现代控制理论 第七章 变分法在最优控制中的应用

目标集(1/3)
2. 目标集
动态系统在控制u(t)的作用下总要发生从一个状态到另一个 状态的转移,这种转移可以理解为状态空间的一个点或系统 状态的运动。 在最优控制问题中,系统运动的初始状态(称初态)通常是 已知的,即x(t0)=x0为已知, 而所要达到的最终状态(称末态)是控制所要求达到 的目标。
E k1 (T ) Ai 0 exp i RT i 1,2
该化学反应式可代表一大类化工操作,通常希望中间产物 B的产量尽可能大,因而要求防止后面的反应继续进行下 去。
间歇化学反应器的最大产量控制问题(2/3)
为更清楚地讨论上述产量最大的控制问题,设化学反应式的 第一步反应是二级反应,第二步反应是一级反应。 这样,可得如下间歇化学反应器内的物料平衡方程
例如, 飞船控制系统要求所携带的燃料最少或到达末态 的时间最短,而连续搅拌槽系统的性能指标为一个带函数 积分的指标,需求其最小。 由于各种最优控制问题所要解决的主要矛盾不同,设计者 的着眼点不同,因此归结出的性能指标是不同的。
性能指标(2/3)
一般形式的性能指标为
J S ( x(t f ), t f ) L( x(t ), u(t ), t )dt
飞船的月球软着陆问题(3/3)
这两个问题可归结为分别求 J1=m(tf)
J2=m(tf)
为最小的数学问题。
间歇化学反应器的最大产量控制问题(1/3)
2) 间歇化学反应器的最大产量控制问题 设间歇化学反应器内进行如下常见的化学反应
Ak1 (T ) B k2 (T ) C
式中,k1(t)和k2(t)为反应速率常数,并与温度T满足如下关系
t0 tf
最优控制问题的描述(2/2)

(3)控制规律：
u* kx(t)
P由黎卡提微分k 方Q2程1BT得P 到 边界条件：P(tf)=Q0

PA AT P PBQ21BT P Q1 P(t)
例：求解使：J最小的u*(t)
0 1 0 x 0 0x 1u,
பைடு நூலகம்
J
第二节 状态调节器
在不消耗过多控制能量的前提下，使系统各状态在受 到外界干扰作用下，维持平衡状态。
一.无限长时间状态调节器
1.原系统：可控系统

2.性能指标： 说明：(1) J

x Ax Bu, y Cx
12表0 (示xTQ1系x u统TQ2要u)d求t 状态变量偏离平衡点的累积
u* kx(t)
3.控制规律
k Q21BT P
正定实对称P由黎卡提代数方程得到：
PA AT P PBQ21BT P Q1 0
例：求使J最小的u*(t)。 0 1 0
解：
x 0 0x 1u,
J

1

(xT
x uTu)dt
误差最小，这xTQ意1x 味着因某种原因系统状态偏离平衡点，控制
作用应使它很快回复到平衡点，调节器的名称由此而来
(2) 表示在控制过程中，消耗的能量最小
J中(3的u)TQ权Q2u1重半正定，Q2正定，用来确定状态变量与控制能量在
即寻求控制规律，使系统的状态变量x(t)按性能指标J的要 求，在无限长的时间内达到平衡点
1.原系统：可控、可观系统
x Ax Bu, y Cx

2.性能指标：J

1 2

[(y
0

8
1.
*问给7定题.3t
变分法求解无约束最优控制
f ，终端自由，即 x(t f ) 任意
增广泛函为
Ja
[x(t f )]
tf [H (x,u,,t) T x]dt
t0
取一阶变分并令其为零，得
J a

(
x
)T
x
t t
f

tf [(H )T x (H )T u (H )T xT Tx]dt 0
J ( x*, x)

d d
J ( x * x)
0

0
在实际问题中，泛函极值问题的最优轨线通常是受到各种约束的。
例如，最优控制性能指标（7.2）中的u和x的选择，要满足状态方 程（7.1），这是一个等式约束。 在等式约束下的泛函极值问题，称为条件泛函极值问题。
用拉格朗日乘子法将条件泛函极值问题转化为无约束条件极值问
3
设7系.1统最的状优态控方程制为的概x 念f (x, u, t)
最优性能指标
J [x(t f ),t f ]
tf
L[ x(t ), u(t ), t ]dt
t0
所谓最优控制，就是要确定在 [t0 , t f ] 中的最优控制，将系统的
状态从 x(t0 )转移到 x(t f ) ，或者 x(t f ) 的一个集合，并使性能指 标最优。 最优控制问题从数学上看，就是求解一类带有约束条件的条件
称为无约束最优控制问题。
无约束最优控制问题是一个求有等式约束的泛函极值问题，可
以用拉格朗日乘子法把有约束条件问题转化为无约束条件问题。
构造增广泛函为
J a [x(t f ),t f ] t f {L[x(t),u(t),t] T [ f (x(t),u(t),t) x(t)]}dt t0

应用变分法求解最优控制问题()t x x =()[]t J J x =泛函的变分dt xdt 定理10-1返回例2：求泛函的变分tfδJ =∂ J [x + εδx] |ε =0 ∂ε& J = ∫ L[x (t ), x (t ), t ]dtt0解：δJ = ∂ ∂ε=∫tf t0& & ∫ L[x + εδx, x(t ) + εδx, t ]dt |εtf t0=0前页∂ & & L[x + εδx, x(t ) + εδx, t ]dt |ε =0 ∂ε返回t f ⎡ ∂L ∂L ⎤ & = ∫ ⎢ δx + δx ⎥ dt t0 & ∂x ⎦ ⎣ ∂x泛函的极值设 J [x(t)]：Rn→R 是线性赋范空间 Rn 上的连 续泛函，对于与x0(t) 接近的宗量x(t) ，泛函J [x(t)] 的增量：ΔJ = J [x(t )] − J [x 0 (t )] ≥ 0或者ΔJ = J [x(t )] − J [x 0 (t )] ≤ 0则称泛函 J [x(t)]在x0(t)处达到极小值（或极大值）11泛函极值的必要条件定理10-2 定理10-2设 J [x(t)]：Rn→R 是线性赋范空间 Rn 上的 连续可微泛函，且在x0(t)处达到极值，则泛函J [x(t)]在x0(t)处的变分为零：返回δJ [x 0 , δx] = 0返回变分预备定理设g(t) 是[t0, tf]上连续的n 维向量函数，h(t)是 任意的n 维连续向量函数，且 h(t0) = h(tf) = 0。

若满足：∫tft0g T (t )h(t )dt = 0∀t ∈ t0 , t f则必有： g (t ) ≡ 0[]12二、欧拉方程、横截条件 二、欧拉方程、横截条件返回1，无等式约束泛函极值的必要条件2，有等式约束泛函极值的必要条件返回最速降线问题确立一条连结定点A和B的 曲线，使质点m 在重力作用下 从A 滑动到B 所需的时间最短 (忽略摩擦和阻力)。