三角函数
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三角函数
角
θ的所有三角函数
三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。
目录
定义罕见三角函数
单位圆定义
级数定义
三角函数线
起源三角学问题的提出
独立三角学的产生
现代三角学的确认
“正弦”的由来
“弦表”问世
补充：60进制
特殊角的三角函数同角三角函数关系式
诱导公式
三角函数对称轴与对称中心
两角和与差的三角函数
和差化积公式 积化和差公式
倍角公式
三倍角公式
n倍角公式
半角公式
辅助角公式
万能公式
降幂公式
三角和的三角函数
一些常用特殊角的三角函数值
幂级数
泰勒展开式
傅立叶级数
相关概念三角形与三角函数
定义域和值域
三角函数的画法（以y=sinx的图像为例）
初等三角函数导数
倍半角规律
反三角函数
高等数学内容总体情况
复数域内正余弦函数的性质
性质定理正弦定理
余弦定理
正切定理
三角函数在解三次方程中的应用
定义
罕见三角函数
单位圆定义
级数定义
三角函数线
起源
三角学问题的提出
独立三角学的产生
现代三角学的确认
“正弦”的由来
“弦表”问世
补充：60进制
特殊角的三角函数 同角三角函数关系式
诱导公式
三角函数对称轴与对称中心
两角和与差的三角函数
和差化积公式
积化和差公式
倍角公式
三倍角公式
n倍角公式
半角公式
辅助角公式
万能公式
降幂公式
三角和的三角函数
一些常用特殊角的三角函数值
幂级数
泰勒展开式
傅立叶级数
相关概念
三角形与三角函数
定义域和值域
三角函数的画法（以y=sinx的图像为例）
初等三角函数导数
倍半角规律
反三角函数
高等数学内容
总体情况
复数域内正余弦函数的性质
性质定理
正弦定理
余弦定理
正切定理
三角函数在解三次方程中的应用
定义
如右图，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。对于AB与AC的夹角∠BAC而言：
Rt△ABC
邻边（adjacent）b=AC 对边（opposite）a=BC 斜边（hypotenuse）h=AB 邻边（adjacent）b=AC
基本函数 英文 缩写 表达式 语言描述
正弦函数 Sine sin a/h ∠A的对边比斜边
余弦函数 Cosine cos b/h ∠A的邻边比斜边
正切函数 Tangent tan a/b ∠A的对边比邻边
余切函数 Cotangent cot b/a ∠A的邻边比对边
正割函数 Secant sec h/b ∠A的斜边比邻边
余割函数 Cosecant csc h/a ∠A的斜边比对边
注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。
罕见三角函数
除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数：
versin
函数名 与常见函数转化关系
正矢函数 versinθ=1-cosθ
vercosinθ=1+cosθ
余矢函数 coversinθ=1-sinθ
covercosinθ=1+sinθ
半正矢函数 haversinθ=(1-cosθ)/2
havercosinθ=(1+cosθ)/2
半余矢函数 hacoversinθ=(1-sinθ)/2
hacovercosinθ=(1+sinθ)/2
外正割函数 exsecθ=secθ-1
外余割函数 excscθ=cscθ-1
单位圆定义
六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，
三角函数
单位圆的方程是：x^2+y^2=1 图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 θ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y
坐标分别等于cosθ和sinθ。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sinθ = y/1 和 cosθ = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。 对于大于 2π 或小于等于2π 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：对于任何角度 θ 和任何整数 k。 周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2π 弧度或 360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。
其他四个三角函数的定义
在正切函数的图像中，在角 kπ 附近变化缓慢，而在接近角 (k + 1/2)π 的时候变化迅速。正切函数的图像在 θ = (k +
1/2)π 有垂直渐近线。这是因为在 θ 从左侧接进 (k + 1/2)π 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 (k
+ 1/2)π 的时候函数接近负无穷．
三角函数
另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定 义，类似于历史上使用的几何定义。特别 是，对于这个圆的弦 AB，这里的 θ 是对向角的一半，sin θ 是 AC（半弦），这是印度的阿耶波多介入的定义。cosθ是水平距离 OC，versin θ =1-cosθ 是CD。tanθ是通过 A 的切线的线段 AE 的长度，所以这个函数才叫正切。cotθ 是另一个切线段 AF。
secθ =OE 和 cscθ =OF 是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE 是 exsecθ =
secθ-1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在 θ
接近 π/2的时候发散，而余割和余切在 θ 接近零的时候发散。
级数定义
只使用几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦。（在微积分中，所有角度都以弧度来度量）。我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数 x 都成立：
这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如，在傅立叶级数中），因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。 其他级数可见于：
注：Un是n次上/下数， Bn是n次伯努利数，
三角函数线
依据单位圆定义， 我们可以做三个有向线段（向量）来表示正弦、余弦、正切的值。 如图所示，圆O是一个单位圆，P是α的终边与单位圆上的交点，M点是P在x轴的投影，S(1,0)是圆O与x轴正半轴的交点，过S点做圆O的切线l。 那么向量MP对应的就是α的正弦值，向量OM对应的就是余弦值。OP的延长线（或反向延长线）与l的交点为T，则向量ST对应的就是正切值。向量的起止点不能颠倒，因为其方向是有意义的。 借助线三角函数线，我们可以观察到第二象限角α的正弦值为正，余弦值为负，正切值为负。 1．锐角三角函数定义 锐角角A的正弦（sin），余弦（cos）和正切（tan），余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边； 余弦（cos）等于邻边比斜边； 正切（tan）等于对边比邻边； 余切（cot）等于邻边比对边； 正割（sec)等于斜边比邻边；
余割 (csc)等于斜边比对边。 2．互余角的三角函数关系
sin(90°-α)=cosα， cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα，
cot(90°-α)=tanα。 3．同角三角函数间的关系 商数关系：
sinA/cosA=tanA ·平方关系： sin^2(A)+cos^2(A)=1 ·积的关系： sinA=tanA·cosA cosA=cotA·sinA cotA=cosA·cscA
tanA·cotA=1 ·倒数关系： 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边， 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边 4.三角函数值 （1）特殊角三角函数值 （2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数
