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开平方法配方法公式法因式分解法解一元二次方程下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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2.2.1 直接开平方法、配方法一、新 知 梳 理1、一元二次方程的解2、直接开平方法的基本形式：①（ax+b ）2=c(c ≥0)②（ax+b ）2=(cx+d)23、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方．配方法步骤：①化一元二次方程为一般形式； ②如果二次项系数为1，在一次项后面加上一次项系数一半 的平方，再减去这个数； ③前三项写成完全平方的形式，常数项合并；④用直接开平方法解方程．4、运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程①化简：化一元二次方程为一般形式，且二次项系数为1；②配方： 在一次项之后加上一次项系数一半的平方，再减去这个数(为了保持值不变)，使得含未知数的项在一个完全平方式里；③转化：化方程为(ax ＋b )2＝k (k ≥0)或(ax ＋b )2－k ＝0(k ≥0)；④求解：用直接开平方法求解．二、方法探究1、一元二次方程的解(根)例1 已知x ＝2是一元二次方程x 2＋mx ＋2＝0的一个解，则m 的值是( )A ．－3B ．3C ．0D ．0或32、用直接开平方法解一元二次方程例2 解方程：(1)3x 2＝27； (2)(x －2)2＝16； (3)15(2x －3)2＝5. （4）（2x-1）2=(3x+2)2 3、用配方法解二次项系数为1一元二次方程例3 用配方法解一元二次方程：(1)x 2－7x －18＝0. (2)x (x ＋6)＝16.4、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程例4 用配方法解下列方程：(1)2x 2＋6x ＋12＝0； (2)－3x 2＋4x ＋1＝0. 5、配方法的应用⑴用配方法说明：无论x 为何实数，代数式x 2－4x ＋4.5的值恒大于零． ⑵试用配方法说明代数式2x 2－x ＋3的值不小于238. 三、巩固练习1．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．±3D ．以上都不对2．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-13．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）A ．2B ．-2C ．D ．4．用适当的数填空：（1）x 2-3x+________=（x-_______）2（2）a （x 2+x+_______）=a （x+_______）25．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，•所以方程的根为_________．6．如果关于x 的方程x 2+kx+3=0有一个根是-1，那么k=________，另一根为______．BA CQD P 7．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________．8．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．9．解下列方程：（1）x 2+8x=9 （2）6x 2+7x-3=010．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ）A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数11．用配方法求解下列问题．（1）2x 2-7x+2的最小值 （2）-3x 2+5x+1的最大值12．试说明：不论x 、y 取何值，代数式4x 2+y 2-4x+6y+11的值总是正数．•你能求出当x 、y 取何值时，这个代数式的值最小吗？13．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，问几秒钟时△PBQ 的面积等于8cm ．。
因式分解法直接开平方法配方法
直接开平方法：
直接开平方法适合于多项式可以进行开平方的情况，即多项式可以写成一些因式的平方的形式。
下面以一个示例来说明直接开平方法的步骤：例：将多项式x^2-6x+9分解。
Step 1: 将多项式进行拆分，得到(x - 3)(x - 3)。
Step 2: 观察可知，(x - 3)是一个因式的平方，即(x - 3)^2
Step 3: 可得到分解后的形式为(x - 3)^2
配方法：
配方法适合于多项式的首项系数不为1或者多项式无法直接开平方的情况。
下面以一个示例来说明配方法的步骤：
例：将多项式x^2-7x+10分解。
Step 1: 观察到首项系数不为1，所以需要用配方法来分解。
Step 2: 将多项式的首项系数和末项相乘，得到10。
Step 3: 找出两个数，它们的乘积为10，且和为-7，即-2和-5
Step 4: 用-2x和-5x来代替-7x，即x^2 - 7x + 10 = x^2 - 2x - 5x + 10。
Step 5: 将多项式进行分组，得到(x^2 - 2x) + (-5x + 10)。
Step 6: 进行因式提取，得到x(x - 2) - 5(x - 2)。
Step 7: 观察到(x - 2)是(x - 2)这个因式的公因式，所以得到(x - 2)(x - 5)。
通过以上两种方法，可以将多项式进行分解，得到相应的因式形式。
需要注意的是，在使用配方法时，有时候需要对多项式进行因式提取或分组，以得到正确的结果。
一元二次方程及其解法（一）直接开平方法和配方法—知识讲解（提高）撰稿：李爱国审稿：杜少波【学习目标】1.理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2.掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3.了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；4.理解解法中的降次思想和转化思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想. 增强数学应用意识和能力.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，三个条件缺一不可.2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.要点二、一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O ；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根．②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根．2．配方法解一元二次方程(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解．要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．3．配方法的应用（1）用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.（2）用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．（3）用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．(4)用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，在以后的二次函数中求极值尤为重要，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1．判定下列方程是不是关于x的一元二次方程：(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．【答案与解析】(1)经整理，得它的一般形式：(a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0，其中，由于对任何实数a都有a2≥0，于是都有a2+2＞0，由此可知a2+2≠0，所以可以判定：对任何实数a，它都是一个一元二次方程．(2)经整理，得它的一般形式:(m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0，其中，当m≠±1时，有m2-1≠0，它是一个一元二次方程；当m=1时方程不存在，当m=-1时，方程可化为4x=0，不是一元二次方程．【总结升华】对于含有参数的一元二次方程，要特别注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数的限定条件是m≠±1．例如，一个关于x的方程，若整理为(m-4)x2+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m≠4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)．又如，当我们说：“关于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0……”时，实际上就给出了条件“a-1≠0”，也就是存在一个条件“a≠1”．由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”．类型二、一元二次方程的解（根）2.已知m，n是方程2210的两根，且(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)＝8，则a的值等于 ( )x x--=A．-5 B．5 C．-9 D．9【思路点拨】先分别把m，n代入方程得到关于m，n的等式，利用整体思想分别求出7m2-14m=7（m2-2m）=7，3n2-6n=3（n2-2n）=3，代入所求代数式即可求解．【答案】C；【解析】根据方程根的定义，m，n是方程x2-2x-1＝0的两根，∴m2-2m-1＝0，n2-2n-1＝0．变形可得：7m 2-14m ＝7，3n 2-6n ＝3．将变形后的式子代入已知等式中可得：(7+a)(3-7)＝8， 解得a ＝-9．【总结升华】当看到式子很复杂，别着急，注意与已知条件联系，运用根的定义，仔细观察已知等式的特点，将7m 2-14m 与3n 2-6n 看作整体，运用整体代入法求解．举一反三:【高清ID 号：388447 关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的系数与解——练习2】【变式】（1）x=1是270x ax -+=的根，则a= . （2）已知关于x 的一元二次方程 22(1)210m x x m -++-=有一个根是0，求m 的值.【答案】（1）当x=1时，1-a+7=0,解得a=8.（2）由题意得 类型三、用直接开平方法解一元二次方程3.解方程(x-3)2=49．【思路点拨】本题考查了解一元二次方程--直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a ≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a ≠0）；（x+a ）2=b （b ≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数”的形式，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解．【答案与解析】把x-3看作一个整体，直接开平方，得x-3=7或x-3=-7．由x-3=7，得 x=10．由x-3=-7，得 x=-4．所以原方程的根为x=10或x=-4．【总结升华】应当注意，如果把x+m 看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n ≥0)的方程就可看作形如x 2=k 的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n 可成为任何一元二次方程变形的目标．举一反三:【变式】解方程： (1)(3x+1)2=7； (2) 9x 2-24x+16=11.【答案】(1)解：(3x+1)2=7×57 ，∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴15x -±=∴原方程的解为115x -+=， 215x --=.(2)解：9x 2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴ 411x ±=∴原方程的解为x 1= 411+， x 2= 411-.类型四、用配方法解一元二次方程4.用配方法解方程：(1) 2410x x --=； (2) 22730x x ++=．【思路点拨】方程(1)的二次项系数是1，方程(2)的二次项系数不是1，必须先化成1，才能配方，这是关键的一步．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，目的是把方程化为2()(0)mx n P P +=≥的形式，然后用直接开平方法求解．【答案与解析】 (1)移项，得2410x x --=．配方，得2224212x x -+=+．即2(2)5x -=．直接开平方，得25x -=， ∴125x =+225x =(2)移项，得22730x x ++=，方程两边同除以2，得27322x x +=-， 配方，得22277372424x x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2725416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 直接开平方，得7544x +=±． ∴112x =-，23x =-． 【总结升华】配方要注意一次项的符号决定了左边的完全平方式中是两数和的平方还是两数差的平方．举一反三：【高清ID 号：388499 关联的位置名称（播放点名称）：用配方法解一般的一元二次方程例2、用配方法解含字母系数的一元二次方程例3】【变式】 用配方法解方程（1）2235x x += （2）20x px q ++=【答案】（1）22271074(107)410()410x x x x x x -+-=-+-=--- 25322x x -=- 2225535()()2424x x -+=-+ 251()416x -= 5144x -=± 123,12x x ==. （2）20x px q ++=222()()22p p x px q ++=-+ 224()24p p q x -+= ①当240p q -≥时，此方程有实数解，221244,p p q p p q x x -+----==； ②当240p q -＜时，此方程无实数解.类型五、配方法在代数中的应用5. 用配方法证明21074x x -+-的值小于0．【思路点拨】本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方思想与我们学的配方法大同小异，即思路一致．【答案与解析】22271074(107)410()410x x x x x x -+-=-+-=--- 27494910410400400x x ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭274910420400x ⎡⎤⎛⎫=----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2274971111041020402040x x ⎛⎫⎛⎫=--+-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵2710020x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，∴271111002040x ⎛⎫---< ⎪⎝⎭， 即21074x x -+-<0．故21074x x -+-的值恒小于0．【总结升华】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子．举一反三:【变式】试用配方法证明：代数式x 2-4x+6的值不小于2．【答案】x 2-4x+6=（x 2-4x+4）-4+6=(x-2)2+2，∵(x-2)2≥0,∴(x-2)2+2≥2即代数式x 2-4x+6的值不小于2.举一反三:【高清ID 号：388499 关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值提高练习】【变式】（1）2263x x +-的最小值是 ；（2）245x x -++的最大值是 .【答案】（1）222222333152632(3)323()()32()2222x x x x x x x ⎡⎤+-=+-=++--=+-⎢⎥⎣⎦； 所以的最小值是152-（2）22222245(4)5(422)5(2)9x x x x x x x -++=--+=--+-+=--+所以245x x -++的最大值是9.6. 分解因式：42221x x ax a +++-．【答案与解析】42221x x ax a +++-4222221x x x ax a =+-++-4222212x x x ax a =++--+（）（）2221x x a =+--（）（）22(1)(1)x x a x x a =++-+-+．【总结升华】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．7．已知223730216b a a b -+-+=，求4a b -的值． 【思路点拨】 把3716拆成91416+ ，将方程的左边配成两个完全平方式． 【答案与解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ 302a -=且104b -=， ∴ 32a =，14b =． ∴ 31314422422a b -=-=-=-． 【总结升华】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a ．b 的值．。
直接开平方法、配方法）1. 用直接开平方法解下列方程： （1）2225x =； （2）21440y -=．2. 解下列方程： （1）2(1)9x -=； （2）2(21)3x +=；（3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=．3. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21)180y -=； （2）21(31)644x +=；（3）26(2)1x +=； （4）2()(00)ax c b b a -=≠，≥4. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2． （2）223x x -+（ ）＝（x -）2．（3）2by y a -+（ ）＝（y - ）2．5. 用适当的数（式）填空：23x x -+ (x =- 2)； 2x px -+ ＝(x - 2)23223(x x x +-=+ 2)+ ．6. 用配方法解下列方程1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21(1)2(1)02x x ---+=7. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ．8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --=9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ．10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为11. 用配方法解方程（1）210x x --=； （2）23920x x -+=．12. 用适当的方法解方程（1）23(1)12x +=； （2）2410y y ++=；（3）2884x x -=； （4）2310y y ++=．22．2降次－－解一元二次方程（第三课时）22.2.2 公式法◆随堂检测1、一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2、若关于x 的一元二次方程220x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1m <B ．1m >-C ．1m >D ．1m <-3、若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则实数m 的取值范围是_____________.4、用公式法解下列方程.（1）22410x x --=； （2）2523x x +=； （3）24310x x -+=.分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后正确代入求根公式12b x a-=，2x =即可. ◆典例分析2+=．有一位同学解答如下：这里，a =b =c =∴224432b ac -=-=,∴x =2=,∴12x =，22x =．请你分析以上解答有无错误,如有错误,找出错误的地方,并写出正确的结果．分析：本题所反映的错误是非常典型的,在用公式法求解方程时,一定要求先将方程化为一元二次方程的一般形式才行. 解：◆课下作业●拓展提高1、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．240x +=B ．24410x x -+=C ．230x x ++=D ．2210x x +-=2、如果关于x 的方程022=--k x x 没有实数根，则k 的取值范围为_____________.3、用公式法解下列方程.（1）1)4(2=+x x ； （2）(2)(35)1x x --=； （3）20.30.8y y +=.4、求证：关于x 的方程01)12(2=-+++k x k x 有两个不相等的实数根．5、若关于x 的一元二次方程2(2)210a x ax a --++=没有实数解，求30ax +>的解集（用含a 的式子表示）．提示：不等式30ax +>中含有字母系数a ，要想求30ax +>的解集，首先就要判定a 的值是正、负或0．利用条件一元二次方程2(2)210a x ax a --++=没有实数根可以求出a 的取值范围． ●体验中考1、如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．14k >-B ．14k >-且0k ≠C ．14k <-D ．14k ≥-且0k ≠ 注意:一元二次方程22(21)10k x k x -++=的二次项系数含有字母k . 2、定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知20(0)ax bx c a ++=≠是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ．a b c ==●挑战能力1．解关于x 的方程2x 2+（3m －n ）x －2m 2+3mn －n 2=0．2．当m 取何值时，关于x 的方程mx 2－4x +4=0与x 2－4mx +4m 2－4m －5=0都有两个实数根？3．试证明：关于x 的方程（a 2－8a +20）x 2+2ax +1=0，不论a 取何值，该方程都是一元二次方程．4．k 取何值时，方程kx 2－（2k +1）x +k =0，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）无实数根．5．方程x 2－（k +1）x +41k =0能否有相等的实数根．若有请求出来．6．已知一元二次方程（ab －2b ）x 2+2（b －a ）x +2a －ab =0有两个相等的实数根，求ba 11+的值．7．已知：a 、b 、c 是三角形三条边的长，求证：方程b 2x 2+（b 2+c 2－a 2）x +c 2=0没有实数根．21．2降次－－解一元二次方程（第四课时）21.2.3 因式分解法◆随堂检测1、下面一元二次方程的解法中，正确的是（ ）A ．（x －3）（x －5）=10×2，∴x －3=10，x －5=2，∴x 1=13，x 2=7B ．（2－5x ）+（5x －2）2=0，∴（5x －2）（5x －3）=0，∴x 1=25，x 2=35C ．（x +2）2+4x =0，∴x 1=2，x 2=－2D ．x 2=x 两边同除以x ，得x =12、x 2－5x 因式分解结果为_______；2x （x －3）－5（x －3）因式分解的结果是______．3、用因式分解法解方程:（1）2411x x =； （2）2(2)24x x -=-．点拨：用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式．4、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程2430x x -+=的解，求这个三角形的周长．◆典例分析 方程2200920100x x +-=较大根为m ，方程2(2010)2009201110x x +⨯-=较小根为n ，求n m +的值.分析：本题中两个方程的系数都较大，用配方法和公式法都会遇到烦琐的运算，因此考虑到系数的特点，选用因式分解法最合适．◆课下作业 ●拓展提高1、二次三项式x 2+20x +96分解因式的结果为________；如果令x 2+20x +96=0，那么它的两个根是_________．2、下列命题:①方程kx 2－x －2=0是一元二次方程；②x =1与方程x 2=1是同解方程；③方程x 2=x 与方程x =1是同解方程；④由（x +1）（x －1）=3可得x +1=3或x －1=3.其中正确的命题有（ ）A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个3、已知()(2)80x y x y +++-=，求x y +的值.点拨:将x y +看作一个整体,不妨设x y z +=，则求出z 的值即为x y +的值.4、我们知道2()()()x a b x ab x a x b -++=--，那么2()0x a b x ab -++=就可转化为()()0x a x b --=，请你用上面的方法解下列方程：（1）2340x x --=； （2）2760x x -+=； （3）2450x x +-=.5、已知22940a b -=，求代数式22a b a b b a ab +--的值． 分析：要求22a b a b b a ab+--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a 与b 的关系后代入即可．6、已知1x =是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求2222a b a b --的值.●体验中考1、方程2x x =的解是（ ）A ．1x = B ．0x = C ．11x =，20x = D ．11x =-，20x =2、小华在解一元二次方程240x x -=时，只得出一个根是4x =，则被他漏掉的一个根是________.（提示：方程两边不能同除以含有未知数的式子，否则会失根的.）◆随堂检测1、B 用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积等于0的形式．只有B 是正确的.2、x （x －5）；（x －3）（2x －5）.3、解：（1）移项，得：24110x x -=，因式分解，得：(411)0x x -=于是，得：0x =或4110x -=，∴10x =，2114x =. （2）移项，得2(2)240x x --+=，即2(2)2(2)0x x ---=，因式分解，得：(2)(22)0x x ---=，整理，得：(2)(4)0x x --=，于是，得20x -=或40x -=，∴12x =，24x =.4、解方程:2430x x -+=，得(3)(1)0x x --=，∴13x =，21x =.∵三角形两边长分别为2和4，∴第三边只能是3.∴三角形周长为9.◆课下作业●拓展提高1、（x +12）（x +8）；x 1=－12，x 2=－8.2、A ①中方程当k =0时不是一元二次方程；②中x =1比方程x 2=1少一个解x =－1；③中方程x 2=x 比方程x =1多一个解x =0；④中由（x +1）（x －1）=3不能必然地得到x +1=3或x －1=3.因此没有正确的命题，故选A .3、解：设x y z +=，则方程可化为(2)80z z +-=,∴2280z z +-=, ∴(4)(2)0z z +-=,∴14z =-，22z =.∴x y +的值是4-或2.4、解（1）∵234(4)(1)x x x x --=-+，∴(4)(1)0x x -+=，∴40x -=或10x +=，∴14x =，21x =-.（2）∵276(6)(1)x x x x -+=--，∴(6)(1)0x x --=，∴60x -=或10x -=，∴16x =，21x =.（3）∵245(5)(1)x x x x +-=+-，∴(5)(1)0x x +-=，∴50x +=或10x -=，∴15x =-，21x =. 5、解：原式=22222a b a b b ab a---=- ∵22940a b -=，∴(32)(32)0a b a b +-=，∴320a b +=或320a b -=，∴23a b =-或23a b =， ∴当23a b =-时，原式=－23b b -=3；当23a b =时，原式=－3． 6、解：把1x =代入方程，得：a ＋b ＝40，又∵a b ≠， ∴2222a b a b --＝()()2()a b a b a b +--＝2a b +＝20.●体验中考1、C 先移项，得20x x -=，因式分解，得：(1)0x x -=，∴10x =，21x =.故选C .2、0x = 将方程因式分解，得(4)0x x -=，∴10x =，24x =.∴被他漏掉的根是0x =.请你分析以上解答有无错误,如有错误,找出错误的地方,并写出正确的结果．分析：本题所反映的错误是非常典型的,在用公式法求解方程时,一定要求先将方程化为一元二次方程的一般形式才行.解：这位同学的解答有错误,错误在c =-,而不是c =并且导致以后的计算都发生相应的错误．正确的解答是:20+-=，∴a =b =c =-∴2244(64b ac -=--=,∴x ===∴1x =2x =1、B ∵△＝224(2)41(1)80b ac -=--⨯⨯-=>，∴方程有两个不相等的实数根，故选B ．2、C ∵△＝224(2)41440b ac m m -=--⨯⨯=-<，∴1m >．故选C ．3、94m ≤ ∵△＝224(3)41940b ac m m -=--⨯⨯=-≥，∴94m ≤． 4、解：（1）2a =，4b =-，1c =-,∴224(4)42(1)240b ac -=--⨯⨯-=>,∴x =(4)422242--±±==⨯∴122x =，222x =． （2）将方程化为一般形式23520x x --=，∴3a =，5b =-，2c =-,∴224(5)43(2)490b ac -=--⨯⨯-=>,∴x =576±=，∴12x =，213x =-． （3）4a =，3b =-，1c =,∴224(3)44170b ac -=--⨯⨯=-<，∵在实数范围内，负数不能开平方，∴此方程无实数根．1、D 只有选项D 中△＝224241(1)80b ac -=-⨯⨯-=>，方程有两个不相等的实数根．故选D ．2、1k <- ∵△＝224(2)41()440b ac k k -=--⨯⨯-=+<，∴1k <-．3、（1）将方程化为一般形式22810x x +-=，∴2a =，8b =，1c =-, ∴224842(1)720b ac -=-⨯⨯-=>,∴42x -±==，∴142x -+=，242x --=． （2）将方程化为一般形式231190x x -+=，∴3a =，11b =-，9c =,∴224(11)439130b ac -=--⨯⨯=>,∴x =(11)11236--=⨯1116x +=，2116x -=． （3）将方程化为一般形式20.30.80y y +-=，∴0.3a =，1b =，0.8c =-,∴224140.3(0.8) 1.960b ac -=-⨯⨯-=>,∴y =10146-±=，∴14y =-，223y =． 4、证明：∵△＝2224(21)41(1)450b ac k k k -=+-⨯⨯-=+>恒成立，∴方程有两个不相等的实数根．5、解：∵关于x 的一元二次方程2(2)210a x ax a --++=没有实数根，∴2(2)4(2)(1)480a a a a ---+=+<，∴20a <-<．∵30ax +>即3ax >-，∴3x a <-．∴所求不等式的解集为．3x a<-. 1、B 依题意得,2220(21)410k k k ⎧≠⎪⎨+-⨯>⎪⎩,解得14k >-且0k ≠.故选B ． 2、A 依题意得,2040a b c b ac ++=⎧⎨-=⎩,代入得2()4a c ac +=,∴2()0a c -=,∴a c =.故选A ．。
