高中数学复习专题讲座

离 散 极 值一. 知识与方法所谓离散极值，就是指以整数、集合、点、线、圆等离散对象为背景，求它们满足某些约束条件的极大值或极小值。

这类问题的解法与一般函数（连续变量）极值的解法有很大的差异。

对于这类非常规的极值问题，要针对具体问题，认真分析，细心观察，选用灵活的策略与方法，通常可以从论证与构造两方面予以考虑。

先论证或求得该变量的上界或下界，然后构造一个实例说明此上界或下界可以达到，这样便求得了该离散量的极大值或极小值。

在论证或求解离散量的上界或下界时，通常要对离散量做出估计，在估计的过程中，构造法、分类讨论法、数学归纳法、反证法、极端原理、抽屉原理等起着重要的作用。

二. 范例选讲例1. m 个互不相同的正偶数和n 个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m 与n ，问3m+4n 的最大值是多少？请证明你的结论。

（1987年第二届全国数学冬令营试题）思路分析：先根据题设条件求得3m+4n 的一个上界，然后举例说明此上界可以达到，从而得到3m+4n 的最大值。

解：设a 1,a 2,…,a m 是互不相同的正偶数，b 1,b 2,…,b n 是互不相同的正奇数，使得a 1+a 2+…+a m +b 1+b 2+… +b n =1987 ①，这时分别有：a 1+a 2+…+a m ≥2+4+…+2m=m(m+1) ②，b 1+b 2+…+b n ≥1+3+…+(2n -1)=n 2 ③，由①,②,③得m²+m+n 2≤1987,因而有（m+21）2+n 2≤119874+ ④，由④及柯西不等式，得3（m+21）+4n≤4119875)21(.432222+≤+++n m ,由于3m+4n 为整数，所以3m+4n 221≤ ⑤，另一方面，当m=27,n=35时，m 2+m+n 2=1981<1987,且3m+4n=221。

故3m+4n 的最大值为221。

评注：在论证过程中用到了柯西不等式与一般二元一次不定方程的求解方法。

高中数学复习专题讲座求函数值域的常用方法及值域的应用高考要求函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一 本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题 重难点归纳(1)求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域(2)函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强(3)运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力典型题例示范讲解例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm 2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm 的空白，左右各留5 cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［43,32］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？命题意图 本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力知识依托 主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识错解分析 证明S (λ)在区间［43,32］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法 本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决解 设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx 2=4840,设纸张面积为S cm 2, 则S =(x +16)(λx +10)=λx 2+(16λ+10)x +160,将x =λ1022代入上式得 S =5000+4410 (8λ+λ5),5cm5cm 8cm8cm当8λ=λ5,即λ=85(85<1)时S 取得最小值此时高 x =λ4840=88 cm, 宽 λx =85×88=55 cm如果λ∈［43,32］，可设32≤λ1<λ2≤43,则由S 的表达式得)58)((1044)5858(1044)()(2121221121λλλλλλλλλλ--=--+=-S S又21λλ≥8532>,故8－215λλ>0,∴S (λ1)－S (λ2)<0,∴S (λ)在区间［43,32］内单调递增从而对于λ∈［43,32］,当λ=32时，S (λ)取得最小值答 画面高为88 cm,宽为55 cm 时，所用纸张面积最小 如果要求λ∈［43,32］,当λ=32时，所用纸张面积最小例2已知函数f (x )=xa x x++22,x ∈［1,+∞)(1)当a =21时，求函数f (x )的最小值(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围命题意图 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力知识依托 本题主要通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想错解分析 考生不易考虑把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法 解法一运用转化思想把f (x )>0转化为关于x 的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得(1)解 当a =21时，f (x )=x +x21+2∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数， ∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f(2)解法一 在区间［1，+∞)上，f (x )=xax x ++22>0恒成立⇔x 2+2x +a >0恒成立设y =x 2+2x +a ,x ∈［1,+∞)∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立， 故a >－3解法二 f (x )=x +xa +2,x ∈［1,+∞)当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a ,当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3例3设m 是实数，记M ={m |m >1},f (x )=log 3(x 2－4mx +4m 2+m +11-m )(1)证明 当m ∈M 时，f (x )对所有实数都有意义；反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则m ∈M(2)当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值(3)求证 对每个m ∈M ,函数f (x )的最小值都不小于1(1)证明 先将f (x )变形 f (x )=log 3［(x －2m )2+m +11-m ］,当m ∈M 时，m >1,∴(x －m )2+m +11-m >0恒成立，故f (x )的定义域为R反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则只须x 2－4mx +4m 2+m +11-m >0,令Δ＜0,即16m 2－4(4m 2+m +11-m )＜0,解得m >1,故m ∈M(2)解析 设u =x 2－4mx +4m 2+m +11-m ,∵y =log 3u 是增函数，∴当u 最小时，f (x )最小而u =(x －2m )2+m +11-m ,显然，当x =m 时，u 取最小值为m +11-m ,此时f (2m )=log 3(m +11-m )为最小值(3)证明 当m ∈M 时，m +11-m =(m －1)+11-m +1≥3,当且仅当m =2时等号成立∴log 3(m +11-m )≥log 33=1。

题目高中数学复习专题讲座三角函数式的化简与求值 高考要求三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍 重难点归纳1 求值问题的基本类型 ①给角求值，②给值求值，③给式求值，④求函数式的最值或值域，⑤化简求值2 技巧与方法 ①要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式 ②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用 ③对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法 ④求最值问题，常用配方法、换元法来解决 快速阅读记忆：英语单词速记：/?id=330 更多资料下载：典型题例示范讲解例1不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值命题意图 本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高知识依托 熟知三角公式并能灵活应用 错解分析 公式不熟，计算易出错技巧与方法 解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会解法一 sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°=21 (1－cos40°)+21(1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+21(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41 解法二 设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=21， x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41， 即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°41 例2设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值 命题意图 本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力知识依托 二次函数在给定区间上的最值问题错解分析 考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错 技巧与方法 利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等解 由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得f (a )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2(12a a a a a a∵f (a )=21, ∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞)或 －22a －2a －1=21，解得a =－1(2,2)∈-，此时，y =2(cos x +21)2+21， 当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5例3已知函数f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［12π，127π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值 命题意图 本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力知识依托 熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识错解分析 在求f -－1(1)的值时易走弯路 技巧与方法 等价转化，逆向思维解 (1)f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x=2cos x (sin x cos3π+cos x sin3π)－3sin 2x +sin x cos x=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π)∴f (x )的最小正周期T =π (2)当2x +3π=2k π－2π，即x =k π－125π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2 (3)令2sin(2x +3π)=1，又x ∈［27,2ππ］,∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则x =4π，故f -－1(1)=4π例4 已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________解法一 ∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β4π π＜α+β＜43π,∴54sin(),cos().135αβαβ-=+==- ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯=解法二 ∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－54,∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540∴sin2α=56)65406572(21=--学生巩固练习1 已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2,2ππ)，则tan2βα+的值是( )A21B －2 C34 D21或－2 2 已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)= 21，则tan(α－2β)=______3 设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________4 不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒5 已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值6 已知α－β=38π，且α≠k π(k ∈Z ) 求)44(sin 42sin2csc )cos(12βπαααπ-----的最大值及最大值时的条件7 如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积8 已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log 21++x x 的最小值，并求取得最小值时x 的值参考答案1 解析 ∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0 tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),则2βα+∈(－2π,0), 又tan(α+β)=342tan 12tan2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a , 整理得2tan 222tan 32-β+α+β+α=0 解得tan 2β+α=－2 答案 B2 解析 ∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54 则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21,2212()2tan 42tan 2.11tan 31()2βββ⨯-===---- 234()tan tan 743tan(2)341tan tan 2241()()43αβαβαβ-----===+⋅+-⨯- 答案247 3 解析 α∈(43,4ππ),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π36556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=β+α=⨯+-⨯-=β+π⋅π-α+β+π⋅π-α-=β+π+π-α-=π-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即答案6556 4 答案 2752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:.522=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x xx xx x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππ又解 2)322sin(22)21()322sin(4.32243824,3822cos 2sin 42)2sin 2(sin 2)2sin 2121(42cos 2cos 22sin 2)22cos(142sin 1)cos 1(2sin )44(sin 42sin 2csc )cos(1:.62222-π-α-=--⨯π-α=∴π-α=π-α=β-α∴π=β-α-β-αβ+α=-β+α=β--αα⋅α=β-π--α-α+α=β-π-α-αα-π-=t t 令解π≠αk （k ∈Z ）,322322π-π≠π-α∴k （k ∈Z ） ∴当,22322π-π=π-αk 即34π+π=αk （k ∈Z ）时,)322sin(π-α的最小值为－17 解 以OA 为x 轴 O 为原点，建立平面直角坐标系， 并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，则｜PS ｜=sin θ 直线OB 的方程为y =3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ 联立解之得Q (33sin θ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cos θ－33sin θ 于是S PQRS =sin θ(cos θ－33sin θ)=33(3sin θcos θ－sin 2θ)=33(23sin2θ－2cos 1θ-)=33(23sin2θ+21cos2θ－21)= 33sin(2θ+6π) ∵0＜θ＜3π,∴6π＜2θ+6π＜65π ∴21＜sin(2θ+6π)≤1∴sin(2θ+6π)=1时，PQRS 面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6π，点P 为 AB 的中点，P (21,23)8 解 设u =sin α+cos β 则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4∴u 2≤1,－1≤u ≤1 即D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t x 232-t2max 0.5min 0.50.50.514248242,,8log 0,5log log log 8,821.2t M t t tt t M t y M M y t x ∴===≤=++====>∴======- 当且仅当即在时是减函数时此时 课前后备注。

高中数学考试题型解题技巧专题讲座数学冲刺复习一定要把大纲中规定的核心重要考点进行梳理，结合做题来进一步的巩固，熟练把握。

下面是为大家整理的关于，希望对您有所帮助!高中数学选择题的解题方法方法一：直接法所谓直接法，就是直接从题设的条件出发，运用有关的概念、定义、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理与计算来得出题目的结论，然后再对照题目所给的四个选项来“对号入座”.其基本策略是由因导果，直接求解.方法二：特例法特例法的理论依据是：命题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情况为真，即普通性寓于特殊性之中，所谓特例法，就是用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.这种方法实际是一种“小题小做”的解题策略，对解答某些选择题有时往往十分奏效.注意：在题设条件都成立的情况下，用特殊值(取得越简单越好)进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的较佳策略.近几年高考选择题中可用或结合特例法来解答的约占30%.因此，特例法是求解选择题的好招.方法三：排除法数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论.筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论.注意：排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中占有很大的比重.方法四：数形结合法数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支持作用，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观.方法五：估算法在选择题中作准确计算不易时，可根据题干提供的信息，估算出结果的大致取值范围，排除错误的选项.对于客观性试题，合理的估算往往比盲目的准确计算和严谨推理更为有效，可谓“一叶知秋”.方法六：综合法当单一的解题方法不能使试题迅速获解时，我们可以将多种方法融为一体，交叉使用，试题便能迎刃而解.根据题干提供的信息，不易找到解题思路时，我们可以从选项里找解题灵感.高中数学的证明题的推理方法一、合情推理1.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论;2.类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。

高中数学复习专题讲座关于求空间距离的问题高考要求空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一样化归为这三种距离重难点归纳空间中的距离要紧指以下七种(1)两点之间的距离(2)点到直线的距离(3)点到平面的距离(4)两条平行线间的距离(5)两条异面直线间的距离(6)平面的平行直线与平面之间的距离(7)两个平行平面之间的距离七种距离差不多上指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离七种距离之间有紧密联系，有些能够相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点求点到平面的距离(1)直截了当法，即直截了当由点作垂线，求垂线段的长(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离(3)体积法(3)向量法求异面直线的距离 (1)定义法，即求公垂线段的长 (2)转化成求直线与平面的距离 (3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分不在两条异面直线上两点间距离中最小的典型题例示范讲解例1把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分不是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求(1)EF的长；(2)折起后∠EOF的大小命题意图考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何咨询题知识依靠空间向量的坐标运算及数量积公式错解分析建立正确的空间直角坐标系其中必须保Array证x轴、y轴、z轴两两互相垂直技巧与方法建系方式有多种，其中以O点为原点，以、、的方向分不为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单解 如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz , 设正方形ABCD 边长为a ,那么A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0), D (0,0, 22a ),E (0,－42a , a ),F (42a ,42a ,0) 21||||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420)0,42,42(),42,42,0()2(23,43)420()4242()042(||)1(22222-=>=<==-=⋅+-+⨯=⋅=-==∴=-+++-=OF OE OF OE a OF a OE a a a a a a a a a a EF a a a a a ∴∠EOF =120°例2正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离命题意图 此题要紧考查异面直线间距离的求法知识依靠 求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得错解分析 此题容易错误认为O 1B 是A 1C 与AB 1的距离，这要紧是对异面直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离技巧与方法 求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采纳化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得解法一 如图，在正方体AC 1中， ∵A 1C 1∥AC ,∴A 1C 1∥平面AB 1C ， ∴A 1C 1与平面AB 1C 间的距离等于异面直线A 1C 1与AB 1间的距离连结B 1D 1、BD ，设B 1D 1∩A 1C 1=O 1,BD ∩AC =O ∵AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，∴AC ⊥平面BB 1D 1D ∴平面AB 1C ⊥平面BB 1D 1D ，连结B 1O ，那么平面AB 1C ∩平面BB 1D 1D =B 1O作O 1G ⊥B 1O 于G ，那么O 1G ⊥平面AB 1C∴O 1G 为直线A 1C 1与平面AB 1C 间的距离，即为异面直线A 1C 1与AB 11A间的距离在Rt △OO 1B 1中，∵O 1B 1=22，OO 1=1，∴OB 1=21121B O OO += 26 ∴O 1G =331111=⋅OB B O O O ，即异面直线A 1C 1与AB 1间距离为33解法二 如图，在A 1C 上任取一点M ，作MN ⊥AB 1于N ，作MR ⊥A 1B 1于R ，连结RN ，∵平面A 1B 1C 1D 1⊥平面A 1ABB 1， ∴MR ⊥平面A 1ABB 1，MR ⊥AB 1 ∵AB 1⊥RN ，设A 1R =x ,那么RB 1=1－x∵∠C 1A 1B 1=∠AB 1A 1=45°，∴MR =x ,RN =NB 1=)1(22x - 31)31(23)1(2122222+-=-+=+=x x x RN MR MN (0＜x ＜1) ∴当x =31时，MN 有最小值33即异面直线A 1C 1与AB 1解法三〔向量法〕如图建立坐标系，那么111(1,0,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)A A B C ∴111(0,1,1),(1,1,0)AB AC -＝＝ 设MN 是直线A 1C 1与AB 1的公垂线，且1111(0,,),(,,0)AN AB AM AC λλλμμμ-＝＝＝＝ 那么11(,,0)(0,0,1)(0,,)MN MA A A ANμμλλ=++-+-+＝- (,,1),μλμλ=--从而有11100MN A C MN AB ⎧⎪⇒⎨⎪⎩＝＝22032113λλμλμμ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩1A∴1113(,,)||3333MN MN =⇒=例3如图，ABCD 是矩形，AB =a ,AD =b ,P A ⊥平面ABCD ，P A =2c ,Q 是P A 的中点求 (1)Q 到BD 的距离；(2)P 到平面BQD 的距离解 (1)在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD ，E 为垂足 连结QE ， ∵QA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理得QE ⊥BE∴QE 的长为Q 到BD 的距离 在矩形ABCD 中，AB =a ,AD =b ,∴AE =22ba ab +在Rt △QAE 中，QA =21P A =c ∴QE =22222ba b a c ++ ∴Q 到BD(2)解法一 ∵平面BQD 通过线段P A 的中点， ∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离 在△AQE 中，作AH ⊥QE ，H 为垂足∵BD ⊥AE ,BD ⊥QE ,∴BD ⊥平面AQE ∴BD ⊥AH ∴AH ⊥平面BQE ，即AH 为A 到平面BQD 的距离在Rt △AQE 中，∵AQ =c ,AE =22ba ab +∴AH =22222)(ba cb a abc ++∴P 到平面BD 的距离为22222)(ba cb a abc ++解法二 设点A 到平面QBD 的距离为h ，由V A —BQD =V Q —ABD ,得31S △BQD ·h =31S △ABD ·AQ h =S AQS BQDABD ==⋅∆∆学生巩固练习1 正方形ABCD 边长为2，E 、F 分不是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角(如图)，M 为矩形AEFD 内一点，假如∠MBE =∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值为21，那么点M 到直线EF 的距离为( )A2 B1 C2 D 122 三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=1，AB =4，BC =3，∠ABC =90°,设平面A 1BC 1与平面ABC 的交线为l ，那么A 1C 1与l 的距离为( )A 10B 11C 2.6D 2.43 如左图，空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，那么P 与Q 的最短距离为_________4 如右上图，ABCD 与ABEF 均是正方形，假如二面角E —AB —C 的度数为30°，那么EF 与平面ABCD 的距离为_________5 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =3，CC 1=2，如图(1)求证 平面A 1BC 1∥平面ACD 1； (2)求(1)中两个平行平面间的距离； (3)求点B 1到平面A 1BC 1的距离6 正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B 且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°,AB =a ,求 (1)截面EAC 的面积； (2)异面直线A 1B 1与AC 之间的距离；(3)三棱锥B 1—EAC 的体积 7 如图，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A 与AB 、AC 均成45°角，且A 1E ⊥B 1B 于E ，A 1F⊥CC 1于FF1A1A1(1)求点A 到平面B 1BCC 1的距离；(2)当AA 1多长时，点A 1到平面ABC 与平面B 1BCC 1的距离相等8 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =2π,AB = 31AD =a ,∠ADC =arccos552,P A ⊥面ABCD 且P A =a (1)求异面直线AD 与PC 间的距离；(2)在线段AD 上是否存在一点F ，使点A 到平面PCF参考答案1 解析 过点M 作MM ′⊥EF ,那么MM ′⊥平面BCF ∵∠MBE =∠MBC∴BM ′为∠EBC 为角平分线，∴∠EBM ′=45°,BM ′=2,从而MN =22 答案 A2 解析 交线l 过B 与AC 平行，作CD ⊥l 于D ，连C 1D ，那么C 1D为A 1C 1与l 的距离，而CD 等于AC 上的高，即CD =512,Rt △C 1CD 中易求得C 1D =513=2.6 答案 C3 解析 以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P 、Q 分不为AB 、CD 的中点，因为AQ =BQ =22a ,∴PQ ⊥AB , 同理可得PQ ⊥CD ，故线段PQ 的长为P 、Q 两点间的最短距离，在Rt △APQ中，PQ =22)2()23(2222=-=-a a AP AQ a 答案22a 4 解析 明显∠F AD 是二面角E —AB —C 的平面角，∠F AD =30°,过F 作FG ⊥平面ABCD 于G ，那么G 必在AD 上，由EF ∥平面ABCD∴FG 为EF 与平面ABCD 的距离，即FG 2a答案 2a5 (1)证明 由于BC 1∥AD 1，那么BC 1∥平面ACD 1 同理，A 1B ∥平面ACD 1，那么平面A 1BC 1∥平面ACD 1(2)解 设两平行平面A 1BC 1与ACD 1间的距离为d ，那么d 等于D 1到平面A 1BC 1的距离 易求A 1C 1=5，A 1B =25，BC 1=13，那么cos A 1BC 1=652,那么sin A 1BC 1=6561,那么S111C B A ∆=61,由于111111D C A B BC A D V V --=，那么31S 11BC A ∆·d =)21(31111D C AD ⋅·BB 1,代入求得d =616112, (3)解 由于线段B 1D 1被平面A 1BC 1所平分，那么B 1、D 1到平面A 1BC 1的距离相等，那么由(2)知点B 1到平面A 1BC 1 6 解 (1)连结DB 交AC 于O ，连结EO ， ∵底面ABCD 是正方形∴DO ⊥AC ，又ED ⊥面ABCD ∴EO ⊥AC ，即∠EOD =45°又DO =22a ，AC =2a ，EO =︒45cos DO =a ，∴S △EAC =22a (2)∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥AC ，又A 1A ⊥A 1B 1 ∴A 1A 是异面直线A 1B 1与AC 间的公垂线 又EO ∥BD 1，O 为BD 中点，∴D 1B =2EO =2a∴D 1D =2a ，∴A 1B 1与AC 距离为2a(3)连结B 1D 交D 1B 于P ，交EO 于Q ，推证出B 1D ⊥面EAC ∴B 1Q 是三棱锥B 1—EAC 的高，得B 1Q =23a 32422322311a a a V EAC B =⋅⋅=-7 解 (1)∵BB 1⊥A 1E ，CC 1⊥A 1F ，BB 1∥CC 1 ∴BB 1⊥平面A 1EF 即面A 1EF ⊥面BB 1C 1C 在Rt △A 1EB 1中，∵∠A 1B 1E =45°，A 1B 1=a∴A 1E =22a ,同理A 1F =22a ,又EF =a ，∴A 1E =22a同理A 1F =22a ,又EF =a ∴△EA 1F 为等腰直角三角形，∠EA 1F =90°过A 1作A 1N ⊥EF ，那么N 为EF 中点，且A 1N ⊥平面BCC 1B 1 即A 1N 为点A 1到平面BCC 1B 1的距离∴A 1N =221a=又∵AA 1∥面BCC 1B ，A 到平面BCC 1B 1的距离为2a∴a =2，∴所求距离为2(2)设BC 、B 1C 1的中点分不为D 、D 1，连结AD 、DD 1和A 1D 1，那么DD 1必过点N ，易证ADD 1A 1为平行四边形∵B 1C 1⊥D 1D ,B 1C 1⊥A 1N ∴B 1C 1⊥平面ADD 1A 1 ∴BC ⊥平面ADD 1A 1得平面ABC ⊥平面ADD 1A 1，过A 1作A 1M ⊥平面ABC ，交AD 于M ， 假设A 1M =A 1N ，又∠A 1AM =∠A 1D 1N ，∠AMA 1=∠A 1ND 1=90°∴△AMA 1≌△A 1ND 1,∴AA 1=A 1D 1=3,即当AA 1=3时满足条件8 解 (1)∵BC ∥AD ,BC ⊂面PBC ,∴AD ∥面PBC从而AD 与PC 间的距离确实是直线AD 与平面PBC 间的距离 过A 作AE ⊥PB ，又AE ⊥BC ∴AE ⊥平面PBC ，AE 为所求在等腰直角三角形P AB 中，P A =AB =a∴AE =22a (2)作CM ∥AB ，由cos ADC =552 ∴tan ADC =21,即CM =21DM ∴ABCM 为正方形，AC =2a ,PC =3a 过A 作AH ⊥PC ,在Rt △P AC 中，得AH =36下面在AD 上找一点F ，使PC ⊥CF取MD 中点F ，△ACM 、△FCM 均为等腰直角三角形 ∴∠ACM +∠FCM =45°+45°=90°∴FC ⊥AC ,即FC ⊥PC ∴在AD 上存在满足条件的点F课前后备注学法指导: 立体几何中的策略思想及方法立体几何中的策略思想及方法近年来，高考对立体几何的考查仍旧注重于空间观点的建立和空间想象能力的培养题目起点低，步步升高，给不同层次的学生有发挥能力的余地大题综合性强，有几何组合体中深层次考查空间的线面关系因此，高考复习应在抓好差不多概念、定理、表述语言的基础上，以总结空间线面关系在几何体中的确定方法入手，突出数学思想方法在解题中的指导作用，并积极探寻解答各类立体几何咨询题的有效的策略思想及方法一、领会解题的差不多策略思想高考改革稳中有变运用差不多数学思想如转化，类比，函数观点仍是考查中心，选择好典型例题，在差不多数学思想指导下，归纳一套合乎一样思维规律的解题模式是受学生欢迎的，学生通过熟练运用，逐步内化为自己的体会，解决一样差不多数学咨询题就会自然流畅二、探寻立体几何图形中的基面立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地〝立〞起来在具体的咨询题中，证明和运算经常依附于某种专门的辅助平面即基面那个辅助平面的猎取正是解题的关键所在，通过对那个平面的截得，延展或构造，纲举目张，咨询题就迎刃而解了三、重视模型在解题中的应用学生学习立体几何是从认识具体几何模型到抽象出空间点、线、面的关系，从而培养空间想象能力而数学咨询题中许多图形和数量关系都与我们熟悉模型存在着某种联系它引导我们以模型为依据，找出起关键作用的一些关系或数量，对比数学咨询题中题设条件，突出特性，设法对原图形补形，拼凑、构造、嵌入、转化为熟知的、形象的、直观的模型，利用其特点规律猎取优解。

第2讲：二次函数与一元二次方程、不等式(重点题型方法与技巧)目录类型一：一元二次不等式（不含参）的求解 类型二：一元二次不等式（含参）的求解 角度1：两根大小不确定，从两根相等开始讨论角度2：最高项系数含参从0开始讨论 角度3：不可因式分解型，从开始讨论 类型三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系类型四：二次不等式恒成立问题 类型五：一元二次函数求最值（含参数）类型六：：根据不等式的解求参数1、四个二次的关系 1.1一元二次函数的零点一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点．1.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.判别式ac b 42-=∆ 0∆>0∆=0∆<二次函数2y ax bx c =++(0a >的图象一元二次方程20ax bx c ++=(0a >)的根有两个不相等的实数有两个相等的实数根没有实数根根1x ，2x (12x x <)122b x x a==-20ax bx c ++>(0a >)的解集 12{|}x x x x x <>或 {|}2b x x a≠-R20ax bx c ++<(0a >)的解集12{|}x x x x <<∅ ∅2、一元二次不等式的解法1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 2：写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用十字相乘法）； ②0∆=时，求根ab x x 221-==； ③0∆<时，方程无解 3：根据不等式，写出解集.类型一：一元二次不等式（不含参）的求解典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）不等式21560x x +->的解集为（ ） A ．{1x x 或1}6x <-B ．116x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．{1x x 或3}x <-D ．{}32x x -<<【答案】B【详解】法一：原不等式即为26510x x --<，即()()6110x x +-<，解得116x -<<，故原不等式的解集为116x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．法二：当2x =时，不等式不成立，排除A ，C ；当1x =时，不等式不成立，排除D ． 故选：B ．例题2．（2022·陕西省丹凤中学高一期末（理））不等式2280x x +-≤的解集是________． 【答案】{|42}x x -≤≤【详解】解：因为2280x x +-≤，即()()420x x +-≤， 解得42x -≤≤，所以原不等式的解集为{|42}x x -≤≤； 故答案为：{|42}x x -≤≤同类题型演练1．（2022·广东珠海·高一期末）不等式()()130x x ++<的解集是（ ）A ．RB ．∅C ．{31}x x -<<-∣D ．{3xx <-∣，或1}x >- 【答案】C【详解】解：由()()130x x ++<，解得31x -<<-，即不等式的解集为{31}xx -<<-∣； 故选：C2．（2022·四川成都·高一期末（文））不等式()()120x x +->的解集为___________. 【答案】{}|12x x -<<【详解】不等式()()120x x +->可化为()()120x x +-<， 解得：12x -<<.所以原不等式的解集为{}|12x x -<<. 故答案为：{}|12x x -<<类型二：一元二次不等式（含参）的求解 角度1：两根大小不确定，从两根相等开始讨论 典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）解不等式()2220x c x c -++<.【答案】解：不等式化为()2220x c x c -++<，即()(2)0x c x --<当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<， 当2c =时，不等式的解集为∅， 当2c <时，不等式的解集为{}2x c x <<例题2．（2022·全国·高三专题练习）求不等式2212x ax a ->（a R ∈）的解集． 【答案】当a>0时，不等式的解集为{|}43a ax x x <->或 当a ＝0时，不等式的解集为{x|x ∈R 且x≠0}； 当a<0时，不等式的解集为{|}34a ax x x <>-或 【详解】试题分析：解含参数的二次不等式，通常要比较其对应方程的两根大小才能写出不等式的解集．本题对应方程两根为13a x =，24ax =-比较这两个根的大小，只需讨论与零的大小关系就可以了．试题解析：原不等式可化为（3x －a ）（4x ＋a ）>0． 当a>0时，不等式的解集为{|}43a a x x x <->或 当a ＝0时，不等式的解集为{x|x ∈R 且x≠0}； 当a<0时，不等式的解集为{|}34a a x x x <>-或 例题3．（2022·广东·高一期末）设函数2()(1)1f x ax a x =-++． (1)当a +∈R 时，求关于x 的不等式()0f x <的解集．【答案】(1)当1a =时，解集为∅；当01a <<时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1a >时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. ()0f x <，即()2110ax a x -++<，当a +∈R 时，原不等式可化为()110x x a⎛⎫--< ⎪⎝⎭，其解得情况应由1a与1的大小关系确定， 当1a =时，解得x ∈∅； 当1a >时，解得11x a<<； 当01a <<时，解得11x a<<. 综上所述：当1a =时，解集为∅；当01a <<时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1a >时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 同类题型演练1．（2022·福建南平·高一期末）当0a <时，求关于x 的不等式2(24)80ax a x +-->的解集． 【答案】2(24)80ax a x +-->，因为0a <，所以不等式可化为2(4)0x x a ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭当24a <-时，即102a -<<，原不等式的解集24,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当24a =-时，即12a =-，原不等式的解集为∅当24a >-时即12a <-原不等式的解集2,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上所述，当102a -<<时，原不等式的解24,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当12a =-时，原不等式的解集为∅；当12a <-时，原不等式的解集2,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.2．（2022·四川成都·高一期末）设函数()()3y x x a =--，R a ∈. (1)解关于x 的不等式0y <； 【答案】(1)答案见解析.当3a <时，不等式()0f x <的解集为(),3a ， 当3a =时，不等式()0f x <的解集为∅， 当3a >时，不等式()0f x <的解集为()3,a .3．（2022·甘肃省武威第一中学高一开学考试）解关于x 的不等式：()2230x a a x a -++<.【答案】答案见解析【详解】解：()2230x a a x a -++<即()()20x a x a --<， 则对应方程的根为212,==x a x a ，①当0a <或1a >时，原不等式的解集为{}2x a x a <<，②当0a =或1a =时，原不等式的解集为∅，③当01a <<时，原不等式的解集为{}2x a x a <<.角度2：最高项系数含参从0开始讨论典型例题例题1．（2022·湖南·新邵县第二中学高一开学考试）解关于x 的不等式2(1)21(R)ax a x a a a +-+-<-∈.【答案】由题意可得22(1)21(1)10ax a x a a ax a x +-+-<-⇒+--<，当0a =时，不等式可化为1x <，所以不等式的解集为{}1x x <，当0a >时，21(1)10(1)(1)01ax a x ax x x a+--<⇒+-<⇒-<<，当0a <时，2(1)10(1)(1)0ax a x ax x +--<⇒+-<，①当1a =-，解集{}1x x ≠，②当10a -<<，解集为{1x x <或1x a ⎫>-⎬⎭，③当1a <-，解集为{1x x >或1x a ⎫<-⎬⎭.综上所述，当1a <-，不等式的解集为{1x x >或1x a ⎫<-⎬⎭，当1a =-，不等式的解集为{}1x x ≠，当10a -<<，不等式的解集为{1x x <或1x a ⎫>-⎬⎭，当0a =时，不等式的解集为{}1x x <，当0a >时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.例题2．（2022·陕西·西安高新第三中学高一期中）已知函数()2(2)()f x ax a x a =+-∈R .若2a >-，解关于x 的不等式()2f x ≥.【答案】20a -<<时，解集为2|1x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭；0a =时，解集为{}1x x ≤-； 0a >时，解集为2{|x x a≥或1}x ≤- 不等式()2f x ≥，可化为：()2220ax a x +--≥.当0a =时，原不等式即为220x --≥，∴1x ≤-．当0a >时，原不等式化为()210a x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，∴2x a ≥或1x ≤-.当20a -<<时，原不等式为()210a x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，可化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭因21a<-，∴21x a ≤≤-．综上，20a -<<时，原不等式的解集为2|1x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭；0a =时，原不等式的解集为{}1x x ≤-； 0a >时，原不等式的解集为2{|x x a≥或1}x ≤- 同类题型演练1．（2022·全国·高一专题练习）若R a ∈，解关于x 的不等式2(1)10ax a x +++>．【答案】答案见解析.【详解】当0a =时，1x >-，当0a ≠时，1()(1)0a x x a++>，当0a <时，1()(1)0x x a ++<，解得11x a-<<-，当0a >时，1()(1)0x x a++>，若1a =，则1x ≠-，若01a <<，则1x a <-或1x >-，若1a >，则1x <-或1x a>-，所以当0a <时，原不等式的解集是{}|11x x a -<<-；当0a =时，原不等式的解集是{|1}x x >-；当01a <≤时，原不等式的解集是1{|x x a <-或1}x >-；当1a >时，原不等式的解集是{|1x x <-或1}x a>-．2．（2022·福建·莆田一中高一期末）已知函数2()(1)2f x ax a x a =+-+-. 若0a <，解关于x 的不等式()1f x a <-. 【答案】依题意，因0a <，则2()1(1)101()(1)0f x a ax a x x x a<-⇔+-⇔--+><，当1a =-时，11a-=，解得1x ≠， 当10a -<<时，11a ->，解得1x <或1x a>-， 当1a <-时，101a <-<，解得1x a<-或1x >，所以，当1a =-时，原不等式的解集为{R |1}x x ∈≠；当10a -<<时，原不等式的解集为{|1x x <或1}x a>-；当1a <-时，原不等式的解集为1{|x x a<-或1}x >.角度3：不可因式分解型，从开始讨论典型例题例题1．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式：2220()x ax a R ++>∈． 【答案】答案见解析.【详解】关于x 的不等式：2220()x ax a R ++>∈中，∆2242216a a =-⨯⨯=-，当4a >或4a 时，∆0>，对应的一元二次方程有两个实数根2164a a x ---=和2164a a x -+-=，且22161644a a a a ----+-<， 故不等式的解集为216{|4a a x x ---<或216}4a a x -+->；当4a =±时，∆0=，对应的一元二次方程有两个相等的实数根4ax =-，∴不等式的解集为{|}4ax x ≠-；当44a -<<时，∆0<， ∴不等式的解集为R ；综上，4a >或4a时，不等式的解集为216{|4a a x x ---<或216}4a a x -+->；4a =±时，不等式的解集为{|}4ax x ≠-；44a -<<时，不等式的解集为R ．同类题型演练1．（2022·山东滨州·高二期中）已知一元二次函数2()f x x bx c =++，满足(0)2,(1)(1)=-=f f f ．(1)求()f x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()2≤f x ax ． 【答案】(1)2()2f x x =+(2)解集见解析(1)解：函数2()f x x bx c =++，由(0)2f =，得2,c = 因为(1)(1)f f -=，所以1212,++=-+b b 解得0b =； 所以2()2f x x =+.(2)关于x 的不等式()2≤f x ax 可化为2220,-+≤x ax 因为248,∆=-a所以当0,∆<即22a -<<时，原不等式对应的方程无实数根， 又二次函数222y x ax =-+的图像开口向上，所以原不等式的解集为∅； 当0∆=，即2a =±时，原不等式对应的方程有两个相等的实数根， 2a =时，原不等式的解集为{}|2=x x ；2a =-时，原不等式的解集为{}|2=-x x ；当0,∆>即2a <-或2a >时，原不等式对应的有两个相等的实数根， 分别为22122,2,=--=+-x a a x a a 且12,x x <所以原不等式解集为{}22|22--≤≤+-x a a a a a .综上所知，当22a -<<时，原不等式的解集为∅； 当2a =时，原不等式的解集为{}|2=x x ； 当2a =-时，原不等式的解集为{}|2=-x x ；当2a <-或2a >时，原不等式解集为{}22|22--≤≤+-x a a a a a .类型三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．{}21x x -<<B ．{|2x x <-或1}x >C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥【答案】A【详解】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有21x -<<. 故选：A例题2．（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知220x kx m -+<的解集为()1,t -（1t >-），则k m +的值为（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2【答案】B【详解】解：因为220x kx m -+<的解集为()1,t -（1t >-）， 所以1x =-为220x kx m -+=的根，所以2k m +=-. 故选：B例题3．（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则0ax b +>的解集为（ ）A ．1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【详解】不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭则根据对应方程的韦达定理得到：112311223ba a⎧⎛⎫-+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得122a b =-⎧⎨=-⎩，则1220x -->的解集为1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭故选：A同类题型演练1．（2022·浙江·高三专题练习）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．()2,1-B ．()(),21,-∞-⋃+∞C ．[]2,1-D ．(][),21,-∞-+∞【答案】A【详解】结合图像易知，不等式20ax bx c ++>的解集()2,1-， 故选：A.2．（2022·全国·高一单元测试）若方程()200ax bx c a ++=<有唯一的实数根3，则不等式20ax bx c ++≥的解集为______．【答案】{}3x x =【详解】由已知得抛物线()20y ax bx c a =++<的开口向下，与x 轴交于点()3,0，故不等式20ax bx c ++≥的解集为{}3x x =． 故答案为：{}3x x =3．（2022·江苏·高一）若关于x 的不等式28210mx mx ++<的解集为{}71x x -<<-，则实数m 的值为______. 【答案】3【详解】由题可知，－7和－1是二次方程28210mx mx ++=的两个根， 故()21713m m=-⨯-⇒=.经检验满足题意 故答案为：3.类型四：二次不等式恒成立问题典型例题例题1．（2022·江西吉安·高二期末（文））若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]2,0- B ．(]2,0- C ．()2,0-D ．()(),20,-∞-⋃+∞【答案】B【详解】当0a =时，不等式成立；当0a ≠时，不等式2220ax ax --<恒成立， 等价于()()20,2420,a a a <⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩20a ∴-<<． 综上，实数a 的取值范围为(]2,0-． 故选：B ．例题2．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二期中）已知命题“[1,2]x ∃∈-，230x x a +>-”是假命题，则实数a 的取值范围是________. 【答案】(,4]-∞-【详解】由题意得，“[1,2]x ∀∈-，230x x a -+≤”是真命题， 则23a x x ≤-+对[1,2]x ∀∈-恒成立，在区间[]1,2-上，23x x -+的最小值为()()21314--+⨯-=-，所以()2min 34a x x ≤-+=-，即a 的取值范围是(,4]-∞-. 故答案为：(,4]-∞-例题3．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的不等式244x mx x m +>+-． (1)若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于04m ≤≤，不等式恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】(1)(0,4) (2)()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞（1）若对任意实数x ，不等式恒成立，即2440x mx x m +--+>恒成立 则关于x 的方程2440x mx x m +--+=的判别式()()24440m m ∆=---+<， 即240m m -<，解得04m <<，所以实数m 的取值范围为(0,4)． （2）不等式244x mx x m +>+-，可看成关于m 的一次不等式()21440m x x x -+-+>，又04m ≤≤，所以224404(1)440x x x x x ⎧-+>⎨-+-+>⎩，解得2x ≠且0x ≠，所以实数x 的取值范围是()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞．同类题型演练1．（多选）（2022·全国·高一课时练习）不等式22x bx c x b ++≥+对任意的x ∈R 恒成立，则（ ） A ．2440b c -+≤ B ．0b ≤ C ．1c ≥ D ．0b c +≥【答案】ACD【详解】22x bx c x b ++≥+可整理为()220x b x c b +-+-≥，则()()2224440b c b b c ∆=---=-+≤，故A 正确． 当1b =，2c =时，满足0∆≤，即原不等式成立．B 错误；由0∆≤，得214b c ≥+，所以1c ≥．C 正确；2211042b b b c b ⎛⎫+≥++=+≥ ⎪⎝⎭．D 正确．故选：ACD ．2．（2022·江苏南京·高二期末）2R,10x x x λ∀∈-+>，则λ的取值范围为__________． 【答案】22λ-<<【详解】由题设240λ∆=-<，可得22λ-<<. 故答案为：22λ-<<3．（2022·四川广安·高一期末（理））已知不等式()21460a x x +--<的解集是{}13x x -<<．(1)求常数a 的值；(2)若关于x 的不等式240ax mx ++≥的解集为R ，求m 的取值范围． 【答案】(1)1a =(2)[]4,4-(1)因为不等式()21460a x x +--<的解集是{}13x x -<<．所以－1和3是方程()21460a x x +--=的解，把1x =-代入方程解得1a =．经验证满足题意(2)若关于x 的不等式240ax mx ++≥的解集为R ，即240x mx ++≥的解集为R ， 所以2160m ∆=-≤，解得44m -≤≤，所以m 的取值范围是[]4,4-．4．（2022·四川·盐亭中学高二阶段练习（文））已知函数()()211f x x a x =-++．(1)若关于x 的不等式的()0f x <的解集是{}2x m x <<，求a ，m 的值； (2)设关于x 不等式的()0f x >在[]0,1上恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)32a =，12m =(2)(),1-∞ (1)根据二次不等式的解集与系数的关系可得x m =和2x =是方程()2110x a x -++=的两根，故()221210a -+⨯+=，解得32a =，由韦达定理有21m =，解得12m =. 故32a =，12m = (2)()0f x >在[]0,1上恒成立，即()211x a x +>+恒成立.当0x =时满足题意，当(]0,1x ∈时，min 11x a x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭恒成立，因为1122x x x x+≥⋅=，当且仅当1x =时取等号.故12a +<，即a的取值范围为(),1-∞.5．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知函数2()4f x x x b =-+，若()0f x <的解集为{}1|x x m <<.(1)求b ，m 的值；(2)当a 为何值时，2()2()10a b x a b x +++-<的解集为R ？ 【答案】(1)3m =，3b = (2)(]4,3--(1)解：由题意可知，240x x b -+<的解集为{}1|x x m <<， 所以1x =与x m =为方程240x x b -+=的两根，141m m b +=⎧∴⎨⋅=⎩，33m b =⎧∴⎨=⎩； (2)解：()()2210a b x a b x +++-<的解集为R ，①当0a b +=时，10-<的解集为R ，30a ∴+=，3a ∴=-；②当0a b +<时，()20Δ4()40a b a b a b +<⎧⎨=+++<⎩，10a b ∴-<+<，130a ∴-<+<，43a ∴-<<-综上所述，a 的取值范围为(]4,3--.类型五：一元二次函数求最值（含参数）典型例题例题1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()222f x x ax =++．(1)当1a =时，求函数()f x 在区间[)23-，上的值域； (2)当1a =-时，求函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值；(3)求()f x 在[]55-，上的最大值与最小值． 【答案】(1)[)1,17(2)221(1)12112t t t t ⎧-+<⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，，(3)答案见解析（1）当1a =时，()()222211f x x x x =++=++，函数在[)21－，－上单调递减，在()1,3-上单调递增， ()()min 11317x f x f ∴===－，，，∴函数()f x 在区间[)23-，上的值域是[)1,17；（2）当1a =-时，()()222211f x x x x =-+=-+，12t，函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值()()211f t t =-+； 12t ≥，函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值()211f t t +=+； ∴函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值221(1)12112t t t t ⎧-+<⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，，；（3）函数()()222222f x x ax x a a =++=++- 的对称轴为x a =-，①当5a -<-，即5a >时，函数y 在[]55－，上是增函数， 当5x =-时，函数y 取得最小值为2710a -；当5x =时，函数y 取得最大值为2710a +． ②当50a -≤<，即05a <≤时，当x a =-时，函数y 取得最小值为22-a ；当5x =时，函数y 取得最大值为2710a +．③当05a ≤≤－，即50a ≤≤－时，x =－a 时，函数y 取得最小值为22a －；当5x =－时，函数y 取得最大值为2710a －．④当5a >－，即5a <－时，函数y 在[]55－，上是减函数， 故当5x =－时，函数y 取得最大值为2710a －；当5x =时，函数y 取得最小值为2710a +． 综上，当5a >时，函数的最大值为2710a +，最小值为2710a -，当05a <≤时，函数的最大值为2710a +，最小值为22-a ，当50a ≤≤－时，函数的最大值为2710a －，最小值为22a －，当5a <－时，函数的最大值为2710a －，最小值为2710a + 例题2．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期末）已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)2f =，(1)()21f x f x x +-=+. (1)求函数()f x 的解析式；(2)当[,2]x t t ∈+（R t ∈）时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）． 【答案】(1)2()2f x x =+ (2)222,0()2,2046,2t t g t t t t t ⎧+≥⎪=-<<⎨⎪++≤-⎩（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)2f =，(1)()21f x f x x +-=+， 所以2c =，且22(1)(1)()21a x b x c ax bx c x ++++-++=+，由22(1)(1)()21a x b x c ax bx c x ++++-++=+，得221ax b a x ++=+，所以221a b a =⎧⎨+=⎩，得10a b =⎧⎨=⎩，所以2()2f x x =+.（2）因为2()2f x x =+是图象的对称轴为直线0x =，且开口向上的二次函数， 当0t ≥时，2()2f x x =+在[,2]x t t ∈+上单调递增，则2min ()()2f x f t t ==+；当20t +≤，即2t ≤-时，2()2f x x =+在[,2]x t t ∈+上单调递减，则22min ()(2)(2)246f x f t t t t =+=++=++；当01t t <<+，即20t -<<时，min ()(0)2f x f ==， 综上222,0()2,2046,2t t g t t t t t ⎧+≥⎪=-<<⎨⎪++≤-⎩同类题型演练1．（2021·全国·高一专题练习）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点(0,1)-，且满足()()12f f -=．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值； 【答案】(1)2()221f x x x =--(2)2min23263,,2331[()],,2221221,.2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩(1)解：因为函数2()2f x x mx n =++的图象过点(0,1)-， 所以1n =- 又(1)(2)f f -=， 所以1224m -+=-， 解得2m =-，所以2()221f x x x =--；(2)2213()221222f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，[,2]x a a ∈+，当122a +≤时，即32a ≤-时，函数()f x 在[],2a a +上单调递减，所以2min [()](2)263f x f a a a =+=++，当122a a <<+时，即3122a -<<时，函数()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增，所以min 13[()]22f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；当12a ≥时，函数()f x 在[],2a a +上单调递增， 所以2min [()]()221f x f a a a ==--．综上：2min23263,,2331[()],,2221221,.2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩2．（2021·江西·兴国县将军中学高一期中）已知二次函数()2f x x bx c =++，且()()31f f -=，()00=f ．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()()422g x f x a x =-++，[]1,2x ∈，求函数()g x 的最小值． 【答案】(1)2()2f x x x =+；(2)2min12,0()21,0124,1a a g x a a a a a -≤⎧⎪=--+<<⎨⎪-≥⎩. (1)由(3)(1),(0)0f f f -==，则(0)0f c ==，又931b b -=+，解得2b =， ∴函数()f x 的解析式为2()2f x x x =+.(2)由(1)知，2()2(1)2g x x a x =-++， 其对称轴1x a =+，而[]1,2x ∈， 当11a +≤，即0a ≤时，()g x 在[]1,2上单调递增，min ()(1)12g x g a ==-， 当12a +≥，即1a ≥时，()g x 在[]1,2上单调递减，min ()(2)24g x g a ==-，当01a <<时，2min ()(1)21g x g a a a =+=--+，∴2min12,0()21,0124,1a a g x a a a a a -≤⎧⎪=--+<<⎨⎪-≥⎩. 类型六：：根据不等式的解求参数典型例题例题1．（2021·福建三明·高一期中）已知函数2()2f x ax x c =++，若不等式()0f x <的解集是{|53}x x -<< (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()f x 在区间[,2]m m +上的最小值为20，求实数m 的值. 【答案】(1)2()215f x x x =+- (2)－9或5(1)125,3x x =-=是对应方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两根.由韦达定理得12122211515x x a ac c x x a ⎧+=-=-⎪=⎧⎪∴⎨⎨=-⎩⎪==-⎪⎩，2()215f x x x ∴=+-；(2)22()215(1)16f x x x x =+-=+-，对称轴为1x =-，当21m +≤-，即3m ≤-时，2min ()(2)(3)16f x f m m =+=+-，由已知得：2(3)1620m +-=， 解得：m ＝3或－9，又3m ≤-，9m ∴=-，当1m ≥-时，2min ()()(1)16f x f m m ==+-，由已知得：2(1)1620m +-=， 解得：m ＝5或－7，又1m ≥-，5m ∴=，当12m m <-<+时，min ()1620f x =-≠，（舍去）， 综上所述，m ＝－9或5.例题2．（2021·河南开封·高一阶段练习）已知函数()221f x x ax =-+，[]1,2x ∈，R a ∈.(1)若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围； (2)若()f x 最小值为4-，求a 的值. 【答案】(1)54a ≥； (2)94. (1)因为2()21f x x ax =-+开口向上，由[]1,2x ∈时，()0f x ≤恒成立，可得()max 0f x ≤，所以(1)0(2)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即220540a a -≤⎧⎨-≤⎩，解得：54a ≥，所以a 的取值范围为54a ≥. (2)()221f x x ax =-+对称轴为x a =，开口向上，当1a ≤时，()()min 1224f x f a ==-=-，解得：3a =（舍）；当12a <<时，2min ()()14f x f a a ==-+=-，5a =±（舍）；当2a ≥时，min ()(2)544f x f a ==-=-，94a =； 所以a 的值为94.同类题型演练1．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值． 【答案】(1)(1,1)(5,7)-⋃ (2)0,2t a ==或2,2t a ==(1)当3a =时，不等式5()7f x -<<， 即为2567x x -<-<，即226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x ，所以171,5或-<<⎧⎨<>⎩x x x ， 所以11x -<<或57x <<，所以原不等式的解集为(1,1)(5,7)-⋃． (2)(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，这时24a -≤-解得2a ≥， 若0=t ，则2t a +≤，所以()()2242f t f a +==-⇒=；若22t a +=，即22t a a =-≥， 所以()()422f t f a =-=-，则2a =，综上，0,2t a ==或2,2t a ==．2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0，1]时有最大值2，求a的值．【答案】a＝－1或a＝2．【详解】函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a．（1）当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1．（2）当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，即a2－a－1＝0，∴a＝125(舍去)．（3）当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2．综上可知，a＝－1或a＝2．。