三角函数

三角函数

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角 θ的所有三角函数

三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

目录

定义

锐角三角函数

常见三角函数 非常见三角函数

单位圆定义

三角函数线

起源

三角学问题的提出

独立三角学的产生

现代三角学的确认

“正弦”的由来

“弦表”问世

补充：60进制

特殊角的三角函数

同角三角函数关系式

诱导公式

三角函数对称轴与对称中心

两角和与差的三角函数

和差化积公式

积化和差公式

倍角公式

三倍角公式

n倍角公式

半角公式

辅助角公式 万能公式

降幂公式

三角和的三角函数

一些常用特殊角的三角函数值

幂级数

泰勒展开式

傅立叶级数

相关概念

三角形与三角函数

定义域和值域

初等三角函数导数

倍半角规律

反三角函数

高等数学内容

总体情况

复数域内正余弦函数的性质

三角函数的性质定理

正弦定理

余弦定理

正切定理

三角函数在解三次方程中的应用

定义 锐角三角函数

常见三角函数

非常见三角函数

单位圆定义

三角函数线

起源

三角学问题的提出

独立三角学的产生

现代三角学的确认

“正弦”的由来

“弦表”问世

补充：60进制

特殊角的三角函数

同角三角函数关系式

诱导公式

三角函数对称轴与对称中心

两角和与差的三角函数

和差化积公式

积化和差公式

倍角公式

三倍角公式

n倍角公式 半角公式

辅助角公式

万能公式

降幂公式

三角和的三角函数

一些常用特殊角的三角函数值

幂级数

泰勒展开式

傅立叶级数

相关概念

三角形与三角函数

定义域和值域

初等三角函数导数

倍半角规律

反三角函数

高等数学内容

总体情况

复数域内正余弦函数的性质

三角函数的性质定理

正弦定理

余弦定理

正切定理 三角函数在解三次方程中的应用

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锐角三角函数

锐角三角函数(3张)

在直角三角形ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠C为直角。则定义以下运算方式：

sin ∠A=∠A的对边长/斜边长，sin A记为∠A的正弦；sinA=a/c

cos∠ A=∠A的邻边长/斜边长，cos A记为∠A的余弦；cosA=b/c

tan∠ A=∠A的对边长/∠A的邻边长，

tanA=sinA/cosA=a/ b tan A记为∠A的正切；

当∠A为锐角时sin A、cos A、tan A统称为“锐角三角函数”。

sinA=cosB sinB=cosA

常见三角函数

在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x,y)。

在这个直角三角形中，y是θ的对边，x是θ的邻边，r是斜边，则可定义以下六种运算方法：

基本函数 英文 表达式 语言描述

正弦函数 Sine sin θ=y/r 角θ的对边比斜边

余弦函数 Cosine cos θ=x/r 角θ的邻边比斜边

正切函数 Tangent tan θ=y/x 角θ的对边比邻边

余切函数 Cotangent cot θ=x/y 角θ的邻边比对边

正割函数 Secant sec θ=r/x 角θ的斜边比邻边

余割函数 Cosecant csc θ=r/y 角θ的斜边比对边

在初高中教学中，主要研究正弦、余弦、正切三种函数。

注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。

sinπ/3

非常见三角函数

除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数，这些运算已趋于淘汰：

函数名 与常见函数转化关系

正矢函数 versinθ=1-cosθ

余矢函数 coversθ=1-sinθ

半正矢函数 haversθ=(1-cosθ)/2;

半余矢函数 hacoversθ=(1-sinθ)/2;

外正割函数 exsecθ=secθ-1

外余割函数 excscθ=cscθ-1

单位圆定义

六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0

和 π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，

三角函数

单位圆的方程是：x^2+y^2=1

图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 θ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于cosθ和sinθ。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sinθ = y/1

和 cosθ = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。

对于大于 2π 或小于等于2π 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：对于任何角度 θ 和任何整数 k。

周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2π 弧度或 360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 π 弧度或

180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。

其他四个三角函数的定义

在正切函数的图像中，在角 kπ 附近变化缓慢，而在接近角

(k + 1/2)π 的时候变化迅速。正切函数的图像在 θ = (k +

1/2)π 有垂直渐近线。这是因为在 θ 从左侧接进 (k + 1/2)π

的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 (k + 1/2)π 的时候函数接近负无穷。

另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别

三角函数

是，对于这个圆的弦 AB，这里的 θ 是对向角的一半，sin θ

是 AC（半弦），这是印度的阿耶波多介入的定义。cosθ 是水平距离 OC，versin θ =1-cosθ 是CD。tanθ 是通过 A 的切线的线段 AE 的长度，所以这个函数才叫正切。cotθ 是另一个切线段 AF。 secθ =OE 和 cscθ =OF 是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE 是 exsecθ = secθ-1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在 θ

接近 π/2的时候发散，而余割和余切在 θ 接近零的时候发散。

三角函数线

依据单位圆定义，

我们可以做三个有向线段（向量）来表示正弦、余弦、正切的值。

如图所示，圆O是一个单位圆，P是α的终边与单位圆上的交点，M点是P在x轴的投影，S(1,0)是圆O与x轴正半轴的交点，过S点做圆O的切线l。

那么向量MP对应的就是α的正弦值，向量OM对应的就是余弦值。OP的延长线（或反向延长线）与l的交点为T，则向量ST对应的就是正切值。向量的起止点不能颠倒，因为其方向是有意义的。

借助线三角函数线，我们可以观察到第二象限角α的正弦值为正，余弦值为负，正切值为负。

1、锐角三角函数定义 锐角角A的正弦（sin），余弦（cos）和正切（tan），余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。

正弦（sin）等于对边比斜边；

余弦（cos）等于邻边比斜边；

三角函数(8张)

正切（tan）等于对边比邻边；

余切（cot）等于邻边比对边；

正割（sec)等于斜边比邻边；

余割 (csc)等于斜边比对边。

2、互余角的三角函数间的关系

sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.

3、同角三角函数间的关系

商数关系：

sinA/cosA=tanA

·平方关系：

sin^2(A)+cos^2(A)=1

·积的关系：

sinA=tanA·cosA

cosA=cotA·sinA