2024届高考数学复习策略讲座

专题4-1 数列求通项的常见方法（1）n S 与n a 同时存在角度1：已知n S 与n a 的关系；或n S 与n 的关系用1n n S S −−，得到n a 例：已知()241n n S a =+，求n a角度2：已知n a 与1n n S S −的关系；或n a 与1n n S S −+的关系1n n S S −−替换题中的n a 例：已知12(2)n n n a S S n −=≥；已知11n n n S a S ++=−角度3：等式中左侧含有：1ni i i a b =∑作差法 （类似1n n S S −−）例子：已知123232nn a a a na +++⋯+=求n a前n 项积n T角度1：已知n T 和n 的关系角度1：用1nn T T −，得到na 例子：{}nb 的前n 项之积()(1)*22N n n n T n +=∈.角度2：已知n T 和n a 的关系角度1：用1nn T T −替换题目中na 例子：已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，且121n na T +=.因式分解：如果式子中出现了2次项或者正项数列这些条件，可能需要因式分解 例：设正项{}n a 的前n 项和为n S（1）若满足263n n n a S a =−,*n N ∈,数列{}n a 的通项公式为__________（2）若113a =，2111(25)3n n n n a a a a ++=−，{}n a 的通项公式为_____________ （3）若12a =，2112(4)n n n n a a a a ++=−，{}n a 的通项公式为____________2021·全国高考乙卷（理）——前n 项积，消n S 求n a 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=． （1）证明：数列{}n b 是等差数列;（2）求{}n a 的通项公式．题型一 递推一项再作差，即消n S 求n a ：用1n n S S −−，得到n a1．已知数列{}n a 满足：对任意*n ∈N ，有()212333323314n n n n a a a n ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅−+，求数列{}n a 的通项公式;重点题型·归类精讲2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有2312322222n nn a a a a n +++⋅⋅⋅+=⋅．求数列{}n a 的通项公式.3．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，若11a =，12n n S a +=，则数列{}n a 的通项公式n a =4．（2023·广东惠州二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且225n n S a n =+−，求数列{}n a 的通项公式.5．（2023·广东佛山二模）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足226n n S a +=−， (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记m b 为数列{}n S 在区间()2,m m a a +中最大的项，求数列{}n b 的前n 项和n T ．6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有2312322222n nn a a a a n +++⋅⋅⋅+=⋅,求数列{}n a 的通项公式.7．在数列{}n a 中，23122341n a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=++，求{}n a 的通项公式.2024届·湖南师大学附中月考(一)8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()12N*n n a S n +=∈，则有（ ） A ．{}n a 为等差数列 B ．{}n a 为等比数列 C ．{}n S 为等差数列D ．{}n S 为等比数列2024届·重庆实验外国语学校月考（10月）9．（多选）若数列{}n a 满足12111,12nn a a aa a n+==+++（n 为正整数），n S 为数列{}n a 的前n 项和则（ ） A ．21a = B ．20241012a =C ．()14n n n S +=D ．121113nS S S ++⋅⋅⋅+<题型二 消n a 求n S ：将题意中的n a 用1n n S S −−替换涉及导数10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n +1=S n ,n ∈N *,则S n = .2023届·广东省广州市高三冲刺训练（二）11．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知*2,0,12n nn n n a a a S ∀∈>+=N ，求n a12．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(1)求n S ；2)求12233411111n n S S S S S S S S ++++⋯+++++13．在数列{}n a 中,2121,21nn n S a a S ==−,则{}n a 的通项公式为 .14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,1n n S a a +=≥+，且112()n n n a S S ++=+，求通项公式n a ．15．(多选)设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，110n n n a S S +++=，则下列说法正确的有( ) A ．数列{}n a 的前n 项和为1n S n= B ．数列1{}nS 为递增数列C ．数列{}n a 的通项公式为1(1)n a n n =−−D ．数列{}n a 的最大项为1a2023·江苏盐城中学三模16．已知正项数列{n a }中，11a =，n S 是其前n 项和，且满足)211n n S S S +=，求数列{n a }的通项公式题型三 因式分解（正项数列）浙江省百校联盟2022-2023学年高三上学期11月模拟17．正项递增数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*441n n S a n n =+−∈N ，求{}n a 的通项公式；2023届广东省一模18．已知各项都是正数的数列{}n a ，前n 项和n S 满足()2*2n n n a S a n =−∈N ，求数列{}n a 的通项公式.湖南省常德市第一中学2023-2024学年高三上学期第二次月考（2015·高考真题）19．n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，22nn a a +=43n S +，求{n a }的通项公式.2023届茂名一模20．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，0n a >，224n n n a a S +=,求数列{}n a 的通项公式.21．已知正项数列{}n a 和{}n b ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242n n n S a a =+，()32log 3n n a b =，n *∈N ，求数列{}n a 与{}n b 的通项公式.22．已知各项为正的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n a S =− ，则2163n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．23−2D ．9223．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，20,24n n n n a a a S >+=，求数列{}n a 的通项公式题型四 前n 项之积T n对于数列{}n a ，前n 项积记为n T ； ① 1231n n n T a a a a a −=； ②11231(2)n n T a a a a n −−=≥；①÷②：1(2)nn n T a n T −=≥ 2024届·江苏省连云港，南通市调研(一)24．已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，且1n n a T +=，求{}n a 的通项公式25．已知数列{}n a 前n 项积为n T ，且*1()n n a T n +=∈N ,求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬−⎩⎭为等差数列；26．已知数列{}n a 的前n 项和为()*n S n ∈N ，在数列{}n b 中，111b a ==，()1121n n na n a n −−−=−，12313n S n n b b b b b +=，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式27．设数列{}n a 的前n 项积为n T ，且()*22n n T a n =−∈N .求证数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；28．记n b 为数列{}n a 的前n 项积，已知13a =，121n na b +=，求数列{}n b 的通项公式专题4-1 数列求通项的常见方法（1）n S 与n a 同时存在角度1：已知n S 与n a 的关系；或n S 与n 的关系用1n n S S −−，得到n a 例：已知()241n n S a =+，求n a角度2：已知n a 与1n n S S −的关系；或n a 与1n n S S −+的关系 1n n S S −−替换题中的n a 例：已知12(2)n n n a S S n −=≥；已知11n n n S a S ++=−角度3：等式中左侧含有：1ni i i a b =∑作差法 （类似1n n S S −−）例子：已知123232nn a a a na +++⋯+=求n a前n 项积n T角度1：已知n T 和n 的关系角度1：用1nn T T −，得到na 例子：{}nb 的前n 项之积()(1)*22N n n n T n +=∈.角度2：已知n T 和n a 的关系角度1：用1nn T T −替换题目中na 例子：已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，且121n na T +=. 因式分解：如果式子中出现了2次项或者正项数列这些条件，可能需要因式分解 例：设正项{}n a 的前n 项和为n S（1）若满足263n n n a S a =−,*n N ∈,数列{}n a 的通项公式为__________（2）若113a =，2111(25)3n n n n a a a a ++=−，{}n a 的通项公式为_____________（3）若12a =，2112(4)n n n n a a a a ++=−，{}n a 的通项公式为____________ 【答案】（1）33(1)3n a n n =+−=；（2）n1()3n a =；（3）2n n a =2021·全国高考乙卷（理）——前n 项积，消n S 求a 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=． （1）证明：数列{}n b 是等差数列;（2）求{}n a 的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）(),121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪−≥+⎪⎩. 【分析】（1）由已知212n nS b +=得221n n n b S b =−,且0n b ≠，取1n =,得132b =,由题意得1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=−−−,消积得到项的递推关系111221n n n nb bb b +++=−,进而证明数列{}n b 是等差数列;（2）由（1）可得n b 的表达式,由此得到n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪−≥+⎪⎩. 【详解】（1）[方法一]： 由已知212n n S b +=得221n n n b S b =−,且0n b ≠，12n b ≠,取1n =,由11S b =得132b =, 由于n b 为数列{}n S 的前n 项积， 所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=−−−, 所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=−−−， 所以111221n n n nb bb b +++=−,由于10n b +≠ 所以12121n n b b +=−，即112n n b b +−=,其中*n ∈N 所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知1231−⋅=⋅⋅⋅⋅n n n b S S S S S ①于是11231(2)−−=⋅⋅⋅⋅≥n n b S S S S n ． ②由①②得1nn n b S b −=． ③又212n nS b +=， ④ 由③④得112n n b b −−=． 令1n =，由11S b =，得132b =． 所以数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列． [方法三]：由212n n S b +=，得22=−nn nSb S ，且0n S ≠，0n b ≠，1n S ≠．又因为111−−=⋅⋅=⋅n n n n n b S S S S b ，所以1122−==−n n n n b b S S ，所以()1111(2)2222212−−−=−==≥−−−n n n n n n n S S b b n S S S ．在212n n S b +=中，当1n =时，1132==b S ． 故数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列． （2）由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列， ()3111222n n b n ∴=+−⨯=+,22211n n n b nS b n+==−+, 当n =1时，1132a S ==, 当n ≥2时,()121111n n n n n a S S n n n n −++=−=−=−++,显然对于n =1不成立, ∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪−≥+⎪⎩.题型一 递推一项再作差，即消n S 求n a ：用1n n S S −−，得到n a1．已知数列{}n a 满足：对任意*n ∈N ，有()212333323314n n n n a a a n ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅−+，求数列{}n a 的通项公式;【答案】(1)n a n = 【分析】当1n =时，易知11a =，当2n ≥时，有递推关系可知211112133332(1)3314n n n n a a a n −−−−⎡⎤⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=−⋅−+⎣⎦，将其与与原递推关系作差，即可得到结果，再检验1n =是否满足，进而得到结果；【详解】（1）解：当1n =时，133(2331)34a ⋅=⋅−+=，故11a =，当2n ≥时，211112133332(1)3314n n n n a a a n −−−−⎡⎤⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=−⋅−+⎣⎦，则 ()1133323312(1)331344n n n n n nn a n n n −−⎡⎤⋅=⋅−+−−⋅−+=⋅⎣⎦， 故n a n =，当1n =时，上式亦满足； 综上， n a n =；2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有2312322222n nn a a a a n +++⋅⋅⋅+=⋅．求数列{}n a 的通项公式.【答案】12n n a +=【详解】（1）由题2313222222n n n a a a a n ++++=⋅，当1n =时，122a =，∴11a =；当2n ≥时，由2312322222n nn a a a a n +++⋅⋅⋅+=⋅，所以231113122222(1)2n n n a a a a n −−−+++⋅⋅⋅+=−⋅，两式相减，重点题型·归类精讲可得1122(1)2(1)2n n n n n a n n n −−=⋅−−=+，∴12n n a +=． 当1n =时，1112n a +==满足，∴12n n a +=．3．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，若11a =，12n n S a +=，则数列{}n a 的通项公式n a =【答案】2*1,123,2,n n n n N −=⎧⎨⨯∈⎩4．（2023·广东惠州二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且225n n S a n =+−，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】当1n =时，111225S a a ==+−，解得13a =， 当2n ≥时，()112215n n S a n −−=+−−．可得()112252215n n n n S S a n a n −−⎡⎤−=+−−+−−⎣⎦， 整理得：122n n a a −=−， 从而()()12222n n a a n −−=−≥，又121a −=，所以数列{}2n a −是首项为1，公比为2的等比数列； 所以()1112222n n n a a −−−=−⋅=，所以122n n a −=+，经检验，13a =满足122n n a −=+，综上，数列{}n a 的通项公式为122n n a −=+；5．（2023·广东佛山二模）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足226n n S a +=−， (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记m b 为数列{}n S 在区间()2,m m a a +中最大的项，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，则0q >，又226n n S a +=−， 当1n =时，1326S a =−，当2n =时，2426S a =−， 两式相减可得，2432a a a =−，所以22q q =−， 所以2q或1q =−(舍去)，所以1312646S a a =−=−，即13a =，所以等比数列{}n a 的通项公式为132n n a −=⨯；（2）由132n n a −=⨯，226n n S a +=−，可得()()1211632632322n n n n S a ++=−=⨯−=⨯−， 所以113n n n S a a ++=−<，又0n a >， 所以n n S a ≥，当且仅当1n =时等号成立， 所以122m m m m m a S S a S +++≤<<<，所以11323m m m b S ++==⨯−，所以()2341322223n n T n +++=+−+22233322212312n n n n ++−⨯⨯−==−−−.即222313n n T n +−−=⨯.6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有2312322222n nn a a a a n +++⋅⋅⋅+=⋅,求数列{}n a 的通项公式.【答案】(1)12n n a +=【详解】由题2313222222n n n a a a a n ++++=⋅，当1n =时，122a =，∴11a =；当2n ≥时，由2312322222n nn a a a a n +++⋅⋅⋅+=⋅，所以231113122222(1)2n n n a a a a n −−−+++⋅⋅⋅+=−⋅，两式相减， 可得1122(1)2(1)2n n n n n a n n n −−=⋅−−=+，∴12n n a +=． 当1n =时，1112n a +==满足，∴12n n a +=7．在数列{}n a 中，23122341n a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=++，求{}n a 的通项公式. 【答案】()n 【详解】解：因为23122341na a a a n n n ++++=++，① 则当1n =时，122a =，即14a =， 当2n ≥时，21231234n a a a a n n n−++++=−，② ①−②得21na n n =+，所以()21n a n n =+， 14a =也满足()21n a n n =+，故对任意的N n *∈，()21n a n n =+.2024届·湖南师大学附中月考(一)8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()12N*n n a S n +=∈，则有（ ） A ．{}n a 为等差数列 B ．{}n a 为等比数列 C ．{}n S 为等差数列 D ．{}n S 为等比数列【答案】D【分析】根据1n n n S S a −−=得到21,123,2n n n a n −=⎧=⎨⋅≥⎩，即可判断AB 选项；根据112n n S a +=，11a =得到13n n S −=即可判断CD 选项.【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12N n n a S n +=∈，当2n ≥时，12n n a S −=，两式相减，可得()1122n n n n n a a S S a +−−=−=， 可得13n n a a +=，即()132n n a n a +=≥，又由11a =，当1n =时，2122a S ==，所以212aa =， 所以数列{}n a 的通项公式为21,123,2n n n a n −=⎧=⎨⋅≥⎩，故数列{}n a 既不是等差数列也不是等比数列，所以AB 错.当2n ≥时，11132n n n S a −+==，又由1n =时，111S a ==，适合上式， 所以数列{}n a 的前n 项和为13n n S −=；又由13n nS S +=，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列，故D 正确，C 错.届·重庆实验外国语学校月考（9．（多选）若数列{}n a 满足12111,12nn a a aa a n+==+++（n 为正整数），n S 为数列{}n a 的前n 项和则（ ） A ．21a = B ．20241012a =C ．()14n n n S +=D ．121113nS S S ++⋅⋅⋅+< 【分析】直接代入递推公式求得21a =，可知A 正确；根据递推式求1n n a a +−，构造数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，求得数列{}n a 的通项，得20241012a =，B 正确；代入等差数列求和公式可得()11+42n n n S +=，C 错误；先放缩，再利用裂项相消求和可证明D 正确.【详解】1211a a ==，故A 正确； 由12112n n a a a a n +=++⋅⋅⋅+知，()1122121n n a a aa n n −=++⋅⋅⋅+≥−，两式相减得()12n n n aa a n n+−=≥，故11n n a a n n +=+，故当2n ≥时，n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列， 故2122n a a n ==，故1,1,,2,2n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩，故20241012a =，故B 正确；()12311211222222242n n n n n S +⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=+ ⎪⎝⎭，故C 错误；()()114114111142n n n S n n n n ⎛⎫=<=− ⎪+++⎝⎭+，故1211111111111141432334121n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<+−+−+⋅⋅⋅+−=+−< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，故D 正确题型二 消n a 求n S ：将题意中的n a 用1n n S S −−替换涉及导数10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n +1=S n ,n ∈N *,则S n = . 【答案】2n -1解析 由a n +1=S n ,得S n +1-S n =S n , 即S n +1=2S n ,n ∈N *,因此数列{S n }是以S 1=1为首项,2为公比的等比数列, 所以S n =2n -12023届·广东省广州市高三冲刺训练（二）11．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知*2,0,12n n n n n a a a S ∀∈>+=N ，求n a 【详解】由题意知，1111，又10a >，得11a =．当2n ≥时，由212n n n a a S +=，得()()21112n n n n n S S S S S −−−+=−，得2211n n S S −−=．则数列{}2n S 是首项为211S =，公差为1的等差数列．所以()211n S n n =+−=．又0n S >，则=n S n当2n ≥时，11−=−=−n n n a S S n n 又11a =满足上式， 所以1=−n a n n12．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(1)求n S (2)求12233411111n n S S S S S S S S ++++⋯+++++ 【答案】=n S n【分析】先令1n =求出首项，再由数列的递推公式，当2n ≥时，1n n n a S S −=−代入并结合 等差数列的定义和通项公式求出n S .【详解】根据题意可得0n a >，当1n =时，1111112S a a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，解得11a =，由1n n n a S S −=−，2n ≥代入得11112n n n n n S S S S S −−⎛⎫=−+ ⎪−⎝⎭，整理后得111n n n n S S S S −−+=−，即2211n n S S −−=，根据等差数列的定义可知，数列{}2n S是首项为1，公差为1的等差数列，则21(1)1n S n n =+−⋅=，∴=n S n13．在数列{}n a 中,2121,21nn n S a a S ==−,则{}n a 的通项公式为.【答案】11,221231,1n n a n n n ⎧−≥⎪=−−⎨⎪=⎩. 【解析】当,*2n n ≥∈N 时,1n n n a S S −=−,2221112222, 21n n n n n n n n n n S S S S S S S S S S −−−∴−=⇒−−+=−整理可得:111112,2n n n n n n S S S S S S −−−−=∴−=, 1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭为公差为2的等差数列,111(1)221n n n S S ∴=+−−=−,11,21,.2123211,1n n n S a n n n n ⎧−≥⎪∴==−−⎨−⎪=⎩14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,1n n S a a +=≥+，且112()n n n a S S ++=+，求通项公式n a ．【答案】88,2n a n n ⎧=⎨−≥⎩【详解】111112()()()n n n n n n n n n a S S S S S S S S +++++==−= 1111,1n n S a a a +==−≥10n n S S +>12n n S S +=，即{}n S 是以2为公差，1为首项的等差数列 21n S n =−，即2(21)n S n ∴=−当2n ≥时，221(21)(23)88n n n a S S n n n −=−=−−−=−显然，1n =时，上式不成立，所以1,188,2n n a n n =⎧=⎨−≥⎩.15．(多选)设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，110n n n a S S +++=，则下列说法正确的有( ) A ．数列{}n a 的前n 项和为1n S n= B ．数列1{}nS 为递增数列C ．数列{}n a 的通项公式为1(1)n a n n =−−D ．数列{}n a 的最大项为1a【解答】解：由110n n n a S S +++=，得11n n n n S S S S ++−=−， ∴1111n n S S +−=−，即1111n nS S +−=， 又11111S a ==，∴数列1{}n S 为以1为首项，以1为公差的等差数列，则11(1)1n n n S =+−⨯=，可得1n S n=，故AB 正确； 当2n 时，111111(1)(1)n n n n n a S S n n n n n n −−−=−=−==−−−−， ∴1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨−⎪−⎩，∴数列{}n a 的最大项为1a ，故C 错误，D 正确．故选：ABD ．2023·江苏盐城中学三模16．已知正项数列{n a }中，11a =，n S 是其前n 项和，且满足)211n n S S S +=，求数列{n a }的通项公式【答案】21(N*)n a n n =−∈【详解】（1）正项数列{n a }，11a =，满足)211n n S S S +=11n n S S +=，所以数列n S 是以1为首项1为公差的等差数列，1(1)1n S n n =+−⨯=，所以2n S n =，当2n ≥时，221(1)21(N*)n n n a S S n n n n −=−=−−=−∈，当1n =时也成立， 所以21(N*)n a n n =−∈题型三 因式分解（正项数列）浙江省百校联盟2022-2023学年高三上学期11月模拟17．正项递增数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*441n n S a n n =+−∈N ，求{}n a 的通项公式；【答案】(1)21n a n =−或21n a n =+【详解】（1）当1n =时，21143a a =+，解得11a =或13a =.当11a =时，()222417a a +=+，即222430a a −+=，解得21a =或23a =，∴23a =. 当13a =时，()222437a a +=+，即222450a a −−=，解得25a =. 由2441n n S a n =+−，当2n ≥时，2114(1)1n n S a n −−=+−−，两式相减得22144n n n a a a −=−+，即()2221442n n n n a a a a −=−+=−，当2n ≥时，22a >，所以12n n a a −=−，即12(2)n n a a n −=+≥， ∴21n a n =−或21n a n =+.2023届广东省一模18．已知各项都是正数的数列{}n a ，前n 项和n S 满足()2*2n n n a S a n =−∈N ，求数列{}n a 的通项公式. 【详解】（1）当1n =时，211112a S a a =−=，所以11a =或10a =（舍去），当2n ≥时，有221112,2,n n n n n n a S a a S a −−−⎧=−⎨=−⎩ 两式相减得221112n n n n n n n a a a a a a a −−−−=−+=+，整理得()()111n n n n n n a a a a a a −−−+−=+， 因为{}n a 的各项都是正数，所以11n n a a −−=， 所以{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列， 所以()111n a n n =+⋅−=湖南省常德市第一中学2023-2024学年高三上学期第二次月考（2015·高考真题）19．n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，22nn a a +=43n S +，求{n a }的通项公式. 【详解】解：（I ）由an 2+2an ＝4Sn +3，可知an +12+2an +1＝4Sn +1+3 两式相减得an +12﹣an 2+2（an +1﹣an ）＝4an +1， 即2（an +1+an ）＝an +12﹣an 2＝（an +1+an ）（an +1﹣an ）， ∵an ＞0，∴an +1﹣an ＝2， ∵a 12+2a 1＝4a 1+3， ∴a 1＝﹣1（舍）或a 1＝3，则{an }是首项为3，公差d ＝2的等差数列， ∴{an }的通项公式an ＝3+2（n ﹣1）＝2n +12023届茂名一模20．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，0n a >，224n n n a a S +=,求数列{}n a 的通项公式. 【详解】（1）当1n =时,221111124,2a a S a a +=∴=，0n a >,则12a =,当2n ≥时，224n n n a a S +=，则211124n n n a a S −−−+=,两式相减得：()()22111224n n n n n n a a a a S S −−−+−+=−即()()221114222n n n n n n n a a a a a a a −−−−=−−=+即()()()1112n n n n n n a a a a a a −−−+−=+ ∵0n a >，∴12n n a a −−=,∴数列{}n a 是2为首项，公差为2的等差数列，∴()2212n a n n =+−=.21．已知正项数列{}n a 和{}n b ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242n nn S a a =+，()32log 3n n a b =，n *∈N ，求数列{}n a 与{}n b 的通项公式.【答案】(1)2n a n =，13n n b −=【详解】当1n =时，21111442S a a a ==+，解得：10a =或12a =，又0n a >，12a ∴=；当2n ≥且n *∈N 时，2211144422n n n n n n n a S S a a a a −−−=−=+−−， 整理可得：()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a −−−−−=+−=+，又0n a >，10n n a a −∴+>，12n n a a −∴−=，∴数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，()()2212n a n n n *∴=+−=∈N .()32log 3n n a b =，()3log 3n b n ∴=，则33n n b =，()13n n b n −*∴=∈N .22．已知各项为正的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n a S =− ，则2163n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．23−2D ．92【分析】由数列的递推式可得21(1)4n n S a =+，继而结合1n n n a S S =−﹣求出n a ，从而求得2n S n =，由此求出2163n n S a ++的表达式，利用基本不等式即可求得答案.【详解】各项为正的数列{}n a ,0n a > ,∵1n n a S =，∴21(1)4n n S a =+，∴2n ≥ 时， 221111(1)(1)44n n n n n a S S a a −=+−+=−﹣ ，化为：11(2)0n n n n a a a a +=−−﹣﹣)( ，∵1102n n n n a a a a +∴>−=﹣﹣，, 又1121a a = ，解得11a = ．∴数列{}n a 是等差数列，首项为1，公差为2． ∴12(1)21n a n n =+−=− ,∴2212114n S n n =−+=（）,∴22216216832131n n S n n a n n +++===+−++9121n n ++−+ 921241n n ≥+⋅=+（） ,，当且仅当n =2时取等号, ∴2163n n S a ++的最小值为423．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，20,24n n n n a a a S >+=，求数列{}n a 的通项公式【答案】2n a n =题型四 前n 项之积T n对于数列{}n a ，前n 项积记为n T ； ① 1231n n n T a a a a a −=； ②11231(2)n n T a a a a n −−=≥；①÷②：1(2)nn n T a n T −=≥ 2024届·江苏省连云港，南通市调研(一)24．已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，且1n n a T +=，求{}n a 的通项公式 【答案】1n na n =+； 【详解】（1）由数列{}n a 的前n 项积为n T ，得12-1n n n T a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅，又1n n a T +=， 所以，当2n ≥时，11nn n T T T −+=，整理得111)(1n n T T −+=，即1111n n T T −+=， 所以，当2n ≥时，1111n n T T −−=为定值， 因为1n n a T +=，令1n =，得111a T +=，112a =，故112T =，所以数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列，所以11n n T =+，得11n T n =+. 所以，当2n ≥时，11111n n n T n n a T n n−+===+，显然112a =符合上式，所以1nn a n =+.25．已知数列{}n a 前n 项积为n T ，且*1()n n a T n +=∈N ,求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬−⎩⎭为等差数列；【详解】因为1n n a T +=，所以112n n T a a =−∴=， 所以111(2)n n T a n −−=−≥， 两式相除，得11(2)1n n n a a n a −−=≥−，整理为112n n a a −=−， 再整理得，1111(2)11n n n a a −−=≥−−． 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬−⎩⎭为以2为首项，公差为1的等差数列26．已知数列{}n a 的前n 项和为()*n S n ∈N ，在数列{}n b 中，111b a ==，()1121n n na n a n −−−=−，12313n S n n b b b b b +=，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式【详解】（1）由已知得，当2n ≥时()()()[]1122111122n n n n n na na n a n a n a a a a −−−=−−+−−−+⋯+−+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2212331n n n =−+−+++=.∴()2n a n n =≥当1n =时，11a =，也满足上式．所以()1n a n n =≥ 当2n ≥时，11231112333n n S S n n n nb b b b b b b b b −−++⋯===⋯，∴()133n n b n −=≥当1n =时，11b =，符合上式当2n =时，11233Sb b ⋅==，所以23b =，也符合上式，综上，()131n n b n −=≥ ∴n a n =，13n n b −=.27．设数列{}n a 的前n 项积为n T ，且()*22n n T a n =−∈N .求证数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；因为数列{}n a 的前n 项积为n T ，且()*22n n T a n =−∈N ，∴当n =1时，11122T a a ==−，则123a =，1132T =. 当n ≥2时，1121222n n n n n T T T T T −−=−⇒=−，∴11112n n T T −−=，所以1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1132T =为首项，12为公差的等差数列28．记n b 为数列{}n a 的前n 项积，已知13a =，121n na b +=，求数列{}n b 的通项公式 由题意可得1(2)n n n b a n b −=，因为121n na b +=， 所以121(2)n n nb n b b −+=，即12(2)n n b b n −+=， 所以12(2)n n b b n −−=. 又11121a b +=，13a =， 所以13b =，故{}n b 是以3为首项，2为公差的等差数列，21n b n =+专题4-2 数列求通项的常见方法（2）一、累加法（叠加法） 若数列{}n a 满足)()(*1N n n f a a n n ∈=−+，求数列{}n a 的通项时，利用累加法求通项公式。

新高考模式下2024年高三数学一轮复习计划和策略随着新高考改革的持续深化，2024年高三数学的复习工作面临着新的挑战与机遇。

为了帮助学生高效备考，科学规划复习路径，本文特制定了新高考模式下2024年高三数学一轮复习计划和策略，涵盖“明确复习目标”、“夯实基础知识”、“精选典型例题”、“专题模块突破”、“模拟考试与反思”、“强化思维训练”、“调整复习策略”及“关注新高考动态”等八个方面。

1. 明确复习目标内容：根据新高考数学科目的考试大纲，明确复习的具体目标和要求。

设定阶段性目标，如知识点掌握程度、解题能力提升等。

策略：深入研究考试大纲，了解考试结构、题型分布及难度层次。

制定个人复习计划，确保复习目标具体、可量化、可达成。

2. 夯实基础知识内容：系统回顾并巩固高中数学的基础知识，包括函数、数列、三角函数、立体几何、解析几何、概率统计等。

策略：利用教材、教辅资料及网络资源，进行全面梳理。

通过习题练习，检验并巩固基础知识掌握情况。

3. 精选典型例题内容：选择具有代表性的例题，覆盖各章节重难点及常考题型。

策略：分析例题解题思路，总结解题方法和技巧。

举一反三，通过变式训练加深理解。

4. 专题模块突破内容：针对高考数学中的难点和热点，设置专题模块进行集中突破。

策略：划分专题，如函数与导数、圆锥曲线、数列与不等式等。

每个专题设置详细的学习计划和练习安排，确保深入理解并掌握。

5. 模拟考试与反思内容：定期进行模拟考试，模拟真实考试环境，检验复习效果。

深入分析模拟考试结果，查找问题并总结经验。

策略：选择高质量的模拟试卷，确保题目难度和题型分布接近高考。

考试后认真批改试卷，记录错题及错误原因，制定改进措施。

6. 强化思维训练内容：培养学生的数学思维能力，包括逻辑推理、空间想象、抽象概括等。

策略：通过解决复杂问题、探究性问题等，锻炼学生的思维能力。

鼓励学生参与数学竞赛、讨论班等活动，拓宽思维视野。

7. 调整复习策略内容：根据复习进度和效果，及时调整复习策略和方法。

“三新”背景下高三数学二轮备考复习策略——2024年3月10日兰州高考研讨会培训总结为了更好赋能2024年新高考，适应新的高考评价要求，精准把握高考命题趋势和方向，提高备考工作的针对性、有效性和科学性，3月10日，我有幸参加了县教育局组织的全省2024年新高考备考研讨会，受益良多，下面结合本次培训浅谈自己的一点备考想法。

一、基于九省联考试题变化对今年数学高考的展望1.引导考生“多想少算”，有利于考查理性思维和核心素养的水平，符合国家对高考改革的要求。

在《深化新时代教育评价改革总体方案》中，对高考的命题改革有明确的要求：改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和“机械刷题”现象。

这次题数的减少和分数的调整就是一个实实在在落实这个方案的科学举措，与新高考改革的方向是一致的。

《普通高中数学课程标准》指出，数学学科的核心素养是具有数学基本特征的思维品质和关键能力。

在高考命题中,要合理设置题量，给学生充足的思考时间；逐步减少选择题、填空题的题量；适度增加试题的思维量。

在命题中应特别关注数学学习过程中思维品质的形成，关注学生会学数学的能力。

因此,在考试时间不变的情况下,减少试题数量是加强思维考查的必然手段。

基于《中国高考评价体系》，数学高考考查考生理性思维、数学应用、数学探索、数学文化4类学科素养，以及逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力、创新能力5种关键能力。

人们通常把数学知识当作数学, 其实是一种误解，学习数学不是以懂多少数学公式为目标，而是要锻炼解决问题的过程中所用到的思维方法，也就是数学思维。

有数学思维的人，不仅做事有条理，而且擅长独立思考，更能多角度开辟思维点，进行逆向思考。

这正是未来培养高科技人才的需要。

数学作为基础学科，为服务国家战略发展，就是要通过高考把真正的创新型人才给筛选出来。

另一方面学习数学的真正目的也是培养一种思维习惯，无论人们日后从事何种行业，这些思维习惯都能让他们受益。

2024年高考数学第二轮复习备考建议及策略2024年高考数学第二轮复习备考建议及策略随着高考的临近，数学第二轮复习也进入了关键阶段。

在这一轮复习中，我们需要把握复习的重点和难点，制定有效的复习策略，提高复习效率。

本文将结合多年高考数学复习经验，为同学们提供一些实用的备考建议和策略。

一、明确复习目标，把握重点难点在第二轮复习阶段，我们需要明确复习目标，了解考试大纲和命题趋势，把握重点和难点。

通过对历年高考数学试题的分析，我们可以总结出以下重点知识点和难点：函数与导数、数列与极限、向量与空间几何、概率与统计、解析几何等。

针对这些重点和难点，我们需要制定有针对性的复习计划。

二、制定复习计划，提高复习效率制定复习计划是提高复习效率的关键。

我们可以按照以下步骤制定复习计划：1、梳理知识点：将重点知识点和难点进行梳理，形成知识框架。

2、制定计划：根据知识框架和复习进度，制定每周的复习计划，包括每天的复习内容和时间安排。

3、分配时间：根据知识点的重要性和难度，合理分配复习时间，确保每个知识点都能得到充分复习。

4、制定个性化复习方案：根据自身情况，制定个性化的复习方案，突破自己的薄弱环节。

三、强化基础训练，巩固基础知识高考数学考试注重基础知识的考查，因此，在第二轮复习中，我们需要强化基础训练，巩固基础知识。

具体方法包括：1、复习课本：回归课本，加强对基本概念、公式、公理、定理等基础知识的理解和记忆。

2、做题训练：选择基础题目进行做题训练，加深对知识点的理解和应用。

3、总结归纳：将做题过程中遇到的问题和难点进行总结归纳，找出自己的知识盲点和薄弱环节，及时进行弥补。

四、注重解题方法，提高解题能力高考数学考试不仅考查基础知识，还注重考查学生的解题能力和数学思维。

因此，在第二轮复习中，我们需要注重解题方法的学习和提高。

具体方法包括：1、学习解题方法：掌握常见的解题方法和技巧，如分类讨论、数形结合、归纳法、反证法等。

2、做题实践：选择中等难度的题目进行做题实践，锻炼自己的解题能力和数学思维。

聚焦核心素养，考教精准施策——参加2025年高质量高考备考策略复习研讨会有感2024年11月8日--11月10日我校9大学科一行17人赴西安参加25届高三备考研讨会。

经过为期2天的培训，作为一名仅有一轮备考经验的我来说收益匪浅，仅将此行中的收获与感悟粗略记录如下：11月9日早晨9：00，我们分学科、分地点聆听专题讲座。

我参加的是由孙x老师主讲的题为《聚焦核心素养、考教精准施策》的高考数学备考策略分享讲座！孙x老师以2024年新高考1、2卷作为切入点，结合教育考试院对2024年新高考的试卷评析对2024年新高考1、2卷做出了深刻且科学地分析：一、新高考试卷分析：1、1卷与2卷在题目的设置与知识的考察上互补，但1卷的难度高于2卷。

2、2024年新高考2卷设置的第19题作为难度最大的一道题，突出考查数学知识的综合性，将数列与圆锥曲线相结合体现数学思维，不涉猎大学数学知识，真正体现了数学学科筛选人才，减负的功能！旨在考察学生的数学思维，突出多想少算！重点考查学生的四基四能，即基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；发现和提出问题、分析和解决问题的能力。

3、2024年新高考考了什么：考主干、考能力、考素养；重思维，重创新、重应用；突出考查思维过程，思维方法和创新能力。

新课标卷创设全新的试卷结构，减少题量，为学生预留充足的思考时间，加强思维考察，强化素养导向！为不同水平的学生提供了充分展现才华的空间灵活解题，方法不同，计算量就不同！4、2024年新高考怎么考（八个关键词）：关键词一：改变相对固化的试题形式，增加试题开放性，减少（而非杜绝）死记硬背和机械刷题。

关键词二：题量减少，留出更多思考时间。

关键词三：打破常规，创设全新试卷结构。

关键词四：压轴题思维量与难度显著提升关。

键词五：试题立足基础，强调知识之间的综合与应用。

关键词六：增加基础题的比例，降低初试题起点。

关键词七：加强综合性考查，强调知识之间的联系，脱离一般的解题套路。