当前位置：文档之家 › 曲面与曲线分别关于点、平面的对称曲面和对称曲线

曲面与曲线分别关于点、平面的对称曲面和对称曲线

  • 格式：pdf
  • 大小：88.43 KB
  • 文档页数：3

曲面与曲线分别关于点 、平面的对 称 曲面和对称 曲线
冯爱 萍
（榆林学院数学与应用数 学系，榆林 ７１９０００）
摘 要 研 究 了三维 空间内点 、曲面和 曲线分别关于点 、平 面的对称 性问题 ，从 而给 出 了求 点、曲面和 曲线分别 关 于点、平 面 的对称点的坐标 、对称 曲面和 对称 曲线方程 的方法。 关键词 点 平 面 对称点 对称 曲面 对 称曲线 中 图法分类号 ０１８２．２； 文献 标识码 Ａ
１＝ 一 ＋ ２ｘ０，Ｙｌ＝ 一 Ｙ＋ ２ｙｏ， ｌ 一 ＋ ２ ，
将 ，Ｙ。，ｚ 代入 曲线 的方 程中 ，得 曲线 Ｌ 的方 程 为
ｒＦ（一 ＋２ ０，一Ｙ＋２ｙ０，一 ＋２ ）＝Ｏ， 【Ｇ（一 ＋２ ０，一Ｙ＋２ｙ０，一ｚ＋２ｚ０）＝Ｏ。
２ 点 、曲面和 曲线关于平面的对称性
一
将 ，，Ｙ，， ，代人 曲面 Ｓ，的方 程 中 ，可 得 曲面 Ｓ 的
方 程为
Ｆ （Ｂｚ＋Ｃｚ－ＡＺ）ｘ－２Ａ（Ｂｙ＋Ｃｚ＋Ｄ）
一
，
一
Ａ —
一
— Ｃ 。
直线 Ｐ，Ｐ 与平 面 ７ｒ的交点 Ｐ。的坐标 为
／ Ａ（ ｌ＋ ，，ｌ＋ ｌ＋Ｄ）
＼＾１ Ａ ＋ ＋ｃ ’
Ｂ（Ａｘｌ＋ ，，ｌ＋Ｃ ｌ＋Ｄ） Ａ ＋ ＋ｃ２ ’
７ｒ的法 向量 ＝｛Ａ， ，Ｃ｝可取 为直 线 Ｐ，Ｐ 的方 向 向 量 ，则 直线 Ｐ，Ｐ 的方程 为
定理 ４得 ，点 Ｐ，的坐标为
（墨：± 二 ：２ ＝ （ ± ± ２
一
Ａ ＋Ｂ ＋ Ｃ２

’
（ ：± ：二墨：２ 二 墨（ ± ± ２
，一
Ａ ＋Ｂ ＋ Ｃ
一 ’
（ ：±墨：二 ：２三二 （坐 ± ± ２
２００７年 ５月 ｌ１日收 到 作者简介 ：冯爱萍，女 （１９５５一 ），副教授 ，陕西省吴堡 县人 。
定 理 ４ 在 三维空 间 内 ，点 Ｐ。（ 。，Ｙ。，ｚ。）关 于平 面 仃：Ａ ＋ ＋ ＋Ｄ ＝０（Ａ ＋ ＋Ｇ２≠０）的对称
维普资讯
第 ７卷 第 】８期 ２００７年 ９月 １６７１－１８１９（２００７）１８－４７０１—０３
科 学 技 术 与 工 程
Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
维普资讯
Ｖｏ１．７ Ｎｏ．１８ Ｓｅｐ．２００７
⑥ ２００７ Ｓｅｉ．Ｔｅｃｈ．Ｅｎｇｎｇ．
４７０２
科 学 技 术 与 工 程
７卷
点 Ｐ２的坐标为
，（Ｂ ＋Ｃ 一Ａ ） ｌ一２Ａ（８ｙｌ＋ ｌ＋Ｄ）
＋ ＋ｃ２
’
（Ａ ＋Ｃ 一Ｂ ）ｙｌ一２Ｂ（Ａｘｌ＋ ｌ＋Ｄ）
Ａ ＋ ＋ｃ２
’
（Ａ ＋ 一ｃ２） ｌ一２Ｃ（Ａｘｌ＋８ｙｌ＋Ｄ）＼
Ａ ＋ ＋Ｃ
Ｊ。
证 明 由于直线 Ｐ，Ｐ２垂 直于 平面 ７ｒ，所 以平 面
＋Ｃ 一Ｂ ）Ｙ一２Ｂ（Ａｘ＋Ｃｚ＋Ｄ）
Ａ ＋ ＋ｃ２
’
：±墨：二 ２兰二 （ ±
Ａ ＋ Ｂ ＋ Ｃ２
±
１＝０。
定理 ６ 在三 维空 间 内 ，一 条 曲线 Ｆ（ ｘ，ｙ ，ｚ
Ｃ（Ａｘｌ＋ ，，ｌ＋ ｌ＋Ｄ）＼
Ｚ１一——
广 Ｊ。
又点 Ｐ，关 于平面 的对 称 点 Ｐ 也 是 点 Ｐ，关 于 点
文献 ［１］研究 了平面上点 、曲线分别关于点、直 线的对称性 问题 ，而空 间内关于坐标原点 、坐标面、 坐标轴的对称 已经有了较好的结论 ，但关于一般的 点 、平 面的对 称 性 的研 究 比较 少 ，笔 者 就 这 方 面 的 问题作 了探讨 和研究 ，推广 和改进 了 已有 的一 些 结 论 。
故点 Ｐ 的坐标为
（一 １＋２ ０，一Ｙ１＋２ｙ０，一 ｌ＋２Ｚｏ）ｏ
定理 ２ 在三维空间内，曲面 Ｓ。：Ｆ（ ，ｙ，ｚ）＝０
关 于 点 Ｐ０（ 。，Ｙｏ，ｚ。）的 对 称 曲 面 Ｓ 的 方 程 为
Ｆ（一戈＋２ ０，一Ｙ＋２ｙｏ，一ｚ＋２ｚ０）＝Ｏｏ
证 明 在曲面 Ｓ 上任 取 一 点 Ｐ。（ 。，Ｙ。，ｚ。），它
定理 １ 在三维空间内，一点 Ｐ。（ 。，Ｙ ，ｚ。）关于 点 Ｐ０（ 。，Ｙ。，ｇｏ）的对称点 Ｐ 的坐标为（一 。＋２ 。，
一 Ｙｌ＋２ｙ０，一ｚｌ＋２ｚ０）ｏ
证 明 由点关于 另一点 的对 称意 义知 ，点 Ｐ。是
线段 Ｐ。 之 中点 ，则有
，
Ｐ１Ｐ０＝ Ｐ０Ｐ２，
所以
Ｐ２＝一Ｐ１＋２Ｐ０，
关于一点 Ｐ０（ 。，Ｙｏ，Ｚｏ）的对称曲线 的方程为 ｆＦ（一 ＋２ ０，一Ｙ＋２ｙ０，一ｚ＋２ ）＝Ｏ， 【Ｇ（一 ＋２ ０，一Ｙ＋２ｙ０，一ｚ＋２ｚ０）＝０。
证明 在曲线 上任取一点 Ｐ。（ 。，Ｙｉ，ｚ。），它 关于点 的对称点 Ｐ：（ ，Ｙ，ｚ）在曲线 上 ，由定理 １，得
Ａ ＋Ｂ ＋ Ｃ２
定理 ５ 在三维空 间内，曲面 Ｓ，：Ｆ（ｘ，ｙ， ）＝０ 关 于平面 ７ｒ：Ａｘ＋ ＋Ｃｚ＋Ｄ＝Ｏ，（Ａ ＋Ｂ ＋Ｃ ≠Ｏ） 的对称 曲面 ｓ 的方程 为
墨：± ：二 ：２ 二 （ ± ±旦２
Ａ ＋Ｂ ＋ Ｃ
’
：± ：二墨：） 二 墨（丝 ± ±旦
Ｐ。的对 称点 ，则 由定理 １得 ，点 Ｐ，关 于平 面 ７ｒ的对
称点 Ｐ 的坐标 为
ｆ（ ＋Ｃ 一Ａ２） ｌ一２Ａ（Ｂｙｌ＋ Ｃｚｌ＋Ｄ）
＼
Ａ ＋ ＋Ｃ
’
（Ａ ＋Ｃ 一Ｂ２）ｙｌ一２Ｂ（Ａｘｌ＋Ｃｚｌ＋Ｄ）
Ａ ＋Ｂ ＋ Ｃ
’
（Ａ ＋ Ｃ２）ｚ１—２Ｃ（Ａ￣ｌ＋ａｙｌ＋Ｄ）
１ 点 、曲面和曲线关于点的对称性
关于点 Ｐ０的对称点 Ｐ （戈，ｙ，ｚ）在曲面 Ｊｓ 上 ，由定理 １，得
ｌ＝ 一 ＋ ２ｘｏ，Ｙｌ＝ 一Ｙ ＋２ｙｏ， ｌ＝ －Ｚ＋ ｏ。
将 。，Ｙ。，ｚ。代入曲面 ｓ。的方程 中，得 曲面 ｓ 的方 程 为
Ｆ（～ ＋２ ０，一Ｙ＋２ｙ０，～ ＋２ ）＝Ｏ。 定 理 ３ 在三维 空 间 内 ，一条 曲线

合集下载

常用曲线和曲面的方程及其性质

常用曲线和曲面的方程及其性质

常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。

它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。

本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。

一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。

一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。

直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。

斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。

2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。

标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。

一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。

圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。

3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。

标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。

一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。

椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。

当$a=b$时，椭圆变成了圆。

4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。

标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。

一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。

抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。

5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。

第3章曲面立体

第3章曲面立体

截交线上有一些能够确定截交线的大致形状和范围的特
殊点，如回转面转向轮廓线上的点，截交线在对称线上的顶 点，以及最左、最右、最前、最后、最高和最低点等。其他 点是一般点。求作曲面体截交线的投影时，通常应先求出截
交线上特殊点的投影，然后在特殊点较稀疏处按需要求出一 些一般点，最后将特殊点和一般点依次连接并判别可见性，
利用积聚投影求两圆柱的相贯线
三通管（两空心圆柱）的相贯线
3.6.2 用辅助平面法作相贯线
假想用一辅助平面截断相贯的两曲面体，则可同时 得到两曲面体的截交线，这两曲面体的截交线的交点，就 是辅助平面和两曲面体表面三个面的共有点，即相贯线上 的点。若用若干辅助平面截断两曲面体，就可得到相贯线 上的若干点，把这些点连接起来，就能求得相贯线。
第3章 曲线、曲面及曲面立体
3.1 曲线 3.2 曲面的形成和分类 3.3 回转体及其表面上的点 3.4 曲面立体的截交线 3.5 平面立体与曲面立体相交 3.6 曲面立体与曲面立体相交
由各种曲线、曲面和曲面体组成的建筑物
3.1 曲线
3.1.1 曲线的形成与分类
1. 曲线的形成 曲线可以看成是点的运动轨迹（图3.1a）， 也可以是两曲面或平面与曲面相交而形成（图3.1b）。
4 光滑且顺次地连接各点， 作出截交线，并且判别可见 性；
5 整理加深轮廓线。
39
3.4.3 球的截交线
平面切割球时，不论截平面的位置如何，截交线总是圆。 当截平面平行投影面时，截交线圆在该投影面上的投影 反映实形； 当截平面垂直于投影面时，截交线圆在该投影面上的投 影积聚成为一条长度等于截交线圆直径的直线； 当截平面倾斜于投影面时，截交线圆在该投影面上的投 影为椭圆。
螺距P
返回
二次曲线与二次曲面的对称性与性质

二次曲线与二次曲面的对称性与性质

二次曲线与二次曲面的对称性与性质二次曲线与二次曲面是在我们的日常生活中经常出现的数学概念。

它们具有许多独特的对称性与性质，本文将从几何的角度探讨二次曲线与二次曲面的对称性与性质。

一、二次曲线的对称性与性质二次曲线是平面上的曲线，具有与原点对称的特点。

根据方程类型的不同，二次曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三种。

1. 椭圆椭圆是一种闭合曲线，其对称轴与坐标轴平行，在 x 轴与 y 轴上分别有两个对称中心。

椭圆的长轴与短轴的长度有关系 a^2 + b^2 = c^2，其中 a 为长轴的长度，b 为短轴的长度，c 为焦点到中心的距离。

2. 双曲线双曲线是一种开放曲线，其对称轴与坐标轴平行，在 x 轴与 y 轴上各有两个对称中心。

双曲线的开口方向与长轴有关系 a^2 - b^2 = c^2，其中 a 为长轴的长度，b 为短轴的长度，c 为焦点到中心的距离。

3. 抛物线抛物线是一种开放曲线，其对称轴为过焦点的直线。

抛物线的开口方向与焦点的位置有关系，焦点在抛物线的上方，开口向下；焦点在抛物线的下方，开口向上。

二、二次曲面的对称性与性质二次曲面是三维空间中的曲面，也具有与原点对称的特点。

根据方程类型的不同，二次曲面可分为椭球、双曲面和抛物面三种。

1. 椭球椭球是一种闭合曲面，其主轴与坐标轴平行。

椭球的长轴与短轴的长度有关系 a^2 + b^2 + c^2 = r^2，其中 a、b 和 c 分别为三个轴的长度，r 为半径。

2. 双曲面双曲面是一种开放曲面，其主轴与坐标轴平行。

双曲面的形状与焦点的位置有关系，焦点在双曲面的内部，形成一个连续的曲面；焦点在双曲面的外部，形成两个分离的曲面。

3. 抛物面抛物面是一种开放曲面，其主轴与坐标轴垂直，通常呈现对称性。

抛物面的开口方向与焦点的位置有关系，焦点在抛物面上方，开口向下；焦点在抛物面下方，开口向上。

三、二次曲线与二次曲面的共同性质除了具有对称性外，二次曲线与二次曲面还具有许多共同的性质。

浅析曲线和曲面积分的奇偶对称性

浅析曲线和曲面积分的奇偶对称性


原 式 ＝ ｊ ＝ 』 ｚ ｄ ￣ ｄ ｙ ＝ Ｊ ｚ ｄ ｘ
仃
∑
ｆ ， （ ｘ ， ｙ ， ｚ ） ｄ ｙ ｄ ｚ ＝ ２ ｆ ｘ ， ｙ ， ｚ ） ｄ ｚ ．
Ｚｌ
定理 １ 、 ２ 、 ３ 、 ４ ， 相 应 的 还有 其 他 类 似 的结 论 ， 请 爱 好 者 思 考
四、 第二类曲面积分 的奇偶对称性
定 理 ４： 设 分 片 光 滑 的空 间 曲 面 ∑ 关 于 ｙ ｏ ｚ 面对称 ， ∑ 是
闭 曲面 的 外 侧 。
解： 这 是 第 二 类 曲面 积 分 。
曲 面在 ｙ ｏ ｚ 面 的前 半 部 分 ， ∑ ： ｘ ＝ ｘ （ ｙ ， ｚ ） １０ ＞ ， ￣ Ｖ ／ － ， ：
例３ ， 计算 ４ ｄ ｘ 出一 ｄ ｚ ｄ ｙ ＋ ｚ ｄ ｘ ． 其中∑为锥面
ｚ＝
∑
Ｊ ｘ ， ｙ ， ｚ ） ｄ ｓ ＝ ２ Ｊ ， （ ｘ ， ｙ ， ｚ ） ｄ ｓ ．
∑ｌ
、 ／
（ 记为 ∑ ） 与球 面 ｚ ＝ 、 ／ — ｌ －
（ 记为 ∑ ） 所围成的封 源自定理 １ ：设 分 段 光 滑 的 平 面 曲线 Ｌ关 于 Ｘ轴 对 称 ， Ｌ 。 是 其 在 上 半平 面 的部 分 。
（ １ ） 若 ， （ ｘ ， ｙ ） ｇ ｙ 的 奇 函 数 ， 则Ｊ ｘ ， ｙ ） ｄ ｓ ＝ ０ 。
例 １ ： 计 算 『 ｆ Ｊ 箭 。 其 中 Ｌ Ｉ ｘ ｌ ＋ Ｉ ｙ Ｉ ＝ １ 取 逆 时 针 方 向 。
』 Ｌ 莆 ＝ 』 ＋ ｆ Ｌ ｒ ， 由 于 Ｌ 关 于 ｘ 、 ｙ 轴 对 称 ， 且 两 被 积 函 数 是 ｘ 和 ｙ 的 偶 函 数 ， 故 』 Ｌ 箭 ＝ ０