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机械优化设计习题及参考答案1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。
答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。
在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。
求设计变量向量[]12Tn x x x x =L 使 ()min f x → 且满足约束条件()0(1,2,)k h x k l ==L ()0(1,2,)j g x j m ≤=L2-1.何谓函数的梯度梯度对优化设计有何意义答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂+∂∂=∂∂2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d fρ令xo Tx f x f x f x fx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂∂=∇21]21[)0(， 则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。
（1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。
（2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。
梯度)0(x f ∇方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。
负梯度-)0(x f ∇方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。
2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最大的方向和数值。
解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p 表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ∇。
求f （x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=∇120122214210x x x x fx f x f 2221)0(⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∇x f x f x f =5⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇∇=5152512)0()0(x f x f p ϖ2-3.试求目标函数()2221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。
９．图6-39所示为一对称的两杆支架，在支架的顶点承受一个载荷为2F=300000N ， 支架之间的水平距离2B=1520mm ，若已选定壁厚T=2.5mm 钢管，密度/1083-6mm Kg ⨯=.7ρ，屈服极限700=s σMpa ，要求在满足强度与稳定性条件下设计最轻的支架尺寸。
[解] 1．建立数学模型 设计变量：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=H D x x x 21目标函数：221422577600101.2252)(x x HB D T x f +⨯=+=πρ 约束条件： １）圆管杆件中的压应力σ应小于或等于y ο，即y TDHHB F σπσ≤+=22于是得2122157760019098.59)(x x x x g +=２）圆管杆件中的压应力α应小于或等于压杆稳定的临界应力c σ，由欧拉公式得钢管的压杆温度应力c σ222152222225776006.25102.6)8()(x x H B T D E AL EIC ++⨯=++==ππσ2式中 A ――圆管的截面积；L ――圆管的长度。
于是得0)6006.25)/(577(102.657760019098.59)(2221521222≤++⨯-+=-=x x x x x x g c σσ３） 设计变量的值不得小于或等于0于是得)(0)(2213≤-=≤-=x x g x x g2．从以上分析可知，该优化设计问题具有2个设计变量，4个约束条件，按优化方法程序的规定编写数学模型的程序如下：subroutine ffx(n,x,fx) dimension x(n) fx=1.225e-4*x(1)*sqrt(577600.0+x(2)*x(2)) endsubroutine ggx(n,kg,x,gx) dimension x(n),gx(kg)gx(1)=19098.59*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))/(x(1)*x(2))-700.0 gx(2)=19098.59*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))/(x(1)*x(2))- 1 2.6e5*(x(1)*x(1)+6.25)/(577600.0+x(2)*x(2)) gx(3)=-x(1) gx(4)=-x(2) end3．利用惩罚函数法（SUMT 法）计算，得到的最优解为：============== PRIMARY DATA ============== N= 2 KG= 4 KH= 0 X : .7200000E+02 .7000000E+03 FX: .9113241E+01GX: -.3084610E+03 -.8724784E+03 -.7200000E+02 -.7000000E+03 PEN = .9132947E+01R = .1000000E+01 C = .4000000E+00 T0= .1000000E-01 EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05=============== OPTIMUM SOLUTION ============== IRC= 18 ITE= 39 ILI= 39 NPE= 229 NFX= 0 NGR= 57 R= .1717988E-06 PEN= .6157225E+01 X : .4868305E+02 .6988214E+03 FX: .6157187E+01GX: -.1204029E+03 -.1266042E-01 -.4868305E+02 -.6988207E+0310．图6-40所示为一箱形盖板，已知长度L=6000mm ，宽度b=600mm ，厚度mm t s 5承受最大单位载荷q=0.01Mpa ，设箱形盖板的材料为铝合金，其弹性模量MPa E 4107⨯=，泊松比3.0=μ，许用弯曲应力[]MPa 70=σ，许用剪应力[]MPa 45=τ，要求在满足强度、刚度和稳定性条件下，设计重量最轻的结构方案。
3 1 2 32第一章习题答案1-1某厂每日（8h 制）产量不低于 1800 件。
计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为 25 件／h，正确率为 98％，计时工资为 4 元／h；二级检验员标准为：速度为 15 件／h，正确率为 95％，计时工资 3 元／h。
检验员每错检一件，工厂损失 2 元。
现有可供聘请检验人数为：一级 8 人和二级 10 人。
为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎡x1⎤=⎡一级检验员⎤；⎢x ⎥⎢⎥（2）建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即：⎣2 ⎦ ⎣二级检验员⎦f(X) = 8*4*x1+ 8*3*x2+ 2（8*25*0.02x1+8*15*0.05x2）=40x1+ 36x2（3）本问题的最优化设计数学模型：min f(X) = 40x1+ 36x2X∈R3·s.t. g1(X) =1800-8*25x1+8*15x2≤0g2(X) =x1-8≤0 g3(X)=x2-10≤0g4(X) = -x1≤0g5(X) = -x2≤01-2已知一拉伸弹簧受拉力F，剪切弹性模量G，材料重度r，许用剪切应力[]，许用最大变形量[] 。
欲选择一组设计变量X = [x1x2x ]T= [d D n]T使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数n ≥ 3 ，簧丝直径d ≥ 0.5 ，弹簧中径10 ≤D2≤ 50 。
试建立该优化问题的数学模型。
注：弹簧的应力与变形计算公式如下8FD 1 D 8F D3=k 2,k=1+,c=2(旋绕比），=n2解：（1）确定设计变量；s d 3s2c d Gd 4⎡x1 ⎤⎡d ⎤根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎢x ⎥=⎢D ⎥；⎢ 2 ⎥⎢2 ⎥（2）建立数学模型的目标函数；取弹簧重量为目标函数，即：⎢⎣x3⎥⎦ ⎢⎣n ⎥⎦f(X) = 2rx 2x x1 2 34（3） 本问题的最优化设计数学模型：min f (X ) =2 rx 2 x x4X ∈R 3·1 1 8Fx 3x x 高h s.t. g 1(X ) =0.5-x 1 ≤0 g 2(X ) =10-x 2 ≤0 g 3(X )=x 2-50 ≤0g 4(X ) =3-x 3 ≤0g 5(X ) =(1+x 1 2x 2 ) 8Fx 2 - []≤0 x 3g 6(X ) = 2 3 - []≤0 Gx 41-3 某厂生产一个容积为 8000 cm 3 的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。
机械优化设计习题及参考答案1- 1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。
答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。
在明确设计 变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学 形式。
求设计变量向量 x - % x 2 L x n T 使 f(x)—； min且满足约束条件h k(x)=O(k=1,2,L 丨)g j (x^O (j =1,2,L m)令f(x0円呼厂!1吕T ，:x2则称它为函数f (X 1, X 2)在X 0点处的梯度。
(1) 梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。
(2) 梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。
梯度' f(x0)方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。
负梯度 -、f(x0)方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。
2- 2.求二元函数 f (X 1，X 2)=2X /+X 22-2X 1+X 2在 x ° =[0,0]T 处函数变化率最大的方向和数值。
解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量 p表示，函数变化率最大和数值时梯度的模 'f(xO)。
求f (x1，x2)在2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？答：二元函数f(X 1,X 2)在X 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面 coSM的形式：汗cd xo .x1 xo ::池 xo :fcos 叫 f f1严qI x1 ；x2 xo cos^2X0点处的梯度方向和数值，计算如下:2-3 .试求目标函数f x 1,x 2=3x ； -4x 1x 2 x |在点X =[1,0]处的最速下降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。
解：求目标函数的偏导数新点是新点的目标函数值严cxl “4x1—2〕 _；-21一「2x2+1 x0 一 I 1V f x0 二 ；-21 -2 Ib 一75丄1_V5 j 、f(x0) Tf (x0)则函数在X*=[1,0] 汙:x 1=6捲 _4X 2, jf,:x 2二-4x 1 2x 2T 处的最速下降方向是■c f 1cx-1 6X 1 +4X 2〕 cf]4X r _ 2x 2_上X 2 一 *1 mx 2 =0■-61这个方向上的单位向量是：'、f (x0)P 二 一'、f(X 0)e P[-6,4]T [-3,2]丁|PJ-6)2 - 42 J3f (X 勺)=聖-2J13132- 4.何谓凸集、凸函数、凸规划？（要求配图）答：一个点集（或区域），如果连接其中任意两点x1、x2的线段都全部函数f（x）为凸集定义域内的函数，若对任何的_1及凸集域内的任意两点x1、x2，存在如下不等式：f 卜捲• 1 * ix2岂：f 洛厂i 1 - x2对于约束优化问题若f（x）、g（x）j=1,2,...,m 都是凸函数，贝U称此问题为凸规划3- 1.简述一维搜索区间消去法原理。
机械优化设计习题及参考答案1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。
答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。
在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。
求设计变量向量[]12Tn x x x x =L 使 ()min f x → 且满足约束条件()0(1,2,)k h x k l ==L ()0(1,2,)j g x j m ≤=L2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂+∂∂=∂∂2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d fρ令xo Tx f x f x f x fx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂∂=∇21]21[)0(， 则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。
（1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。
（2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。
梯度)0(x f ∇方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。
负梯度-)0(x f ∇方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。
2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最大的方向和数值。
解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ∇。
求f （x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=∇120122214210x x x x f x f x f 2221)0(⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∇x f x f x f =5⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇∇=5152512)0()0(x f x f p ϖ2-3.试求目标函数()2221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。
《机械优化设计》课程教学设计（一）基本描述课程编号：S4080270课程名称：机械优化设计课程英文名称：OPTIMAL DESIGN OF MACHINE总学时：30 讲课学时：30 习题课学时：0 实验学时：0 上机学时：0 学分：2开课单位：机电工程学院机械制造及其自动化系授课对象：机电工程学院机械设计制造及其自动化专业，其它相关专业。
先修课程：高等数学理论力学材料力学机械原理机械设计机械制造装备设计高级语言程序设计。
开课时间：第七学期教材与主要参考书：孙靖民．《机械优化设计》机械工业出版社2003年6月孙全颖．《机械优化设计》哈尔滨工业大学出版社2005年（二）课程性质、研究对象及任务机械优化设计是机械类专业的专业选修课，其目的是使学生树立优化设计的思想，掌握优化设计的基本概念和基本方法，获得解决机械优化设计的初步能力，进一步提高学生的分析问题和解决问题的水平。
通过本课程的学习，培养学生具备以下几个方面的能力。
1、树立优化设计的思想，理论联系实际，具有创新设计的能力。
2、掌握机械优化设计的思想、方法和规律。
在学习优化设计基本理论的基础上，应具备数学模型的建立、优化方法的选择、软件使用、优化结果分析等方面的能力。
3、正确的运用已经学过的机械优化设计基础理论和基础知识，能够初步解决其它领域的最优化问题。
4、正确掌握本领域出现的新技术、新原理和新方法，初步具备进行机械结构优化与综合研究的能力。
机械优化设计是高等工科院校中机械设计制造及其自动化专业现代设计方法模块的一门主干课，它能够综合的运用先修课程所学到的知识与技能，在进一步加强数学基础理论知识培养的同时，重点训练学生运用数学方法解决机械设计问题的能力，为学生今后从事机械优化设计及其它相关工作打下一定的基础。
（三）教材选择分析目前全国已经编写出版的机械优化设计的教材比较多，合起来不少于十几本。
但是，综合起来讲，还是由机械工业出版社出版，由哈尔滨工业大学孙靖民教授主编的机械优化设计教材比较合适。
机械优化设计课后答案【篇一：机械优化设计第5章习题参考答案】?4000.333?时， f(x*)??cjxj??5.567。
t第2题答案：x??2024840 0?，z??428。
*t第3题提示：求解方法可参考第四节中的应用实例。
第4题提示：如果设x1、x2、x3、x4、x5分别以Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ五种下料方式所用钢材的件数，则此问题的数学模型是：求一组xj(j?1,2,?,5)的值，满足下列限制条件x1?2x2 ?x4 ?100?2x3?2x4?x5 ?100???3x1?x2?2x3 ?3x5?100?xj?0 (j?1,2,?,5)??使总的尾料z?0.1x2?0.2x3?0.3x4?0.8x5 达到最小。
【篇二：《机械优化设计》复习题答案】xt>一、填空题1、用最速下降法求f(x)=100(x2- x12) 2+(1- x1) 2的最优解时，设x（0）＝[-0.5,0.5]t，第一步迭代的搜索方向为 [-47,-50]t。
2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是，二是。
3、当优化问题是的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成高－低－高趋势。
5、包含n个设计变量的优化问题，称为维优化问题。
6、函数 1txhx?btx?c的梯度为。
28模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数f(x1,x2)，若在x0(x10,x20)点处取得极小值，其必要条件是10约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数f(x)?x2?10x?36的极小点，初始搜索区间[a,b]?[?10,10]，经第一次区间消去后得到的新区间为12、优化设计问题的数学模型的基本要素有、。
?1?h13、牛顿法的搜索方向dkkgk，其计算量且要求初始点在极小点置。
14、将函数f(x)=x12+x22-x1x2-10x1-4x2+60表示成1txhx?btx?c 的形式215、存在矩阵h，向量 d1，向量 d2，当满足t d1和向量 d2是关于h共轭。
机械优化设计习题答案机械优化设计习题答案在机械设计中，优化设计是一项重要的任务。
通过优化设计，可以提高机械产品的性能和效率，降低成本和能耗。
然而，在实际的设计过程中，我们常常会遇到各种各样的问题和难题。
下面，将针对一些常见的机械优化设计习题，提供一些解答和思路。
一、最小重量设计问题最小重量设计问题是机械设计中的一个经典问题。
在这类问题中，我们需要在满足一定的约束条件下，找到一个最轻的设计方案。
通常，这类问题可以通过数学建模和优化算法来求解。
首先，我们需要明确设计的约束条件和目标函数。
约束条件可以包括强制性要求和可选的要求，如尺寸限制、强度要求等。
目标函数可以是重量、成本、能耗等。
然后，我们可以利用数学建模的方法将问题转化为一个数学优化问题。
最常用的方法是使用拉格朗日乘子法或者KKT条件来求解。
二、最大刚度设计问题最大刚度设计问题是另一个常见的机械设计问题。
在这类问题中，我们需要在给定的约束条件下，找到一个刚度最大的设计方案。
刚度是指物体对外力的抵抗能力，通常是通过刚度矩阵来描述的。
在解决最大刚度设计问题时，我们需要首先建立物体的刚度矩阵。
然后，通过求解特征值问题，得到刚度矩阵的特征值和特征向量。
特征值表示物体的刚度，特征向量表示物体的振动模态。
接下来，我们可以通过调整设计参数来改变刚度矩阵，从而实现最大刚度的设计。
三、流体优化设计问题流体优化设计问题是机械设计中的一个重要领域。
在这类问题中，我们需要通过优化设计来改善流体的流动性能。
例如，我们可以通过改变流道的形状和尺寸，来减小流体的阻力和压降。
在解决流体优化设计问题时，我们可以利用计算流体力学（CFD）方法来模拟流体的流动。
首先，我们需要建立流体的数学模型，包括流动方程和边界条件。
然后，通过数值方法求解这个数学模型，得到流体的流动状态。
接下来，我们可以通过改变设计参数，如流道的形状和尺寸，来优化流体的流动性能。
总结起来，机械优化设计是机械设计中的一个重要任务。
机械优化设计题目答案1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。
答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。
在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。
求设计变量向量[]12Tn xx x x =L 使()min f x →且满足约束条件()0(1,2,)k h x k l ==L ()0(1,2,)j g x j m ≤=L利用可行域概念，可将数学模型的表达进一步简练。
设同时满足()0(1,2,)j g x j m ≤=L 和()0(1,2,)k h x k l ==L 的设计点集合为R ，即R 为优化问题的可行域，则优化问题的数学模型可简练地写成求x 使 min ()x Rf x ∈ 符号“∈”表示“从属于”。
在实际优化问题中，对目标函数一般有两种要求形式：目标函数极小化()min f x →或目标函数极大化()max f x →。
由于求()f x 的极大化与求()f x -的极小化等价，所以今后优化问题的数学表达一律采用目标函数极小化形式。
1-2.简述优化设计问题的基本解法。
（不要抄书，要归纳）答：求解优化问题可以用解析解法，也可以用数值的近似解法。
解析解法就是把所研究的对象用数学方程（数学模型）描述出来，然后再用数学解析方法（如微分、变分方法等）求出有化解。
但是，在很多情况下，优化设计的数学描述比较复杂，因而不便于甚至不可能用解析方法求解；另外，有时对象本身的机理无法用数学方程描述，而只能通过大量试验数据用插值或拟合方法构造一个近似函数式，再来求其优化解，并通过试验来验证；或直接以数学原理为指导，从任取一点出发通过少量试验（探索性的计算），并根据试验计算结果的比较，逐步改进而求得优化解。
这种方法是属于近似的、迭代性质的数值解法。
数值解法不仅可用于求复杂函数的优化解，也可以用于处理没有数学解析表达式的优化问题。
因此，它是实际问题中常用的方法，很受重视。
