 175 551 7…（相邻7,1 之间 5 的个数逐次加1）,0, y, JI — 5.23, 2~. 解：有理数有： 无理数有： 2.无理数的常见类型 判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的形式主要有三种：
初中数学北师大版八年级上册第二章1同步练习 一、选择题 1.在?3.14，0，?|?2|，π，0.3030030003…(相邻两个3之间0的个数加1)，22 7 中，无理数有() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.下列说法中正确的是() A. 无限小数都是无理数 B. 无理数都是无限小数 C. 实数可以分为正实数和负实数 D. 两个无理数的和一定是无理数 3.已知a是有理数，b是无理数则下列结论：①a+b是无理数；②a?b是无理数； ③ab是无理数；④a b 是无理数．其中一定正确的是() A. ①②③④ B. ①② C. ①③ D. ①③④ 4.下列四个实数中是无理数的是() A. 2.5 B. 10 3 C. π D. 1.414 5.给出下列四个数：?2，0，1.41，π，其中为无理数的是() A. ?2 B. 0 C. 1.41 D. π 6.下列实数中，为无理数的是() A. 0.2 B. 0.333 C. 0.1010010001…(每两个1之间多一个0) D. ?5 7.分别标有数字0，π，1 3 ，?1，√2的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到无理数的概率是() A. 1 5B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 8.如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则在△ ABC中，边长为无理数的边有() A. 3条 B. 2条 C. 1条 D. 0条
9. 已知边长为m 的正方形面积为12，则下列关于m 的说法中，错误的是( ) ①m 是无理数；②m 的值在4和5之间 ；③m 的值在3和4之间；④m 是有理数． A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ②④ 10. 如图，已知由16个边长为1的小正方形拼成的图案中，有五条 线段PA ，PB ，PC ，PD ，PE ，其中长度是有理数的有( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 二、填空题 11. 下列各数：0.5，0，1.26850349，π3，22 7，0.21212112…(相邻两个2之间1的个数 逐次加1)，其中无理数有______个． 12. 四个实数√16，7 3，√90，π中，任取一个数是无理数的概率为______． 13. 在数?√5、22 7、√ 3 2、?2.4、0.3˙5˙ 、1 3 、3.14、?π、0.123456789?中，有理数有 ，无理数有 ，正实数有 ，负实数有 ． 14. 三角形的两边长分别是3和4，请写出一个无理数表示第三边的长，这个数可以是 ______． 三、解答题 15. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．画出 以AB 为斜边的直角△ABC ，且△ABC 的顶点均在格点上，各边长均为无理数．
北师大版八年级数学上册第二章实数2．1认识无理数同步检测题 1．如图为边长为1的正方形组成的网格图，A，B两点在格点上，设AB的长为x，则x2＝____，此时x____整数，分数，所以x____有理数． 2．下列各数中，是有理数的是( ) A．面积为3的正方形的边长 B．体积为8的正方体的棱长 C．两直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长 D．长为3，宽为2的长方形的对角线长 3．边长为2的正方形的对角线长是( ) A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数 4．如图，图中是16个边长为1的小正方形拼成的大正方形，连接CA，CB，CD，CE四条线段，其中长度既不是整数也不是分数的有____条． 5. 已知Rt△ABC中，两直角边长分别为a＝2，b＝3，斜边长为c. (1)c满足是什么关系式？ (2)c是整数吗？ (3)c是一个什么数？ 6. 与－2π最接近的两个整数是( ) A．－3和－4 B．－4和－5 C．－5和－6 D．－6和－7
7．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( ) A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 8．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，则AB 的取值范围是( ) A ．3.0
《认识无理数》同步测试 1.在不是有理数有（）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.下列各数中，是有理数的是( ) A. 面积为3的正方形的边长 B. 体积为8的正方体的棱长 C. 两直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长 D. 长为3，宽为2的长方形的对角线长 3.下列命题中正确的是（） A. 有理数是有限小数 B. 有理数是有限小数 C. 有理数是无限循环小数 D. 无限不循环小数是无理数 4.下列各数中无理数的个数是（） ，0.1234567891011…（省略的为1），0，2π． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则AB的取值范围是( ) A. 3.0 8.如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样条件的点C共__个． 9.面积为5的正方形的边长______有理数；面积为9的正方形的边长______有理数．（填“是”或“不是” ） 10.写出一个比4小的正无理数：__________． 《认识无理数》精品教案 教学目标： 知识与技能目标： 1.通过拼图活动,让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性. 2.能判断给出的数是否为有理数,并能说出理由. 过程与方法目标： 1.让学生亲自动手实践,感受无理数存在的必要性和合理性,培养学生的动手能力和合作精神. 2.通过回顾有理数的有关知识,能正确地进行推理和判断,识别某些数是否为有理数,训练他们的思维判断能力. 情感态度与价值观目标： 1.激励学生积极参与教学活动,提高大家学习数学的热情. 2.引导学生充分进行交流,讨论与探索等教学活动,培养他们的合作与钻研精神. 3.了解有关无理数发现的知识,鼓励学生大胆质疑,培养他们为真理而奋斗的献身精神重点： 1.感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 2.会判断一个数是否为有理数或无理数 难点： 1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程. 2.判断一个数是否为有理数 教学过程： 一、 课前回顾 1.有理数如何分类？ 2.勾股定理的内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 有理数 整数(如-1，0，2，3，?- ). 分数(如 ， ， ?- ) 13－259 11 在直角三角形中，如果两条直角边分别为a 与b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2 。 二、 探究新知 活动一：拼图实践 将两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形 设大正方形的边长为 a ，则 a 满足什么条件？ 【解析】 因为 =2 S 大正方形 所以a 2 =2 活动二：感知新数，合理推理它不是有理数 1.满足a 2 =2，a 是整数吗？ 因为 a 2 =2, 而12 =1, 22 =4 12 北师大版八年级数学上学期第二章实数 认识无理数 一、选择题 1.已知在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=5,那么斜边AB的长是() A.整数 B.分数 C.有理数 D.非有理数 2.下列说法不正确的是() A.所有的整数和分数都是有理数 B.无理数一定是无限小数 C.无限小数一定是无理数 D.无理数不能写成分数的形式 3.下列说法中,正确的有() ①无限不循环小数是无理数;②无理数都是无限小数;③面积是5的正方形的边长是无理数;④-13.27272727…(相邻两个2之间有一个7)是无理数. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.一块面积为10 m2的正方形草坪,其边长() A.小于3 m B.等于3 m C.在3 m与4 m之间 D.大于4 m 5.如图,网格中的每个小正方形的边长均为1,如果把图中阴影部分剪拼成一个正方形,那么这个新正方形的边长近似等于() A.2.5 B.2.6 C.2.7 D.2.8 二、非选择题 6.如图是由16个边长为1的小正方形拼成的,任意连接网格中的两个格点可得到一些线段,则在线段AB,CD中,长度不是有理数的线段是. 7.公元前500多年前,数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数,直到有一天,大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希伯索斯的学生,在研究1和2的比例中项时(若1∶x=x∶2,则x叫1和2的比例中项),他怎么也想不出这个 比例中项的值.后来,他画了一个边长为1的正方形,设对角线长为x ,于是由毕达哥拉斯定理x 2=12+12 =2,他想x 代表对角线的长,而x 2=2,那么x 必定是确定的数,这时他又为自己提出了几个问题: (1)x 是整数吗?请说明理由; (2)x 可能是分数吗?如果是,能找出来吗?如果不是,能说出理由吗? 亲爱的同学们,你能帮他解答这些问题吗? 8.如图所示,在△ABC 中,CD ⊥AB ,垂足为D ,AC=6,AD=5,则CD 的长可能是整数吗?可能是分数吗?可能是有理数吗? 9.如图是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9个正方形,边长是有理数的正方形有 个,边长是无理数的正方形有 个. 10.下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数? 1.732,-53,0.22··,0.5,197,-3π,3.1313313331…(相邻两个1之间3的个数逐次加1). 11.一扇高为2米、宽为1米的长方形大门,其对角线长大约是 米.(结果精确到0.01米,可以使用计算器) 12.如图①是一个4×4的正方形网格,其中每个小正方形的边长均为1,小华把网格分成4个完全相同的直角三角形(Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ),然后将这4个直角三角形拼成图②,则图②中最大正方形的边长是整数吗?如果不是整数,那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间.北师大版八年级数学上《认识无理数》精品教案
北师大版八年级数学上学期第二章 2.1认识无理数 同步作业
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