机械优化设计.第三章

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机械优化设计方法第三章

二、约束最优解和无约束最优解
•
n维目标函数f(X)=f(x1, x2, …, xn)，若在无约束条件下极小化，即在整个n维设计空间寻找X*= [x1*, x2*, …, xn*]T使满足min f(X)= f(X*)，X ∈R n，其最优点X*、最优值f(X*)构成无约束最优解；
•
若在约束条件限制下极小化，即在可行域D中寻找 X*= [x1*, n X D R，其最优点 x2*, …, xn*]T使满足min f(X)= f(X*)， X*、最优值f(X*)则构成约束最优解。约束最优解和无约束最优解，无论在数学模型还是几何意义上，两者均是不同的概念。设已知目标函数
二、函数的梯度
• 可以对方向导数作如下变换：设S0为S方的的单位向量，则S0在坐标轴上的投影为cosαi，i=1，2，…，n，这里αi ＝(S0, xi)，即 cos 1
cos 2 S0 cos n cos 1 f X f X f X f X cos 2 T , ,, f X S0 S x1 x n x1 cos n
三、局部最优解和全域最优解
对无约束最优化问题，当目标函数不是单峰函数时，有多个极值点X*(1) ，X*(2)，…，如图所示。此时X*(1)和f(X *(1) )、X *(2) 和f(X *(2))均称为局部最优解。
如其中X *(1) 的目标函数值 f(X *(1) )是全区域中所有局部最优解中的最小者，则称X *(1) 和 f(X *(1) )和为全域最优解。
f X 0 0 S
f X 0 0 S

f(X)值在X(0)点处沿S方向是增加的； f(X)值在X(0)点处沿S方向是减少的；即方向S与f(X)的等值面相切，这时，f(X) 在X(0)点处沿S方向不增也不减。

机械优化设计课后习题答案

5
6 0 海赛矩阵H ( X ) 0 4
a 各阶主子式： a11 6 0，11 a 21 a12 a 22 6 0 0 0 4
H(X)是正定的，所以， f (X) 为凸函数。
得：极值点 X* [1/ 3 1/ 4]T ，极值f ( x* ) 229/ 24
X( k ) ( k )S( k ) 的几何意义。
2-2 已知两向量 P 1 [1 2
2 0]T , P 2 1]T ,求该两向量之间的夹角。 2 [2 0
2-3 求四维空间内两点 (1,3,1,2) 和 (2,6,5,0) 之间的距离。 2-4 计算二元函数 f (X) x13 x1 x22 5x1 6 在 X(0) [1 1]T 处，沿方向
x1 d 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为 X = x2 D2 ； n x3
（2）建立数学模型的目标函数；取弹簧重量为目标函数，即：
1
f(X) =
2
4
rx1 x2 x3
2
（3）本问题的最优化设计数学模型： min s.t. f (X) =
2
4
rx1 x2 x3
2
X∈R
3·
g1(X) =0.5-x1 ≤0 g2(X) =10-x2 ≤0 g3(X) =x2-50 ≤0 g4(X) =3-x3 ≤0 g5(X) = (1
x1 8Fx2 ) ≤0 2 x2 x13
3
8Fx2 x3 g6(X) = ≤0 4 Gx1
求：
2、 3、 4 时的四条等值线，并在图上 (1) 以一定的比例尺画出当目标函数依次为 f ( X) 1、

《机械优化设计》-课程教学大纲

《机械优化设计》-课程教学大纲第一篇：《机械优化设计》-课程教学大纲《机械优化设计》－课程教学大纲修订—、课程名称机械优化设计Mechanical Optimize Design二、学分、学时2学分，32学时三、预修课程高等数学、理论力学、数值分析、机械学、计算机科学等。

四、适用学科领域机械设计及理论、森林工程、交通工程和控制理论与控制工程等。

五、课程主要内容、重点难点及学时分配（一）教学基本要求：通过实用机械优化设计的教学要使专业学生了解优化设计的基本思想，优化设计在机械中的作用及其发展概况。

初步掌握建立数学模型的方法，熟练掌握优化方法。

并具备一定的将机械工程问题转化为最优化问题并求解的应用能力。

（二）培养能力与素质：本门课程的教学目的和任务是：通过实用机械优化设计的教学使学生掌握问题转化成最优化问题的方法。

并且利用最优化的方法编制计算机程序，用计算机自动寻找最佳的设计方案。

机械优化设计是一种现代设计方法。

在有条件的情况下，应在课余时间指导学生上机操作，提高学生独立工作的能力，掌握实例用于解决工程实际问题。

（三）主要内容和重点、难点本门课程的主要内容包括：机械优化设计的基本术语和数学模型，优化设计的基本概念和理论；无约束最优化方法，约束优化设计的直接法，约束优化设计人间接解法。

第一章机械优化设计的基本术语和数学模型通过列举一些实际的优化设计问题，对机械优化设计的数学模型及用到的基本述评作一简要叙述。

对主要名词术语进行定义和作必要的解释。

使学生了解模型的形式和分类初步掌握数学模型建立的方法，了解设计的一般过程用其几何解释。

1．1几个机械优化设计问题的示例 1．2机械优化设计的基本术语1．3优化设计的数学模型及其分类 1．4优化设计方法1．5优化设计的一般过程及其几何解释第二章优化设计的某些概念和理论在讲述机械优化设计方法之前,首先讲述目标函数、约束函数的基本性质。

目标函数达到约束最控制的条件及迭代法求解的一般原理和收敛条件等。

机械优化设计3一维优化方法

2 F ( X ) x12 x2 8 x1 12 x2 52 如：
当
X
(0)
0 0 , S
T
(0)
1 1
T
0 1 X 0 1
则
2 F x12 x2 8 x1 12 x2 52 2 2 20 52
航空航天学院
第三章一维搜索方法
1）确定初始搜索区间的进退算法；
2）黄金分割法；
3）牛顿法；
4）二次两点插值法；
5）三次两点插值法。
航空航天学院
§3.1
一) 目的
min f (X) X∈Rn
引言
求一组 n 维设计变量 X = [x1,x2 ,…,x n ]T, 使目标函数达到即求目标函数的最优解：最优点 X* 和最优值 f (X*) 。
确定的搜索区间必定是一个
f (x) f (x)
0
含有最优点α*的单峰区间。
α1
α3 α
0
α1
α3
α
航空航天学院
三) 迭代步骤
给定x1、h0 h=h0
初始进退距
f
y1
y2
y3
y1=f(x1)、x2=x1+h、y2=f(x2) h= -h x3=x1 y3=y1 否 y1≥y2 是 h=2h
f
x1 x2 x3
d
航空航天学院
黄金分割常数用ω表示，我们常常取近似值，记作ω=0.618
怎样用黄金分割常数来缩小变量范围[a,b]，从而找到最佳点呢? 这是要解决的问题.
航空航天学院
把试点安排在黄金分割点来寻找最佳点的方法,就是黄金分割法.
• 案例炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料,使炼出来的钢满足一定的指标要求。假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某些元素的重量在 1000g到2000g之间，问如何通过试验的方法找到它的最优加入量。最朴素的想法是:以1g为间隔,从1001开始,直到 1999,把1000g到2000g的所有情况都做一遍实验, 一定可以得到最优值.

机械优化设计-第三章一维优化方法

23
机械优化设计
• 第四次缩小区间：第四次缩小区间： • 令 x2=x1=0.764, , f2=f1=0.282 • x1=0.472+0.382*(0.944-0.472)=0.652, f1=0.223 • 由于f1<f2, 故新区间由于f 故新区间[a,b]=[a, x2]=[0.472, 0.764] • 因为 b-a=0.764-0.472=0.292>0.2, 应继续缩小区间。 , 应继续缩小区间。第五次缩小区间：第五次缩小区间： f2=f1=0.223 令 x2=x1=0.652, x1=0.472+0.382*(0.764-0.472)=0.584, f1=0.262 由于f 故新区间[a,b]=[x1,b]=[0.584, 0.764] 由于f1>f2, 故新区间因为 b-a=0.764-0.584=0.18<0.2, 停止迭代。程序演示 , 停止迭代。极小点与极小值：极小点与极小值： x*=0.5*(0.584+0.764)=0.674,
x2 = a + 0.618(b − a), y2 = f ( x2 )
f
b = x2 , x2 = x1, y2 = y1
x1 = a + 0.382(b − a), y1 = f ( x1 )
y1 < y2
否
是
y1 y2
x
b
a = x1 , x1 = x2 , y1 = y2
x2 = a + 0.618(b − a), y2 = f ( x2 )
7
机械优化设计
h0
x2
机械优化设计
2.前进搜索加大步长 h＝2 h ，产生新点x3= x2+ 2h0 ；（a）如y2<y3，则函数在[x1，x3]内必有极小点，令a= x1，b= x3搜索区间为[a，b] ；（b）如y2>y3，令x1=x2 ，y1=y2 ； x2=x3 ，y2=y3 ； h=2h 重新构造新点x3=x2+h，并比较y2、 y3的大小，直到y2<y3。

机械优化设计(全,120张)

| F ( X (k1) ) F ( X (k) ) |
或
|
F(
X
(k1) ) F ( X | F(X (k)) |
(k)
)
|

(三)梯度准则
目标函数在迭代点的梯度模已达到充分小，即：
|| F ( X (k1) ||
式中的ε为结定的迭代精度或允许误差，可根据设计要求预先给定。
1.3 优化设计问题的基本解法
求解优化问题的方法：
解析法
数学模型复杂时不便求解
数值法
可以处理复杂函数及没有数学表达式的优化设计问题
寻求极值点的搜索过程
1.4、迭代计算的终止准则
在迭代过程中，如果根据一个迭代公式能够计算出接近精确解的近似解，即近似解序列X（k) 有极限
lim X (k) X * k
在设计这根主轴时，有两个重要因素需要考虑。一是主轴的自重；一是主轴伸出端 c点的挠度。
1.11、设计变量
在优化设计的过程中，不断进行修改、调整，一直处于变化的参数称为设计变量。
设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示：
x x1 x2 ... xn T
本问题中，当主轴的材料选定时，其设计方案由四个设计变量决定。孔径d、外径D、跨距l及外伸端长度a。由于机床主轴内孔用于通过待加工的棒料，其大小由机床型号决定。不作为设计变量。故设计变量取为：
2、现代设计方法
现代设计方法是以电子计算机为手段,运用工程设计的新理论和新方法,使计算结果达到最优化,使设计过程实现高效化和自动化.
运用现代设计方法可以适应市场剧烈竞争的需要,提高设计质量和缩短设计周期.
二、优化设计方法

机械优化设计讲义刘长毅

《机械优化设计》讲义刘长毅第一讲第一课时：机械优化设计概论课程的研究对象：根据最优化原理和方法，利用计算机为计算工具，寻求最优设计参数的一种现代设计方法。

目标：本课程目标体系可以分为三大块：理论基础、算法的分析、理解和掌握，算法的设计、实现（编程）能力的培养。

将主要是对算法的学习为主，并兼顾培养一定的解决实际问题能力、上机编程调试能力。

首先，几个概念：优化（或最优化原理、方法）、优化设计、机械（工程）优化设计。

现代的优化方法，研究某些数学上定义的问题的，利用计算机为计算工具的最优解。

优化理论本身是一种应用性很强的学科，而工程优化设计（特别是机械优化设计）由于采用计算机作为工具解决工程中的优化问题，可以归入计算机辅助设计(CAD)的研究范畴。

再，优化方法的发展：源头是数学的极值问题，但不是简单的极值问题，计算机算法和运算的引入是关键。

从理论与实践的关系方面，符合实践-理论-实践的过程。

优化原理和方法的理论基础归根结底还是来源于实际生产生活当中，特别是工程、管理领域对最优方案的寻找，一旦发展为一种相对独立系统、成熟的理论基础，反过来可以指导工程、管理领域最优方案的寻找（理论本身也在实践应用中不断进步、完善）。

解决优化设计问题的一般步骤：相关知识：数学方面：微积分、线性代数；计算机方面：编程语言、计算方法；专业领域方面：机械原理、力学等知识内容：数学基础、一维到多维、无约束到有约束1.1数学模型三个基本概念：设计变量、目标函数、约束条件设计变量：相对于设计常量（如材料的机械性能）在设计域中变量是否连续：连续变量、离散变量（齿轮的齿数，）。

设计问题的维数，表征了设计的自由度。

每个设计问题的方案（设计点）为设计空间中的一个对应的点。

设计空间：二维（设计平面）、三维（设计空间）、更高维（超设计空间）。

目标函数：设计变量的函数。

单目标、多目标函数。

等值面的概念：设计目标为常量时形成的曲面（等值线、等值面、超等值面）。

机械优化设计.第三章-精选文档27页

下次课预习内容：
3 优化方法的数学基础
3.2 函数的梯度和二阶导数矩阵一、方向导数与梯度二、函数的二阶导数矩阵 3.3 函数的近似表达式（多元函数Taylor展开式） 3.4 无约束目标函数的极值条件
f* fmin0
X (*)
总结:
“正定二元二次型函数的这个概念完全可以
推广到n = 3及多维的设计问题的分析中去”
只不过对于3维问题,在设计空间对应的应是
目标函数的“等值面” “同心椭球面族”；
椭球面的中心正好是极值(小)点
高于3维的问题（n > 3）,在设计空间中将是
“超椭球面”（多维正定二次函数的超等值面），无法用三维图形表示，是一个抽象的概念。
f(X ) 1 2 (a 1x 1 2 a 1x 1 2 x 2 a 2x 1 x 2 a 2x 2 2 2 )
b1x1b2x2c
若令：
X

x1

x
2

A

a11 a21
a12
a22

(a12a21)
B

b1

b
2

若令：
X

x1
f(Y)1YTaY bTYc 2
（坐标平移变换）
f (X) XTAX
1、正定二元二次型函数的等值线是同心椭圆族，椭圆的中心就是以该函数为目标函数的极小点
设: 二元二次型函数
f(x ) a1 2x 2 b1 x x 2 c2 2 x
x1
x2ba
bx1 cx2
换句话说：若沿着 X (1) 、 X(2) 两点连线方向搜索,就可以找到 f (X ) 的极小点。这一特性在建立了共轭方向的概念之后就知道,它对产生某些优化算法有着重大意义。

机械优化设计-Read

1 设计变量一个机械系统的基本设计方案可用一组参数的数值来表示。它们包括几何量、物
理量、性能参数（如效率、比功率等）。在设计过程中，一些参数根据需要预先确定，称为设计常量，一些参数在设计过程中需要改变，称为设计变量。输入向量和设计变量构成一个完整的设计。应该注意，被选作设计变量的参数必须是独立变量，任何导出量均不能选作设计变量。如齿轮传动中的模数、齿数和分度圆直径，三个参数中只能选择其中任意二个作为设计变量。设计变量有连续和离散变量之分。机械优化设计中的大多数设计变量都是连续的，只有那些由于各种原因，不允许任意取值的设计变量，如齿轮的齿数、模数，钢板的厚度等，才视作离散设计变量。 2 设计空间
图2-1 设计空间和设计点
设计变量的个数决定了设计空间的维数。设计变量越多，设计空间维数越高，设计
的自由度就越大，可供选择的设计方案也就越多，获得理想结果的可能性就越大。但同时带来的负面影响是，使设计问题更加复杂，计算工作量急剧增加，甚至会带来求解上的困难。因此,设计变量个数的选择应该遵守在满足基本要求的前提下尽可能少的原则。根据设计变量个数的多少，优化设计的规模大体分为，小型问题 (n 2 10) ；中型问题 (n 10 50) ；大型问题 (n 50) ；问题的大小不同，将直接影响优化方法的选择。
足约束条件 g u ( X ) 0 （u 1, 2.....m）和 hv ( X ) 0 （v 1, 2......p n）的前提下，使目标函数 F ( X ) 达到最优值。其数学表达式为
min F ( X ), X R n s.t. g u ( X ) 0 hv ( X ) 0 u 1, 2.....m v 1, 2 ......p n
优化设计的数学模型通常包括，设计变

机械优化设计教案

吉林大学教师教案（20 07 ~2008 学年第二学期）课程名称：机械优化设计年级：20XX级01-09班教研室：机械设计及自动化任课教师：李风吉林大学教务处制教案等值线—等高线●等值线●等高线：●它是由许多具有相同目标函数值的设计点所构成的平面曲线。

课后小结1：人字架的优化数学模型2：数学模型的基本构成第二节机械优化问题示例第三节优化设计问题的数学模型2学时五、优化问题的几何解释●无约束优化问题就是在没有限制的条件下，对设计变量求目标函数的极小点。

在设计空间内，目标函数是以等值面的形式反映出来的，则无约束优化问题的极小点即为等值面的中心。

●约束优化问题是在可行域内对设计变量求目标函数的极小点，此极小点在可行域内或在可行域边界上。

课后小结1．机械优化设计数学模型的一般形式2：优化设计的数学基础，梯度的概念第四节优化设计问题的基本解法●求解优化问题：解析解法●数值的近似解法。

2学时●解析解法：把所研究的对象用数学方程(数学模型)描述出来，然后再用数学解析方法(如微分、变分方法等)求出优化解。

●数值解法：只能通过大量试验数据用插值或拟合方法构造一个近似函数式，再来求其优化解，这种方法是属于近似的、迭代性质的数值解法。

不仅可用于求复杂函数的优化解，也可以用于处理没有数学解析表达式的优化设计问题。

因此，它是实际问题中常用的方法。

●可以按照对函数导数计算的要求，把数值方法分为需要计算函数的二阶导数、一阶导数和零阶导数(即只要计算函数值而不须计算其导数)的方法。

●由于数值迭代是逐步逼近最优点而获得近似解的，所以要考虑优化问题解的收敛性及迭代过程的终止条。

收敛性是指某种迭代程序产生的序列收敛于第二章优化设计的数学基础第一节多元函数的方向导数与梯度二、二元函数的梯度考虑到二元函数具有鲜明的几何解释，并且可以象征性地把这种解释推广到多元函数中去，所以梯度概念的引入也先从二元函数人手。

等值线—等高线●等值线●等高线：●它是由许多具有相同目标函数值的设计点所构成的平面曲线。

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2 机械优化设计的基本术语和数学模型
2.2 机械优化设计的基本概念和术语
二、目标函数
三、设计约束
四、可行域与非可行域五、目标函数的等值（面）
2.3 优化设计的数学模型
2.4 优化问题的几何描述
约束优化问题中，不等式约束的极限条件：
gu ( X ) 0 u 1,2...m
①可行域： D { gu (X ) 0 u 1,2m}
的矢量 X x1 x2 xn T ，恒有 f (X ) 0，则相
应的系数对称矩阵A称为正定矩阵相应的函数 f (X ) 为“正定二次型函数”
类似地，若对于任何矢量 X 0 ,总有 X T AX 0 ，则称A为负定矩阵。相应的函数 f ( X ) 为“负定二次型函数”
如对于某些矢量 X 有 f (X ) 0 ，另一些矢量 X 又有 f (X ) 0 ，则称矩阵A 为不定矩阵，相应的函数 f (X )为“不定二次型函数”
① 直接法 —按已有信息和再生信息进行试探及迭代求优的数值法
② 间接法 —利用函数性态、通过微分或变分求优的解析法 ③ 图解法 —在设计空间内，画出目标函数、约束函数的图
形找到最优解 ④ 实验法 —由实验直接找出最优解
二、优化设计的数值迭代计算法
1、迭代过程与格式
x2
步步下降， 3 步步逼近，
2 最终极其靠近最优点!
2、正定性的判别
（1）若对称矩阵 A 正定，其充要条件是矩阵行列式 A 的各阶主子式值均大于0
a11 a12 a1n
a11

0,
a11 a21
a12 a22

0,,
a21
a22

a2n
0
an1 an2 ann
（2）、若矩阵A负定，其充要条件是矩阵行列式
若令：
X

x1

x2

A

a11 a21
a12
a22

(a12 a21)
B

b1 b2

若令：
X

x1

x2

A

a11 a21
a12
a22

B

b1 b2

则按矩阵运算法则，上面函数的矩阵表达式：
f ( X ) 1 X T AX BT X C （＊）
1
O
X (3)
X (1)
X (0)
X (2)
X (4)
X (*)
1
2
3
x1
迭代格式：
X (K 1) X (K ) (K ) S (K )
K 0,1, 2... （）
X (K )__前次迭代点（老点） X (K 1) __ 本次所得新点
S (K )、 (K ) —第K次迭代点的搜索方向和步长
(*)式使用条件： 1、适用性要求 f ( X (K 1) ) f ( X (K) )
2、可行性要求 X (K) ,K 0,1,2...} D
(约束优化问题）
2、数值迭代算法的收敛性和终止准则
㈠、无约束优化问题
1、点距准则 2、函数下降量准则
X (k+1) - X (k ) ≤ ε f (X (k+1) ) - f (X (k ) ) ≤ ε
3.1 函数的二次型与矩阵的正定一、函数的二次型二、正定矩阵及其判别法
1、了解优化方法的类型 2、掌握 “数值迭代法”的基本原理 3、熟悉正定二次函数的2个性质及其意义 4、明确数值迭代法的常用终止准则
2.5 优化设计的基本方法
一、优化方法的类型
1、单目标优化方法和多目标优化方法 2、一维优化方法和多维优化方法 3、无约束优化方法和约束优化方法 4、按求优途径：
2
式中：A一对称方阵（∵ a12 a21 ）
（＊）式同样也是多元二次函数的矩阵表达式
x1 xn

a11 a12 a1n
b1
A

a21
a22

a2n

B

b2

an1
an2

ann

nn
bn

其中：A— n×n阶对称方阵 (aij a ji )
一、函数的二次型：
对于二元函数的二次型：
f ( X ) a11x12 a12 x1x2 a21x2 x1 a22 x22 (a12 a21)
上式写成矩阵形式：
f ( X ) X T AX x1
x2
a11 a21
① 在极值处，函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。
② 当该中心为极小值时，离中心线愈远，函数值愈大。 ③ 当目标函数值的变化范围一定时，等值线越稀疏，
说明函数值的变化愈平缓
F(X)
F(X)= c1 F(X)= c2 F(X)= c3
O
x2 有心等值线族
F(X)= f( x1, x2)
c1 c2c3
3、梯度准则
f (X (k+1) ) - f (X (k ) ) f (X (k ) )
≤ε
∇f (X (k ) ) ≤ ε
㈡约束优化问题的终止准则
3 优化方法的数学基础
3.1 函数的二次型与矩阵的正定
f
(X
)

1 2
(a11x12

a12 x1x2

a21x1x2

a22 x22 )
b1x1 b2 x2 c
D { gu (X ) 0 hv (X ) 0
u 1,2m v 1,2 p＜n}
②非可行域：可行域以外的区域
等值线（面）：具有相同目标函数值的点集在设计
空间形成的曲线和曲面
其数学表达式：
f (X ) Ci
Ci (i 1,2) —“一系列常数”
总结：(2维问题3维、n维）
a12 x1
a22

x2

此式也是“多元函数的二次型”的矩阵形式
函数的二次型: f ( X ) X T AX
X x1 x2 xn T
式中：A—n阶对称方阵 (aij a ji )
A与f一一对应！
二、正定矩阵及其判别法
1、正定的概念
设有二次型 f (X ) X T AX ，若对于任意不为“ 0 ”
x1
X*
2.3 优化设计的数学模型
数学模型的一般表达式 min f ( X ) X D Rn s.t. gu ( X ) 0 u 1, 2...m hv ( X ) 0 v 1, 2...p n
2 机械优化设计的基本术语和数学模型
2.5 优化设计的基本方法
3 优化方法的数学基础