三角函数
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山东省实验中学高一数学必修四知识预习材料
第一章 三角函数
编辑：高一数学组
整理：王 虎 山东省实验中学高一数学组必修四教学材料——《三角函数》 小虎子工作室
成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌
目 录
第一节 角的概念的推广
第二节 角度制和弧度制
第三节 单位圆和三角函数线
第四节 任意角的三角函数定义
第五节 同角三角函数的基本关系式
第六节 正弦、余弦的诱导公式
第七节 正弦函数、余弦函数的图象和性质
第八节 函数y=Asin(ωx+φ) 的图象
第九节 正切函数的图象和性质
第十节 已知三角函数值求角
第11节 两角和与差的正弦、余弦和正切
第12节 二倍角的正弦、余弦和正切
第13节 半角的正弦、余弦和正切
第14节 降幂、升幂和合一公式
第15节 积化和差、和差化积公式 山东省实验中学高一数学组必修四教学材料——《三角函数》 小虎子工作室
成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌 第一节 角的概念的推广
一、角的概念推广：
终边相同的角
象限角
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
轴线角 x轴
y轴
坐标轴
在y=x上
在y=-x上
对称角 关于x轴
关于y轴
关于原点
关于y=x
关于y=-x
互相垂直
区
域
角
阴影部分 对称
不对称
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成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌 思考：锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？0°～90°的角是锐角吗？
例1 请用集合表示下列各角．① ～ 间的角②第一象限角 ③锐角 ④小于 角．
例2用集合表示：
（1）各象限的角组成的集合． （2）终边落在 轴右侧的角的集合．
例3、如图，终边落在OA位置时的角的集合是 ；
终边落在 OB位置，且在]360,360[内的角的集合是 ；
终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是 ．
例4将下列各角表示为α＋ｋ·360°（ｋ∈Ζ，0°≤α＜360°）的形式，并判断角在第几象限，找出在]720,360[内的角。
（1） ； （2） ； （3） ．
练习：
1、与120°角终边相同的角是（ ）
A.-600°+k·360°,k∈Z B.-120°+k·360°,k∈Z C.120°+(2k+1)·180°,k∈Z D.660°+k·360°,k∈Z
2、下列命题中正确的是（ ）
A.终边在y轴非负半轴上的角是直角 B.第二象限角一定是钝角 C.第四象限角一定是负角
D.若β=α+k·360°(k∈Z),则α与β终边相同
3、角α=45°+k·180°,k∈Z的终边落在（ ）
A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
4、已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角是
A.(1)、(2) B.(2)、(3) C.(1)、(3) D.(2)、(4)
5、在[360°,1620°]中与21°16′终边相同的角有（ ）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
6、已知是锐角，那么2是（ ）
.A第一象限 .B第二象限.C小于180的正角.D不大于直角的正角
7、已知是钝角，那么2/是（ ）
.A第一象限 B.第二象限.C第一与第二象限.D不小于直角的正角
8、一角为 30度，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为
9、设},45360|{ZkkA,},225360|{ZkkB ,
},45180|{ZkkC,},135360|{ZkkD,},22536045360|{ZkkkE或，则相等的角集合为_ _．
10、设E={小于90度的角}，F={锐角}，G={第一象限的角}，M{小于90度但不小于0度的角} ，那么有（ ）A． B． C．（ ） D．
11、分别写出：①终边落在 轴负半轴上的角的集合； ②终边落在 轴上的角的集合；
③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；④终边落在四象限角平分线上的角的集合．
12、在与530度终边相同的角中，求满足下列条件的角
（1）最大的负角 （2）最小的正角 （3）)360,720( 山东省实验中学高一数学组必修四教学材料——《三角函数》 小虎子工作室
成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌 时钟问题专题：
方法：1分钟的时间内，时针旋转了5.0，分针转了6，看看两个角相差多少。
1、 从7点整开始，在经过多少分钟，时针正好和分针重合？
2、6时整，分针和时针正好在一条直线上，至少经过多少分钟，两针正好垂直？
3、在4点和5点之间，时针和分针在什么时刻位于同一条直线？
4、 在钟面上，1时50分的时刻，时针和分针的夹角是多少度？（指小于或等于180度的角）
5、 现在的钟面时间是4时，经过多少时间，时针和分钟到4的距离第一次相等？
练习：
1、 从5点钟开始，在经过多少分钟，时针正好和分针重合？
2、 从7点整开始，经过多少分钟，两针正好垂直？
3、 吃过晚饭，方宇一家出去散步，他们出门前钟面显示7点多钟，他们回来后钟面显示也是7点多钟，且两次钟面上时针与分针都恰好位于同一条直线上，请问：他们散步用了多长的时间？
4、 现在是8点整，再过多少时间，时针与分针将第一次在一条直线上？
5、 现在是12点整，时针正好和分针重合，至少再经过多少分钟，时针与分针再次重合？
6、 6、4时整，时针与分针的夹角是多少度？（指小于或等于180度的角）
7、 在钟面上，8时25分的时刻，时针与分针的夹角是多少度？（指小于或等于180度的角）
8、6点多少分时，时针与分针到6的距离第一次相等？
9、8点到9点之间，在什么时刻时针与分针之间的夹角是60度？
10、9点26分，时钟的分针与时针的夹角（指小于或等于180度的角）是多少度？
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※三角函数背景介绍※
三角学起源于对三角形边角关系的定量考察，这始于古希腊一批天文学家对天文的测量。比如希腊人阿利斯塔克（公元前310～前230）提出“日心说”：太阳处于宇宙的中心，而地球绕太阳旋转，同时自转。这一观点早于哥白尼1700多年，因而被恩格斯称为“古代的哥白尼”。他的现存著作只有一篇短文《论日月的大小及距离》，其中记载了他侧得月亮上弦时日月之间的角距离为870。如图所示，设日地距离为a，月地距离为b，因月亮上弦时∠EMS=900，故∠S=30。阿利斯塔克用一种比较复杂的几何方法算得1813sin201ab，由此他断言日地距离介于月地距离的18倍与20倍之间。虽然这一结果与现代测量的数值（约389倍）相差甚远，但测不准的原因是由于目测误差引起的，他的方法正确简明，为后人继续使用。（上弦时日、月间的角距离为89051，，而不是870）。
因此在相当长一个时期里，三角学隶属于天文学，而在它的形成过程中里同了当时已经积累得相当丰富得算术、几何和天文知识。鉴于此种原因，作为独立得数学分支的三角学诞生之前，它的贡献者主要是一些天文学家，如梅内劳斯、托勒密等。这两个人在数学上的成就也很大，如果大家有看课外书的话，可能会知道以这两人命名的定理，这在初等几何中是非常有名的。有机会再向大家介绍。三角学作为一门数学分支是什么时候传入中国的呢？1631年，三角学输入中国。明朝学者徐光启所编译的《大测》一书就是介绍三角学的。徐光启的工作使中国开始接受欧洲科学知识，对我国的天文学和数学的发展有重大影响。 山东省实验中学高一数学组必修四教学材料——《三角函数》 小虎子工作室
成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌 第二节 角度制和弧度制
角度制和弧度制的区别和联系
角度制 弧度制
定义
单位
1单位的含义
进位制
弧长公式
面积公式
联系换算
相互转化：
终边相同的角
象限角
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
轴线角 x轴
y轴
坐标轴
在y=x上
在y=-x上
对称角 关于x轴
关于y轴
关于原点
关于y=x
关于y=-x
互相垂直
区
域
角
阴影部分 对称
不对称
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成功的花朵需要辛勤的汗水来浇灌 应用一、角度值和弧度制的相互转化
例1、将下列角度化成弧度
(1) 10° (2) 30° (3)－75° (4) －300°
例2、将下列弧度化成角度
(1) (2) 12 (3) 23 (4) 3 (5) 4
例3、把1480写成)(2Zkk的形式
例3、下列终边相同的角是（ ）
.A2k与Zkk,2.B3k与Zkk,3.C6k与Zkk,62.D)12(k与Zkk,)14(
例4、集合},322|{},2|{ZnnZnnA，集合},2|{},32|{ZnnZnnB，
则A与B的关系如何？
例5、已知：kkkk242,24324.其中Zk.求的范围.
应用二、弧长公式和面积公式
例1、已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R.
（1）若cmR10,60，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积.
（2）若扇形的周长是一定值)0(CC，当为多少弧度时，该扇形有最大面积.
例2、2弧度的圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所对的扇形面积的数值是（ ）
.A1sin1 .B1sin12 .C2cos11.D1tan
