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坐标轴中点坐标公式在二维平面上，我们经常会遇到需要确定某一点的坐标的情况。
坐标轴中点坐标公式就是一种用来确定坐标点的公式，它可以帮助我们准确地确定任意一点的坐标。
在直角坐标系中，我们通常用两条垂直的直线（坐标轴）来表示平面上的点。
其中一条直线称为x轴，另一条直线称为y轴。
两条直线的交点称为原点，坐标为(0,0)。
为了确定任意一点的坐标，我们需要用到坐标轴中点坐标公式。
该公式可以通过给定的一些条件计算出点的坐标。
对于一条线段AB，我们可以通过求线段的中点来确定该线段的中点坐标。
设A(x1, y1)和B(x2, y2)为线段的两个端点，其中x1、y1、x2、y2为已知的值。
线段AB的中点坐标为M(x, y)。
那么，根据坐标轴中点坐标公式，我们可以得到中点坐标M的计算公式如下：x = (x1 + x2) / 2y = (y1 + y2) / 2这个公式的含义是将线段AB在x轴和y轴上的坐标分别相加，再除以2，得到线段中点M的坐标。
除了线段外，我们还可以通过给定的一些条件来确定其他几何图形的中点坐标。
例如，对于一个矩形ABCD，可以通过求矩形的对角线的交点来确定矩形的中点坐标。
设A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)、D(x4, y4)为矩形的四个顶点，其中x1、y1、x2、y2、x3、y3、x4、y4为已知的值。
矩形的对角线AC和BD交于点O，点O的坐标为(x, y)。
那么，根据坐标轴中点坐标公式，我们可以得到点O的计算公式如下：x = (x1 + x3) / 2y = (y1 + y3) / 2同样地，我们可以通过给定的一些条件来确定其他几何图形的中点坐标。
在实际应用中，坐标轴中点坐标公式可以用于解决各种问题。
例如，如果我们知道一个矩形的两个对角顶点的坐标，我们可以利用坐标轴中点坐标公式求出矩形的中心点坐标。
这个中心点坐标可以帮助我们确定矩形的位置和大小。
又如，如果我们知道一个三角形的三个顶点的坐标，我们可以利用坐标轴中点坐标公式求出三角形的重心坐标。
平面直角坐标系两点的中点坐标1. 引言大家好，今天咱们来聊聊一个有趣的话题，听起来可能有点学术，但其实很简单！我们要讨论的就是在平面直角坐标系里，两个点的中点坐标。
你可能会问，这有啥好聊的？我跟你说，挺有意思的！想象一下，假如你和朋友约好在某个地方见面，你们分别从不同的地方出发，怎么才能找到最中间的那一点呢？这就是我们要解决的问题啦。
2. 坐标系的基本概念2.1 什么是坐标系？首先，咱得明白什么是平面直角坐标系。
它就像一张大网，横着和竖着各有一条线，形成了一个个小格子。
横的线叫X轴，竖的线叫Y轴。
想象一下，你在一张地图上，坐标就是你找到某个地方的地址。
比如，你的家在（2, 3），那么你只需要先走2步横着，再走3步竖着，就能找到你的小窝啦。
2.2 点的表示而在这个坐标系里，每个点都用一对数字表示，第一个数字表示横坐标，第二个数字表示纵坐标。
就像给点起名字一样，简单明了。
比如，A点在（2, 3），B点在（4, 7），这两个点就像是两位朋友在街上等着，咱们的任务就是找到它们中间的地方。
3. 如何计算中点3.1 中点的公式好了，话不多说，咱们进入正题，如何找到这两个点的中点呢？其实，方法很简单！中点的坐标可以用以下的公式计算：如果A点的坐标是（x1, y1），B点的坐标是（x2, y2），那么中点M的坐标就是：Mleft(frac{x1+x2{2, frac{y1+y2{2right) 。
看吧，难不倒你吧？这就像在做一道简单的加法题，先把横坐标相加，再把纵坐标相加，最后各除以2，嘿，搞定！3.2 举个例子为了让大家更明白，我们来举个具体的例子。
假设A点在（2, 3），B点在（4, 7）。
根据刚才的公式，咱们先算横坐标：2 + 4 = 6，然后再除以2，得3。
接着算纵坐标：3 + 7 = 10，除以2，得5。
最后得出中点M的坐标就是（3, 5）。
是不是很简单？就像吃西瓜一样，爽快又带劲！4. 中点的意义4.1 实际应用那么，找到中点有什么用呢？你可能会想，除了找朋友，咱们还可以用这个知识做啥？其实，很多地方都能派上用场！比如，设计一条跑道，确保两端的跑者能够公平起跑；或者，在建筑设计中，找到两个角落的中心点，方便施工。
平面直角坐标系线段中点坐标公式1. 中点的魅力大家好，今天咱们聊聊一个看似简单但又挺重要的概念——中点！你说，中点是什么？其实，它就是连接两点之间的一条线段的“中间人”。
想象一下，你在公园里和朋友散步，走着走着，突然发现那条长长的走道把你俩给分开了，别担心，中点就像是那道美丽的彩虹，把你俩连接起来。
它的坐标就是线段两端坐标的平均数，就像两个朋友一块分享冰淇淋，甜甜的，一点也不争！2. 中点坐标公式2.1 公式的来历要说到中点的坐标公式，我们得先弄明白两个点。
假设你有两个点，A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)。
那么，中点M的坐标就是用公式 M(x, y) 来表示的。
它的计算方法非常简单，x坐标是x₁和x₂的平均值，y坐标也是y₁和y₂的平均值。
换句话说，M的坐标就是：。
M(x, y) = (left(frac{x₁ + x₂{2, frac{y₁ + y₂{2right))。
简单吧？就像小孩子分享玩具一样，大家一起开心最重要。
2.2 公式的实际应用这个公式的用处可大了，生活中到处都能碰上它的身影！比如说，假设你在校园里和同学约好在操场见面，你们的位置分别在（2, 3）和（4, 5）。
用我们的中点公式一算，中点M的坐标就是：。
M(3, 4)这下，你俩就能在这个地方碰面，不用再东找西找，真是省时省力嘛！想象一下，你的生活就像一场大戏，中点就是那位调皮的小丑，负责让一切变得有趣和轻松。
3. 中点的趣味3.1 中点的几何意义中点不仅仅是数字的游戏，它还有深厚的几何背景。
想想看，一个线段的中点，实际上就是这个线段的“平衡点”。
在一个小朋友的天平上，如果一边放着苹果，另一边放着香蕉，只有在中间的那个点上，它们才能完美平衡。
这就是中点的魅力所在。
数学在我们身边，总是用最简单的方式告诉我们生活的真理。
3.2 生活中的应用而且，中点的概念在生活中还有很多实际应用！比如在建筑设计中，设计师常常需要找出某个结构的中心点，以确保一切都建得稳稳当当。
坐标系中中点公式
中点公式是初中数学中的一个重要公式，它可以用来求解坐标系中两点的中点坐标。
在坐标系中，每个点都有一个唯一的坐标，由横坐标和纵坐标组成。
两点的中点就是它们横坐标和纵坐标的平均值。
中点公式的表达式为：M（x,y）=（x1+x2÷2，y1+y2÷2），其中M 表示两点的中点，x和y分别表示中点的横坐标和纵坐标，x1和y1表示第一个点的横坐标和纵坐标，x2和y2表示第二个点的横坐标和纵坐标。
中点公式的应用非常广泛，它可以用来求解各种几何问题。
例如，在平面直角坐标系中，如果已知两个点的坐标，可以用中点公式求出它们的中点坐标。
如果已知一个点的坐标和它与另一个点的中点坐标，也可以用中点公式求出另一个点的坐标。
中点公式还可以用来求解线段的长度。
线段的长度就是它两个端点的距离，而两个点的距离可以用勾股定理求解。
因此，如果已知线段的两个端点的坐标，可以用中点公式求出它们的中点坐标，然后再用勾股定理求解线段的长度。
除了在几何问题中的应用，中点公式还可以用来求解物理问题。
例如，在匀速直线运动中，如果已知物体的起始位置和终止位置，可以用中点公式求出物体的中间位置。
这样就可以计算出物体在运动过程中的平均速度。
中点公式是一个非常实用的公式，它可以用来求解各种几何和物理问题。
在学习中点公式时，我们需要掌握它的表达式和应用方法，并且要多做练习，加深对它的理解和掌握。
坐标的应用（讲义）知识点睛平面直角坐标系知识回顾：1、数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线，当我们把两条数轴如图放置，就能构成平面直角坐标系；它们有共同的原点，水平方向的数轴我们叫x轴或横轴，铅直方向的数轴我们叫y轴或纵轴；2、我们用有序实数对（a,b）来表示平面直角坐标系内的坐标；数轴把平面直角坐标系分成四个部分，分别是第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。
每一个象限内的符号：（﹢，﹢），（﹣，﹢），（﹣，﹣），（﹢，﹣）；3、每一个点（a,b）的坐标由两部分组成：A、它的符号，由它在坐标系中的位置决定；B、它的长度，a的绝对值表示点到纵轴的距离，b的绝对值表示点到横轴的距离，一般需做横平竖直的垂线；4、关于x轴对称的两个点，x相同，y相反；关于y轴对称的两个点，x相反，y相同；关于原点对称的两个点，x、y都相反；于x轴平行的直线，y相同，x不同，可表示为y=b；于y轴平行的直线，x相同，y 不同；可表示为x=a；坐标系中求线段长的方法：如果两个点的连线平行于x轴或y轴，则其线段长等于大坐标－小坐标；如果不平行，则运用两点之间的距离公式：；5、牢记中点坐标公式：121222，x x y y++⎛⎫ ⎪⎝⎭6、平面直角坐标系中坐标的处理原则：A、过点做平行于x轴、y轴的垂线；B、坐标转线段长，线段长转坐标；4)点的存在性问题：3平行四边形中已知三点坐标确定第四点坐标：；4等腰三角形中已知两点坐标确定第三点坐标：．精讲精练1. 如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（-1，0），B（0，4），顶点C，D在第二象限内，则C，D两点的坐标分别是_______，_______．（分别过C、D两点构造双垂直模型，正方形四边均相等，因此所构造的双垂直模型都是全等三角形。
）在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（-2，-3），B （5，-2），C（2，4），D（-2，2），求四边形ABCD的周长和面积．（构造直角三角形，将坐标转化为线段长，利用勾股定理求出各边长即可；将此四边形补成正方形，通过“补形以做差”，利用大正方形面积减去三个小直角三角形面积即可。
中点坐标公式是什么要求中点坐标公式，可以利用两点的坐标分别与中点的坐标进行关系的推导和计算。
推导过程如下：设M是线段AB的中点，则AM的长度等于BM的长度，即AM=BM。
利用坐标的距离公式可以表示为：√[(x-x1)²+(y-y1)²]=√[(x-x2)²+(y-y2)²]为了简化计算，可以对上式两边进行平方运算，得到：[(x-x1)²+(y-y1)²]=[(x-x2)²+(y-y2)²展开、整理后得到：(x-x1)²+(y-y1)²=(x-x2)²+(y-y2)²进一步展开可得：x²-2x1x+x1²+y²-2y1y+y1²=x²-2x2x+x2²+y²-2y2y+y2²将变量项移项，并合并同类项，可得：-2x1x+x1²-2y1y+y1²=-2x2x+x2²-2y2y+y2²整理得到：x1²-x2²-2x1x+2x2x+y1²-y2²-2y1y+2y2y=0对于x的项，进行合并整理得到：x1²-x2²-2x1x+2x2x=0-2x1x+2x2x=x2²-x1²2x(x2-x1)=x2²-x1²x=(x2²-x1²)/(2(x2-x1))对于y的项，进行合并整理得到：y1²-y2²-2y1y+2y2y=0-2y1y+2y2y=y2²-y1²2y(y2-y1)=y2²-y1²y=(y2²-y1²)/(2(y2-y1))综合得到中点坐标公式为：x=(x2²-x1²)/(2(x2-x1))y=(y2²-y1²)/(2(y2-y1))这个公式可以用于求解任意两点之间的中点坐标。
坐标的应用（讲义）知识点睛平面直角坐标系知识回顾：1、数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线，当我们把两条数轴如图放置，就能构成平面直角坐标系；它们有共同的原点，水平方向的数轴我们叫x轴或横轴，铅直方向的数轴我们叫y轴或纵轴；2、我们用有序实数对（a,b）来表示平面直角坐标系内的坐标；数轴把平面直角坐标系分成四个部分，分别是第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。
每一个象限内的符号：（﹢，﹢），（﹣，﹢），（﹣，﹣），（﹢，﹣）；3、每一个点（a,b）的坐标由两部分组成：A、它的符号，由它在坐标系中的位置决定；B、它的长度，a的绝对值表示点到纵轴的距离，b 的绝对值表示点到横轴的距离，一般需做横平竖直的垂线；4、关于x轴对称的两个点，x相同，y相反；关于y轴对称的两个点，x相反，y相同；关于原点对称的两个点，x、y都相反；于x轴平行的直线，y相同，x不同，可表示为y=b；于y轴平行的直线，x相同，y 不同；可表示为x=a；坐标系中求线段长的方法：如果两个点的连线平行于x轴或y轴，则其线段长等于大坐标－小坐标；如果不平行，则运用两点之间的距离公式：5、牢记中点坐标公式：121222，x x y y++⎛⎫ ⎪⎝⎭6、平面直角坐标系中坐标的处理原则：A、过点做平行于x轴、y轴的垂线；B、坐标转线段长，线段长转坐标；4)点的存在性问题：3平行四边形中已知三点坐标确定第四点坐标：；4等腰三角形中已知两点坐标确定第三点坐标：．精讲精练1. 如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（-1，0），B（0，4），顶点C，D在第二象限内，则C，D两点的坐标分别是_______，_______．（分别过C、D两点构造双垂直模型，正方形四边均相等，因此所构造的双垂直模型都是全等三角形。
）在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（-2，-3），B （5，-2），C（2，4），D（-2，2），求四边形ABCD的周长和面积．（构造直角三角形，将坐标转化为线段长，利用勾股定理求出各边长即可；将此四边形补成正方形，通过“补形以做差”，利用大正方形面积减去三个小直角三角形面积即可。
）9. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（3，0），C（3，4）三点．（1）求△ABC 的面积． （2）如果在第二象限内有一点P （m ，12），是否存在点P ，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．总结提升：1、此题需将坐标转化为线段长，方法是：如果两个点的连线平行于x 轴或y 轴，则其线段长等于大坐标－小坐标；如果不平行，则运用两点之间的距离公式：L=；2、平面直角坐标系中，我们常使用“分割以求和”或“补形以作差”来计算面积。
比如此题就可以OA 为共同的底边分割成两个小三角形求四边形的面积。
18. 如图，在平面直角坐标系中，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），取线段AB的中点M ，分别作A ，B 到x 轴的垂线段AE ，BF ，取EF 的中点N ，则MN 是梯形AEFB 的中位线，故MN ⊥x 轴，利用梯形中位线的知识，我们可以得到点M 的坐标是____________（用x 1，y 1，x 2，y 2表示）．（牢记中点坐标公式）已知点M （-4，2），将坐标系向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，则点M 在新坐标系内的坐标为______．（总结提升：牢记点的平移和坐标系的平移不同；坐标系的平移相当于把点向反方向平移；）34. 如图，35. 将△ABC 绕点C （0，36. -1）旋转180°得到△A ′B ′C ，37. 设点A 的坐标38. 为（a ，39. b ），40. 则点A ′的坐标41. 为（ ）A ．（-a ，-b ）B ．（-a ，-b -1）C ．（-a ，-b ＋1）D ．（-a ，-b -2）（总结提升：由于旋转180°，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，且又在一条直线上，所以我们可以利用中点坐标公式直接求出。
）42. 如图，已知A （0），B （0，2），把△AOB 绕点A 顺时针旋转60°后得到△AO ′B ′，则点B ′的坐标是（ ） A ．（4，B ．（4）C ．3） D ．（+2，（总结提升：首先把坐标转化为线段长，可以得出三角形AOB 是一个含有30°角的直角三角形，又由于旋转角是60°，所以A B ′垂直于横轴，再把线段长转化为坐标即可。
）50. 如图，在平面直角坐标系中，已知A （4，1），B （0，3），请在x 轴上找一点P ，使得点P 到点A ，B 两点距离之和最小，则点P 的坐标是_________．（总结提升：这是一个典型的奶站问题，做点B 关于横轴的对称点，连接此对称点和A 点，于横轴的交点就是所求的点。
求出直线的表达式，然后求出和横轴的交点即可。
）62. 如图，把一个矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，其中A （2，0），B （2，，连接OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在A ′的位置上，则点A ′的坐标为________．总结提升：欲求点A′的坐标，我们可以向横轴做垂线并交横轴于G点；根据折叠的轴对称性质，折叠是一种全等变换，则∠BOA=∠BO A′=60°，则∠A′OG也=60°，则我们构造的小直角三角形是一个含有30°角的直角三角形，根据三边关系比，可求出相应线段的长，然后转化为点的坐标即可。
74. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，A点坐标为（0，2），E是线段BC上一点，且∠AEB=60°，沿AE折叠后B点落在点F处那么F点的坐标是________．（总结提升：此题道理同上，我们过F点做横轴的平行线，与BC相交与点H；根据折叠的轴对称性质，∠BEA=∠AEF=60°，则角FEH=60°，我们构造的是一个含有30°角的直角三角形，根据其三边关系比，分别求出三边的长度，然后用2－BH即是F的纵坐标，2－HF的相反数就是F的横坐标。
）86. 已知A（-2，0），B（3，0），C（0，-1），以A，B，C三点为顶点作平行四边形，则第四个顶点的坐标为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．总结提升：1、这是一个典型的“三个定点、一个动点”平行四边形的存在性的问题。
常用的处理模式是选择其中的一边既做边也做对角线，以便不重不漏，由于在平面直角坐标系中，我们选择横轴或纵轴上的线段，以方便计算；2、若以AB为边，根据平行四边形的对边平行且相等，我们过点C做AB的平行线，则有两种情况，分别过两个D点做此平行线的垂线，则可以构造两个小直角三角形，与相应的三角形对应全等，借助于其三边的关系即可求出点D的坐标；3、若以AB为对角线，根据平行四边形的对边平行且相等，分别做两边的平行线相交与D点即可，然后再过D点做横轴的垂线构造直角三角形解题即可。
97. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，-2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P坐标为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（总结提升：这是一个典型的“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性的题目。
我们常用的处理模式是：“一条线，两个圆”，也就是先做定线段OA的垂直平分线，与纵轴的交点即是其中的一个点，然后分别以两个定点为圆心，定长线段为半径画圆，与纵轴的交点即是其他的点。
当然最终还要排除上述各点中有可能重合的点。
）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（6，0），C（0，2），点M是OA的中点，点P在线段BC上运动，当△OMP是腰长为3的等腰三角形时，则P点的坐标为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．总结提升：1、根据“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性的解题模型，我们先判断谁是定点，谁是动点，然后按照“一条线、两个圆”的模型解题；2、由于此题的特殊性，一条线不再使用，我们只考虑分别以两个定点为圆心，定长线段为半径做圆，然后过这两个圆与BC的交点向横轴做垂线，构造直角三角形，运用勾股定理解题即可。
总共三个点。
113. 如图，方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置分别用（2，2），（4，3）来表示，请在小方格的顶点上确定一点C，连接AB，AC，BC，使△ABC的面积为2个平方单位，则点C的位置有＿＿个．总结提升：1、此题首先需要通过点的坐标确定原点的位置；2、由于A、B两点是定点，而C是动点，我们先随意确定一个C点的位置，使得由此构成的三角形的面积是2；3、根据平行线间的距离处处相等，为此我们过确定的C的位置做线段AB 的平行线，这条平行线上的格点即是我们所求的点；4、同时在线段AB的另一侧，也一定存在着另一条等距离的平行线，我们再看看有几个格点，两项相加，即是全部的点。
三、回顾与思考【参考答案】一、知识点睛1．①坐标转线段长，线段长转坐标；②过点作横平竖直的线．2．①平移线段②一线两圆二、精讲精练1．（-4，5），（-5，1）2．5，65 23．（1）6；（2）存在，（-3，1 2）4．121222，x x y y++⎛⎫ ⎪⎝⎭5．（-1，5）6．D7．B 8．（3，0）9．（-110．（-1，2）11．（1，1），（5，-1），（-5，-1）12．（0，，（0，-2），（0，-，（0，-4）13．2），（2），（2）14．7坐标的应用（随堂测试）1．如图，平面直角坐标系中有一矩形OABC，其中A（0），C（0，4），若将△AOB沿OB所在直线翻折，点A落在点D处，则D点的坐标是________．2．如图，在平面直角坐标系中，其中A（2，0），∠ABO=30°，在y轴上取一点P，使△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P坐标为_______________．【参考答案】1．（6）2．（0，4+），（0，），（0，4-+，（0，-坐标的应用（作业）4.在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为（2，3），（5，-2），（-2，0），求△ABC的周长和面积．（分割以求和，补形以作差）10.如图，已知A（0，4），B（2，0），把线段AB绕点A逆时针旋转90°，点B落在点B′处，则点B′的坐标是（）A．（6，4） B．（4，6） C．（6，5） D．（5，6）（构造双垂直模型解题即可）15.如图，图形关于点D（0，-2）成中心对称，若点A的坐标是（2，3），则点Ｍ的坐标为．（运用中点坐标公式解题即可）4），点P为线段BC上动点，当△POA为等腰三角形时，点P的坐标．为：47.把△ABC放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，则点D的坐标为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（总结提升：由于待求全等三角形和已知三角形有共同的边AB，因此此题实质上是一个轴对称性质的题；由于AB平行于横轴，所以我们以AB 为折痕，把原三角形翻折过去，对应的点就是D点的一个位置；再做出线段AB的垂直平分线，以之为折痕，把原三角形再翻折过去，对应点则是另一个D点的位置。
