中考数学试卷

中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．﹣5的绝对值为（）A ．﹣5 B．5 C．﹣D．2．当x=1时，代数式4﹣3x的值是（）A ．1 B．2 C．3 D．43．4的算术平方根是（）A ．±2 B．2 C．﹣2 D．4．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（）A ．6cm B．9cm C．12cm D．18cm5．已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是（）A ．9 B．3 C．D．6．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）A ．10 B．7 C．5 D．47．一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（）A ．B．C．D．8．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是（）A ．4 B．2C．8 D．49．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A.CD+DF=4B.CD﹣DF=2﹣3C.BC+AB=2+4D.BC﹣AB=210．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=（x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y=（x＞0，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，交于x轴于点B，连结AB，AA′，A′C′．若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于（）A ．8 B．10 C．3D．4二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．计算：23×（）2=．12．放学后，小明骑车回家，他经过的路程s（千米）与所用时间t（分钟）的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是千米/分钟．13．在“争创美丽校园，争做文明学生”示范校评比活动中，10位评委给某校的评分情况下表所示：80 85 90 95评分（分）1 2 5 2评委人数则这10位评委评分的平均数是分．14．如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于．15．如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM 恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和．16．已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…．若A1C1=2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是．三、解答题（本题有8个小题，共66分）17．计算：．18．解不等式组．19．已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=﹣2时，y=﹣4，求这个一次函数的解析式．20．如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE．（1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；（2）求证：ED是⊙O的切线．21．为了深化课程改革，某校积极开展本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“科学实验”、“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团．为此，随机调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）：选择意向所占百分比文学鉴赏a科学实验35%音乐舞蹈b10%手工编织其他 c根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）求本次调查的学生总人数及a，b，c的值；（2）将条形统计图补充完整；（3）若该校共有1200名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的学生人数．22．某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．23．问题背景已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），边结DE交AC于点F，点H是线段AF上一点．（1）初步尝试如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等．求证：HF=AH+CF．小五同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证DH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立；思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立．请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）；（2）类比探究如图2，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，且D，E的运动速度之比是：1，求的值；（3）延伸拓展如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D，E运动速度相等，试用含m的代数式表示（直接写出结果，不必写解答过程）．24．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣．①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB屯∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．参考答案一．选择题(每小题3分)1．B解析：∵－5<0，|－5|＝－(－5)＝5．故选B．点评：本题考查了实数绝对值的计算，解题的关键掌握绝对值的概念．2．A解析：当x＝1时，4－3x＝4－3×1＝1．故选A．点评：本题考查了代数式的计算，解题的关键把数正确代入代数式．3．B＝．解析：由题意，42点评：本题考查了算术平方根的概念 解题的关键分清算术平方根和平方根的区别． 4．C解析：圆锥侧面展开图是扇形，它的弧长＝2401824180π⨯=π，弧长又等于底面圆的周长，于是242r π=π⨯，于是r ＝12，故本题选C ．点评：本题考查了圆锥侧面展开图的有关计算，解题的关键弄清楚圆锥的侧面展开图是扇形，它的弧长等于底面圆的周长． 5．D 解析：由于一组数据的标准差就是方差的算术平方根，于是这组数据的标准差就是3的算术平方根，即为3 ，故本题选D ．点评：本题考查了本题考查了数据的方差和标准差，解题的关键理解方差和标准差的概念． 6．C解析：过点E 作EK ⊥BC 于点K ，∵BE 平分∠ABC ，CD ⊥AB ，所以EK ＝ED ＝2，所以△BCE 的面积＝115222BC EK ⨯⨯=⨯⨯＝5．故选C ． EDCBA K点评：本题考查了本题考查了三角形面积的计算，解题的关键构造要求的三角形面积的三角形的高．7．D解析：用树状图表示如下：白球2白球1黑球白球2白球1黑球第二次黑球白球1白球2白球2白球1黑球第一次开始一共有9种等可能事件，其中两次都是黑球的情形有一种，于是两次摸到的球都是黑球的概率是：19， 故本题选D ． 点评：本题考查了本题考查了二步事件的概率，解题的关键如何求出所有等可能的事件． 8．C解析：如图，连接OC ，∵AB 是小圆的切线，∴OC ⊥AB ， ∴∠ACO ＝90°，∴AB ＝2AC ，在Rt △AOC 中，1tan 2OCOAB AC∠==，∵OD ＝OC ＝2，∴AC ＝2OC ＝4，于是AB ＝2AC ＝8，故本题选C ．BCAOD点评：本题考查了与圆有关的线段长度的计算，解题的关键构造过切点的半径． 9．A解析：由折叠可知：DG ＝OG ，OF ＝DF过点O 作BC 的垂线交BC 于点E ，交AD 于点I ，∵∠ODG ＝90°，∴∠OGE ＋∠DGC ＝∠DGC ＋∠GDC ＝90°，∴∠EGO ＝∠CDG ，∴△GOE ≌△DGC ，∴CG ＝OE ＝1，EG ＝CD ，设CD ＝EG ＝m ，则BC ＝BE ＋CG ＋EG ＝m ＋2，∵⊙O 是直角三角形ABC 的内切圆，∴AC ＝AB ＋BC －2BE ＝m ＋m ＋2－2＝2m ，所以AC ＝2AB ，∴∠ACB ＝30°，BC ＝3AB ，即m ＋2＝3m ∴m ＝23131=+-．则BC ＝AD ＝m ＋2＝3＋3 设DF ＝OF ＝x ，则IF ＝AD －AI －x ＝3＋3－1－x ＝3＋2－x ，OI ＝EI －OE ＝3＋1－1＝3在直角△OIF 中，222OI IF OF +=，∴222(3)(32)x x ++-=，解得x ＝43- ∴CD ＋DF ＝3＋1＋4－3＝5，所以A 是错的，CD ＋DF ＝3＋1－4＋3＝23－3，于是B 是正确的，BC ＋AB ＝3＋3＋3＋1＝23＋4，所以C 是正确的，BC －AB ＝3＋3－3－1＝2，所以D 也是正确，于是本题选A ．点评：本题考查了矩形的折叠问题，解题的关键运用等腰直角三角形构造三等角的基本图形，运用直角三角形内圆的性质． 10．B解析：解过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，设OE ＝m ，则AE ＝1m ，设OB ＝n ，则CB ＝2k n，∵AE ∥CB ，∴AE CB OE OB =，∴21k m n m n=，∴n mk =，∵12ACB S BC BE D =?，∴6＝21()2k m n n ⨯+，代入n mk =，得12(1)k k =+，解得14k =-（舍去），23k =，∴n ＝3m 过点A ’作A ’M ⊥CC ’于点 M ，则所求面积＝''ACM A C M S S ∆∆+＝11''22CM AM A M C M ⨯+⨯ ＝191191()(3)()(3)82102323m m m m m m m m+++--=+=，于是本题选B ．xyM E B C'CA'O A点评：本题考查了本题考查了与反比例函数有关的图形面积的计算，解题的关键如何割补这个由线段AC 、CC '，C A ''，A A '所围成的图形的面积． 二、填空题(本题有6小题) 11．2解析：原式＝2×2×2×12×12＝2．点评：本题考查了幂的乘方，解题的关键运用乘方公式进行计算． 12．0.2解析：从图上看出小明骑车的走了2千米，用了10分钟，于是它的速度为：210＝0.2（千米/分钟）． 点评：本题考查了本题考查了正比例函数图形的性质，解题的关键看懂直角坐标系的两坐标轴表示什么量． 13．89 解析：8018529059528910⨯+⨯+⨯+⨯=点评：本题考查了本题考查了加权平均数的计算，解题的关键正确处理权在计算中的作用． 14．23π 解析：∵AOB ＝180°，∠COD ＝120°，∴∠AOC ＋∠BOD ＝180°－120°＝60°，根据扇形的面积公式2222360360BODAOC BOD S ∠π⨯∠π⨯+=+扇形A O C 扇形S ＝()46023603603AOC BOD ∠+∠π⨯π⨯==π点评：本题考查了本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是正确运用扇形的面积公式．15．答案不唯一，如：2323y x x =-+和2323y x x =+．解析：连接AB 则AB 过原点O ，∵四边形AMBN 是矩形，∴OA ＝OM ，∵抛物线是轴对称图形，∴AO ＝AM ，∴△AOM 是等边三角形，∠AOM ＝60°，设OM ＝2， 则OH ＝HM ＝1，∴AH ＝OH tan 60⨯︒＝3，∴A (1，3)，设C 1的解析式为(2)y ax x =- ，代入A 点的坐标，31(12)a =⨯⨯-，解得a ＝－3 ，∴C 1的解析式为：23(2)323y x x x x =--=-+，由于C 2与C 1关于原点中心对称，∴B 的坐标为（－1，－3），则C 1的解析式为：223(1)3323y x x x =+-=+．xyC 1C 2HM ABNO点评：本题考查了二次函数的有关综合计算，解题的关键把矩形的性质转换为抛物线的重要线段之间的关系．16．8732(或写成6561128)解析：设直线AD 1与A 1C 1相交于M ， ∵A 1C 1＝2，A 1D 2∥AD 1，∴1121121A M A D D M AD ==，A 1D 1＝2－1＝1，∴A 1M ＝23，∴11221323A M A D ==，由于A 2D 3∥A 1D 1，A 2D 2∥A 1M ，∴△12A MD ∽△223A D D ， ∴231221213A D A M A D A D ==，∴2323123A D A D +=，∴233A D =，同理可求得3492A D =，45274A D =，由以上计算可知从第三个正方形开始，后一个正方形的边长都前一个正方形边长的32倍，也就是第3个正方形的边长是322⨯，第4个正方形的边长是232()2⨯，第5个正方形的边长是332()2⨯，，第10个正方形的边长应该是832()2⨯＝8732. MD 4A 3C 4A 2C 3D 3C 2D 2A 1A D 1B C 1点评：本题考查了图形规律的探究，解题的关键从算出来的正方形边长中找出规律．三、解答题(本题8小题)17．解析：先做同分母的相加减，然后再将分子因式分解约分．解：原式＝22()()a b a b a b a b a b a b-+-==+--． 点评：本题考查了同分母的分式相加减，解题的关键是运用同分母的分式相加减的法则．18．解析：先解出每个不等式的解集，然后再同大取大，同小取小，大于小数小于大数取中间，大于大数小于小数无解的方法求其公共解．解解：24, 21 1. x x -<⎧⎨->⎩①②解不等式①，得x ＜6，解不等式②，得x ＞1，所以原不等式组的解是1＜x ＜6．点评：本题考查了解不等式组，解题的关键是正确求出不等式的公共解．19．解析：先设一次函数的解析，然后把两对对应的自变量和函数值代入解析式，得到一个二元一次方程组，解这个方程组，求出对应的系数，最后确定一次函数的解析式．解：设一次函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将x ＝3，y ＝1和x ＝－2，y ＝－4分别代入y ＝kx ＋b ，得31,24,k b k b +=⎧⎨-+=-⎩ 解这个方程组，得1,2.k b =⎧⎨=-⎩∴所求一次函数的解析式为y ＝x －2．点评：本题考查了一次函数解析式的待定系数法 解题的关键是把两对对应的自变量和函数值代入解析式时代入正确．20．解析：（1）要求AC 的长，根据图形的性质，设法证CD 垂直平分AB ，碰到直径，一般需要通过连接线段构成90°的圆周角．（2）要证DE 是圆的切线，而点D 在圆上，于是设法证DE ⊥OD ，也就是证∠ODE ＝90°即可．解(1)解 连结CD ，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC ＝90°，即CD ⊥AB ，∵AD ＝DB ，∴AC ＝BC ＝2OC ＝10．(2)证明 连结OD ．∵∠ADC ＝90°，E 为AC 的中点，∴DE ＝EC ＝12AC ， ∴∠1＝∠2，∵OD ＝OC ，∴∠3＝∠4，∵AC 切⊙O 于点C ，∴AC ⊥OC ，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，即DE ⊥OD ，∴DE 是⊙O 的切线． B C AEDO1234点评：本题考查了与圆有关的线段长度的计算及切线的证明，解题的关键是过切点作半径，以及证明过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线．21．解析：（1）要求样本容量，得从图表中批出某一社团的人数及对应的百分率，从表中可知科学实验的人数的百分率为35%，而从条形中的得出这个社团的人数为70，从此可求出样本容量；有人样本容量，知道社团的人数可求出对应社团的百分率，这样就可求出b ，c ，再根据所有社团的百分率为1，求出a ．（2）根据社团的百分率和样本容量，就分别求出文学鉴赏和手工编织的人数，然后根据求出的人数补全条形图．（3）用样本的百分率去估算总体的百分率．解：(1)本次调查的学生总人数：70÷35%＝200(人)，b ＝40÷200＝20%，c ＝10÷200＝5%，a ＝1－(35%＋20%＋10%＋5%)＝30%．(2)补全的条形统计图如图所示．某校被调查学生选择社团意向条形统计图人数(人)社团其它手工编织音乐舞蹈科学实验文学鉴赏104070704010206060200(3)全校选择“科学实验”社团的学生人数约为1200×35%＝420(人)．点评：本题考查了数据的收集与整理，解题的关键是读懂表格和条形图．22．解析：对题目中的信息进行如下处理：（1）原题信息 整理后的信息 一 计划规定时间内生产24000个设每天生产x 个，则 规定时间：2400x 二 实际生产24000＋300＝27000个实际每天多生产30个，生产时间为240030x + 三 规定时间与实际生产的时间相同2400x ＝240030x + （2） 原题信息 整理后的信息 一 设原有y 个工人个工人每天生产24000240010y y =个 二 每台机器比20个工人原计划生产的零件总数还多20%5每台机器生产 2400520(120%)y ⨯+⨯个零件 三 提前两天完成工作 实际生产（2400x－2）天 2400[520(120%)2400]y⨯+⨯+⨯（2400x －2）＝24000 解：(1)设原计划每天生产零件x 个，由题意得240002400030030x x +=+. 解得x ＝2400，经检验，x ＝2400是原方程的根，且符合题意．∴规定的天数为24000÷2400＝10(天)．答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天．(2)原计划安排的工人人数为y 人，由题意得2400[520(120%)2400](102)24000y⨯⨯+⨯+⨯-=， 解得y ＝480．经检验，y ＝480是原方程的根，且符合题意．答：原计划安排的工人人数为480人．点评：本题考查了分式方程的应用，解题的关键列出分式方程．23．解析：（1）本题考查的是三条线段的和差问题，证这类问题通常有两种办法，第一种方法：在较长的线段上截取一段等于另一条线段，再证剩下的线段与第三条线段相等，于是我们得到证明的方法一；第二种方法我们在较小的一条线段上补一条较短的线段，这样把两条较短的线段加在一起，再证这两条线段的和等于较长的线段．由于图形的特殊性，作辅助线时，我们也可以用另一种形式来表示，即原来的图形是什么特殊的图形，我们有时就会构造什么样的特殊图形，本题中可以构造等边三角形．（2）类比（1）的思路，我们构造30°的直角三角形，即过D 点作DG ∥BC 交AC 于G ，同样证（1）中的两个三角形全等，从而求出AC 和HF 的比值．（3）类比（1）和（2）本题一样需要构造36°的等腰三角形，即过点即过D 点作DG ∥BC 交AC 于G ，但这小题里的两个三角形不是全等了，而是相似．解(1)证明 方法一(选择思路一)过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，如图1，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ADG ＝∠B ＝60°，∠A ＝60°，∴△ADG 是等边三角形，∴GD ＝AD ＝CE ，∵DH ⊥AC ，GH ＝AH ，∵DG ∥BC ，∴∠GDF ＝∠CEF ，∠DGF ＝∠ECF ，∴△GDF ≌△CEF ，∴GF ＝CF ，∴GH ＋GF ＝AH ＋CF ，即HF ＝AH ＋CF ．AB CEFGHM方法(选择思路二)：过点E 作EM ⊥AC ，交AC 的延长线于点M ，如图1，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠ACB ＝∠ECM ＝60°，∵DH ⊥AC ，EM ⊥AC ，∴∠AHD ＝∠CME ＝90°，∵AD ＝CE ，∴△ADH ≌△CEM ，∴AH ＝CM ，DH ＝EM ，又∵∠DHF ＝∠EMF ＝90°，∠DFH ＝∠EFM ，∴△DFH ≌△EFM ，∴HF ＝MF ＝CM ＋CF ＝AH ＋CF ．(2)解：过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，如图2，则∠ADG ＝∠B ＝90°，∵∠BAC ＝∠ADH ＝30°，∴∠HGD ＝∠HDG ＝60°，∴AH ＝GH ＝GD ，AD ＝3GD ，由题意可知，AD ＝3CE ，∴GD ＝CE ，∵DG ∥BC ，∴∠GDF ＝∠CEF ，∠DGF ＝∠ECF ，∴△GDF ≌△CEF ，∴GF ＝CF ，∴GH ＋GF ＝AH ＋CF ，即HF ＝AH ＋CF ．B C E FD HAG∴2AC HF=． (3)1AC m HF m+=． 【答案提示】如下图所示，过点D 作DM ∥BE 交AC 于点M ．由∠A ＝∠ADH ＝36°，AB ＝AC ，易得AH ＝HD ＝DM ，△MHD ∽△ADM ∽△ABC ， 所以MH MH MH MD MD BC m MD HD AH AM AD AB======， 所以MH ＝m ·MD ， 由DM ∥BE ，AD ＝EC ，得MF MD MD BC m FC EC AD AB ====， 所以MF ＝m ·FC ， 所以AC HF ＝()()HF AH FC HM MF AH HF HF HM MF+++++=+ ()()1()m AH HF AH HF m m AH HF m++++==+． E F DHC B AM点评：本题考查了如何证明线段的和差问题，解题的关键是如何“截长补短”．24．解析：(1)要求D 的坐标，得过D 作DF ⊥x 轴于点F ，利用三等角基本图形，也就是全等三角形，可求出D 点的坐标；（2）①要求函数的解析式，需要三个独立的条件，已知13a =-，经过原点，及D 点，通过解二元一次方程组即可求出．（2）②如果这样的P 存在，由于从C ，D 两点的坐标可以判定CD 与x 轴平行，如果∠POB ＝∠D ，则满足条件，这时可知OP ∥BD ，根据两直线的平行关系易求出OP 的解析式，解关于直线OP 和二次函数解析式组成的方程组即可求出P 点的坐标；考虑到直线OP 关于x 轴对称的直线，它与OB 之间的夹角也满足条件，这时我们可以利用对称性求出位于直线下方的直线，再通过解方程组来求另一个交点．(3)从（2）可知，满足条件的点要有四个，则抛物线与（2）中的直线OP 1和直线OP 2在y 轴的右侧相交，抛物线开口向下时，抛物线应该与y 轴的负半轴相交，开口向上时，需要两个条件同时满足，一是抛物线与y 轴交于正半轴，第二个条件是与直线OP 2得有两个交点． 解：(1)①过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，如图所示．∵∠DBF ＋∠ABO ＝90°，∠BAO ＋∠ABO ＝90°，∴∠DBF ＝∠BAO ，又∵∠AOB ＝∠BFD ＝90°，AB ＝BD ，∴△AOB ≌△BFD ，∴DF ＝BO ＝1，BF ＝AO ＝2，∴D 点坐标是(3，1)． 根据题意，得13a =-，c ＝0，且a ×32＋b ×3＋c ＝1， ∴b ＝43，∴该抛物线解析式为21433y x x =-+． 21H F G P P A B CD Oxy②∵C 、D 两点纵坐标都为1，∴CD ∥x 轴，∴∠BCD ＝∠ABO ，∴∠BAO 与∠BCD 互余，若要使得∠POB 与∠BCD 互余，则需满足∠POB ＝∠BAO ，设点P 的坐标为(x ，21433x x -+)， (Ⅰ)当点P 在x 轴上方时，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则tan ∠POB ＝tan ∠BAO ，即PG BO OG AO=，∴2141332x x x -+=，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝52， 21433x x -+＝54，∴点P 的坐标是(52，54)； (Ⅱ)当点P 在x 轴下方时，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，则PH BO OH AO=， ∴2141332x x x -=，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝112． ∴21433x x -+＝114-，∴点P 的坐标是(112，114-)． 综上所述，在抛物线上存在点P 1(52，54)，P 2(112，114-)，使得∠POB 与∠BCD 互余． (2)a 的取值范围是a ＜13-或4154a +>． 21H F G P P AB CD Oxy点评：本题考查了以二次函数为背景下的直线与抛物线相交，解题的关键是利用全等的知识求点的坐标，用含有参数的点的坐标，借助于相似形来解决问题．。