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初中数学什么是系统抽样如何进行系统抽样初中数学什么是系统抽样如何进行系统抽样在统计学中，系统抽样是一种常用的抽样方法，它是按照一定的规律从总体中选择样本的过程。
系统抽样的特点是按照固定的间隔从总体中选取样本，从而保证样本的均匀性和代表性。
本文将介绍系统抽样的概念，并阐述如何进行系统抽样。
系统抽样是一种基于间隔的抽样方法，它是按照一定的规律从总体中选择样本的方法。
系统抽样的特点是固定的间隔选取个体作为样本，这样可以尽量保持样本的均匀性和代表性。
进行系统抽样的步骤如下：1. 确定总体：首先需要明确研究的总体是什么，总体可以是人口、产品、动物群体等不同类型的个体或事物。
2. 确定样本量：确定需要抽取的样本数量，样本量应根据研究目的和总体的特点来确定。
样本量的大小对于研究结果的准确性和可靠性有重要影响。
3. 编制抽样框架：抽样框架是指包含总体中所有个体的清单或者群体的划分，它是进行系统抽样的基础。
根据总体的特点，可以将抽样框架编制为清单或者群体划分。
4. 确定抽样间隔：抽样间隔是指从总体中选取样本的间隔。
例如，可以根据总体的大小和样本量来确定抽样间隔。
抽样间隔应该使得样本能够均匀地覆盖总体，从而保证样本的代表性。
5. 随机起点：通过随机数表、随机数发生器或者抽签等方式生成一个随机数，作为抽样的起点。
起点的选择应该具有随机性和均匀性，以确保样本的代表性。
6. 抽取样本：从确定的起点开始，按照抽样间隔的规则，选择个体或者群体作为样本。
例如，可以按照固定的间隔选择每隔k个个体或者群体作为样本。
7. 记录样本数据：将被选中的个体或者群体记录下来，并收集相关的数据信息。
样本数据应准确、完整地反映个体或者群体的特征。
需要注意的是，系统抽样需要保证抽样间隔的均匀性和代表性，以确保样本的代表性和可靠性。
在实际操作过程中，可以结合使用随机数表、随机数发生器或者抽签等方式来生成随机起点，并按照固定的间隔选择样本。
总之，系统抽样是一种常用的抽样方法，它通过固定的间隔从总体中选择样本。
2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样学习目标1.理解并掌握系统抽样、分层抽样.2.会用系统抽样、分层抽样从总体中抽取样本.3.理解三种抽样的区别与联系.知识点一 系统抽样思考 当总体中的个体数较多时，为什么不宜用简单随机抽样？★答案★ 因为个体较多，采用简单随机抽样如制作号签等工作会耗费大量的人力、物力和时间，而且不容易做到“搅拌均匀”，从而使样本的代表性不强. 梳理 系统抽样(1)定义：要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先规定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法. (2)步骤①先将总体的N 个个体编号.有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；②确定分段间隔k ，对编号进行分段.当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n ；当Nn 不是整数时，先从总体中随机剔除几个个体，再重新编号，然后分段； ③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；④按照一定的规则抽取样本.通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k )，依次进行下去，直到获取整个样本. 知识点二 分层抽样 1.分层抽样的定义当总体是由差异明显的几个部分组成时，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.分层抽样尽量利用了调查者对调查对象(总体)事先所掌握的各种信息，并充分考虑了保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性是非常重要的.2.分层抽样的实施步骤第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层).第二步，计算抽样比.抽样比＝样本容量总体中的个体数.第三步，各层抽取的个体数＝各层总的个体数×抽样比.第四步，依各层抽取的个体数，按简单随机抽样从各层抽取样本. 第五步，综合每层抽样，组成样本.知识点三三种抽样方法的比较简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较如下表所示：1.系统抽样和分层抽样都是等可能抽样.(√)2.系统抽样中，当总体容量不能被样本容量整除时，余数是几就剔除前几个数.(×)3.分层抽样是按一定的比例从各层抽取个体组成样本的抽样.(√)类型一系统抽样及应用命题角度1不需要剔除个体的系统抽样问题例1为了了解参加某种知识竞赛的1000名学生的成绩，从中抽取一个容量为50的样本，那么采用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程.考点系统抽样的应用题点不需要剔除个体的系统抽样问题解 适宜选用系统抽样，抽样过程如下：(1)随机地将这1000名学生编号为1,2,3， (1000)(2)将总体按编号顺序均分成50个部分，每部分包括20个个体.(3)在第一部分的个体编号1,2,3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码l .(4)以l 为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：l ，l ＋20，l ＋40，…，l ＋980.反思与感悟 当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k ＝Nn ，样本编号相差k 的整数倍；系统抽样过程中可能会与其他抽样方法结合使用，通常不单独运用.跟踪训练1 现有60瓶牛奶，编号为1至60，若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽取的编号可能为( ) A.3,13,23,33,43,53 B.2,14,26,38,42,56 C.5,8,31,36,48,54 D.5,10,15,20,25,30 考点 系统抽样的应用题点 不需要剔除个体的系统抽样问题 ★答案★ A解析 因为60瓶牛奶分别编号为1至60，所以把它们依次分成6组，每组10瓶，要从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法进行抽样.若在第一组抽取的编号为n (1≤n ≤10)，则所抽取的编号应为n ，n ＋10，…，n ＋50.对照4个选项，只有A 项符合系统抽样.系统抽样的显著特点之一就是“等距抽样”.因此，对于本题只要求出抽样的间隔k ＝606＝10，就可判断结果.命题角度2 需要剔除个体的系统抽样问题例2 某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程. 考点 系统抽样的应用题点 需要剔除个体的系统抽样问题解 (1)先把这253名学生编号为000,001， (252)(2)用随机数法任取3个号，从总体中剔除与这三个号对应的学生. (3)把余下的250名学生重新编号1,2,3， (250)(4)分段.取分段间隔k ＝5，将总体均分成50段，每段含5名学生. (5)从第一段即1～5号中用简单随机抽样抽取一个号作为起始号，如l .(6)从后面各段中依次取出l ＋5，l ＋10，l ＋15，…，l ＋245这49个号.这样就按1∶5的比例抽取了一个样本容量为50的样本.反思与感悟 (1)当总体容量不能被样本容量整除时，要先从总体中随机剔除整除后余数个个体且必须是随机的，即每个个体被剔除的机会均等.剔除个体后使总体中剩余的总体容量能被样本容量整除.(2)剔除个体后需对样本重新编号.(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了. 跟踪训练2 某工厂有1003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施. 考点 系统抽样的应用题点 需要剔除个体的系统抽样问题解 (1)将每个工人编一个号，由0001至1003. (2)利用随机数法找到3个号将这3名工人剔除. (3)将剩余的1000名工人重新编号0001至1000.(4)分段，取间隔k ＝100010＝100，将总体均分为10组，每组100个工人.(5)从第一段即0001号到0100号中随机抽取一个号l . (6)按编号将l,100＋l,200＋l ，…，900＋l ，共10个号选出. 这10个号所对应的工人组成样本. 类型二 分层抽样及应用命题角度1 分层抽样适用情形判定例3 某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人.当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率及其形成原因，要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？ 考点 分层抽样的概念 题点 分层抽样的特征解 (1)从总体来看，因为不同年龄阶段的学生的近视情况可能存在明显差异，为了使样本具有较好的代表性，应该分高中、初中、小学三个层次分别抽样.(2)从三类学生的数量来看，人数较多，所以在各层抽样时可以采用系统抽样. (3)采用系统抽样分好组之后，确定第一组人选时，可以采用简单随机抽样.反思与感悟 分层抽样实质是利用已知信息尽量使样本结构与总体结构相似.在实际操作时，并不排斥与其他抽样方法联合使用.跟踪训练3 在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本.方法1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00,01,02，…，99，用抽签法抽取20个. 方法2：采用系统抽样的方法，将所有零件分为20组，每组5个，然后在第1组用简单随机抽样确定第一个个体编号，依次得到余下的19个个体编号.方法3：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个.对于上述问题，下列说法正确的是( )①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是15；②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；③在上述三种抽样方法中，方法3抽到的样本比方法1和方法2抽到的样本更能反映总体特征；④在上述抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1和方法3抽到的样本更能反映总体的特征. A.①②B.①③C.①④D.②③ 考点 分层抽样的概念 题点 具体实例中的分层抽样 ★答案★ B解析 根据三种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是n N ，故①正确，②错误.由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品)，故方法③抽到的样本更有代表性，③正确，④错误.故①③正确. 命题角度2 分层抽样具体实施步骤例4 某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层抽样的方法抽取，写出抽样过程. 考点 分层抽样的应用题点 分层抽样在具体问题中的应用解 抽样过程如下：第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为20160＝18.第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×18＝2(人)；从教师中抽取112×18＝14(人)；从后勤人员中抽取32×18＝4(人).第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人. 第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本.反思与感悟 在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比.跟踪训练4 一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人.为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？ 考点 分层抽样的应用题点 分层抽样在具体问题中的应用 解 用分层抽样来抽取样本，步骤如下：(1)分层.按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工.(2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为100500＝15，则在不到35岁的职工中抽取125×15＝25(人)；在35岁至49岁的职工中抽取280×15＝56(人)；在50岁及50岁以上的职工中抽取95×15＝19(人).(3)在各层分别按系统抽样或随机数法抽取样本. (4)汇总每层抽样，组成样本.1.检测员每10分钟从匀速传递的新产品生产流水线上抽取一件新产品进行某项指标检测，这样的抽样方法是( ) A.系统抽样法 B.抽签法 C.随机数法D.其他抽样方法考点 系统抽样的概念题点 系统抽样在具体事例中的判断 ★答案★ A解析 根据系统抽样法的定义和性质进行判断即可.2.为了解1200名学生对学校食堂饭菜的意见，打算从中抽取一个样本容量为40的样本，考虑采用系统抽样，则分段间隔k 为( ) A.10B.20C.30D.40 考点 系统抽样的方法 题点 间隔的运算 ★答案★ C解析 分段间隔k ＝120040＝30.3.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生( ) A.30人，30人，30人 B.30人，45人，15人 C.20人，30人，10人 D.30人，50人，10人考点 分层抽样的方法题点 由各层比例关系求每层抽取的个数 ★答案★ B解析 先求抽样比n N ＝903600＋5400＋1800＝1120，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3600×1120＝30(人)，乙校抽取5400×1120＝45(人)，丙校抽取1800×1120＝15(人)，故选B.4.某班级有50名学生，现要采用系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为1～50号，并均匀分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生. 考点 系统抽样的方法 题点 指定区间段中抽取的号码 ★答案★ 37解析 因为12＝5×2＋2，所以第n 组中抽得号码为5(n －1)＋2的学生.所以第八组中抽得号码为5×7＋2＝37的学生.5.一批产品中有一级品100个，二级品60个，三级品40个，分别用系统抽样法和分层抽样法从这批产品中抽取一个容量为20的样本. 考点 抽样方法的综合应用 题点 三种抽样方法的综合应用解 系统抽样法：将200个产品编号为1～200，然后将编号分成20个部分，在第1部分中用简单随机抽样法抽取1个编号.如抽到5号，那么得到编号为5,15,25，…，195的个体，即可得到所需样本.分层抽样法：因为100＋60＋40＝200，所以20200＝110，所以100×110＝10,60×110＝6,40×110＝4.因此在一级品、二级品和三级品中分别抽取10个，6个和4个，即可得到所需样本.1.系统抽样有以下特点：(1)适用于总体容量较大的情况；(2)剔除多余个体及第一段抽样都要用简单随机抽样，因而与简单随机抽样有密切联系；(3)是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是nN；(4)是不放回抽样.在抽样时，只要第一段抽取的个体确定了，后面各段中要抽取的个体依照事先确定好的规律就自动地被抽出，因此简单易行.2.总体容量小，用简单随机抽样；总体容量大，用系统抽样；总体差异明显，用分层抽样.在实际抽样中，为了使样本具有代表性，通常要同时使用几种抽样方法.一、选择题1.为了了解某地参加计算机水平测试的5008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为( )A.24B.25C.26D.28考点 系统抽样的方法题点 组数、容量、抽取号码的计算★答案★ B解析 5008除以200的整数商为25，故选B.2.将A ，B ，C 三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，若抽取的样本容量为21，则A ，B ，C 三种性质的个体分别抽取( )A.12,6,3B.12,3,6C.3,6,12D.3,12,6考点 分层抽样的方法题点 由各层比例关系求每层抽取的个数★答案★ C解析 由分层抽样的概念，知A ，B ，C 三种性质的个体应分别抽取21×17＝3,21×27＝6,21×47＝12.3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A.100B.150C.200D.250考点 分层抽样的方法题点 由抽样情况求样本或总体容量★答案★ A解析 由题意得，70n －70＝35001500，解得n ＝100，故选A. 4.某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法抽取4个班进行调查，若抽到的编号之和为48，则抽到的最小编号为( )A.2B.3C.4D.5考点 系统抽样的方法题点 组数、容量、抽取号码的计算★答案★ B解析 由题意得系统抽样的抽样间隔为244＝6.设抽到的最小编号为x ，则x ＋(6＋x )＋(12＋x )＋(18＋x )＝48，所以x ＝3，故选B.5.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A.p 1＝p 2＜p 3B.p 2＝p 3＜p 1C.p 1＝p 3＜p 2D.p 1＝p 2＝p 3考点 抽样方法的综合应用题点 三种抽样方法的辨析★答案★ D解析 因为采取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率相等，故选D.6.某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )A.8B.11C.16D.10考点 分层抽样的方法题点 由各层比例关系求每层抽取的个数★答案★ A解析 若设高三学生数为x ，则高一学生数为x 2，高二学生数为x 2＋300，所以有x ＋x 2＋x 2＋300＝3500，解得x ＝1600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为800100＝8. 7.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )A.11B.12C.13D.14考点 系统抽样的方法题点 指定区间段中抽取的号码★答案★ B解析 由于84042＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为720－48020＝24020＝12. 8.将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )A.26,16,8B.25,17,8C.25,16,9D.24,17,9考点 系统抽样的方法题点 指定区间段中抽取的号码★答案★ B 解析 由题意知间隔为60050＝12，故抽到的号码为12k ＋3(k ＝0,1，…，49)，列出不等式可解得：第Ⅰ营区抽取25人，第Ⅱ营区抽取17人，第Ⅲ营区抽取8人.9.为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( )A.13B.19C.20D.51考点 系统抽样的方法题点 组数、容量、抽取号码的计算★答案★ C解析 由系统抽样的原理可知，抽样的间隔k ＝524＝13，故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3，从而可知C 项正确.二、填空题10.一个总体的60个个体的编号为0,1,2，…，59，现要从中抽取一个容量为10的样本，请根据编号按被6除余3的方法，取足样本，则抽取的样本号码是________.考点 系统抽样的方法题点 组数、容量、抽取号码的计算★答案★ 3,9,15,21,27,33,39,45,51,57解析 由题意，设抽取样本的编号为6n ＋3，则3≤6n ＋3≤59，且n ∈N ，所以n ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，相应的编号依次为3,9,15,21,27,33,39,45,51,57.11.某单位有职工72人，现需用系统抽样法从中抽取一个样本，若样本容量为n ，则不需要剔除个体，若样本容量为n ＋1，则需剔除2个个体，则n ＝________.考点 系统抽样的方法题点 样本容量的计算★答案★ 4或6或9解析 由题意知n 为72的约数，n ＋1为70的约数，其中72的约数有1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72，其中加1能被70整除的有1,4,6,9，其中n ＝1不符合题意，故n＝4或6或9.12.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________.考点 分层抽样的方法题点 由每层个体数求每层抽取的个数★答案★ 6,30,10解析 设三种型号的轿车依次抽取x 辆，y 辆，z 辆，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1200＝y 6000＝z 2000，x ＋y ＋z ＝46，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝30，z ＝10.三、解答题13.为了对某课题进行研究，分别从A ，B ，C 三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A 有m 名教授，高校B 有72名教授，高校C 有n 名教授(其中0＜m ≤72≤n ).(1)若A ，B 两所高校中共抽取3名教授，B ，C 两所高校中共抽取5名教授，求m ，n ；(2)若高校B 中抽取的教授总数是高校A 和C 中抽取的教授总数的23，求三所高校的教授的总人数.考点 分层抽样的方法题点 由抽样情况求样本或总体容量解 (1)∵0＜m ≤72≤n ，A ，B 两所高校中共抽取3名教授，∴B 高校中抽取2人，∴A 高校中抽取1人，C 高校中抽取3人，∴1m ＝272＝3n，解得m ＝36，n ＝108. (2)∵高校B 中抽取的教授数是高校A 和C 中抽取的教授数的23，∴23(m ＋n )＝72，解得m ＋n ＝108，∴三所高校的教授的总人数为m ＋n ＋72＝180.四、探究与拓展14.问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会.方法：Ⅰ.简单随机抽样；Ⅱ.系统抽样；Ⅲ.分层抽样.其中问题与方法能配对的是( )A.①Ⅰ，②ⅡB.①Ⅲ，②ⅠC.①Ⅱ，②ⅢD.①Ⅲ，②Ⅱ考点 抽样方法的综合应用题点 三种抽样方法的辨析★答案★ B 解析 对于①，由于箱子颜色差异较为明显，可采用分层抽样方法抽取样本；对于②，由于总体容量、样本容量都较小，宜采用简单随机抽样.15.200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号，分为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为________.若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人.考点 抽样方法的综合应用题点 抽样方法的综合应用★答案★ 37 20解析 将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x 人，则40200＝x 100，解得x ＝20.。
