昆明市高一上学期期末数学试卷D卷

2023-2024学年北京市延庆区高一（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A ＝（﹣2，0），集合B ＝[﹣1，2），则A ∪B ＝（ ）A ．[﹣1，0]B ．（﹣1，0）C ．（﹣2，2）D ．[﹣2，2]2．当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y ＝a x 与y ＝log a x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列函数中是奇函数且在（0，+∞）上单调递增的是（ ）A ．y ＝x 2B ．y =x 13C ．y ＝e xD ．y ＝|lnx | 4．向量a →=（2，1），b →=（1，x ），若a →⊥b →，则（ ）A ．x =12B ．x =−12C ．x ＝2D ．x ＝﹣25．a ＝（12）3，b ＝20.5，c ＝log 312的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．a ＜c ＜b D ．c ＜a ＜b6．已知函数f （x ）={log 2x(x ＞0)3x (x ≤0)，则f （14）的值是（ ） A ．2 B ．﹣2 C ．−12 D ．127．甲、乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字状示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（ ）A ．在这5天中，甲加工零件数的极差小于乙加工零件数的极差B ．在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同C ．在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数D ．在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差8．一个袋子中有大小和质地相同的4个球其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件S ＝“第一次摸到红球”，T ＝“第二次摸到红球”，R ＝“两次都摸到红球”，G ＝“两次都摸到绿球”，M ＝“两球颜色相同”，N ＝“两球颜色不同”，则下列说法错误的是（ ）A ．M =NB ．R 与G 互斥但不对立C ．R ∪G ＝MD ．S 与T 相互独立9．已知等边△ABC 的边长为6，D 在AC 上且AD ＝2DC ，E 为线段AB 上的动点，则|AE →+BD →|的取值范围为（ ）A ．[2√3，4]B ．[2√3，2√7]C ．[4，2√7]D ．[4，6]10．假设有机体生存时碳14的含量为m 0，那么有机体死亡x 年后体内碳14的含征少满足的关系为y ＝m 0a ˣ（其中m 0，a 都是非零实数）．若测得死亡5730年后的古生物样品，体内碳14的含量为0.5，又测得死亡11460年后这类古生物样品．体内碳14的含量为0.25．如果测得某古生物样品碳14的含量为0.3，推测此古生物的死亡时间为（取lg 2≈0.3，lg 3＝0.5）（ ）A ．10550年B ．7550年C ．8550年D ．9550年二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

高一上学期数学人教A 版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题为假命题的是( )A.若，则B.若，，则C.若，则D.若，，则2.已知函数( )A.是奇函数，且在上单调递增B.是奇函数，且在上单调递减C.是偶函数，且在上单调递增D.是偶函数，且在上单调递减3.已知集合，集合，若，则实数m 的取值范围是( )A. B.C. D.或4.“”是“幂函数在上是减函数”的一个( )条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要5.函数的图像经过点和点，则的单调递增区间是( )A. B.a b >a c b c+>+0a b >>0c d >>a d b c ->-0a b <<22a ab b >>a b >cd >ac bd>()2xf x =()f x (,)-∞+∞(,)-∞+∞(,)-∞+∞(,)-∞+∞{12}A x x =->{10}B x mx =+<|A B A = 103m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭113m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭{01}m m ≤≤1|03{m m -≤<01}m <≤1n =()()22333nnf x n n x-=-+⋅()0,+∞()()π2tan 02,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤<< ⎪⎝⎭A ⎛ ⎝π,4B ⎛- ⎝()f x ()πππ,π63k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ()πππ,π36k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ZC. D.6.某种药物需要2个小时才能全部注射进患者的血液中.在注射期间，血液中的药物含量以每小时的速度呈直线上升；注射结束后，血液中的药物含量每小时以的衰减率呈指数衰减.若该药物在病人血液中的含量保持在以上时才有疗效，则该药物对病人有疗效的时长大约为( )（参考数据：，，，）A.2小时B.3小时C.4小时D.5小时7.已知函数，若恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. B. C. D.8.设函数，若，则的最小值为( )二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列四个结论中，正确的结论是( )A.“所有平行四边形都是菱形”是全称量词命题B.已知集合A ，B 均为实数集R 的子集，且，则C.，有，则实数m 的取值范围是D.“”是“”的充分不必要条件10.已知函数，则( )A.函数的值域为B.点是函数的一个对称中心C.函数在区间上是减函数()ππππ,2623k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ()ππππ,2326k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 1000mg 20%1000mg 1.80.20.0552≈ 1.90.20.0470≈ 3.10.80.5007≈ 3.20.80.4897≈()cos 2sin 4f x x a x =+-()0f x ≤⎡-⎣[]5,5-[]5,4-[]4,4-()()ln ln f x x x a b x =-+()0f x ≥55a b +B A ⊆()A B =R R ðx ∀∈R 210x mx -+≥[]22-,13x <<04x ≤≤()cos sin f x x x =-()f x ⎡⎣π,04⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()f x π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.若函数在区间11.已知函数A.B.，且，恒有C.函数在上的取值范围为D.，恒有成立的充分不必要条件是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数是定义域为R ，图像恒过点，对于R 上任意，则关于x 的不等式的解集为______.13.已知函数的定义域为，则函数14.已知幂函数，则a 的取值范围是______________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.（13分）已知幂函数是奇函数.(1)求的解析式；(2)若不等式成立，求a 的取值范围.16.（15分）已知函数.(1)当时，求函数的零点；(2)若函数为偶函数，求a 的值；(3)当时，若关于x 的不等式在时恒成立，求的取值范围.17.（15分）已知函数（其中，）的最小正周期是，点()f x [,a a -()f x m =1m =-12,x x ∀∈R 12x x ≠()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦()f x [2,1)-31,53⎛⎤- ⎥⎝⎦x ∀∈R ()2(21)2f x f ax x -<-6a >()f x ()0,21x x <1>-()2112f x x +<-()f x ()1,3()g x =1 ()f x x ⎛= ⎝()()182f a f a -<-()()2133m f x m m x -=--()f x ()()11233m m a a a ---<-()()33x xf x a a -=⋅-∈R 1a =()f x ()f x 1a =()99140x xf x λ----≤()0,x ∈+∞λ()2tan()f x x ωϕ=+0ω>0πϕ<<2π是函数图象的一个对称中心.（1）求的解析式；（2）求的单调区间；（3）求函数在区间上的取值范围.18.（17分）已知函数.(1)求的定义域及单调区间.(2)求的最大值，并求出取得最大值时x 的值.(3)设函数，若不等式在上恒成立，求实数a 的取值范围.19.（17分）已知函数为奇函数，且（1）求的解析式与单调递减区间；（2）将函数得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.(π,0)P()f x ()f x ()f x ()f x π0,3⎛⎤⎥⎝⎦44()log (1)log (3)f x x x =++-()f x ()f x 4()log [(2)4]g x a x =++()()f x x ≤(0,3)x ∈()2()2sin 1(0,0 )2x f x x ωϕωϕωϕ+⎛⎫=++-><<π ⎪⎝⎭(f x ()f x (f x ()y g x =0,2x ⎡π⎤∈⎢⎥⎣⎦()22()30g x x +-=答案以及解析1.答案：D解析：对于A ：若，则，故选项A 正确；对于B ：若，，则，所以，故选项B 正确；对于C ：将两边同时乘以a 可得：，将两边同时乘以b 可得，所以，故选项C 正确；对于D ：取，，，，满足，，但，，不满足，故选项D 不正确；所以选项D 是假命题，故选：D.2.答案：A解析：函数，可得为奇函数，函数和上都单调递增，可得单调递增，故选A 3.答案：B解析：因为，所以或，解得或，即或.因为.当由可得4.答案：A解析：由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；若幂函数在上是减函数，则，解得或，故必要性不成立.因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件.故选：A.2()f x x -=()223()33n nf x n n x-=-+⋅2233130n n n n ⎧-+=⎨-<⎩a b >a c b c +>+0a b >>0c d >>d c ->-a d b c ->-0a b <<2a ab >0a b <<2ab b >22a ab b >>3a =1b =-2c =-3d =-a b >c d >6ac =-3bd =ac bd >()2xf x =-11()2222x xx xf x ---=-=-=12()2x xf x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭()f x 2xy =y =,)-∞+∞()f x |1|2x ->12x ->12x -<-3x >1x <-{3A x x =>∣1}x <-10x +<⇒<B ⊆≤B ⊆131n =(0,)+∞(0,)+∞1n =2n =1n =()223()33n nf x n n x -=-+⋅(0,)+∞5.答案：D解析：依题意，，且因为，得，因为，所以时，得，则.由，所以的单调递增区间是.故选D.7.答案：B解析：依题意，恒成立，即令，设，则恒成立，所以，解得，所以实数a 的取值范围是.故选：B 8.答案：D解析：因为，若，则对任意的，，则当时，，不合乎题意；若时，当时，，，此时，，不合乎题意；若，则当2tan ϕ=π2tan 4ωϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ϕ=π4ωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭0ϕ<<=ππtan 46ω⎛⎫+=⎪⎝⎭ππ()63k k +==-∈Z 42()k k ω=-∈Z 02ω<≤1k =2ω=π()2tan 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππππ2π()262k x k k -<+<+∈Z πππ()326k x k <<+∈Z ()f x ππππ,()2326k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ()2cos 2sin 412sin sin 4f x x a x x a x =+-=-+-22sin sin 30x a x =-+-≤22sin sin 30x a x -+≥[]sin 1,1t x =∈-()()22311g t t at t =-+-≤≤()0g t ≥()()222113021130a a ⎧⨯--⨯-+≥⎪⎨⨯-⨯+≥⎪⎩55a -≤≤[]5,5-()()()ln ln ln f x x x ab x x a b x =-+=--0a b +≤0x >0x a b -->01x <<()()ln 0f x x a b x =--<01a b <+<1a b x +<<0x a b -->ln 0x <()()ln 0f x x a b x =--<1a b +>时，，，此时，，不合乎题意.所以，，此时，，则，当时，，，此时，；当时，，，此时，.所以，对任意的，，合乎题意，由基本不等式可得时，即当故的最小值为9.答案：ACD解析：对于A ，因为命题中含有量词“所有”，故该命题为全称量词命题，故A 符合题意；对于B ，如图设全集，集合A ，集合B 如图所示，根据运算得，故B 不符合题意；对于C ，，有成立，则，解得，故C 符合题意；对于D ，满足的数一定满足，所以充分性满足，而满足的数不一定满足，所以必要性不满足，即“”是“”的充分不必要条件，故D 符合题意.故选：ACD.10.答案：ABD解析：因为.对于A 选项，函数的值域为，A 对；对于B 选项，，故点是函数的一个对称中心，B 对；，故函数在区间上不单调，C 错；1x a b <<+0x a b --<ln 0x >()()ln 0f x x a b x =--<1a b +=()()1ln f x x x =-()10f =01x <<10x -<ln 0x <()()1ln 0f x x x =->1x >10x ->ln 0x >()()1ln 0f x x x =->0x >()()1ln 0f x x x =-≥55a b +≥==1a b a b =+=a b ==55a b +U =R ()A B ≠R R ðx ∀∈R 210x mx -+≥240m ∆=-≤22m -≤≤13x <<04x ≤≤04x ≤≤13x <<13x <<04x ≤≤()πcos sin 4f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()f x ⎡⎣π004f ⎛⎫== ⎪⎝⎭ π,04⎛⎫⎪⎝⎭()f x x ≤≤ππ4x ≤-≤()f x π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦对于D 选项，由题意且函数在上为减函数，当时，，所以，，则ABD.11.答案：ABD解析：函数是奇函数，所以，解得，代入验证可知，所以，故A 正确；在R 上单调递增且，函数上单调递增，所以函数在R 上单调递增，则，且，恒有，故B 正确；因为在上单调递增，在上的取值范围为，故C 错误；若，恒有成立，则，则的解集为R ，当时，，解得时，要使得解集为R ，则有解得，综上，若，恒有成立，则，因此其成立的充分不必要条件可以是，故D 正确.故选ABD.12.答案：0a >()f x [],a a -a x a -≤≤ππ44a x a --≤-≤πππ,444a a ⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦ππππ,,4422a a ⎡⎤⎡⎤---⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦π4ππ420a a a ⎧--≥⎪⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎪⎩a <≤()f x m =+()f x 2(0)102f m m =+=+=1m =-()f x ()()f x f x =--1m =-()1221222()11121212121xx x x x f x ++-=-+=-+=-+-=+++21x=+1t >y =)+∞()f x 12,x x ∀∈R 12x x ≠()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦()f x [2,1)-(2)f -=(1)f =()f x [2,1)-31,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭x ∀∈R ()2(21)2f x f ax x -<-2212x ax x -<-2410ax x -+>0a =410x -+>x <0≠20,(4)40,a a >⎧⎨∆=--<⎩4a >x ∀∈R ()2(21)2f x f ax x -<-4a >6a >1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭解析：因为，即，即在上单调递增，又，所以.由，即.所以答案为：13.答案：解析：因为的定义域为，所以满足，又函数，所以函数，故答案为：14.答案：解析：由幂函数的定义域为，且是递减函数，因为，可得，解得，即实数a 的取值范围为.故答案为：.15.答案：(1)(2)解析：(1)因为是幂函数，所以，即，所以，解得或.当时，，此时，所以是奇函数，则符合题意；1x x <1>-⇒()()()1212f x f x x x -<--()()1122f x x f x x +<+()()g x f x x =+(),-∞+∞()02f =()()0002g f =+=()2112f x x +<-⇒()()21212f x x +++<()()210g x g +<210x +<⇒x <1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()5,6()f x ()1,3()3f x -13346x x <-<⇒<<()g x =505x ->⇒>()g x =()5,6()5,6(3,4)1101()f x x x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()f x (0,)+∞()()182f a f a -<-18210820a a a a ->-⎧⎪->⎨⎪->⎩34a <<(3,4)(3,4)()3f x x=()(),13,-∞+∞ ()f x 2331m m --=2340m m --=()()410m m -+=4m =1m =-4m =()3f x x =()()3f x x f x -=-=-()f x 4m =当时，，此时，所以是偶函数，则不符合题意.故.(2)由(1)可知，所以不等式，即不等式，因为为增函数，所以，即，所以，解得或，即a 的取值范围是.16.答案：(1)当时，函数的零点为0(2)(3)的取值范围是解析：(1)当时，，令，解得，所以当时，函数的零点为0.(2)因为函数为偶函数，所以，即，所以，又不恒为0，所以，即.(3)当时，，因为关于x 的不等式在时恒成立，所以又因为，当且仅当时等号成立，所以，即的取值范围是.1m =-()2f xx -=()()2f x x f x --==()f x 1m =-()3f x x =4m =()()11233m m a a a ---<-()()33233a a a -<-3y x =233a a a -<-2430a a -+>()()130a a -->3a >1a <()(),13,-∞+∞ 1a =()f x 1a =-λ(],8-∞1a =()33x xf x -=-()330x xf x -=-=0x =1a =()f x ()f x ()()f x f x -=3333x x x x a a --⋅-=⋅-()()1330x xa -+-=33x x --10a +=1a =-0x >()330x xf x -=->()99140x xf x λ----≤()0,x ∈+∞()233169914333333x xx xx x x x x xλ------+++≤==---1633833x x x x---+≥=-33x x--=)3log 2=+8λ≤λ(],8-∞17.答案：（1）（2）增区间是，，无减区间（3）解析：（1）由于的最小正周期为，，即，由于点是函数图象的一个对称中心，，则.由于，所以.（2）由，解得，，所以的增区间是，，无减区间.（3）因为，所以函数在区间上的取值范围为.18.答案：(1)的单调增区间为，单调减区间为(2)的最大值为1，此时x 的值为1(3)解析：(1)根据具体函数定义域的求解方法，根据题意可得解得所以函数的定义域为；1π()2tan 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2π2π,2π)k k -k ∈Z (,-∞-()f x 2π2π=ω=1()2tan 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(π,0)P ()f x ϕ+=∈Z π2k ϕ=∈Z 0πϕ<<ϕ=1π()2tan 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π1πππ222k x k -<+<∈Z 2π2π2πk x k -<<k ∈Z ()f x (2π2π,2π)k k -k ∈Z π0,3x ⎛∈ ⎝ππ2π,223x ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()f x π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦(,-∞-()f x ()1,1-()1,3()f x [)2,-+∞1030x x +>⎧⎨->⎩13x -<<()f x ()1,3-令，则函数在单调递增，在上单调递减又函数在定义域上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”的规则函数的单调增区间为，单调减区间为.(2)由(1)中所得单调性可知，时，取得最大值故的最大值为1，此时x 的值为1.(3)根据题意得，在上恒成立，在 上恒成立，即在上恒成立即在上恒成立，令，则，即a 的取值范围为.19.答案：（1），递减区间为，；解析：（1）由题意，的最小正周期为，即可得，又，，又，()()()()2444log 1log 3log 14f x x x x ⎡⎤=++-=--+⎣⎦()()214t x x =--+()t x ()1,1-()1,34log y t =()f x ()1,1-()1,31x =()f x ()()11max f x f ==()f x ()()0f x g x -≤()0,3x ∈1≤()0,3x ∈210x ax ++≤()0,3x ∈1a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭()0,3x ∈()1(03)h x x x x ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭()2max h x =-2a ∴≥-[)2,-+∞()2sin 2f x x =3,44k k ππ⎡⎤+π+π⎢⎥⎣⎦k ∈Z 2())2sin 12x f x x ωϕωϕ+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭)cos()2sin 6x x x ωϕωϕωϕπ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭ (f x ∴()f x T =π2ω=(f x k =πk ∈Z 0<()2sin 2f x x =函数的递减区间为，（2）将函数的图象，，得到函数的图象，又，则即令时，，画出的图象如图所示：，，关于，，，上有两个不同的根，，，又3222,2k x k k π≤≤+ππ+∈Z 3,4k x k k ππ≤≤+π∈Z ∴()f x 3,44k k ππ⎡⎤+π+π⎢⎥⎣⎦k ∈Z (f x 2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2sin 43y g x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭()22()30g x x +-=()g x =()g x =sin 43x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π43x ⎛⎫= ⎪⎝⎭π-4z x =0,2⎡π⎤∈⎢⎥⎣⎦54,333z x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦sin y z =sin z =12z z =12z z +=πsin z =3z =44π3z =55π3z =sin 43x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭0,2⎤⎥⎦π1x 2x 124433x x ππ-+-=π12x x ∴+=sin 43x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π所以方程在()22()30g x x +-=0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。

高一数学试题试卷总分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合A = {}52<≤x x = {}x x x 2873-≥-则B A C R ⋂)(等于（ ）A. ∅B.{}2<x xC. {}5≥x xD. {}52<≤x x 2．若lg 2,lg3a b ==，则3log 2＝（ ）A ．b a +B ．a b -C ．b aD ．ab 3．下列四组函数，表示同一函数的是（ ）A ．2)(x x f =,x x g =)( B ．x x f =)(，xx x g 2)(=C ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(=D ．x a a x f log )(=a (＞0)1,≠a ,33)(x x g = 4．下列函数中，在R 上单调递增的是（ ）．A ．y x =B ．2log y x =C ．3y x =D ．1()2x y =5.函数()2log (1)f x x =+的定义域为 （ ）． A ．[)1,3- B ．()1,3- C ．(1,3]- D ．[]1,3-6．函数),0()1()(3222+∞∈--=--x x m m x f m m 是幂函数，且在上是减函数，则实数（ ）（A ）2（B ）-1 （C ）4（D ）2或-17．设3.0log ,3.0,2223.0===c b a ，则 c b a ,,的大小关系是（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．b a c << D ．a c b <<8.设函数⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=),2(,log ]2,(,2)(2x x x x f x ，则满足4)(=x f 的x 的值是( )．A ．2B ．16C ．2或16D ．-2或16 9．函数f (x )112-+x x ∈[2,4]的最小值是（ ）．A.3B.4C.5D.610.方程03log 3=-+x x 的零点所在区间是（ ）．A.(0,2)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4) 11．定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为（ ）．A ．9B ．14C ．18D ．21 12.函数||2x y =的大致图象是（ ）．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2024-2025学年云南省嵩明县高一年级上学期期中质量监测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U =R ，集合A ={−1,0,1,2,3}，B ={x|x >1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A. {−1,0}B. {0,1}C. {−1,0,1}D. {−1,0,1,2}2.命题“∀x >0，都有x 3> x +1”的否定是( )A. ∀x >0，都有x 3≤x +1B. ∃x >0，使得x 3<x +1C. ∀x <0，都有x 3>x +1D. ∃x >0，使得x 3≤x +13.已知f(x)={x−5,x ≥6f(x +1),x <6，则f(5)=( )A. 1B. 0C. −1D. −24.如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )A. 1a <1bB. a 2<b 2C. a b <1D. ab >b 25.著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微;数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A. y =x−1x +1B. y =x|x|C. y =x +1xD. y = x6.设x ∈R ，使得不等式x 2−2x−8<0成立的一个充分不必要条件是( )A. {x|−2<x <4}B. {x|x >−2}C. {x|2≤x ≤3}D. {x|x <4}7.已知定义域为[a−4,2a−2]的奇函数f(x)=2024x 3−5x +b +2，则f(a)+f(b)的值为( )A. 0B. −1C. 1D. 28.已知函数f(x)={−x 2+4ax,x ≤1(2a +3)x−4a +5,x >1，若f(x)在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A. (12,1]B. [12,32]C. (12,+∞)D. [1,2]二、多选题：本题共3小题，共18分。

2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项1．设集合A＝{x∈N||x|≤2}，B＝{x∈R|1﹣x≥0}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{x|﹣2≤x≤1}C．{1，2}D．{x|0≤x≤1}2．命题“∀x∈R，3x﹣x≥0”的否定是（）A．“∀x∈R，3x﹣x≤0”B．“∀x∈R，3x﹣x＜0”C．“∃x∈R，3x﹣x≤0”D．“∃x∈R，3x﹣x＜0”3．函数D(x)={1，x∈Q0，x∈∁R Q被称为狄利克雷函数，则D(D(√2))=（）A．2B．√2C．1D．04．已知函数f（x）＝（m﹣2）x m为幂函数，若函数g（x）＝lgx+x﹣m，则g（x）的零点所在区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．函数y=6xx2+1的图象大致为（）A．B．C．D．6．“a≥2”是“函数f（x）＝ln（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为51，内弧长为21，且该扇面所在扇形的圆心角约为135°，则该扇面画的面积约为（）（π≈3）A．960B．480C．320D．2408．已知89＜710，设a ＝log 87，b ＝log 98，c ＝0.9，则（ ） A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目 9．已知函数f(x)=tan(x +π3)，则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为πB ．f （x ）的定义域为{x|x ≠π6+kπ，k ∈Z}C ．f （x ）是增函数D ．f(π4)＜f(π3)10．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c ≥0的解集为{x |x ≤﹣2或x ≥1}，则（ ） A ．b ＞0且c ＜0B ．4a +2b +c ＝0C ．不等式bx +c ＞0的解集为{x |x ＞2}D ．不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集为{x|−1＜x ＜12}11．若正实数a ，b 满足a +2b ＝2，则（ ） A ．1a +2b有最小值9B ．ab 有最大值12C ．2a +4b 的最小值是4D ．a 2+b 2的最小值是2512．已知函数f （x ），假如存在实数λ，使得f （x +λ）+λf （x ）＝0对任意的实数x 恒成立，称f （x ）满足性质R （λ），则下列说法正确的是（ ）A ．若f （x ）满足性质R （2），且f （0）＝2，则f （2）＝﹣4B ．若f （x ）＝sin πx ，则f （x ）不满足性质R （λ）C ．若f （x ）＝a x （a ＞1）满足性质R （λ），则λ＜0D ．若f （x ）满足性质R(−12)，且x ∈[0，12)时，f(x)=11−2x ，则当x ∈[32，2)时，f(x)=42−x三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

云南省昆明市第十四中学2024-2025学年高一上学期期中测试数学试卷一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =--≥，{}|22B x x =-≤<，则A B = （）A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．[]1,1-D ．[)1,22．命题“x R ∀∈，2212x x -+≤0”的否定为（）A ．x R ∀∉，20212x x -+≤B ．x R ∀∈，20212x x -+>C ．0x ∃∈R ，2002120x x -+>D ．0x R ∃∉，2002120x x -+>3．已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞4．已知p ：m <1，q ：关于x 的方程²210mx x ++=有两个不相等实数解，则p 是q 的什么条件（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．6．设2log 3a =，13log 2b =，0.12c -=，则a ､b ､c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a>>D ．a c b>>7．若正数x ，y 满足x y xy +=，则2x y +的最小值是（）A ．6B ．2+C ．D ．8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-，则不等式()0xf x <的解集为（）A ．()(),44,∞∞--⋃+B ．()()4,04,-+∞C ．()()4,00,4- D ．()4,4-二、多选题9．对于任意的实数a b c d ，，，，下列命题错误的有（）A ．若a b >，则ac bc >B ．若a b >，c d >，则ac bd >C ．若22ac bc >，则a b >D ．若a b >，则11a b>10．下列说法正确的是（）A ．a b >的一个必要条件是1a b->B ．若集合{}210|A x ax x =++=中只有一个元素，则14a =C ．“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负根”的充要条件D ．已知集合{}0,1M =，则满足条件M N M ⋃=的集合N 的个数为411．已知函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，且对任意的()12,1,2x x ∈，12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，则（）A ．()f x 是奇函数B ．()20230f =C ．()f x 的图象关于()1,0对称D ．()()πe f f >三、填空题12．已知实数0,0,1a b a b >>+=，则22a b +的最小值为.13．已知函数()21,0,0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩，若()3f x =，则x =14．已知函数()22log ,02813,2x x f x x x x ⎧<<=⎨-+≥⎩，若()f x a =有四个解1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的取值范围是．四、解答题15．求下列各式的值：(1)3ln2145log 2lg4lg e 82+++；(2)()1134272e 188-⎛⎫-- ⎪⎝⎭16．集合{}2230A x x x =+-<，{}23B x x =-<，{}2,R C x m x m m =<<-∈.(1)求A B ；(2)现有两个条件：①B C C = ，②条件:p x C ∈，:q x B ∈，若p 是q 的充分不必要条件；在这两个条件中任选一个填到横线上，并解答本题，选择多个条件作答时，按第一选择给分.已知______，求实数m 的取值范围.17．函数()21x bf x x+=+是定义在()11,-上的奇函数、(1)求()f x 的解析式;(2)用定义证明函数()f x 在()11,-上为增函数；(3)解不等式()()10.f t f t -+<18．已知函数()()221f x x tx t =-+∈R .(1)若()f x 在(),2-∞上单调递减，求t 的取值范围；(2)设函数()f x 在区间[]2,1--上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式；(3)对（2）中的()g t ，当[]1,1x ∈-，[]1,1t ∈-时，恒有()23x mx g t --≤成立，求实数m 的取值范围.。

贵阳2024级高一年级教学质量监测卷（一）数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷第1页至第3页，第II 卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.第I 卷（选择题，共58分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一､单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（ ）A.B.C. D.2.命题，则的否定是（ ）A.B.C.D.3.下列四组函数中，是同一个函数的是（ ）A. B.C.D.4.已知函数，则（）A.3B. C. D.95.已知幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（）A.为偶函数B.为奇函数C.为单调递增函数D.为单调递减函数6.已知集合，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件{}{15},1,0,1,2A x x B =∈-<<=-N∣A B ⋂={}1,2{}1,0,1,2,3,4-{}0,1,2{}1,0,1,2-[]2:"0,2,11"p x x ∀∈+…p []20,2,11x x ∀∉+<[]20,2,11x x ∀∈+<[]20,2,11x x ∃∉+<[]20,2,11x x ∃∈+<()()21,1x f x x g x x=-=-()()24,f x x g x ==()(),f x x g x ==()()2,f x x g x ==()221461f x x x +=+-()3f -=3-1-()y f x =(()f x ()f x ()f x ()f x {}{}220,2,210A B xx ax a ==++-=∣{}2A B ⋂=1a =-C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.8.已知函数，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列不等式中取等条件无法满足的是（）B.D.10.已知不等式的解集为，函数，则下列说法正确的是（）A.函数的图象开口向上B.函数的图象开口朝下C.无论为何值，必有D.不等式的解集为或11.已知定义在上的函数，对任意实数满足，均有.函数在的最大值和最小值分别为，.则下列说法正确的是（ ）A.必为奇函数B.可能为偶函数C.不一定为定值，且与的单调性有关D.为定值，且定值为6()f x R [)0,∞+()()12f m f m -<m 1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭1,3∞⎛⎫- ⎪⎝⎭1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭()f x =[)0,∞+a []0,1(]0,1{}1[)1,∞+2221222x x +++≧21222x x +++…20ax bx c ++<{23}xx -<<∣()2f x ax bx c =++()f x ()f x ,,a b c a c b +<20cx bx a ++<12x x ⎧<-⎨⎩13x ⎫>⎬⎭R ()y f x =,,a b c 222a b c +=()()()0f a f b f c ++=()()23g x f x x =++[]2,2x ∈-M m ()f x ()f x M m +()f x M m +第II 卷（非选择题，共92分）注意事项：第II 卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知集合，则__________.13.已知函数的定义域为，则的定义域为__________.14.已知函数，若，则__________，的取值范围为__________.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）已知集合.（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围.16.（本小题满分15分）已知定义在上的奇函数满足，当时，.（1）求在上的解析式；（2）若，求的取值范围.17.（本小题满分15分）已知正实数满足：.（1）求的最小值；（2）求的最小值.18.（本小题满分17分）已知函数.（1）若，使得，求的取值范围；（2）若，都有恒成立，求的取值范围；（3）当时，，满足，求的取值范围.19.（本小题满分17分）对于数集，定义点集，若对任意，都{210},{23}A xx B x x =+<=-<<∣∣()A B ⋂=R ð()21f x +[)5,3-()3f x +()(){}()(){}21,0,0f x x ax b x A x f x B x f f x =+++=∈==∈=R R ∣∣A B =≠∅b =a {}{}2{27},21,320A xx B x m x m C x x x =<<=+=-+<∣∣∣……B C C ⋂=m A B A ⋃=m R ()f x [)0,x ∞∈+()22f x x x =+()f x R ()()121f m f m +<-m ,a b ab a b =+2a b +222a b a b++()()()210,2f x mx m g x x x k =+≠=++x ∃∈R ()0g x …k []1,2x ∀∈-()0f x >m 3k =[][]121,2,1,2x x ∀∈∃∈-()()12f x g x …m {}()123,,,,2n A a a a a n = …(){},,B x y x A y A =∈∈∣()11,x y B ∈存在使得，则称数集是“正交数集”.（1）判断以下三个数集是否是“正交数集”（不需要说明判断理由，直接给出判断结果即可）；（2）若，且是“正交数集”，求的值；（3）若“正交数集”满足：，，求的值.高一数学参考答案第I 卷（选择题，共58分）()22,x y B ∈12120x x y y ⋅+⋅=A {}{}{}1,11,2,31,1,4---､､4a >{}2,2,4,a -a {}1232024,,,,A a a a a = 12320243,0a a a a =-<<<< 20241012a =2a一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案CDCACDDA【解析】1.由已知集合，所以，故选C.2.改变量词，否定结论，所以命题的否定为，故选D.3.对于A 选项，的定义域为的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；对于B 选项，的定义域为的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；对于C 选项，的定义域为的定义域为，且，对应关系相同，故是同一个函数；对于D 选项，的定义域为的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数，故选C.4.令，解得，故，故选A.5.由幂函数的图象过点，解得，故幂函数为函数，且为增函数，故选C.6.由已知，若，则有或，解得或，当时，满足，当时，不满足，所以是的既不充分也不必要条件，故选D.7.由已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减得函数在上单调递增，若要有则需，即，解得或，故选D.8.若函数，则内函数有定义，故内函数大于或等于0.当时，函数其定义域为，值域为符合题意；当时，内函数开口向上，若要满足题意则需，解得；当时，内函数开口向下，不可能符合题意，综上所述：，故选A.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是{}{}0,1,2,3,4,1,0,1,2A B ==-{}0,1,2A B ⋂=[]2:0,2,11p x x ∀∈+…[]20,2,11x x ∃∈+<()f x (),g x R {}0xX ≠∣()f x (),g x R [)0,∞+()f x (),g x R R ()g x x ==()f x (),g x R [)0,∞+213x +=-2x =-()()234(2)6213f -=⨯-+⨯--=y x α=(2α=12α=y =()(){}1,1B a a =-+--{}2A B ⋂=()12a -+=()12a --=3a =-1a =-3a =-{}2,4B ={}2A B ⋂=1a =-{}0,2B ={}2A B ⋂={}2A B ⋂=1a =-()f x R [)0,∞+()f x (),0∞-()()12f m f m -<12m m ->22(12)m m ->13m <1m >()f x =[)0,∞+221ax x ++0a =()f x =1,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭[)0,∞+0a >221ax x ++Δ440a =-…01a <…0a <221ax x ++[]0,1a ∈符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ABDACDABD【解析】9.对于A无实数解；对于B 选项，不等式取等条件为，即，即，无实数解；对于C 选项，不等式取等条件为；对于D 选项，不等式取等条件为，即，即或，无实数解，综上，故选ABD.10.由不等式的解集为，则可知一元二次方程的两根为和3，且二次函数开口向上，，故A 正确，B 错误；当时有，即，故C 正确；由韦达定理得，故，函数的开口向上，对于方程，若是方程的根则有，等式两边同时除以，则有，故是方程的根，故的根为与，则不等式的解集为或，故选ACD.11.令，满足，则有，则；令，满足，则有，即，且定义域为关于原点对称，故函数为奇函数；若，则符合题意且为偶函数；因为与为奇函数，故也为奇函数，设其在的最大值与最小值分别为与，由奇函数的性质，对于函数，其最大值与最小值分别为，故，D 正确，故选ABD.第II 卷（非选择题，共92分）三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）=231x +=22122x x +=+()2221x +=()221x +=±=1x =122x x +=+2(2)1x +=21x +=21x +=-20ax bx c ++<{23}xx -<<∣20ax bx c ++=2-2y ax bx c =++0a >1x =-0a b c -+<a c b +<2360ca=-⨯=-<0c <2y cx bx a =++20ax bx c ++=0x 2000ax bx c ++=20x 200110c b a x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭01x 20cx bx a ++=20cx bx a ++=12-1320cx bx a ++<12x x ⎧<-⎨⎩13x ⎫>⎬⎭0a b c ===222a b c +=()()()0000f f f ++=()00f =,0,a x b c x =-==222a b c +=()()()00f x f f x -++=()()f x f x -=-R ()f x ()0f x =()f x ()f x 2x ()2f x x +[]2,2-0M 0m 000M m +=()()23g x f x x =++003,3M M m m =+=+6M m +=题号121314答案【解析】12.由已知得，则，则.13.已知的定义域为，则的定义域为，故，即，故的定义域为.14.由已知是由函数的所有实数零点构成的集合，，令，是由所有满足且的所有实数构成的集合.若，当满足且因为，则有，即，解得；当时，，此时，符合题意；当时，有，于是，若要使得，只需方程无实数根，故有，解得.综上，的取值范围为.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）解：（1）易得，，于是有，解得，故当时，.（2），则，①当时，有，解得，符合题意；132x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭…[)12,4-[)0,0,41,{23}2A x x B xx ⎧⎫=<-=-<<⎨⎬⎩⎭∣R 12A x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭…ð()R 132A B x x ⎧⎫⋂=-<⎨⎬⎩⎭…ð()21f x +[)5,3-()f x [)9,7-937x -+<…124x -<…()3f x +[)12,4-()(){}21,0f x x ax b x A x f x =++-=∈=R∣()f x ()(){}0B x f f x =∈=R ∣()t f x =()0f t =()t f x =A B =1x A ∈()10f x =1x B ∈()()10f f x =()00f =0b =0a =()()()24,f x x f f x x =={}0A B ==0a ≠()()()()()()()22220,f x x ax x x a a f f x x ax a x ax=+=+≠=+++()()()()222x ax x ax a x x a x ax a =+++=+++{}0,A a =-A B =2x ax a ++2Δ40a a =-<04a <<a [)0,4{12}C xx =<<∣,B C C C B ⋂=∴⊆ 1212m m ⎧⎨+⎩ (1)12m ……1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦B C C ⋂=A B A ⋃= B A ⊆B =∅21m m +<1m <-②当时，有，解得，综上所述，的取值范围为.16.（本小题满分15分）解：（1）令，则，又在上为奇函数，故有故在上的解析式为.（2）与在上单调递增，在上单调递增.又，故当时，.是奇函数，时，且单调递增，故为增函数，若要使得，只需，即，故的取值范围为.17.（本小题满分15分）解：（1）由可得，，当且仅当时等号成立，故的最小值为.（2）由已知得，当且仅当时等号成立，故的最小值为.B ≠∅212217m mm m +⎧⎪>⎨⎪+<⎩…23m <<m ()(),12,3∞--⋃0x <0x ->()f x R ()()()22()22,f x f x x x x x ⎡⎤=--=--+-=-+⎣⎦()f x R ()222,02,0x x x f x x x x ⎧+=⎨-+<⎩…2x 2x [)0,∞+()f x ∴[)0,∞+()00f = [)0,x ∞∈+()0f x …()f x (),0x ∞∴∈-()0f x <()f x ()()121f m f m +<-121m m +<-2m >m ()2,∞+ab a b =+111a b+=()112221233a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=++=++++=+ ⎪⎝⎭…1,a b ==2a b +3+2222222a b a b a b a b ab b a ++==+=+…1a b ==+222a b a b++18.（本小题满分17分）解：（1）若，有成立，只需，解得.（2）若对，都有恒成立，则，解得，综上所述，的取值范围为.（3）当时，，若对，满足，只需，有，当时，，故，有，则有，解得或，综上所述，的取值范围为.19.（本小题满分17分）解：（1）是正交数集，不是正交数集.（2）若，且是正交数集，则对于有序数对能使得其满足条件的有序数对只能为或.若为，则有，解得与矛盾，舍去；故只能是，于是有，解得，经检验符合题意.（3）先证：若集合为正交数集，则至少要有一对相反数，对于，且，有有序数对，故，使得，所以，故集合中至少有一对相反数.因为且是唯一负数，故，x ∃∈R ()0g x …Δ440k =-…1k …[]1,2x ∀∈-()0f x >()()1020f f ⎧->⎪⎨>⎪⎩112m -<<m ()1,00,12⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭3k =()223g x x x =++[][]121,2,1,2x x ∀∈∃∈-()()12f x g x …[]11,2x ∀∈()()12max f x g x <[]21,2x ∈-()max ()211g x g ==[]11,2x ∀∈()111f x <()()111211f f ⎧⎪⎨⎪⎩……0m <05m <…m ()(],00,5∞-⋃13,B B 2B 4a >{}2,2,4,a -()4,a 12120x x y y +=()2,2-()4,2-()2,2-820a -=4a =4a >()4,2-1620a -=8a =8a =A 0a ∀≠a A ∈(),a a B ∈()11,x y B ∃∈110x a y a +=110x y +=A 13a =-3A ∈下证3为最小正数：反证法：若3不为最小正数，则，对于有序数对是最大正数，则与之相匹配的有序数对设为，故有，即，与是最大正数相矛盾，故3为最小正数，综上所述，.23a <()220242024,,a a a ()(),30x x ->2101230a x -⨯=231012a x =⨯23,1012a x <∴> 2024a 23a =。

2023-2024学年山东省聊城市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合M ＝{0，1，2，3}，N ＝{x |x ＜2}，则M ∩（∁R N ）＝（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（2，3）C ．{2，3}D ．{1，2，3}2．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ） A ．y ＝tan x B ．y ＝|tan x |C ．y ＝sin|x |D ．y =cos(x 2+π6)3．已知tan α＝﹣2，且0＜α＜π，则cos α﹣sin α的值为（ ） A ．−3√55B ．−2√55C ．−√55D ．√554．已知a ＝log 30.5，b ＝log 0.50.3，c =sin 17π4，则（ ） A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a5．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下则d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t （单位：s ）之间的关系可以表示为（ ）A ．d =4sin(π20t −π6)+2 B ．d =4sin(π20t +π6)+2C ．d =4sin(π10t −π6)+2 D ．d =4sin(π10t +π6)+2 6．函数f(x)=1−4x1+4x ln|x|的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若φ是三角形的一个内角，且函数y ＝2sin （3x +φ）在区间(−2π9，π12)上单调，则φ的取值范围为（ ）A ．[0，π6]B ．[π6，π4]C ．[π4，π2]D ．[2π3，5π6]8．已知函数f(x)={|x 2−3|，x ＜03x ，x ＞0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣m （m ∈R ）有三个零点a ，b ，c ，且a ＜b ＜c ，则c ab的最小值为（ ）A ．49B ．23C ．32D ．94二、选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9．以下说法正确的是（ ）A ．“∀x ∈R ，3x 2﹣2≥0”的否定是“∃x ∈R ，3x 2﹣2＜0”B ．“x ＞3”是“log 3（2x +1）＞2”的充分不必要条件C ．若一扇形弧长为3π2，圆心角为π2，则该扇形的面积为9π4D ．“∀x ∈R ，2ax 2+ax −38≤0”是真命题，则﹣3≤a ≤0 10．若实数a 、b 满足2a ＜2b ＜1，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．ac 2＜bc 2B ．c 2+1a ＞c 2+1bC ．log 0.2(a 2+1)＜log 0.2(b 2+1)D ．a+b2≥√ab11．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则（ ）A ．f(x)=2cos(2x +π3)B ．f （x ）在[π6，2π3]上单调递增C ．若x 1、x 2∈(π12，7π12)，x 1≠x 2且f （x 1）＝f （x 2），则f （x 1+x 2）＝1D ．把f （x ）的图象向右平移5π12个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g （x ）的图象，则g （x ）＝2sin x12．已知函数f （x ）的定义域为R ，对任意a ，b ∈R ，都有f （a ）f （b ）＝f （a +b ），当x ＞0时，0＜f （x ）＜1，且f （0）≠0，则（ ） A ．∀x ∈R ，都有f(−x)=−1f(x)B ．当x ＜0时，f （x ）＞1C ．f （x ）是减函数D ．若f(3)=12，则不等式f(2t 2−5t)＞116的解集为(−32，4)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知幂函数y ＝f （x ）的图象通过点(3，√33)，则f （4）＝ ．14．若a ，b ＞0，且2ab ﹣8＝a +2b ，则a +2b 的最小值为 ．15．在△ABC 中，A =π3，AB 边上的高等于√33AB ，则tan ∠ACB ＝ ．16．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +2）为偶函数，且f （x ）在（﹣∞，2）上单调递减，若x ∈[12，3]，不等式f （ax ）＜f （x ﹣2）恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）函数y =log 12x(x ∈[116，2])的值域为A ，y =√1x+a−1(a ∈R)的定义域为B ． （1）求A ；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．18．（12分）在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P （6，﹣8）．（1）求sin(π−α)+3cos(π+α)cos(3π2−α)+2sin(π2+α)的值； （2）已知β为锐角，sin(α+β)=−√210，求β．19．（12分）为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为脱贫乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示：为了描述建立平台年数x （x ∈N *）与该平台会员人数y （千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择： ①y =ax+b(a ＞0)；②y ＝d log c x +e （d ＞0，c ＞1）；③y ＝ka x +m （k ＞0，a ＞1）． （1）根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式；（2）根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立t 年的会员人数将超过100.2万人，求t 的最小值．参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈1.609．20．（12分）已知函数f(x)=13x−1−1+3 2．（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并根据定义证明你的判断；（2）函数y＝h（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是y＝h（x+a）﹣b为奇函数．依据上述结论，证明：f（x）的图象关于点（1，1）成中心对称图形．21．（12分）已知函数f(x)=4√3sinωx2cosωx2+4cos2ωx2+1(ω＞0)，A、B是f（x）的图象与直线y＝﹣1的两个相邻交点，且|AB|＝π．（1）求ω的值及函数f（x）在[0，π2]上的最小值；（2）若关于x的不等式f2（x）﹣（3m+2）f（x）﹣m﹣13≤0恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）若存在实数a、b使得φ（x）＝af（x）+bg（x），则称函数φ（x）为函数f（x），g（x）的“T （a，b）函数”．（1）若函数φ（x）＝e x为函数f（x）、g（x）的“T（1，2）函数”，其中f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，求函数f（x）、g（x）的解析式；（2）设函数f（x）＝ln（e x+1），g（x）＝x，是否存在实数a、b使得函数φ（x）为函数f（x）、g（x）的“T（a，b）函数”，且同时满足：①φ（x）是偶函数；②φ（x）的值域为[2ln2，+∞）．若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．注：e＝2.71828⋯为自然对数的底数．2023-2024学年山东省聊城市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合M＝{0，1，2，3}，N＝{x|x＜2}，则M∩（∁R N）＝（）A．（﹣∞，2）B．（2，3）C．{2，3}D．{1，2，3}解：因为N＝{x|x＜2}，所以∁R N＝{x|x≥2}，又因为集合M＝{0，1，2，3}，故M∩（∁R N）＝{0，1，2，3}∩{x|x≥2}＝{2，3}．故选：C．2．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（）A．y＝tan x B．y＝|tan x|C．y＝sin|x|D．y=cos(x2+π6)解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝tan x，是正切函数，是奇函数，不满足题意，故A错误；对于B，若y＝f（x）＝|tan x|，其定义域为{x|x≠π2+kπ，k∈Z}，关于原点对称，且f（﹣x）＝|tan（﹣x）|＝|tan x|＝f（x），所以y＝f（x）＝|tan x|是偶函数，又f（x+π）＝|tan（x+π）|＝|tan x|＝f（x），所以y＝f（x）＝|tan x|是周期函数，故B正确；对于C，函数y＝sin|x|的图象如图：由此可知函数y＝sin|x|不是周期函数，故C错误；对于D，若y=f(x)=cos(x2+π6)，则f(2π3)=cos(π3+π6)=0≠f(−2π3)=cos(−π3+π6)=−√32，所以该函数不是偶函数，故D错误．故选：B．3．已知tanα＝﹣2，且0＜α＜π，则cosα﹣sinα的值为（）A．−3√55B．−2√55C．−√55D．√55解：因为tanα＝﹣2，且0＜α＜π，所以α∈(π2，π)，则{tanα=sinαcosα=−2sin2α+cos2α=1，解得sinα=2√55，cosα=−√55．则cosα−sinα=−√55−2√55=−3√55． 故选：A ．4．已知a ＝log 30.5，b ＝log 0.50.3，c =sin 17π4，则（ ） A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a解：因为a ＝log 30.5＜0，b ＝log 0.50.3＞1，c =sin 17π4=sin π4=√22，所以a ＜c ＜b ． 故选：D ．5．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下则d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t （单位：s ）之间的关系可以表示为（ ）A ．d =4sin(π20t −π6)+2 B ．d =4sin(π20t +π6)+2C ．d =4sin(π10t −π6)+2 D ．d =4sin(π10t +π6)+2 解：设d =Asin(ωt +φ)+b(A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)，由题意可知，d max ＝A +b ＝6，d min ＝﹣A +b ＝﹣2，解得A ＝4，b ＝2，函数d =4sin(ωt +φ)+2(A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)的最小正周期为T =601.5=40，则ω=2πT =2π40=π20， 当t ＝0时，d ＝4sin φ+2＝0，可得sinφ=−12，又因为−π2＜φ＜π2，则φ=−π6，故d =4sin(πt 20−π6)+2，故选：A ．6．函数f(x)=1−4x1+4x ln|x|的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．解：由函数f(x)=1−4x1+4x ln|x|，可知定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且定义域关于原点对称． 因为f(−x)=1−4−x1+4−x ln|−x|=4x−14x+1ln|x|=−f(x)， 所以函数f(x)=1−4x 1+4x ln|x|为奇函数，故排除选项B ； 因为f(1)=1−41+4ln|1|=0，故排除选项A ； 因为f(12)=1−21+2ln 12=13ln2＞0，故排除选项D ．故选：C ．7．若φ是三角形的一个内角，且函数y ＝2sin （3x +φ）在区间(−2π9，π12)上单调，则φ的取值范围为（ ） A ．[0，π6]B ．[π6，π4]C ．[π4，π2]D ．[2π3，5π6]解：当x ∈(−2π9，π12)时，3x +φ∈(−2π3+φ，π4+φ)， 由于φ是三角形的一个内角，所以0＜φ＜π， 则−2π3＜−2π3+φ＜π3，π4＜π4+φ＜5π4， 由于函数y ＝2sin （3x +φ）在区间(−2π9，π12)上单调， 所以{−π2≤−2π3+φπ4+φ≤π2，解得π6≤φ≤π4， 即φ的取值范围为[π6，π4]．故选：B ．8．已知函数f(x)={|x 2−3|，x ＜03x ，x ＞0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣m （m ∈R ）有三个零点a ，b ，c ，且a ＜b ＜c ，则c ab的最小值为（ ）A ．49B ．23C ．32D ．94解：画出f(x)={|x 2−3|，x ＜03x，x ＞0的图象和y ＝m 的图象，如下：由题意得a2﹣3＝3﹣b2＝m，3c=m，且m∈（0，3），即a=−√3+m，b=−√3−m，c=3m ，故cab=m√9−m2=22≥3m2+9−m22=23，当且仅当m2＝9﹣m2，即m=3√22时，等号成立，即cab的最小值为23．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．以下说法正确的是（）A．“∀x∈R，3x2﹣2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2﹣2＜0”B．“x＞3”是“log3（2x+1）＞2”的充分不必要条件C．若一扇形弧长为3π2，圆心角为π2，则该扇形的面积为9π4D．“∀x∈R，2ax2+ax−38≤0”是真命题，则﹣3≤a≤0解：对于A，“∀x∈R，3x2﹣2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2﹣2＜0”，故A正确；对于B，log3（2x+1）＞2即log3（2x+1）＞log39，解得x＞4，因为x＞4⇒x＞3所以“x＞3”是“log3（2x+1）＞2”的必要不充分条件，故B错误；对于C，扇形弧长为3π2，圆心角为π2，所以扇形的半径长为3π2π2=3，则该扇形面积为12×3×3π2=9π4，故C正确；对于D，因为“∀x∈R，2ax2+ax−38≤0”是真命题，即2ax2+ax−38≤0，对∀x∈R恒成立．当a＝0时，命题成立；当a≠0时，{a＜0Δ=a2+3a≤0，解得﹣3≤a＜0，综上可得，﹣3≤a≤0，故D正确．故选：ACD ．10．若实数a 、b 满足2a ＜2b ＜1，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．ac 2＜bc 2B ．c 2+1a ＞c 2+1bC ．log 0.2(a 2+1)＜log 0.2(b 2+1)D ．a+b2≥√ab解：因为函数y ＝2x 为R 上的增函数，由2a ＜2b ＜1＝20，可得a ＜b ＜0， 对于A ，当c ＝0时，ac 2＜bc 2不成立，故A 不正确； 对于B ，因为a ＜b ＜0，所以c 2+1a−c 2+1b=(c 2+1)(b−a)ab＞0，故c 2+1a＞c 2+1b，B 正确；对于C ，因为a ＜b ＜0，则|a |＞|b |＞0，可得a 2＞b 2＞0，所以a 2+1＞b 2+1＞0，因为函数y ＝log 0.2x 为（0，+∞）上的减函数，所以log 0.2(a 2+1)＜log 0.2(b 2+1)，C 正确； 对于D 选项，由于a ＜b ＜0，所以a+b2＜0＜√ab ，故D 不正确．故选：BC ．11．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则（ ）A ．f(x)=2cos(2x +π3)B ．f （x ）在[π6，2π3]上单调递增C ．若x 1、x 2∈(π12，7π12)，x 1≠x 2且f （x 1）＝f （x 2），则f （x 1+x 2）＝1D ．把f （x ）的图象向右平移5π12个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g （x ）的图象，则g （x ）＝2sin x 解：对于A 选项，由图可知，A ＝f （x ）max ＝2， 函数f （x ）的最小正周期T 满足3T 4=5π6−π12=3π4，可得T ＝π，则ω=2πT =2ππ=2， 则f （x ）＝2cos （2x +φ）， 又因为f(5π6)=2cos(5π3+φ)=2，可得cos(5π3+φ)=1， 因为0＜φ＜π，则5π3＜φ+5π3＜8π3，所以，φ+5π3=2π，可得φ=π3，所以，f(x)=2cos(2x+π3)，A对；对于B选项，当π6≤x≤2π3时，2π3≤2x+π3≤5π3，所以f（x）在[π6，2π3]上不单调，B错；对于C选项，当π12＜x＜7π12时，π2＜2x+π3＜3π2，由2x+π3=π可得x=π3，所以，函数f（x）在区间(π12，7π12)内的图象关于直线x=π3对称，若x1、x2∈(π12，7π12)，x1≠x2且f（x1）＝f（x2），则x1+x2=2π3，所以，f(x1+x2)=f(2π3)=2cos5π3=2cos(2π−π3)=2cosπ3=1，C对；对于D选项，把f（x）的图象向右平移5π12个单位长度，可得到函数y=2cos[2(x−5π12)+π3]=2cos(2x−π2)=2sin2x的图象，再将所得曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则g（x）＝2sin x，D对．故选：ACD．12．已知函数f（x）的定义域为R，对任意a，b∈R，都有f（a）f（b）＝f（a+b），当x＞0时，0＜f（x）＜1，且f（0）≠0，则（）A．∀x∈R，都有f(−x)=−1f(x)B．当x＜0时，f（x）＞1C．f（x）是减函数D．若f(3)=12，则不等式f(2t2−5t)＞116的解集为(−32，4)解：令a＝b＝0，则[f（0）]2＝f（0），又f（0）≠0，所以f（0）＝1．当x＜0时，﹣x＞0，所以0＜f（﹣x）＜1，又f（x）f（﹣x）＝f（x﹣x）＝f（0）＝1，所以f(x)=1f(−x)，即f（x）＞1．故A错误，B正确；设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2+x2）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）f（x2）﹣f（x2）＝f（x2）[f（x1﹣x2）﹣1]，又x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，所以f（x1﹣x2）＞1，又当x＜0时，f（x）＞1，当x＞0时，0＜f（x）＜1，f（0）＝1，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）在R上单调递减．C正确；因为f(3)=12，所以f(12)=f(6)f(6)=f(3)f(3)f(6)=[f(3)]4=116，所以f(2t 2−5t)＞116，即f （2t 2﹣5t ）＞f （12）， 又f （x ）在R 上单调递减，所以2t 2﹣5t ＜12，解得−32＜t ＜4，所以不等式f （2t 2﹣5t ）＞f （12）的解集为(−32，4)，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知幂函数y ＝f （x ）的图象通过点(3，√33)，则f （4）＝12． 解：设幂函数y ＝f （x ）的解析式为y ＝x α， ∵幂函数y ＝x α过点(3，√33)，∴√33=3α，∴α=−12，∴该函数的解析式为y =x −12，∴f(4)=4−12=2−1=12．故答案为：12．14．若a ，b ＞0，且2ab ﹣8＝a +2b ，则a +2b 的最小值为 8 ． 解：因为a ，b ＞0，且a +2b ≥2√2ab ，则2ab ≤(a+2b)24，又因为2ab ﹣8＝a +2b ，所以8+a +2b ≤(a+2b)24，令t ＝a +2b ＞0，则t +8≤t 24，即t 2﹣4t ﹣32≥0，解得t ≥8或t ≤﹣4（舍去），当且仅当a ＝2b ＝4时，等号成立，所以a +2b 的最小值为8． 故答案为：8．15．在△ABC 中，A =π3，AB 边上的高等于√33AB ，则tan ∠ACB ＝ 3√3 ．解：由题意设CD 为AB 边上的高，CD =√33AB =√33c ，又A =π3，所以AD =CD tanA =√33c tan π3=13c ＜AB =c ，所以垂足D 必定落在线段AB 上面，如图所示：BD =c −13c =23c ，tan ∠BCD =23c 33c=2√33， 又tan ∠ACD =tan(π2−π3)=tan π6=√33，所以tan ∠ACB =2√33+√331−2√33×√33=3√3．故答案为：3√3．16．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +2）为偶函数，且f （x ）在（﹣∞，2）上单调递减，若x ∈[12，3]，不等式f （ax ）＜f （x ﹣2）恒成立，则实数a 的取值范围为 (13，1) ．解：定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +2）为偶函数，所以f （x ）关于x ＝2对称， 因为f （x ）在（﹣∞，2）上单调递减，所以f （x ）在（2，+∞）上单调递增， 所以f （x ）越靠近对称轴x ＝2函数值越小， 所以由f （ax ）＜f （x ﹣2）得|ax ﹣2|＜|x ﹣2﹣2|， 由于x ∈[12，3]，所以x ﹣4＜ax ﹣2＜4﹣x ，可得1−2x ＜a ＜6x −1，即x ∈[12，3]时1−2x ＜a ＜6x −1恒成立，可得(1−2x )max ＜a ＜(6x−1)min ，由于y =1−2x 在x ∈[12，3]时单调递增，(1−2x )max =13，y =6x −1在x ∈[12，3]时单调递减，(6x−1)min =1， 所以13＜a ＜1．故答案为：(13，1)．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）函数y =log 12x(x ∈[116，2])的值域为A ，y =√1x+a−1(a ∈R)的定义域为B ． （1）求A ；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 解：（1）因为y =log 12x 在[116，2]上单调递减， 所以，当x =116时y 有最大值，且最大值为log 12116=4， 当x ＝2时，y 有最小值，最小值为log 122=−1，所以A ＝{x |﹣1≤x ≤4}．（2）由1x+a −1≥0，得x+a−1x+a≤0，解得﹣a ＜x ≤﹣a +1，所以，B ＝{x |﹣a ＜x ≤﹣a +1}，因为B ⊆A ，所以{−a ≥−1−a +1≤4，解得﹣3≤a ≤1．故实数a 的取值范围[﹣3，1]．18．（12分）在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P （6，﹣8）．（1）求sin(π−α)+3cos(π+α)cos(3π2−α)+2sin(π2+α)的值； （2）已知β为锐角，sin(α+β)=−√210，求β．解：（1）因为角α的终边过点P （6，﹣8），所以|OP|=√62+(−8)2=10， 则sinα=−810=−45，cosα=610=35，tanα=−43． sin(π−α)+3cos(π+α)cos(3π2−α)+2sin(π2+α)=sinα−3cosα−sinα+2cosα=tanα−3−tanα+2=−43−343+2=−1310． （2）因为角α的终边过点P （6，﹣8），所以α为第四象限角，即2kπ−π2＜α＜2kπ(k ∈Z)，又因为β为锐角，则0＜β＜π2，可得2kπ−π2＜α+β＜2kπ+π2(k ∈Z)，因为sin （α+β）＜0，则2kπ−π2＜α+β＜2kπ(k ∈Z)，因为sin(α+β)=−√210，所以cos(α+β)=√1−sin 2(α+β)=√1−(−√210)2=7√210． 则sin β＝sin[（α+β）﹣α]＝sin （α+β）cos α﹣cos （α+β）sin α=−√210×35−7√210×(−45)=√22． 所以β=π4．19．（12分）为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为脱贫乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示：为了描述建立平台年数x （x ∈N *）与该平台会员人数y （千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择： ①y =ax+b(a ＞0)；②y ＝d log c x +e （d ＞0，c ＞1）；③y ＝ka x +m （k ＞0，a ＞1）． （1）根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式；（2）根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立t 年的会员人数将超过100.2万人，求t 的最小值． 参考数据：ln 2≈0.693，ln 3≈1.099，ln 5≈1.609．解：（1）从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快， 因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②， 模型③符合两个条件，所以选择模型③，将数据代入y ＝ka x +m （k ＞0，a ＞1）可得{14=ka +m20=ka 2+m 29=ka 3+m ，解得{k =8m =2a =32，所以，函数为y =8(32)x +2，x ∈N *；（2）由（1）知f(x)=8(32)x +2，x ∈N *，则8(32)t +2＞1002．得(32)t ＞125，t ＞log 32125=ln125ln 32=3ln5ln3−ln2≈3×1.6091.099−0.693≈11.89， 故t 的最小值为12． 20．（12分）已知函数f(x)=13x−1−1+32． （1）判断函数f （x ）在（1，+∞）上的单调性，并根据定义证明你的判断；（2）函数y ＝h （x ）的图象关于点P （a ，b ）成中心对称图形的充要条件是y ＝h （x +a ）﹣b 为奇函数．依据上述结论，证明：f （x ）的图象关于点（1，1）成中心对称图形． 解：（1）函数f （x ）在（1，+∞）上单调递减．证明如下： 任取x 1，x 2∈（1，+∞），且x 1＜x 2，f(x 1)−f(x 2)=13x 1−1−1+32−(13x 2−1−1+32)=(3x 2−1−1)−(3x 1−1−1)(3x 1−1−1)(3x 2−1−1)=13(3x 2−3x1)(3x 1−1−1)(3x 2−1−1)． 因为1＜x 1＜x 2，所以3x 2−3x 1＞0，(3x 1−1−1)(3x 2−1−1)＞0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）， 故函数f （x ）在（1，+∞）上单调递减． （2）证明：设g （x ）＝f （x +1）﹣1， 则g(x)=13x −1+12=2+3x−12(3x −1)=3x+12(3x−1)． 因为函数g （x ）定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 且g(−x)=3−x+12(3−x −1)=3x+12(1−3x )=−3x+12(3x−1)=−g(x)， 所以g （x ）为奇函数，图象关于原点对称，因为y＝g（x）是由y＝f（x）的图象左平移一个单位，再向下平移1个单位，故f（x）的图象关于点（1，1）成中心对称图形．21．（12分）已知函数f(x)=4√3sinωx2cosωx2+4cos2ωx2+1(ω＞0)，A、B是f（x）的图象与直线y＝﹣1的两个相邻交点，且|AB|＝π．（1）求ω的值及函数f（x）在[0，π2]上的最小值；（2）若关于x的不等式f2（x）﹣（3m+2）f（x）﹣m﹣13≤0恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）函数f(x)=2√3sinωx+2(2cos2ωx2−1)+3=2√3sinωx+2cosωx+3=4sin(ωx+π6)+3，则f（x）min＝﹣4+3＝﹣1，因为A、B是函数f（x）的图象与直线y＝﹣1的两个相邻交点，且|AB|＝π，所以函数f（x）的最小正周期为T＝π，则ω=2πT=2ππ=2，可得f(x)=4sin(2x+π6)+3．由x∈[0，π2]，得π6≤2x+π6≤7π6，所以，−12≤sin(2x+π6)≤1，所以，f(x)min=4×(−12)+3=1，故函数f（x）在[0，π2]上的最小值为1．（2）解：设t＝f（x），因为−1≤sin(2x+π6)≤1，所以﹣1≤f（x）≤7．因为不等式f2（x）﹣（3m+2）f（x）﹣m﹣13≤0恒成立，设φ（t）＝t2﹣（3m+2）t﹣m﹣13，所以φ（t）＝t2﹣（3m+2）t﹣m﹣13≤0在t∈[﹣1，7]上恒成立．所以{φ(−1)≤0φ(7)≤0，即{1+3m+2−m−13=2m−10≤049−21m−14−m−13=22−22m≤0，解得1≤m≤5，故m的取值范围为[1，5]．22．（12分）若存在实数a、b使得φ（x）＝af（x）+bg（x），则称函数φ（x）为函数f（x），g（x）的“T （a，b）函数”．（1）若函数φ（x）＝e x为函数f（x）、g（x）的“T（1，2）函数”，其中f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，求函数f（x）、g（x）的解析式；（2）设函数f（x）＝ln（e x+1），g（x）＝x，是否存在实数a、b使得函数φ（x）为函数f（x）、g（x）的“T（a，b）函数”，且同时满足：①φ（x）是偶函数；②φ（x）的值域为[2ln2，+∞）．若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．注：e＝2.71828⋯为自然对数的底数．解：（1）根据题意，因为φ（x）＝e x为f（x）、g（x）的“T（1，2）函数”，所以f（x）+2g（x）＝e x①，所以f（﹣x）+2g（﹣x）＝e﹣x．因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），所以﹣f（x）+2g（x）＝e﹣x②，联立①②得，f(x)=12(e x−e−x)，g(x)=14(e x+e−x)．（2）假设存在实数a、b使得函数φ（x）为函数f（x）、g（x）的“T（a，b）函数”．则φ（x）＝af（x）+bg（x）＝aln（e x+1）+bx．①因为φ（x）是偶函数，所以φ（﹣x）＝φ（x）．即aln（e﹣x+1）﹣bx＝aln（e x+1）+bx，则alne x+1e−x+1+2bx=alne x(e x+1)e x(e−x+1)+2bx=alne x(e x+1)e x+1+2bx=ax+2bx=0，整理得（2b+a）x＝0．因为（a+2b）x＝0对x∈R恒成立，所以a＝﹣2b．②φ(x)=aln(e x+1)+bx=a2ln(e x+1)2e x=a2ln(e x+1e x+2)．因为e x+1e x+2≥2√e x⋅1e x+2=4，当且仅当x＝0取等号，所以ln(e x+1e x+2)≥ln4=2ln2，由于φ（x）的值域为[2ln2，+∞），所以a2×2ln2=2ln2，则a＝2，又a＝﹣2b，所以b＝﹣1．综上，存在a＝2，b＝﹣1满足要求．。

高一上学期数学人教B 版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，若，则实数a 取值集合的真子集的个数为( )A.2B.3C.7D.82.已知函数是定义在R 上的偶函数，且在上单调递增，若关于x 的不等式，则不等式的解集为( )A. B.C. D.3.已知函数，若恒成立，则的最大值为( )A.4.若函数，在上单调递增，则a 的取值范围是( )A. B. C. D.5.已知函数的定义域为R ，对任意的，且，都有成立.若对任意恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. B.C. D.6.“幸福指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取10位市民，他们的幸福感指数分281{50}A x x x =-+={10}B x ax =-=B A ⊆()f x [)0,+∞()f x ][),22,-∞-+∞ ()232f x x >()(),22,-∞-+∞ ()2,2-()(),44,-∞-+∞ ()4,4-()()212e 1b x f x a x -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()0f x ≤ab ()2log 1,13(),3x x f x ax x x ⎧+-<≤⎪=⎨+>⎪⎩(1,)-+∞[]3,9-[)3,-+∞[]0,9(],9-∞()f x 1x 2x 12x x ≠()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦()()22326f x x a f x a a -+>--x ∈R ()1,4,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,4,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,10别为5，6，7，8，7，9，4，5，8，9，则下列说法错误的是( )A.该组数据的中位数为7B.该组数据的平均数为7.5C.该组数据的第60百分位数为7.5D.该组数据的极差为57.口袋中有2个红球和2个白球（形状和大小完全相同），从中随机不放回地依次摸出2个球，设事件“第1次摸出的是红球”，“第2次摸出的是红球”，“摸出的两个球均为红球”，“摸出的两个球颜色不同”则下列说法正确的是( )A.A 与B 互斥B.C 与D 互为对立C.D.A 与D 相互独立8.已知，若A.-2B.-1C.二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若非空实数集M 满足任意，都有， ，则称M 为“优集”.已知A ，B 是优集，则下列命题中正确的是( )A.是优集B.是优集C.若是优集，则或D.若是优集，则是优集10.已知函数是定义域为R 的偶函数，满足，当时，，则( )A.的最小值是的周期为4C. D.11.已知，，…，，为1，2，…，5，6的任意排列，设，.则( )A.任意交换，，的顺序，不影响X 的取值A =B =C =D =B C⊆0a ≠20212021()20a b a a b ++++=,x y M ∈x y M +∈x y M -∈A B A B A B A B ⊆B A⊆A B A B ()f x (2)(2)f x f x +=-02x ≤≤2()f x x x =-()f x ()f x (2025)2f =20271()1014i f i ==∑1x 2x 5x 6x {}{}{}123456min max ,,,max ,,X x x x x x x ={}{}{}123456max min ,,,min ,,Y x x x x x x =1x 2x 3xB.满足及的排列有20个C.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某中学高一､高二､高三的学生人数比例为，假设该中学高一､高二､高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.2，0.25，，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于0.233，已知该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，则的取值范围是__________.13.已知函数，若恒成立，则实数k 的取值范围为__________.14.已知不等式对于恒成立，则实数a 的取值范围是_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.（1）求实数a 的值：（2）探究的单调性，并证明你的结论；（3）解关于x 的不等式.17.（15分）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计解题思路，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.123x x x <<456x x x <<X =X >4:3:3(01)p p <<p ()()221f x x x kx x =-+-∈R ()0f x ≥4220x x a ⋅-+>(],0x ∈-∞()f x ()()42322x xf f +-⨯>(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；(2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；(3)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差..记两组，则总体样本方差）18.（17分）为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化某条河上游水域的水质.省环保局于2022年年底在该河上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2023年2月底测得蒲草覆盖面积为，2023年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积y（单位：）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型（，）与可供选择.（1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）若2022年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到？（参考数据：，）.19.（17分）多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.(1)甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分的概率；lg30.48≈[)60,70[)60,80[)70,80122()()222221122m ns s x w s x wm n m n⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++236m248m2m xy ka=0k>1a> 2(0)y mx n m=+>220m2810mlg20.30≈否也互不影响，求这2道多项选择题乙比丙总分刚好多得5分的概率.答案以及解析1.答案：C解析：由，得，解得或，所以.当时，，满足；当时，，因为，解得，所以实数a 取值集合的真子集的个数为，故选C.2.答案：B解析：令为偶函数，且在上递增，，结合题设知，在上，在上，令上递增，，若上，则有，在上，则有，综上，结合题设的性质，不等式的解集为.故选：B 3.答案：C解析：由，解得，令，解得，则，，不符合题意；当，则，，不符合题意；所以，则当时等号成立，4.答案：A解析：当时，单调递增且值域为，而在上单调递增，28150x x -+=(3)(5)0x x --=3x =5x ={3,5}A =0a =B =∅B A ⊆0a ≠1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭B ⊆=5=a ==110,,35⎫⎬⎭3217-=()3||g x x =()0,+∞(2)6g =(2)6f =(,2)(2,)-∞-+∞ ()()g x f x >()2,2-()()g x f x <3()2h x =)0,+∞(2)(2)(2)6h g f ===23()()3||3||2y h x g x x x x =-=-=(,2)(2,)-∞-+∞ 0y >()()()h x g x f x >>()2,2-0y <()()()h x g x f x <<()f x ()232f x x >()2,2-120a x --=12x a =-2e10bx --=x =2a ->,122b x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭120a x -->2e 10b x -->12a -<12,2b a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭120a x --<2e10bx --<12a -=24a =-()21124444ab a a a ⎛⎫=-=--+≤ ⎪⎝⎭a =1=13x -<≤2log (1)y x =+(,2]-∞()f x (1,)-+∞在，即；综上，.故选：A5.答案：C解析：不妨设，又，所以，即，所以在R上单调递增，所以对任意恒成立，即，即对任意恒成立，所以，解得或，故选：C.6.答案：B解析：首先对10位市民的幸福感指数按从小到大的顺序进行排序：4，5，5，6，7，7，8，8，9，9，该组数据的中位数为第五个和第六个数据的平均值7，因此A说法正确；，因此B说法不正确；，因此C说法正确；又该组数据最大为9，最小为4，因此极差为，因此D说法正确；故选：B.7.答案：D解析：令2个红球和2个白球分别为从中随机不放回地依次摸出2个球有：，共12种，事件A对应事件为，有6种，事件B对应事件为，有6种，23aa+≥⇒≥-)+∞ay xx=+309a<≤39a-≤≤12x x<()()()1212f x f x x x-->⎡⎤⎣⎦()()12f x f x-<()()12f x f x<()f x()()22326f x x a f x a a-+>--x∈R 22326x x a x a a-+>--224270x x a a-++>x∈R()()2244270a a∆=--+<4a<-a>()1,4,2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭7.5=945-=1,2,1,2R R W W(1,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,1),(2,2),(1,1),(1,2),(1,2),R R R W R W R R R W R W W R W R W W(2,1),(2,2),(2,1)W R W R W W(1,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,1),(2,2)R R R W R W R R R W R W(1,2),(2,1),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)R R R R W R W R W R W R事件C对应事件为，有2种，事件D对应事件为，有8种，综上，A与B不互斥，C与D互斥但不对立，，且事件对应事件为，有4种故故A、B、C错，D对故选：D8.答案：A，则，所以由，得，即，亦即.当且，即时，等式显然成立.当时，则有，所以.当时，有，即.因为函数是实数集上的增函数，所以由，得，则.这与矛盾，所以不成立.当时，有，即.因为函数是实数集上的增函数，所以由，得，则，这与矛盾，所以不成立.综上可知，.故选A.9.答案：ACD解析：对于A中，任取，，因为集合A，B是优集，则，，则，，，则，所以A正确；对于B中，取，，则或，令，，则，所以B不正确；对于C中，任取，，可得，因为是优集，则，，若，则，此时；若，则(1,2),(2,1)R R R R(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,1),(1,2),R W R W R W R W W R W R(2,1),(2,2)W R W RC B⊆1(),2P A P=AD(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)R W R W R W R W()P AD=()()()P A P D P AD=k=b ak=20212021()20a b a a b++++=20212021()20a ak a a ak++++=20212021[(1)1](2)0a k a k++++=20202021(1)1(2)0a k k⎡⎤++++=⎣⎦2021(1)10k++=20k+=2k=-2021(1)10k++≠2020a=0≠202020212(1)1kak+=->++20k+<2021(1)10k++>20212021(1)(1)k+>-2021y x=20212021(1)(1)k+>-11k+>-20k+>20k+<2021(1)10k++> 20k+>2021(1)10k++<20212021(1)(1)k+<-2021y x=20212021(1)(1)k+<-11k+<-20k+<20k+>2021(1)10k++<2k=-x A B∈ y A B∈ x y A+∈x y B+∈x y A B+∈ x y A-∈x y B-∈x y A B-∈{|2,}A x x k k==∈Z{|3,}B x x m m==∈Z{|2A B x x k==3,}x k k=∈Z 3x=2y=5x y A B+=∉x A∈y B∈,x y A B∈ A Bx y A B+∈x y A B-∈ x y B+∈()x x y y B=+-∈A B⊆x y A+∈，此时，所以C 正确；对于D 中，是优集，可得，则为优集；或，则为优集，所以是优集，所以D 正确.故选：ACD.10.答案：ABD解析：由于，所以的图象关于直线对称，由于是定义在R 上的偶函数，所以的图象关于y 轴对称，所以是周期为4的周期函数，故B 正确.当时，的图象开口向上，对称轴为直线，，，，的周期性、图象的对称性可知，的最小值是，故C 错误.因为，，，，所以，所以，故D 正确.故选ABD.11.答案：ABD解析：对于A ，注意到当，，被确定后，，，的取值也被固定，因此满足条件的条件组数即满足条件的，，的组数，即从1，2，…，5，6中任选3个数的数目，即.注意到任意交换，，的顺序，不影响X ，Y 的取值，任意交换，，的顺序，不影响X ，Y 的取值，A 正确，B 正确；因此不妨设及.注意到，整体交换，，和，，也不影响X ，Y 的取值，因此不妨设，即，，将满足以上条件的排列列举如下：()y x y x A =+-∈B A ⊆A B A B ⊆A B A = B A ⊆A B B = A B (2)(2)f x f x +=-()f x 2x =()f x ()f x ()f x 02x ≤≤2()f x x x =-12x =(0)0f =(2)2f =12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭max ()(2)2f x f ==min 1()2f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()f x ()f x 2(2025)(50641(1)110)f f f =⨯+==-=(1)0f =(2)2f =(3)(1)(1)0f f f =-==(4)(0)0f f ==(1)(2)(3)(4)2f f f f +++=202712024()2(1)(2)(3)101202010144i f i f f f ==⨯+++=+++=∑1x 2x 3x 4x 5x 6x 1x 2x 3x 36C 20=1x 2x 3x 4x 5x 6x 123x x x <<456x x x <<1x 2x 3x 4x 5x 6x 14x x <4Y x ={}36min ,X x x =12.答案：解析：若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率为，解得.因为该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，所以.故p 的取值范围是.13.答案：解析：由题意得，当时，由恒成立，得，解得；当时，由上单调递增，所以，解得；当时，由恒成立，得，即，所以.综上，实数k 的取值范围是.故答案为：14.答案：解析：不等式对于恒成立，即不等式对于恒成立，令，则，所以不等式对于恒成立，所以恒成立，令，函数在上单调递减，所以，即[0.2,0.26]4330.20.250.1550.30.233433433433p p ⨯+⨯+⨯=+≤++++++0.26p ≤0.2p ≥[]0.2,0.26[]1,1-()221,111,11x kx x x f x kx x ⎧--≥≤-=⎨-+-<<⎩或1x ≥()2210x f x kx --≥=2k x ≤-2y =11x x-≥1k ≤1x ≤-()2210x f x kx --≥=],1-∞-121x x -≤-1k ≥-11x -<<()0f x ≥()()1010f f -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩1010k k +≥⎧⎨-+≥⎩11k -≤≤[]1,1-[]1,1-()1,-+∞4220xxa ⋅-+>(],0x ∈-∞()22220x x a ⋅-+>(],0x ∈-∞2x t =(]0,1t ∈220at t -+>(]0,1t ∈22212t a t t -⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭(]0,1∈m =[)1,∈+∞221224y m m m ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭[)1,+∞()2max21m m-+=-，所以，即实数a 的取值范围是.故答案：为2max 1121t t ⎡⎤⎛⎫-+=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1a >-()1,-+∞()1,-+∞16.答案：（1）（2）增函数，证明见解析（3）解析：（1）因为函数的图像关于点中心对称，所以该函数向下平行一个单位，得到的函数的图像关于点中心对称，即函数的图像关于点中心对称，因此函数是奇函数，于是有，即因为，所以符合题意；（2）因为设，是任意两个实数，且，因为，所以，因此，所以函数（3）因为函数的图像关于点中心对称，所以，即，所以由，因为函数所以，或，解得，或，因此原不等式的解集为.2a =()(),01,-∞+∞ ()f x a =-x ∈R ()0,1()0,0()2121x g x a =--+()0,0()2121x g x a =--+()2010211g a a =--=⇒=+()1g x =()()222221*********x x x x g x g x -⨯+-+=-+-=-=+++()1g x =a =1x 2x 12x x <()()121222222121x x f x f x -=--+=++12x x <1222x x <()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<()2f x =(f x ()0,1()()2f x f x +-=()()2f x f x -=-()()()()()4232242232232x x x x x f f f f f ⎡⎤+-⨯>⇒>--⨯=--⨯⎣⎦()2f x =()()()42322122022x x x x x --⨯⇒-->⇒>>21x <1x >0x <()(),01,-∞+∞17.答案：(1)平均数为71，众数为75；(2)88；(3)平均数为76，方差为12.解析：（1）一至六组的频率分别为0.10，0.15，0.15，0.30，0.25，0.05，平均数.由图可知，众数为75.以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分.（2）前4组的频率之和为，前5组的频率之和为，第分位数落在第5组，设为x ，则，解得.“防溺水达人”的成绩至少为88分.（3）)的频率为0.15，)的频率为0.30，的频率与的频率之依题意有，，解得，所以内的平均成绩为76，方差为12.18.答案：（1）；（2）至少到2024年2月底蒲草覆盖面积能达到解析：（1）若选择模型（，），则解得.若选择模型，则解得，450.10550.15650.15750.30850.25950.0571=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=0.100.150.150.300.700.90+++=<0.700.250.950.90+=>90%()0.70800.0250.90x +-⨯=88x =[60,70[70,80=)70,80[)60,8012736733=⨯+76=()222212299(6773)767333s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-⎣⎦⎣⎦2212s =[)70,8081443xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭21213255y x =+2810m x y ka =0k >1a >2336,48,ka ka ⎧=⎨=⎩a ==81443x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭2(0)y mx n m =+>436,948,m n m n +=⎧⎨+=⎩1205m =>n =故函数模型为（2）把代入，可得，把代入，因为26.4与20相差比较大，故选择模型更合适.，可得，两边取对数可得，即，所以，至少要到2024年2月底蒲草覆盖面积能达到.解析：(1)甲同学所有可能的选择答案有11种：，，，，，，，，，，，其中正确选项只有一个，样本空间，共11个基本事件，所以他猜对本题得5分的概率为(2)由题意得乙得0分的概率为乙比丙刚好多得5分的情况包含：事件B ：乙得10分，丙得5分，则事件C ：乙得7分，丙得2分，则AB AC AD 2125y x =+0x =81443x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭8120.254y ==0x =2125y x =+13226.45y ==81443x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭48103x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭4403x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭4lg lg 403x ≥lg 402lg 2120.3113.3342lg 2lg 320.30.48lg 3x +⨯+≥=≈≈-⨯-14x ≥2810m BC BD CD ABC ABD ACD ABD ABCD {},,,,,,,,,,AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD ABD ABCD Ω=P =11124--=1162--=()111111226336P B ⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭()1111111124422323P C ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭事件D ：乙得5分，丙得0分，则所以乙比丙总分刚好多得5分的概率()111111244233P D ⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭()111361236P P B C D =++=++=。

2023-2024学年浙江省温州市高一（上）期末数学试卷（A 卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x 2＜9}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣3，3）B ．（﹣3，2]C ．（2，3）D ．（﹣∞，2]2．“a ≥﹣3”是“a ≥﹣2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设h （x ）＝2x +log 2（x +1）﹣2，某同学用二分法求方程h （x ）＝0的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下：依据此表格中的数据，得到的方程近似解x 0可能是（ ） A ．x 0＝﹣0.125B ．x 0＝0.375C ．x 0＝0.525D ．x 0＝1.54．一个周长是4，面积为1的扇形的半径为（ ） A ．1B ．2C ．12D ．√25．已知函数f （x ）={−x +3a ，x ≥0，x 2，x ＜0，在定义域R 上是减函数，则a 的值可以是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．﹣16．如图所示函数的图象，则下列函数的解析式最有可能是（ ）A ．f(x)=x 2+1x 2B ．f （x ）＝x +sin xC ．f （x ）＝sin x ﹣x cos xD ．f(x)=(x −1x)ln|x|7．已知，m ，n ∈R +，满足m 2n +2mn 2﹣4m ﹣n ＝0，则m +2n 的最小值为（ ） A ．2√2+1B ．√15C ．3√62D ．4√2+98．设a ＝4lg 3，b =312，c ＝log 23，则（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 9．下列四个命题中是真命题的有（ ） A ．∀x ∈R ，2x ＞0 B ．∃x ∈R ，x 2+x +1≤0C ．命题“∀x ∈R ，sin x ＜2x ”的否定是“∃x ∈R ，sin x ≥2x ”D ．命题“∃x ∈R ，sin 2x 2+cos 2x 2=12”是真命题10．已知函数f （x ）＝ax 2+bx +a （a ＞0），若f （2）＝﹣a ，则以下说法正确的是（ ） A ．b ＝﹣3aB ．函数f （x ）一定有两个零点C ．设x 1，x 2是函数f （x ）两个零点，则x 1+x 2＝3x 1x 2D ．f(1)+1f(1)≥−2 11．已知函数f(x)=12cos2x −√32sin2x ，则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为πB ．f （x ）的图象关于直线x =7π12对称 C ．f(x −5π12)是奇函数D ．f （x ）的单调递减区间为[kπ−π6，kπ+π3](k ∈Z)12．已知函数f （x ）满足：∀m ，n ∈R ，f （m +n ）+f （m ﹣n ）＝2f （m ）cos n ，f （0）＝1，f(π2)=√3，则（ ）A ．f （x ）为奇函数B ．f(−π3−x)+f(x)=0C ．方程f(x)−12x =0有三个实根D ．f （x ）在（﹣1，0）上单调递增三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．sin225°＝ ．14．已知函数f(x)=√x ，则f （f （16））＝ ．15．若函数f （x ）＝tan ωx 在（﹣π，π）上是增函数，则ω的最大值是 ．16．函数f （x ）＝x 4﹣24x +16，g （x ）＝6x 3+ax 2，方程f （x ）＝g （x ）恰有三个根x 1，x 2，x 3，其中x 1＜x 2＜x 3，则 (x 1+1x 1)(x 2+x 3)的值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣8≤0}，B ＝{x |（x ﹣m 2）（x ﹣m +1）≤0}． （1）当m ＝1时，求集合∁R B ；（2）当B ⊆A 时，求实数m 的取值范围． 18．（12分）已知函数f （x ）＝2x ﹣2﹣x ．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）若f（m﹣2）+f（m）＝0，求实数m的值．19．（12分）已知m=432⋅8−23，n=32lg2+lg5√5．（1）求m，n的值；（2）已知角θ的终边过点P（m，n），求cos mθ的值．20．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ln（x﹣1）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数g（x）＝ln（﹣x+t）与函数f（x）的图像存在两个不同的交点，求实数t的取值范围．21．（12分）下表是A地一天从2～18时的部分时刻与温度变化的关系的预报，现选用一个函数y＝f（x）来近似描述温度与时刻的关系．（1）写出函数y＝f（x）的解析式；（2）若另一个B地区这一天的气温变化曲线也近似满足函数y＝f（x）且气温变化也是从10℃到30℃，只不过最高气温都比A地区早2个小时，求同一时刻，A地与B地的温差的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝e x−ax（a＞0）．（1）若f（x）在（1，2）有零点，求实数a的取值范围；（2）记f（x）的零点为x1，g（x）=lnx−1e−ax的零点为x2，求证：x1+x2＞2√ae．2023-2024学年浙江省温州市高一（上）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2＜9}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝（）A．（﹣3，3）B．（﹣3，2]C．（2，3）D．（﹣∞，2]解：因为A＝{x|x2＜9}＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝{x|﹣3＜x≤2}．故选：B．2．“a≥﹣3”是“a≥﹣2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当a≥﹣3时，a≥﹣2不一定成立，当a≥﹣2时，a≥﹣3时一定成立，故a≥﹣3是a≥﹣2的必要不充分条件．故选：B．3．设h（x）＝2x+log2（x+1）﹣2，某同学用二分法求方程h（x）＝0的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下：依据此表格中的数据，得到的方程近似解x0可能是（）A．x0＝﹣0.125B．x0＝0.375C．x0＝0.525D．x0＝1.5解：由表格数据可知，h（0.4375）＜0，h（0.75）＞0，又因为函数h（x）在[0.4375，0.75]上连续，且函数h（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，所以函数h（x）在区间[0.4375，0.75]上存在一个零点，又因为0.75﹣0.4375＝0.3125＜0.5，即方程h（x）＝0的近似解（精确度为0.5）可以是区间[0.4375，0.75]内的任意一个数，观察四个选项可知，C选项正确．故选：C．4．一个周长是4，面积为1的扇形的半径为（）A．1B．2C．12D．√2解：设扇形弧长为l，半径为r，由于扇形周长为4，则有l +2r ＝4，扇形面积为1，则12lr ＝1，则可得r ＝1，l ＝2．故选：A ．5．已知函数f （x ）={−x +3a ，x ≥0，x 2，x ＜0，在定义域R 上是减函数，则a 的值可以是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．﹣1解：因为函数f （x ）={−x +3a ，x ≥0，x 2，x ＜0，在定义域R 上是减函数，所以3a ≤0，即a ≤0．故选：D ．6．如图所示函数的图象，则下列函数的解析式最有可能是（ ）A ．f(x)=x 2+1x 2B ．f （x ）＝x +sin xC ．f （x ）＝sin x ﹣x cos xD ．f(x)=(x −1x)ln|x|解：由函数的图象可知函数是奇函数，所以A 不正确； f （x ）＝x +sin x 中，x →+∞时，f （x ）→+∞，所以B 不正确； f(x)=(x −1x)ln|x|中，x →+∞时，f （x ）→+∞，所以D 不正确．故选：C ．7．已知，m ，n ∈R +，满足m 2n +2mn 2﹣4m ﹣n ＝0，则m +2n 的最小值为（ ） A ．2√2+1B ．√15C ．3√62D ．4√2+9解：因为m 2n +2mn 2﹣4m ﹣n ＝0①，令m +2n ＝t ＞0，则m ＝t ﹣2n ，代入①式整理后得2tn 2﹣（t 2+7）n +4t ＝0，该方程有正实数根， 令f （n ）＝2tn 2﹣（t 2+7）n +4t ，结合t ＞0，只需Δ＝（t 2+7）2﹣32t 2≥0，即t 2−4√2t +7≥0，解得t ≤2√2−1（舍）或t ≥2√2+1， 所以t 的最小值为2√2+1． 故选：A ． 8．设a ＝4lg 3，b =312，c ＝log 23，则（）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b解：由题意，a ＝4lg 3，b =312，c ＝log 23，a 表示x ＝lg 3时函数y ＝4x 的点A 的纵坐标，b 表示x ＝3时函数y =√x 的点B 的纵坐标，c 表示x ＝3时函数y ＝log 2x 的点C 的纵坐标， 作出三个函数的图象如图所示，由图可知，a ＞b ＞c ． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 9．下列四个命题中是真命题的有（ ） A ．∀x ∈R ，2x ＞0 B ．∃x ∈R ，x 2+x +1≤0C ．命题“∀x ∈R ，sin x ＜2x ”的否定是“∃x ∈R ，sin x ≥2x ”D ．命题“∃x ∈R ，sin 2x 2+cos 2x 2=12”是真命题解：根据指数函数的性质可知，∀x ∈R ，2x ＞0一定成立，A 正确； 因为x 2+x +1＝（x +12）2+34≥34恒成立，故B 为假命题；根据含有量词的命题的否定可知，命题“∀x ∈R ，sin x ＜2x ”的否定是“∃x ∈R ，sin x ≥2x ”，C 正确； 根据同角平方关系可知，sin 2x 2+cos 2x2=1恒成立，D 为假命题．故选：AC ．10．已知函数f （x ）＝ax 2+bx +a （a ＞0），若f （2）＝﹣a ，则以下说法正确的是（ ） A ．b ＝﹣3aB ．函数f （x ）一定有两个零点C ．设x 1，x 2是函数f （x ）两个零点，则x 1+x 2＝3x 1x 2D ．f(1)+1f(1)≥−2 解：因为f （2）＝4a +2b +a ＝﹣a ，故b ＝﹣3a ，A 正确； 所以f （x ）＝ax 2+bx +a ＝ax 2﹣3ax +a ＝a （x 2﹣3x +1）， 因为Δ＝5a 2＞0，即函数f （x ）有两个零点，B 正确； 由题意得，x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，C 显然正确； f （1）+1f(1)=−a +1−a =−（a +1a ）≤﹣2，当且仅当a =1a，即a ＝1时取等号，C 错误． 故选：ABC ．11．已知函数f(x)=12cos2x −√32sin2x ，则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为πB ．f （x ）的图象关于直线x =7π12对称 C ．f(x −5π12)是奇函数D ．f （x ）的单调递减区间为[kπ−π6，kπ+π3](k ∈Z)解：函数f(x)=12cos2x −√32sin2x =cos （2x +π3），f （x ）的最小正周期为T =2π2=π，A 正确； ∵f （7π12）＝cos 3π2=0≠±1，∴f （x ）的图象不关于直线x =7π12对称，B 错误；又f （x −5π12）＝cos （2x −π2）＝sin2x 为奇函数，C 正确； 令2k π≤2x +π3≤2k π+π（k ∈Z ），得k π−π6≤x ≤k π+π3（k ∈Z ）， ∴f （x ）的单调递减区间为[kπ−π6，kπ+π3](k ∈Z)，D 正确．故选：ACD ．12．已知函数f （x ）满足：∀m ，n ∈R ，f （m +n ）+f （m ﹣n ）＝2f （m ）cos n ，f （0）＝1，f(π2)=√3，则（ ）A ．f （x ）为奇函数B ．f(−π3−x)+f(x)=0C ．方程f(x)−12x =0有三个实根D ．f （x ）在（﹣1，0）上单调递增解：令m ＝0，则f （n ）+f （﹣n ）＝2f （0）cos n ＝2cos n ， 令n =π2，则f （m +π2）+f （m −π2）＝2f （m ）cos π2=0，在上式中，令m ＝n +π2，则f （n +π）+f （n ）＝0，即f （π2−n ）+f （−π2−n ）＝0，令m =π2，则f （π2+n ）+f （π2−n ）＝2f （π2）cos n ＝2√3cos n ，则f （π2+n ）﹣f （−π2−n ）＝2√3cos n ，即f （n ）﹣f （﹣n ）＝2√3cos （n −π2），又因为f （n ）+f （﹣n ）＝2f （0）cos n ＝2cos n ，所以f （n ）＝cos n +√3sin n ＝2sin （n +π6），即f （x ）＝2sin （x +π6），对于A ，f （0）＝1≠0，故f （x ）不为奇函数，故A 错误；对于B ，f （−π3−x ）+f （x ）＝2sin （−π6−x ）+2sin （π6+x ）＝0，故B 正确；对于C ，结合关键点的分析，再同一平面直角坐标系中作出y ＝f （x ）与y =12x 的图象如图所示：观察图象可知，y ＝f （x ）与y =12x 的图象有三个交点，即方程f(x)−12x =0有三个实根，故C 正确；对于D ，当x ∈（﹣1，0），t =π6+x ∈（﹣1+π6，π6）⊆（−π2，π2）， 由复合函数单调性可知此时f （x ）＝2sin （x +π6）单调递增，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．sin225°＝ −√22．解：sin225°＝sin （180°+45°）＝﹣sin45°=−√22．故答案为：−√22．14．已知函数f(x)=√x ，则f （f （16））＝ 2 ． 解：因为函数f(x)=√x ，则f （f （16））＝f （4）＝2． 故答案为：2．15．若函数f （x ）＝tan ωx 在（﹣π，π）上是增函数，则ω的最大值是 12． 解：因为函数f （x ）＝tan ωx 在（﹣π，π）上是增函数，所以ω＞0；且{kπ−π2≤ω⋅(−π)ωπ≤kπ+π2k ∈Z ，解得{ ω≤12−k ω≤12+k k ∈Z ，所以ω≤12，即ω的最大值是12．故答案为：12．16．函数f （x ）＝x 4﹣24x +16，g （x ）＝6x 3+ax 2，方程f （x ）＝g （x ）恰有三个根x 1，x 2，x 3，其中x 1＜x 2＜x 3，则 (x 1+1x 1)(x 2+x 3)的值为 ﹣25 ． 解：由f （x ）＝x 4﹣24x +16，g （x ）＝6x 3+ax 2，方程f （x ）＝g （x ）得： x 4﹣24x +16﹣6x 3＝ax 2，显然x ＝0不符合该方程， 所以a =x 2+16x2−6（x +4x ）⇒（x +4x ）2﹣6（x +4x ）﹣8＝a ⇒（x +4x −3）2＝17+a ， 所以x +4x −3=±√17+a ，令h （x ）=x +4x−3，该函数在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上递增，在（﹣2，0），（0，2）上递减，且h （﹣2）＝﹣7，h （2）＝1，则原方程的根即为y =±√17+a 与h （x ）图象交点的横坐标，作出图象：要使方程f （x ）＝g （x ）恰有三个根x 1，x 2，x 3，只需−√17+a =−7，解得a ＝32，此时x 1＝﹣2， 令x +4x −3=√17+a =7，即x 2﹣10x +4＝0，所以x 2+x 3＝10，则 (x 1+1x 1)(x 2+x 3)=−25．故答案为：﹣25．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣8≤0}，B ＝{x |（x ﹣m 2）（x ﹣m +1）≤0}． （1）当m ＝1时，求集合∁R B ；（2）当B ⊆A 时，求实数m 的取值范围．解：（1）当m ＝1时，B ＝{x |（x ﹣m 2）（x ﹣m +1）≤0}＝{x |0≤x ≤1}，∴∁R B ＝{x |x ＜0或x ＞1}；（2）集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣8≤0}＝{x |﹣2≤x ≤4}， ∵m 2﹣（m ﹣1）＝m 2﹣m +1=(m −12)2+34＞0，∴m 2＞m ﹣1，∴B ＝{x |（x ﹣m 2）（x ﹣m +1）≤0}＝{x |m ﹣1≤x ≤m 2}， ∵B ⊆A ， ∴{m −1≥−2m 2≤4，解得﹣1≤m ≤2，即实数m 的取值范围[﹣1，2]． 18．（12分）已知函数f （x ）＝2x ﹣2﹣x ． （1）判断函数f （x ）的奇偶性并证明；（2）若f （m ﹣2）+f （m ）＝0，求实数m 的值． 解：（1）函数f （x ）为奇函数，证明如下： 函数f （x ）＝2x ﹣2﹣x ，则f （﹣x ）＝2﹣x ﹣2x ＝﹣（2x ﹣2﹣x ）＝﹣f （x ）， 故函数f （x ）为奇函数； （2）函数f （x ）＝2x ﹣2﹣x ， y ＝2x 在R 上单调递增，y ＝2﹣x 在R 上单调递减，由复合函数的单调性可知，f （x ）在R 上单调递增， f （m ﹣2）+f （m ）＝0，则f （m ﹣2）＝﹣f （m ）＝f （﹣m ）， 故m ﹣2＝﹣m ，解得m ＝1． 19．（12分）已知m =432⋅8−23，n=32lg2+lg5√5． （1）求m ，n 的值；（2）已知角θ的终边过点P （m ，n ），求cos m θ的值．解：（1）因为m =432⋅8−23=23﹣2＝2，n =32lg2+lg5√5=32lg 2+32lg 5=32（lg 2+lg 5）=32；（2）由题意角θ的终边过点P （2，32），所以cos θ=2√22+(32)=45，可得cos2θ＝2cos 2θ﹣1=2×1625−1=725． 20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ln （x ﹣1）．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若函数g （x ）＝ln （﹣x +t ）与函数f （x ）的图像存在两个不同的交点，求实数t 的取值范围． 解：（1）由题意函数定义域为（1，+∞），不妨设1＜x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=ln x 1x 1−1−ln x 2x 2−1=ln x 1(x 2−1)x 2(x 1−1)， 因为1＜x 1＜x 2，所以x 1（x 2﹣1）＝x 1x 2﹣x 1＞x 2（x 1﹣1）＝x 1x 2﹣x 2＞0，即x 1(x 2−1)x 2(x 1−1)＞1，所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），所以函数f （x ）在定义域内单调递减．（2）g （x ）＝ln （﹣x +t ）定义域为x ∈（﹣∞，t ），又f （x ）定义域为（1，+∞），所以t ＞1，x ∈（1，t ）才满足题意，由题意方程ln x x−1=ln(−x +t)有在x ∈（1，t ）内两根， 因为y ＝lnu 在定义域内单调递增，即方程−x +t =x x−1在x ∈（1，t ）内有两个不同的根， 所以x 2﹣tx +t ＝0在x ∈（1，t ）内有两个不同的根，令h （x ）＝x 2﹣tx +t ，则{ ℎ(1)＞0Δ＞01＜t 2＜t，所以{ℎ(1)=1＞0Δ=t 2−4t ＞0t ＞2，解得t ＞4， 所以实数t 的取值范围为（4，+∞）．21．（12分）下表是A 地一天从2～18时的部分时刻与温度变化的关系的预报，现选用一个函数y ＝f （x ）来近似描述温度与时刻的关系．（1）写出函数y ＝f （x ）的解析式；（2）若另一个B 地区这一天的气温变化曲线也近似满足函数y ＝f （x ）且气温变化也是从10℃到30℃，只不过最高气温都比A 地区早2个小时，求同一时刻，A 地与B 地的温差的最大值． 解：（1）由表格可选取三角函数y ＝A sin （ωx +φ）+b 来近似描述温度与时刻的关系，则A ＝10，b ＝20，T 2=8，T =16=2πω， ∴ω=π8，y =10sin(π8x +φ)+20，把(14，30)代入y =10sin(π8x +φ)+20， 则π8⋅14+φ=π2+2kπ，φ=−5π4+2kπ，∴f(x)=10sin(π8x+3π4)+20，x∈[2，18]；（2）由题意得B地区这一天的气温变化与时间的函数关系为：g(x)=10sin(π8x+π)+20，∴|f(x)−g(x)|=10|sin(π8x+3π4)−sin(π8x+π)|，利用sinθ−sinφ=2cos θ+φ2sinθ−φ2可得：|f(x)−g(x)|=20|cos(π8x+7π8)⋅sinπ8|，∴当π8x+7π8=kπ，x＝8k﹣7∈[2，18]，即x＝9时，|f(x)−g(x)|max=20sinπ8=20√1−cosπ42=10√2−√2 2．22．（12分）已知函数f（x）＝e x−ax（a＞0）．（1）若f（x）在（1，2）有零点，求实数a的取值范围；（2）记f（x）的零点为x1，g（x）=lnx−1e−ax的零点为x2，求证：x1+x2＞2√ae．解：（1）由题意函数f(x)=e x−ax(a＞0)单调递增，若f（x）在（1，2）有零点，则f(1)=e−a＜0，f(2)=e2−a2＜0，解得e＜a＜2e2，即实数a的取值范围为（e，2e2）．（2）证明：因为e x1=ax1，所以x1＝lna﹣lnx1（x1＞0），即x1+lnx1＝lna，又因为lnx2−1e=ax2，a＞0，x2＞0，两边取对数得ln（lnx2﹣1）﹣1＝lna﹣lnx2，所以ln（lnx2﹣1）+lnx2﹣1＝lna，令φ（x）＝lnx+x，所以φ（x1）＝φ（lnx2﹣1），因为φ（x）＝lnx+x在定义域内单调递增，所以x1＝lnx2﹣1，又因为x1+lnx1＝lna，所以x2=e x1+1，所以x1x2=x1e x1+1=ae，而x1≠x2（若x1＝x2，则x1＝lnx1﹣1不成立，舍去），所以x1+x2＞2√x1x2=2√ae．。