三角函数

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精锐教育网站： 1 精锐教育学科教师辅导讲义

学员编号： 年 级：高 三 课 时 数： 3

学员姓名：赵 银 辅导科目：数 学 学科教师：汤 亮

授课类型 T三角函数 C T

授课日期及时段

知识梳理：

1. ①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：Zkk,360|

②终边在x轴上的角的集合： Zkk,180|

③终边在y轴上的角的集合：Zkk,90180|

④终边在坐标轴上的角的集合：Zkk,90|

⑤终边在y=x轴上的角的集合：Zkk,45180|

⑥终边在xy轴上的角的集合：Zkk,45180|

⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：k360

⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：180360k

⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：k180

⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：90360k

2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

、弧度与角度互换公式： 1rad＝180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180≈0.01745（rad）

3、弧长公式：rl||. 扇形面积公式：211||22slrr扇形

4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）Pyx▲SIN\COS三角函数值大小关系图sinxcosx1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域12341234sinxsinxsinxcosxcosxcosxroxya的终边P（x,y) 中国领先的个性化教育品牌

精锐教育网站： 2 与原点的距离为r，则

rysin；

rxcos；

xytan；

yxcot；

xrsec；.

yrcsc.

5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

正切、余切余弦、正割-----+++++-+正弦、余割oooxyxyxy

6、三角函数线

正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.

7. 三角函数的定义域：

三角函数 定义域

)(xfsinx Rxx|

)(xfcosx Rxx|

)(xftanx

ZkkxRxx,21|且

)(xfcotx ZkkxRxx,|且

)(xfsecx

ZkkxRxx,21|且

)(xfcscx ZkkxRxx,|且

8、同角三角函数的基本关系式：tancossin cotsincos

1cottan 1sincsc 1cossec

1cossin22 1tansec22 1cotcsc22

9、诱导公式：

2k把的三角函数化为的三角函数，概括为：

“奇变偶不变，符号看象限”

三角函数的公式：（一）基本关系

公式组二 公式组三 TMAOPxy(3) 若 o|cosx||cosx|>|sinx||cosx|>|sinx||sinx|>|cosx|sinx>cosxcosx>sinx16. 几个重要结论:OOxyxy 中国领先的个性化教育品牌

精锐教育网站： 3

xxkxxkxxkxxkcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(

xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(

公式组四 公式组五 公式组六

xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(

xxxxxxxxcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(

xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

xAysin

（A、＞0）

定义域 R R R

值域 ]1,1[ ]1,1[ R R AA,

周期性 2 2  

2

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 当,0非奇非偶

当,0奇函数

单调性 ]22,22[kk上为增函数；]223,22[kk上为减函数（Zk） ]2,12[kk；上为增函数]12,2[kk

上为减函数

（Zk）

kk2,2上为增函数（Zk） 1,kk上为减函数（Zk）

)(212),(22AkAk上为增函数；

)(232),(22AkAk上为减函数（Zk）

注意：①xysin与xysin的单调性正好相反；xycos与xycos的单调性也同样相反.一般地，若)(xfy在],[ba上递增（减），则)(xfy在],[ba上递减（增）. 公式组一sinx·cscx=1tanx=xxcossinsin2x+cos2x=1cosx·secxx=xxsincos1+tan2x=sec2xtanx·cotx=1 1+cot2x=csc2x=1ZkkxRxx,21|且ZkkxRxx,|且xycotxytanxycosxysin▲Oyx 中国领先的个性化教育品牌

精锐教育网站： 4 ②xysin与xycos的周期是.

③)sin(xy或)cos(xy（0）的周期2T.

2tanxy的周期为2（2TT，如图，翻折无效）.

④)sin(xy的对称轴方程是2kx（Zk），对称中心（0,k）；)cos(xy的对称轴方程是kx（Zk），对称中心（0,21k）；)tan(xy的对称中心（0,2k）.xxyxy2cos)2cos(2cos原点对称

⑤当tan·,1tan)(2Zkk；tan·,1tan)(2Zkk.

⑥xycos与kxy22sin是同一函数,而)(xy是偶函数，则)cos()21sin()(xkxxy.

⑦函数xytan在R上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，xytan为增函数，同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是)(xf具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(xfxf，奇函数：)()(xfxf）

奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：xytan是奇函数，)31tan(xy是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）

奇函数特有性质：若x0的定义域，则)(xf一定有0)0(f.（x0的定义域，则无此性质）

⑨xysin不是周期函数；xysin为周期函数（T）；

xycos是周期函数（如图）；xycos为周期函数（T）；

212cosxy的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

Rkkxfxfy),(5)(.

⑩abbabaycos)sin(sincos22 有yba22.

题型归纳：

1、 已知函数()sin(0)fxx的最小正周期为，则该函数的图象 ▲yxy=cos|x|图象▲1/2yxy=|cos2x+1/2|图象 中国领先的个性化教育品牌

精锐教育网站： 5 y

x 1

1 2 3

O

6  y

x 1

1 2 3 O 6 

y

x 1

1 2 3 O 6  y

x 

2 6 1

O

1 3 Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ． A．关于直线x对称 B．关于点0，对称

C．关于点0，对称 D．关于直线x对称

2、将π2cos36xy的图象按向量π24，a平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）

Ａ．π2cos234xy Ｂ．π2cos234xy

Ｃ．π2cos2312xy Ｄ．π2cos2312xy

3、函数πsin23yx在区间ππ2，的简图是（ ）

4、将函数xy4sin的图象向左平移12个单位，得到)4sin(xy的图象，则等于

( )

A．12 B．3 C．3 D．12

5、已知cossin,45cossin则（ ）