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第4章 最优控制与变分法

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优化理论课件(变分法与最优控制理论)

优化理论课件(变分法与最优控制理论)

优化理论课件（2）第二部分动态优化：变分法和最优控制理论变分法是处理动态优化的古典方法，现在较少使用，在蒋中一的书中，变分法的思路可用来解释庞特里亚金最大值原理（一阶条件）。

本部分内容主要来自蒋中一《动态最优化基础》。

目录一、什么是动态优化？ (3)（一）动态优化问题的基本要素 (4)（二）泛函及其相关概念 (4)（三）可变终结点 (5)（四）横截条件 (6)（五）目标泛函 (6)二、变分法 (7)（一）基本问题：固定终结点问题 (7)（1）基本问题及其假定 (7)（2）一阶条件：欧拉方程 (8)（二）推广：多状态变量与高阶导数 (10)（1）多状态变量 (10)（2）高阶导数 (10)（三）可变端点问题 (10)（1）一般性横截条件 (11)（2）垂直终结线问题 (12)（3）水平终结线问题 (12)（4）终结曲线问题，即错误！不能通过编辑域代码创建对象。

(12)（5）截断的垂直终结线问题 (12)（6）截断的水平终结线问题 (13)（7）多变量和高阶导数情形 (13)（四）二阶条件（充分条件） (14)（1）固定端点问题的二阶条件及其二次型检验 (14)（2）凹凸性充分条件 (14)（3）变分 (15)（五）无限期界问题 (16)（1）收敛性 (16)（2）横截条件 (17)（3）充分条件 (17)（六）带约束的优化问题 (17)（1）等式约束 (17)（2）不等式约束 (18)（3）积分约束（等周问题） (19)三、最优控制理论 (20)（一）最优控制理论导论 (20)（二）最大值原理及其横截条件 (21)（1）最简单问题及最大值原理（一阶必要条件） (21)（2）最大值原理的理论基础及其横截条件 (23)（3）自控问题的汉密尔顿函数不变性 (26)（4）推广到多变量 (26)（三）最大值原理的经济学解释及现值的汉密尔顿函数 (27)（1）最大值原理的经济学解释 (27)（2）现值的汉密尔顿函数 (28)（四）充分条件（二阶条件） (29)（1）曼加萨林定理 (29)（2）阿罗条件 (31)（五）无限期界问题 (31)（1）横截条件与反例 (32)（2）作为充分条件一部分的横截条件 (32)（六）有约束的最优控制问题 (33)（1）涉及控制变量的约束 (33)（2）状态空间约束 (39)四、拉姆齐模型 (43)（一）相关理论发展背景 (43)（二）最简单的拉姆齐模型及其动力系统 (45)（三）微分方程定性稳定性判别方法简介 (47)（1）稳定性与渐进稳定性 (47)（2）稳定性判别基本定理 (48)（2）平面动力系统的奇点 (49)一、什么是动态优化？例：一个企业将原料从初始状态A通过五道工序，变为总结状态Z，每个阶段的选择对应一个阶段的成本，如何选择路径使得总成本最小化？从这个例子中可以看到：首先，动态强调的是时期之间的联系，而不仅仅是有时间的顺序；其次，这里也包含了Bellman方程的基本原理。

最优控制02

最优控制02

第四章 最优控制
概述（问题提出、抽象、分类、求解） 变分法（控制 u(t) 不受限制） 极小值原理（u(t) 受限制）
动态规划法（多级决策、最优性原理）
二次型性能指标的线性系统最优控制 （控制的实现）
极小值原理求解最优控制问题
•古典变分法求解最优控制问题：假定控制变量u(t)不受任何限制，即容 许控制集合可以看成整个m维控制空间开集，这时控制变分du可以任取。 同时还严格要求哈密尔顿函数H对u连续可微。在这种情况下，应用变分 法求解最优控制问题是行之有效的．
*T b u 某一 时间 段持 续为 0 ，则 （ 3） i i 为不确定值。
极小值原理求解最优控制问题
1、乒乓（bang-bang）原理 上面的系统如果属于平凡情况，则其最短时间控制为
u* (t ) Msign( BT * (t ))
该原理也适用于非线性系统 x A( x，t ) B( x，t )u(t ) 2、最短时间控制存在定理 设给定的线性系统为完全可控，并且系统矩阵A的特征值均具 有非正实部，控制变量满足不等式约束：u(t ) M 则最短时间控制存在！
极小值原理求解最优控制问题
3、最短时间控制存在唯一性定理 设该系统属于平凡情况，若时间最优控制存在，它必定唯一。
4、开关次数定理 设该系统属于平凡情况， u(t ) M ，并且系统阵A的特征值全部为负实数 ，
则如果最短时间控制存在，必为bang-bang控制，并且每个控制分量在两个 边界值之间的切换次数最多不超过n-1次。
K பைடு நூலகம்0
求最优控制序列，使J极小。
极小值原理求解最优控制问题
拉格朗日乘子法：
J a Q ( x ( N ), N ) F ( x, u, k ) T (k 1)[ f ( x, u, k ) x (k 1)])
变分法在最优控制中的应用PPT课件

变分法在最优控制中的应用PPT课件

x1(0) = θ(0) = 1, x2 (0) = θ(0) = 1
经过 t = 2s 转移到状态空间原点, 即
x1(2) = θ(2) =0, x2 (2) = θ(2) = 0
且使如下性能指标取极小。
J 1
2
u
2
(t
)dt
20
第七页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
具有等式约束条件下的变分问题 (7/10)
式中,
为m维 (mn) 关于t, x 和的非线性向量函数。 (t, x(t), x(t)) 0
(t, x(t), x(t))
第二页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
具有等式约束条件下的变分问题 (2/10)
这里,极值曲线x(t)除满足边界条件和古典变分学中规定的连续 可微条件外, 还须满足该等式约束条件。 ➢ 由于动态系统的状态方程可归为等式约束, 因此该等式约束变分 问题是研究最优控制的基础。 ➢ 下面就给出并证明处理等式约束变分问题的等式约束变分定理。
1) 规范方程
x(t) H f ( x(t), u(t),t) (60) λ
λ(t) H L f τ λ (61) x x x
2) 边界条件
3) 极值条件
x(t0 ) x0 ,
λ(t
f
)
S( x(t f ),t x(t f )
f
)
H 0
(64)
u
第十八页，编辑于星期五：十三点 二十二分。
➢ 哈密顿函数对时间t的全导数为
dH dt
H x τ
x
H λτ
λ
H uτ
u
H t
➢ 考虑到规范方程,则有
H x τx H λ τλ H x τ
第4章 最优控制与变分法

第4章 最优控制与变分法

1
第4章 最优控制与变分法
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。
4.1 最优控制问题的数学描述 4.2 无约束条件的动态最优化问题 4.3 带等式约束的动态最优化问题 4.4 用哈密顿函数求解最优控制问题
第4章 最优控制与变分法 3、约束条件的数学描述 、
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。
一般约束条件可用如下的等式约束方程或 不等式约束方程来描述： 不等式约束方程来描述：
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。
的质心距离地面的高度， 解 ： 设 x(t)为 M的质心距离地面的高度 ， 由牛顿第 为 的质心距离地面的高度
（4-1） ）
J = θ ( x, t ) t
（4-9） ）
性能指标如式(4-9)所示的问题称为迈耶问题 。 所示的问题称为迈耶问题。 性能指标如式 所示的问题称为迈耶问题 该类问题只关注始端和终端时刻的系统状态， 该类问题只关注始端和终端时刻的系统状态 ， 而 不关心系统的运动过程， 因此性能指标只是始端、 不关心系统的运动过程 ， 因此性能指标只是始端 、 终端时刻和状态的一个函数。 终端时刻和状态的一个函数。
第4章 最优控制与变分法
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。
变分法与最优控制问题

变分法与最优控制问题

变分法与最优控制问题在数学和物理学中，变分法是一种用于求解最优化问题的数学方法，特别适用于求解函数als^565^到l=0的极值点。

最优控制问题是指在给定约束条件下，寻找使得控制系统性能指标最优的控制策略。

本文将介绍变分法与最优控制问题的基本概念和应用。

一、变分法的基本概念变分法是一种通过将问题转化为变分问题，再利用变分法原理对变分问题进行求解的方法。

变分法关注的是函数als^565^的泛函ls^565^= ∫f(als^565^, al'=I0'~I1'，其中als^565^是取决于一个或多个独立变量al的函数。

变分问题就是要找到使得泛函ls^565^达到极值的函数als^565^。

二、变分法的应用变分法在数学和物理学中有广泛的应用，特别是在最优控制问题中。

最优控制问题是指在给定的系统模型和性能指标下，寻找使得性能指标最优的控制策略。

变分法在最优控制问题中起到了重要的作用。

在最优控制问题中，我们需要根据系统的状态变量和控制变量，构建系统的数学模型。

然后，通过构建性能指标，将最优控制问题转化为求解一个泛函的极小值问题。

利用变分法的原理，我们可以获得泛函的欧拉-拉格朗日方程，从而得到系统的最优控制策略。

最优控制问题的解决可以为实际应用提供最佳的控制策略。

三、变分法与最优控制问题的应用举例为了更好地理解变分法与最优控制问题，我们举一个简单的例子来说明其应用。

假设有一辆汽车行驶在一段道路上，我们的目标是寻找一种最优的加速度控制策略，使得汽车在最短的时间内到达目的地。

在这个问题中，车辆的位置可以用参数x表示，车辆的速度可以用参数v表示，我们的目标是找到使得到达目的地时间最短的速度曲线v(t)。

首先，我们需要建立车辆的数学模型，这里我们假设车辆的运动服从牛顿第二定律。

通过构建性能指标，我们可以得到泛函的表达式：ls^565^ = ∫[1 + (dht/dt)^2]dt其中dht/dt=t。

第4章 最优控制

第4章 最优控制


X (0) = X 0
比较可得
J = ∫ F ( X , U , t ) dt
t0
tf
F = α 2 x 2 + β 2u 2 f =u
求哈密顿函数
H = α 2 x 2 + β 2 u 2 + ΛT (t ) u
有必要条件可得
H ( X (t ), U (t ), Λ (t ), t ) H U = = 2β 2u + Λ = 0 U (t )
u(t)
u (t ) < K
M x(t)
x(t 0 )
问题是： 问题
什么样的 u(t)，使M 能最快地到达地面，并使到达地面时的速度等于零？
设物体M的质量为1 , x(t)表示物体离地面的高度. x
M 的运动微分方程式
u(t)
M x(t)
d2x = u (t ) g 2 dt
选择
x1 (t ) = x(t ), x2 (t ) = x(t ) = x1 (t )
Q 和 R 是正定实对称矩阵，又称为加权矩阵。 取Q和R为对角矩阵，设Q和R的元素为 q1 , q 2 ,..., q n 和 r1 , r2 ,..., rn 。 则二次型性能指标可写为
2 2 J = ∫ (q1 x12 + q 2 x 2 + + r1u12 + r2 u 2 + )dt t0 tf
瞬时推力
f(t) 应满足
0 ≤ f (t ) ≤ f max
要求控制拦截器从相对目标的初始状态出发，于某终点时刻 tf 与目标相遇（拦截） 即 且应满足
x (t f ) = 0
m(t f ) ≥ me
me 燃料耗尽后火箭的质量
最优控制问题的变分方法

最优控制问题的变分方法

最优控制问题的变分方法在数学与控制理论中，最优控制问题是研究如何选择最佳的控制策略，以使系统的性能达到最优的问题。

变分方法便是解决最优控制问题的一种重要数学方法。

一、引言最优控制是控制理论中一个重要的分支，它通过对系统建模和优化理论的应用，旨在找到使系统性能达到最佳的控制策略。

而变分方法，则是解决最优控制问题的一种有效途径。

二、变分法概述变分法是以变分运算为基础的数学方法，在最优控制问题中得到了广泛的应用。

它通过对控制信号进行微小的变分，并得到变分函数的极值来确定最优控制策略。

变分法的基本思想是将最优控制问题转化为求解变分问题，从而得到最优解。

三、变分法的基本原理1. 贝尔曼原理贝尔曼原理是变分法的核心原理之一。

它通过将最优控制问题分解为两个部分，即值函数和最优策略。

通过解反向动态规划方程，可以得到最优策略和值函数。

2. 泛函极值原理泛函极值原理是变分法的另一个重要原理。

它通过对泛函进行变分，并通过求解变分问题来得到泛函的极值。

在最优控制问题中，泛函可以表示系统性能的指标，如性能函数、代价函数等。

四、变分法的应用变分法在最优控制问题中有着广泛的应用。

以下是几个典型的应用领域：1. 高维空间中的最优控制在高维空间中的最优控制问题中，变分法能够通过求解变分问题，得到最优控制策略。

2. 动态规划动态规划是最优控制中一个重要的方法，变分法能够通过解反向动态规划方程，得到最优策略和值函数。

3. 时间最优控制时间最优控制问题中，变分法可以通过求解变分问题，得到最优控制策略以及最小时间。

五、总结变分方法是解决最优控制问题的一种重要数学方法。

它通过对控制信号进行微小的变分，并求解变分问题来得到最优控制策略。

变分法的应用非常广泛，能够解决包括高维空间中的最优控制、动态规划和时间最优控制等问题。

通过变分方法，我们能够有效地求解最优控制问题，并得到系统性能达到最优的控制策略。

最优控制问题的变分方法就是如上所述的一种有效的数学方法。

优化理论课件(变分法与最优控制理论)

优化理论课件(变分法与最优控制理论)

优化理论课件（2）第二部分动态优化：变分法和最优控制理论变分法是处理动态优化的古典方法，现在较少使用，在蒋中一的书中，变分法的思路可用来解释庞特里亚金最大值原理（一阶条件）。

本部分内容主要来自蒋中一《动态最优化基础》。

目录一、什么是动态优化？ (3)（一）动态优化问题的基本要素 (4)（二）泛函及其相关概念 (4)（三）可变终结点 (5)（四）横截条件 (7)（五）目标泛函 (7)二、变分法 (8)（一）基本问题：固定终结点问题 (8)（1）基本问题及其假定 (8)（2）一阶条件：欧拉方程 (8)（二）推广：多状态变量与高阶导数 (11)（1）多状态变量 (11)（2）高阶导数 (11)（三）可变端点问题 (12)（1）一般性横截条件 (12)（2）垂直终结线问题 (13)（3）水平终结线问题 (14)（4）终结曲线问题，即错误！不能通过编辑域代码创建对象。

(14)（5）截断的垂直终结线问题 (14)（6）截断的水平终结线问题 (14)（7）多变量和高阶导数情形 (15)（四）二阶条件（充分条件） (15)（1）固定端点问题的二阶条件及其二次型检验 (15)（2）凹凸性充分条件 (16)（3）变分 (17)（五）无限期界问题 (18)（1）收敛性 (18)（2）横截条件 (19)（3）充分条件 (19)（六）带约束的优化问题 (19)（1）等式约束 (19)（2）不等式约束 (21)（3）积分约束（等周问题） (21)三、最优控制理论 (22)（一）最优控制理论导论 (22)（二）最大值原理及其横截条件 (23)（1）最简单问题及最大值原理（一阶必要条件） (23)（2）最大值原理的理论基础及其横截条件 (26)（3）自控问题的汉密尔顿函数不变性 (29)（4）推广到多变量 (29)（三）最大值原理的经济学解释及现值的汉密尔顿函数 (30)（1）最大值原理的经济学解释 (30)（2）现值的汉密尔顿函数 (32)（四）充分条件（二阶条件） (32)（1）曼加萨林定理 (32)（2）阿罗条件 (34)（五）无限期界问题 (35)（1）横截条件与反例 (35)（2）作为充分条件一部分的横截条件 (36)（六）有约束的最优控制问题 (36)（1）涉及控制变量的约束 (37)（2）状态空间约束 (43)四、拉姆齐模型 (47)（一）相关理论发展背景 (47)（二）最简单的拉姆齐模型及其动力系统 (49)（三）微分方程定性稳定性判别方法简介 (53)（1）稳定性与渐进稳定性 (53)（2）稳定性判别基本定理 (53)（2）平面动力系统的奇点 (54)一、什么是动态优化？例：一个企业将原料从初始状态A通过五道工序，变为总结状态Z，每个阶段的选择对应一个阶段的成本，如何选择路径使得总成本最小化？从这个例子中可以看到：首先，动态强调的是时期之间的联系，而不仅仅是有时间的顺序；其次，这里也包含了Bellman方程的基本原理。

最新变分法和最优控制专业知识讲座

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4、线性泛函 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。
连续泛函如果满足下列条件：
（1）叠加原理 ： J[x1(t)+ x2(t)]= J[x1(t)]+ J[x2(t)] （2） 齐次性： J[cx(t)]=c J[x(t)]
其中，c是任意常数，就称为线性泛函。
例如：
J[x(t) ]t2[t(x t)(st)ix (n t)d ] t t1
定理2－5 若给定曲线x(t)的始端x(t0)= x0和终端x(tf)= xf，
则泛函
J[x(t) ] tf L[x(t)x ,(t)t,]dt t0
达到极值的必要条件是，曲线x(t)满足欧拉方程
Lx ddtLx0 或
欧拉(Euler)方程
其中x(t)应有连续的二阶导数， L[x(t)x ,(t)t,] 则至少应是二次连续可微的。 （证明略）
L[x(t)，x(t)]称为泛函的变分，记为
JL [x(t),x(t)]
也就是说，泛函的变分是泛函增量的线性主部。
当一个泛函具有变分时，称该泛函是可微的。
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6、泛函仿。变文档分如有的不求当之法处，请联系本人或网站删除。
定理2－1 连续泛函J(x)的变分，等于
2Ldx 2Ldx2L x2 dtxxdttx
得欧拉方程的全导数形式
L2Lx2Lx2L0 x tx xx x2
或
L x L x t x L x x x L x x 0
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其中, L[x(t),x(t),t]及x(t)在[t0,tf]上连续可微， t0及tf 固定，x(t0)= x0，x(tf)= xf， x(t)Rn 求满足上式的极值轨线x*(t)。
最优控制问题的变分法解析

最优控制问题的变分法解析

最优控制问题的变分法解析最优控制问题是应用数学中的一个重要分支，目标是通过对系统的动力学方程和性能指标进行数学建模，找到使性能指标最优化的控制策略。

在寻找最优控制策略的方法中，变分法起到了至关重要的作用。

本文将对最优控制问题的变分法进行解析，介绍其基本原理和应用方法。

一、变分法的基本原理变分法是数学中的一种计算最优化问题的方法，它基于函数的变分性质进行求解。

在最优控制问题中，我们通过变分法来求解函数的最小值，即找到一条函数曲线使得性能指标达到最优。

变分法的基本思想是将函数曲线看作是一个整体，通过对其进行微小的扰动来求解极值。

二、最优控制问题的变分表述最优控制问题通常可以用一组动力学方程和性能指标函数来表述。

假设已知系统的状态方程为：dx(t)/dt = f(x(t), u(t), t)其中，x(t)表示系统的状态，u(t)表示控制变量，t表示时间。

我们的目标是通过选择合适的控制变量u(t)，使得性能指标函数J[x(t), u(t), t]最小化。

性能指标函数通常由目标状态和控制变量的组合表示。

为了求解最优控制问题，首先定义一个泛函：J[u(t)] = ∫L(x(t), u(t), t)dt其中，L(x(t), u(t), t)表示拉格朗日函数，它由性能指标函数和动力学方程组合而成。

通过对泛函J[u(t)]进行变分的方式，我们可以得到最优控制问题的欧拉-拉格朗日方程：δJ[u(t)]/δu(t) = 0三、求解最优控制问题的步骤1. 构建拉格朗日函数L(x(t), u(t), t)：根据最优控制问题的具体要求，我们可以选择合适的拉格朗日函数。

通常情况下，拉格朗日函数由系统的动力学方程和性能指标函数组合而成。

2. 求解欧拉-拉格朗日方程：将拉格朗日函数带入欧拉-拉格朗日方程，利用变分法的原理求取控制变量u(t)。

3. 验证最优性条件：通过对极值条件的验证来确定所得到的解是否是最优解。

验证的方法包括极大极小值的判断、边界条件的验证等。

最优控制变分法

最优控制变分法

tf
F (t ) (t )dt 0
(1· 2—1)
t0
则在区间 [t 0 , t f ]上
F (t ) 0
下面我们来证明这个定理。 由于函数 (t )，是任意选定的，因此，可以取 (t ) W (t ) F (t ) (1.2—2) 其中 W (t ) 的是任一满足条件
0 , t t0和t t f W (t ) 2 c , t0 t t f
二、固定端点时间、无约束条件的变分问题 这一节，我们讨论一类最简单的变分问题，即无约束条件、 端点时间固定，只有一个自变量函数的拉格郎问题。通过这个问 题来引出欧拉方程和横截条件。 求解变分问题，就是要把使泛函达到极值的那个自变量函数 找出来，这就需要利用欧拉方程和横截条件。因此，欧拉方程和 横截条件是求解变分问题的基础。 在推导欧拉方程和横截条件时要使用一个定理，这个定理叫 作变分法的基本颈备定理。 本节首先介绍基本预备定理，接着推导欧拉方程，然后讨论 横截条件，最后讨论泛函取极值的充分条件。
2. 欧拉方程 现在，我们来推导欧拉方程和相应的横截条件。首先讨论固定 端点问题，然后讨论未定端点问题。 考虑最简单的泛函
(1· 2—3) L 的极值。其中x(t ) 是 t 二次可微函数； [ x(t ), x(t ), t ]，是变量 x, x和 t 连函函数，并且有连续二阶偏导数，端点时间 t 0 和 t f 固定。 首先研究容许函数（或曲线）端点固定的情况，即规定 x(t 0 ) x0 和 x(t f ) x f 。图1—4示出了一族容许函数。现在的 的问题是要从这一族容许函数(或曲线)中找出使泛函J取极值的函数(或 曲线)，即极值函数或极值曲线。
tf
(2)马耶耳问题 马耶尔问题的泛函表示为 J 1[ x(t f ),t f ] 2 [ x(t 0 ),t 0 ] 绪论中基于性能指标（0—9）的最短时间控制问题和基于性能指标 （0—15）的最优推力方向角选择问题就是马耶耳问题的一个特例。 t (3)波尔扎问题 波尔扎问题的性能泛函是 J 1 [ x(t f ), t f ] 2 [ x(t 0 ), t 0 ] L[ x(t ), u (t ), t ]dt

变分法求解最优控制

控制的最优化性能指标：
J (u(t )) (t f , x(t f )) F (t, x(t ), u(t ))dt
t0 tf
性能指标J(u(t))在数学上称为泛函，在控 制系统中称为损失函数。
变分法基本概念
1.泛函
设S 为一函数集合，若对于每一个函数 x(t)∈S有一个实数J 与之对应，则称J 是 定义在S 上的泛函，记作J (x(t))。S 称为 J 的容许函数集。
t0
tf
再令 J 1 0 ，由 便得：
dt f ,x(t f ),x,u, 的任意性，
(i) x * , * 必满足正则方程： 1.状态方程
x H f (t, x, u)
2.协态方程
H x
* *
(ii)哈密顿函数 H (t, x , u, ) 作为u的函数，也 必须满足
定义一个标量函数：
H (t, x, u, ) F (t, x, u) T (t ) f (t, x, u)
称为哈密顿函数。所以新的性 能指标为
J 1 ( x, u, ) (t f , x(t f )) [ H (t, x, u, ) T x]dt
t0 tf
t0 tf
d (dt fy) [t f fF xt ,yxdx , t ) t t f F'( ) y ) ( (, ) , u dy a (
T
b( y )
] [x(t f )] x (t f )
T
T tf
[(x) H x (u) H u ( ) H ( ) x]dt (t f )x t t f (x)T dt t0 f y ( x, y)dx f [b( y), y)]b' ( y) f [a( y), y)]at'0( y)

最优控制变分法


AB



x2 x1
1 y ' 2 dx
通过A，B两点的函数若为 y f (x) ，则不同的函数有不同的 弧长，即弧长是 y 的函数，记为 J ( y ) ，即
x2 1 y 2 dx J ( y ) AB x1

因此，求弧长的定积分是一种变换，它把x1与x2之间各点相应 的y变换为标量（弧长）。由此例可以看出定积分为泛函。 以下是各章经常要用到下列形式的目标函数
以下计算第二个积分，实际上是估计余项。 按泛函求极值的
ˆ 与 y 的一级距离应落入ε邻区内（由于本节的泛函 定义， y
只对 y 与 y’提出要求，故只用到一级距离），即令
ˆ y| d 0 max | y
x [ x 0 , x1 ]
ˆ ' y ' | d 1 max | y
x [ x 0 , x1 ]
第一章

变分法
1.1 泛函 1.2变分的推演 1.3Euler方程 1.4向量情形 1.5有约束的情形 1.6端点可变情形 1.7变分的另一种定义
1.1 泛函
（1）定义（泛函）
泛函是一映射L : J K , J Y , Y为一向量空间， K 一般为实数 域R或复数域C。 这说明泛函是一种变换，它把向量空间Y中某一子集J 映射为 K的某个子集。 例：曲线的弧长 在xy平面上过A（x1 ,y1）,B(x2,y2)两点之间的曲线弧长公式为
| [ ( Fy Fy ) ' (F y ' Fy ' )]dx | | |dx
x0 x0
x1
x1
[| (Fy Fy ) | | ' ( F y ' Fy ' ) |]dx

变分法与最优控制


t
一阶相近
当函数x(t)与 x0(t)之差的绝对值以及它们的一 阶导数 x(t ) 和 x0 (t ) 之差的绝对值，即
x(t ) x0 (t ) 和 x(t ) x0 (t )
x x(t) x0(t)
t1 t t2
都很小，称函数x(t)与函数x0(t)是一阶相近的。
求解综合型（波尔扎）问题
2.2 无约束最优化问题
1、无约束固定端点泛函极值必要条件
问题 2-1 无约束固定终端泛函极值问题为:
其中, L[ x(t ), x(t ), t ] 及x(t)在[t0,tf]上连续可微， t0及tf 固定，x(t0)= x0，x(tf)= xf， x(t ) R n
求满足上式的极值轨线x*(t)。
边界条件
定理2－5 若给定曲线x(t)的始端x(t0)= x0和终端x(tf)= xf， 则泛函
J [ x(t )] L[ x(t ), x(t ), t ]dt
t0 tf
达到极值的必要条件是，曲线x(t)满足欧拉方程
欧拉(Euler)方程
d Lx L x 0 或 dt
泛函的变分 当宗量x(t)有变分时，泛函的增量可以表示为
J [ x(t )] J [ x(t ) x(t )] J [ x(t )] L[ x(t ),x(t )] r[ x(t ),x(t )]
线性 主部
其中，L[x(t)，x(t)]是关于x(t)的线性连续泛函；
虑各种阻力的影响，问应取怎样 的路径，才能使所经历的时间最 短？
结论:最速降线是一条圆滚线。
在A、B两点所在的竖直 平面内选择一坐标系， 如上图所示。 A 点为坐 标原点，水平线为 x 轴， 铅垂线为y轴。

高等教育《最优控制理论》课件 第四章


f
t0
& { F [ x ( t ), ω ( t ), t ]
& & & & + λ T [ f ( x , ω , t ) − x ] + Γ T [ G ( x , ω , t ) − Z 2 ]} dt
令哈密而顿函数为
& & & H ( x , ω , λ , t ) = F ( x , ω , t ) + λT f ( x , ω , t )
拉格朗日纯量函数
& & & & & & & Φ ( x , x , ω , z , λ , Γ , t ) = H ( x , ω , λ , t ) − λT x + Γ T [G ( x , ω , t ) − Z 2 ]
则
t
J a = θ [ x ( t f ), t f ] + v M [ x ( t f ), t f ] +
M为q 维连续可微向量函数, q ≤ n 性能指标:
J = θ [ x ( t f ), t f ] +
∫
t
f
t0
F [ x ( t ), u ( t ), t ] dt
最优控制问题就是要寻找最优容许控制u(t)使J为极小
令
& ω (t ) = u (t ) ω (t 0 ) = 0
Z T (t ) = [ z1 (t ), z 2 (t ),L z m (t )] & 且 [ Z (t )]2 = G[ x(t ), u (t ), t ] Z (t0 ) = 0
M [ x ( t f ), t f ] = 0

4 最优控制-变分法


I D (t )
≤ I D max
tf 0
（5） ） （6） ）
性能指标
J =∫
dt = tf
最优控制问题为：在状态方程的约束下， 最优控制问题为：在状态方程的约束下，寻求最优控制 I D (t )≤ I D max ，将 x (t f ) 转移到 x (0) ，使J 为极小。 为极小。
最优控制问题的基本组成
泛函与变分法
一、泛函与变分 1、泛函的基本定义： 、泛函的基本定义： 变量J 如果对于某个函数集合{x(t )}中的每一个函数 x(t )，变量 都有一个 值与之对应，则称变量J 的泛函， 值与之对应，则称变量 为依赖于函数 x(t ) 的泛函，记作 J [x(t )] 可见，泛函为标量，可以理解为“函数的函数” 可见，泛函为标量，可以理解为“函数的函数” 例如： 例如：
0 0 & x1 0 1 x1 K 系统方程为 1 x = 0 0 x + m I D + TF J 2 J D &2 D x ( 0) 0 x1 (t f ) θ 初始状态 1 = x (0) 0 末值状态 = 2 x2 (t f ) 0
系统数学模型
& 系统状态方程为 x(t ) = f [ x(t ), u (t ), t ], t ∈ [t0 , t f ]
边界条件与目标集 容许控制 变化范围受限制的控制- 闭集 控制域 Ω 闭集- 控制域， 变化范围受限制的控制 -闭集 -控制域， ; 容许控制 u (t ) ∈ Ω 变化范围不受限制的控制- 开集 变化范围不受限制的控制 -开集 性能指标 性能泛函、 性能泛函、目标函数或代价函数
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(5)
这里的自变量是函数 x(t ) ，称为泛函的宗量。
21
第4章 最优控制与变分法 2. 宗量的变分
x(t )
泛函宗量的变分是指两函数之差， 即
x(t ) x(t ) x* (t )
x(t )
x(t)
(6)
0
x*(t)
这里 x(t )和 x* (t ) 是属于同一函数类 x(t ) 中两个不同的函数。
的容许函数中选择一个最优函数 x(t ) ，使泛函
J [ x(t ), x(t ), t ]dt
t0 tf
(4)
取极值。
18
第4章 最优控制与变分法
固定端点的变分问题 变量是标 量的情况 无约束变 分问题 变量是向 量的情况 自由端点的变分问题 变动端点的变分问题
19
第4章 最优控制与变分法 固定端点条件
零阶接近度：如果对于定义域的一切t有
x(t ) x* (t )
(8)
成立，其中 是一个很小的正数，则称函数 x(t ) 和
x* (t ) 具有零阶接近度。
一阶接近度：如果对于定义域的一切t有
（4-1）
（4-2a） （4-2b）
4
x1 (t f ) x1 f 0 终止条件：x (t f ) x2 (t f ) x2 f 0
xf
第4章 最优控制与变分法 控制约束： |u(t)|≤k （4-3）
(t f 待求)
性能指标： J dt t t f 0
t0
tf
（4-4）
问题归结为：在满足式（ 4-3）的控制集{u(t)}中， 寻找最优控制策略u*(t)，使系统(4-1)从初始状态
式（4-2a）转移到终止状态式（4-2b）且使过渡
时间最短，即使式（4-4）最小。 一个最优控制问题的数学描述有三个基本部分：
动态系统的数学模型、系统变量所受的约束（条
件）、系统的性能指标。
第4章 最优控制与变分法
第4章 最优控制与变分法
动态最优化问题习惯上又称为最优控制问题，这类 问题就是在给定的条件下，寻求使给定的系统性能指标 取得极值的最优控制规律。在动态最优控制中，系统的 性能指标是以泛函（在数学上，称自变量是函数的函数 为泛函）的形式给出的（这是其与静态最优化问题的区 别），所以求解动态最优化问题就归结为求泛函极值问 题。解动态最优化问题通常采用变分法、最小（大）值 原理和动态规划等方法。本章主要讨论用经典变分法求 解一些简单的最优控制问题，对于较复杂的最优控制问 题需采用现代变分法（如最小值原理）来处理。
5
第4章 最优控制与变分法
4.1.1 动态系统的数学模型
被控对象的运动规律的数学描述就是动态系统的数 学模型，它反映了动态系统在运动过程中所应遵循的物 理规律或化学规律。在最优控制中，常用一阶微分方程 组（即状态空间描述）来描述动态系统的运动规律。 一个n阶系统的状态方程为：
x = f ( x, u, t )
图1 宗量的变分
t
若 x(t ) 和 x* (t )是可微的，则宗量变分的导数为：
d d * * x ( t ) x ( t ) x ( t ) x ( t ) x (t ) x(t ) dt dt
(7)
22
第4章 最优控制与变分法 3. 宗量函数的接近度
6
第4章 最优控制与变分法
4.1.2 系统变量所受的约束（条件）
约束条件可以分为端点约束和过程约束两大类： 1、端点约束 设t0是起始时刻，tf 是终端时刻。在t = t0和t = tf 时，系统变量应满足的约束条件称为端点约束。 端点约束包括起点约束和终点约束。 2、过程约束 在整个控制作用时间段 [t0, tf ]上，系统变量需 满足的约束条件称为过程约束。针对状态变量的 过程约束称为状态约束，针对控制变量的过程约 束称为控制约束。 7
13
第4章 最优控制与变分法
二、最优控制问题的表述
一般最优控制问题可以描述为：对由x = f ( x, u, t )
所描述的系统，在给定的容许控制集合U中选择一
个容许控制u(t)，使得 x = f ( x, u, t ) 的解x(t)是满足
所有端点约束和状态约束的容许轨线，并使得与容 许对u(t)，x(t)相对应的性能指标取得极值。
J [ x(t ), x(t ), t ]dt
t0
20
第4章 最优控制与变分法
4.2.1 固定端点的变分问题
一、基础知识
1. 泛函的定义 设对自变量t，存在一类函数 x(t ) 。如果对于
每个函数 x(t ) ，有一个J值与之对应，则变量J称为
依赖于函数 x(t )的泛函，记作
J J [ x(t )]
条件；若对整个时间区间[t0, பைடு நூலகம்f ]都成立，那就是过
程约束。
8
第4章 最优控制与变分法 4、基本概念
(1)状态轨线：系统从初始状态转移到终点状态的过 程中，在状态空间留下的运动轨迹。 (2) 容许轨线：满足状态方程 (4-6) ，且满足所有端点 约束和状态约束的状态轨线x(t)称为容许轨线。 (3)容许控制：满足所有控制约束的控制向量 u(t)称为 容许控制，所有容许控制构成的集合称为容许控制集， 用U表示。 (4)容许对：如果容许控制 u(t)代入状态方程 (4-6)所得 到的解x(t)是一容许轨线，则称x(t)，u(t) 为一容许对。 显然，如果u*(t)为问题的最优控制解， x*(t)为对应的 最优轨线，则u*(t)和 x*(t)必定是一个容许对。 9
第4章 最优控制与变分法 3、约束条件的数学描述 一般约束条件可用如下的等式约束方程或
不等式约束方程来描述：
g ( x,u, t ) 0 h( x,u, t ) 0
（4-7） （4-8）
T
式中： g g1
g2
gg ; h h1
h2
hh
T
当式(4-7)，(4-8)对t = t0和t = tf 成立时，是端点
（4-6）
f1 ( x, u, t ) f ( x, u, t ) f ( x , u, t ) 2 f ( x , u , t ) n
其中：
x1 (t ) u1 (t ) x (t ) u (t ) x (t ) 2 , u(t ) 2 , x ( t ) u ( t ) n m
本节课的主要研究内容？
研究不同边界条件下的无约束条件变分问题。
17
第4章 最优控制与变分法 古典变分法研究的典型问题 无约束条件变分问题
在满足 约束条件
g[ x(t ), x(t ), t ] 0
(1) (2) (3)
和 边界条件
m[ x(t0 ), t0 ] 0
n[ x(t f ), t f ] 0
3
第4章 最优控制与变分法
解：设 x(t) 为 M 的质心距离地面的高度，由牛顿第
二定律直接得： x(t ) u(t ) g (t )
令：x1 x, x2 x ，问题的状态空间描述为
x1 0 1 x1 0 x 0 0 x 1 (u g ) 2 2 x1 (t0 ) x10 初始条件： x (t0 ) x2 (t0 ) x20 x0
第4章 最优控制与变分法 3. 波尔扎(Bolza)问题
tf tf
既强调系统端点要求, 又重视系统过程要求
J ( x, t ) t ( x, u, t )dt
0
t0
（4-11）
性能指标如式(4-11)所示的问题称为波尔扎问 题。这是个复合型性能指标，既考虑到系统的端 点性能的要求，又要求运动过程中有良好的性能， 代表了更普遍的最优控制问题。 注：式(4-9)、(4-10)是式(4-11)的特例,通过一些简 单的数学处理方法,三种性能指标可以相互转换。
标准就是性能指标，又称为目标函数。所谓的最
优控制，就是性能指标意义下的最优，即最优控
制就是使性能指标取得最大值或最小值。
10
第4章 最优控制与变分法
一、性能指标的三种形式
1. 迈耶(Mayer)问题
强调系统端点要 求
tf
0
J ( x, t) t
（4-9）
性能指标如式 (4-9) 所示的问题称为迈耶问题。 该类问题只关注始端和终端时刻的系统状态，而 不关心系统的运动过程，因此性能指标只是始端、 终端时刻和状态的一个函数。
J [ x(t ), x(t ), t ]dt
t0 tf
(4-15)
16
取极值。
第4章 最优控制与变分法
4.2
无约束条件的动态最优化问题
什么是无约束条件的动态最优化问题？
“ 无约束条件的动态最优化问题”就是指无形 如 g[ x(t ), x(t ), t ] 0 的约束条件的最优控制问题。
起始时刻t0、终止时刻tf 、起始状态 x(t0 ) 和终止状 态 x(t f )都是固定的，故固定边界条件记为：
x(t0 ) x0 x(t f ) x f
固定端点的变分问题
在满足固定端点条件
x(t0 ) x0
tf
x(t f ) x f
的容许函数中选择一个最优函数 x* (t ) ，使积分型泛函： 取得极值。
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第4章 最优控制与变分法 三、变分问题
在最优控制问题中，由于性能指标是以泛函的形式 给出的，所以求解最优控制问题就归结为求泛函极值问 题。而变分法是研究泛函极值的一种经典方法，一些简 单的(如无约束条件或带有等式约束 )的最优控制问题往 往可以归结为用变分法求泛函极值问题，即变分问题。 注：最优控制问题从控制角度处理问题，在叙述中突 出了控制函数的作用，而且把状态变量及其所遵循的 运动方程作为最优控制问题必不可少的内容。而变分 问题作为数学问题，脱离了问题原来的物理含义，叙 述中没有控制变量与状态变量的区分，因此把最优控 制问题中的运动方程看成是泛函自变量的一个约束。