下载文档原格式
应用变分法求解最优控制问题()t x x =()[]t J J x =泛函的变分dt xdt 定理10-1返回例2：求泛函的变分tfδJ =∂ J [x + εδx] |ε =0 ∂ε& J = ∫ L[x (t ), x (t ), t ]dtt0解：δJ = ∂ ∂ε=∫tf t0& & ∫ L[x + εδx, x(t ) + εδx, t ]dt |εtf t0=0前页∂ & & L[x + εδx, x(t ) + εδx, t ]dt |ε =0 ∂ε返回t f ⎡ ∂L ∂L ⎤ & = ∫ ⎢ δx + δx ⎥ dt t0 & ∂x ⎦ ⎣ ∂x泛函的极值设 J [x(t)]：Rn→R 是线性赋范空间 Rn 上的连 续泛函，对于与x0(t) 接近的宗量x(t) ，泛函J [x(t)] 的增量：ΔJ = J [x(t )] − J [x 0 (t )] ≥ 0或者ΔJ = J [x(t )] − J [x 0 (t )] ≤ 0则称泛函 J [x(t)]在x0(t)处达到极小值（或极大值）11泛函极值的必要条件定理10-2 定理10-2设 J [x(t)]：Rn→R 是线性赋范空间 Rn 上的 连续可微泛函，且在x0(t)处达到极值，则泛函J [x(t)]在x0(t)处的变分为零：返回δJ [x 0 , δx] = 0返回变分预备定理设g(t) 是[t0, tf]上连续的n 维向量函数，h(t)是 任意的n 维连续向量函数，且 h(t0) = h(tf) = 0。
若满足：∫tft0g T (t )h(t )dt = 0∀t ∈ t0 , t f则必有： g (t ) ≡ 0[]12二、欧拉方程、横截条件 二、欧拉方程、横截条件返回1，无等式约束泛函极值的必要条件2，有等式约束泛函极值的必要条件返回最速降线问题确立一条连结定点A和B的 曲线，使质点m 在重力作用下 从A 滑动到B 所需的时间最短 (忽略摩擦和阻力)。
变分法及其应用1．变分问题2．泛函与泛函的极值3．变分基本定理4．无约束泛函的极值问题5．带约束泛函的极值问题6．变分法在最优控制中的应用1. 变分问题变分法是17世纪末开始发展起来的一个数学分支。
微积分研究了函数的极值。
变分法是为了研究泛函的极值问题而产生的。
而泛函的极值问题在力学、最优控制等领域经常遇到。
为了解变分法所研究问题的特点，先介绍几个例子。
例 1.1（最速降线问题）。
设一质量为m 的质点，在重力作用下，从定点A 沿曲线下滑到定点B ，试确定一条曲线，使质点下滑的时间最短。
假定（1）A ，B 两点不在同一铅直线上，（2）质点在A 点处的初速为0v ，（3）不计曲线上的摩擦力和周围介质的阻力。
取坐标系xOy ，A 点的坐标为00(,)x y ， B 点的坐标为11(,)x y ，过A ，B 两点任取一条 光滑曲线l ，设其方程为01:(),l y y x x x x =≤≤。
若质点从点A 沿曲线l 下滑到任意一点(,)P x y 处的速率为v ，由能量守恒定律可得22001()()2m v v mg y y -=-， 其中g 为重力加速度。
记 图1.1 最速降线2002v y gα=-， 则v =若s 表示弧AP 的长度，由微分学知识，dsv dt=，并且ds =，则ds dt v ==。
沿曲线l 从A 点下滑到B 点所需时间为1xTldsT dtv===⎰⎰⎰。
（1.1）对于过A，B两点的每一条光滑曲线l，由积分（1.1）都有唯一确定的T值与之对应，即T是依赖于曲线()y y x=的，不妨记[]T T y=。
如果记集合1010011{()|()[,],(),()}D y x y x C x x y x y y x y=∈==，则最速降线问题归结为在集合D上求泛函[]T T y=的极小值问题，即求()y x D∈，使得1minxx=⎰。
这个问题由约翰.贝努利（Johann Bernoulli）1696年提出并研究。
