22.2解一元二次方程
第一课时
直接开平方法
教学目的
1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．
2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．教学重点、难点
重点：准确地求出方程的根．
难点：正确地表示方程的两个根．
教学过程
复习过程
回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．
求下列各式中的x：
1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0．
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
即一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．
引入新课
我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？
新课
例1 解方程 x2-4=0．
解：先移项，得x2=4．
即x1=2，x2=-2．
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．
例2 解方程 (x+3)2=2．
练习：P28 1、2
归纳总结
1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接开平方法．
2．直接法适用于ax 2+c=0(a ＞0，c ＜0)型的一元二次方程． 布置作业：习题22.1 4、6题
达标测试
1.方程x 2-0.36=0的解是
A.0.6
B.-0.6
C.±6
D.±0.6
2.解方程:4x 2+8=0的解为
A.x 1=2 x 2=-2
B.2,221-==x x
C.x 1=4 x 2=-4
D.此方程无实根
3.方程(x+1)2-2=0的根是 A.21,2121-=+=x x B. 21,2121+-=+=x x C. 21,2121+=--=x x D. 21,2121--=+-=x x
4.对于方程(ax+b)2=c 下列叙述正确的是
A.不论c 为何值,方程均有实数根
B.方程的根是a
b c x -= C.当c ≥0时,方程可化为:c b ax c b ax -=+=
+或 D.当c=0时,a
b x =
5.解下列方程: ①.5x 2-40=0 ②.(x+1)2
-9=0
③.(2x+4)2-16=0 ④.9(x-3)2-49=0
用直接开平法解一元二次方程 学习目标： 1、使学生理解直接开平方法的定义和基本思想； 2、学会用直接开平方法解一元二次方程； 3、知道：形如（含有未知数）2＝非负数，的方程都可以用直接开平方法解。 重点：用用直接开平方法解一元二次方程； 难点：如何识别一个一元二次方程可以用用直接开平方法解； 教学过程： 一、 检查预习 1、解方程：0362=-x 二、复习练习 1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及系数。 （1）245x x -= （2）235x = （3）()()()2212 2-+=+-y y y y 2、要求学生复述平方根的意义。 （1）文字语言表示：如果一个数的平方等于a ，这个数叫a 的平方根。 （2）用式子表示：若a x =2，则x 叫做a 的平方根。 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 零的平方根是零； 负数没有平方根。 （3）4 的平方根是 ，81的平方根是 ， 100的算术平方根是 。 三、 新课讲解 例1：解下列方程（1）x 2＝4； （2）x 2－1＝0; 处理：1、让学生尝试解，然后总结方法。 2、形如)0(2≥=a a x ，a x ±= 练习：解下列方程 （1）092=-x （2）022=-x 例2、解方程（1）025162=-x 练习：解下列方程： （1）12y 2－25＝0； （2）01642=-x 例3、解方程（x ＋1）2＝144 练习：解方程025)2(42=-+x 四、巩固练习
1、请大家帮帮忙，挑一挑，拣一拣，下列一元二次方程中，哪些更适宜用直接开平方法来解呢？ ⑴ x 2=3 ⑵ 3t 2-t=0 ⑶ 3y 2=27 ⑷ (y-1)2-4=0 ⑸ (2x+3)2=6 ⑹ x 2+x-9=0 ⑺ x 2=36x ⑻ x 2+2x+1=0 2、解下列方程 （1）0822=-x （2）3592=-x （3）09)6(=-+x （4）06)1(32=--x ] 五、小结。 直接开平方法解一元二次方程的关键是要化成什么形式？（学生畅所欲言） 六、小测 解下列方程 （1）1692=x （2）01222=-x （3）036)2(2=-+x （4）3)13(2=-x 七、作业 1、预习配方法：尝试解方程 0242=+-y y 2、完成学习辅导P17——P18。
第一章因式分解 1.2.1 因式分解法、直接开平方法（2） 主备人备课时间 集体修订时间课型新授课 授课人许大精授课时间 教学札记教学目标： 1、知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方 程。 2、学会用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。 3、引导学生体会“降次”化归的思路。 知识与能力： 通过两种方法解简单的一元二次方程，初步培养学生解方程的能力，培养学生 观察、类比、转化的思维能力． 情感态度价值观： 通过平方根的理论，因式分解的理论求一元二次方程的解，使学生建立旧知 与新知的联系，由已有的知识形成新的数学方法，激发学生的学习兴趣，让学生 形成勤奋学习的积极情感，为以后学习打下良好的基础．通过解方程的教学，了 解“未知”可以转化为“已知”的思想． 教学重点: 掌握用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。 教学难点： 通过分解因式或直接开平方将一元二次方程降次为一元一次方程。 教学课时：1课时 教学方法：自主、合作、探究 教学媒体：多媒体 教学过程： （一）复习引入 1、判断下列说法是否正确 (1) 若p=1，q=1，则pq=l( )，若pq=l，则p=1，q=1( )； (2) 若p=0，g=0，则pq=0( )，若pq=0，则p=0或q=0( )； (3) 若x+3=0或x-6=0，则(x+3)(x-6)=0( )， 若(x+3)(x-6)=0，则x+3=0或x-6=0( )； (4) 若x+3= 或x-6=2，则(x+3)(x-6)=1( )，
若(x+3)(x-6)=1，则x+3= 或x-6=2( )。 答案：(1) √，×。(2) √，√。(3)√，√。(4)√，×。 2、填空：若x2=a；则x叫a的，x= ；若x2=4，则x= ； 若x2=2，则x= 。 答案：平方根，±，±2，±。 （二）创设情境 前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)。由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？ 引导学生思考得出结论：解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。 给出1．1节问题一中的方程：(35-2x)2-900=0。 问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程? （三）探究新知 让学生对上述问题展开讨论，教师再利用“复习引入”中的内容引导学生，按课本P．6那样，用因式分解法和直接开平方法，将方程(35-2x)2-900=0“降次”为两个一元一次方程来解。让学生知道什么叫因式分解法和直接开平方法。 （四）讲解例题 展示课本P．7例1，例2。 按课本方式引导学生用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程。 引导同学们小结：对于形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程，既可用因式分解法解，又可用直接开平方法解。 因式分解法的基本步骤是：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积(本节课主要是用平方差公式分解因式)的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。 直接开平方法的步骤是：把方程变形成(ax+b)2=k(k≥0)，然后直接开平方得ax+b= 和ax+b=- ，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解。 注意：(1) 因式分解法适用于一边是0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程；
? 解一元二次方程（直接开平方法、配方法） 1. 用直接开平方法解下列方程： （1）2225x =； （2）2 1440y -=． 2. 解下列方程： （1）2 (1)9x -=； （2）2(21)3x +=； ( （3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21)180y -=； （2） 21(31)644 x +=； 【 （3）26(2)1x +=； （4）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ … 4. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2 ． （2）223 x x - +（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；
2x px -+ ＝(x - 2) % 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 6. 用配方法解下列方程 1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21(1)2(1)02 x x ---+= ' 7. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= ? 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程 （1）210x x --=； （2）23920x x -+=． （ 12. 用适当的方法解方程 （1）23(1)12x +=； （2）2 410y y ++=；
22.2解一元二次方程 第一课时 直接开平方法 教学目的 1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程． 2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．教学重点、难点 重点：准确地求出方程的根． 难点：正确地表示方程的两个根． 教学过程 复习过程 回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据． 求下列各式中的x： 1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0． 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 即一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数． 引入新课 我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？ 新课 例1 解方程 x2-4=0． 解：先移项，得x2=4． 即x1=2，x2=-2． 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法． 例2 解方程 (x+3)2=2． 练习：P28 1、2 归纳总结 1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接开平方法．
2．直接法适用于ax 2+c=0(a ＞0，c ＜0)型的一元二次方程． 布置作业：习题22.1 4、6题 达标测试 1.方程x 2-0.36=0的解是 A.0.6 B.-0.6 C.±6 D.±0.6 2.解方程:4x 2+8=0的解为 A.x 1=2 x 2=-2 B.2,221-==x x C.x 1=4 x 2=-4 D.此方程无实根 3.方程(x+1)2-2=0的根是 A.21,2121-=+=x x B. 21,2121+-=+=x x C. 21,2121+=--=x x D. 21,2121--=+-=x x 4.对于方程(ax+b)2=c 下列叙述正确的是 A.不论c 为何值,方程均有实数根 B.方程的根是a b c x -= C.当c ≥0时,方程可化为:c b ax c b ax -=+= +或 D.当c=0时,a b x = 5.解下列方程: ①.5x 2-40=0 ②.(x+1)2 -9=0 ③.(2x+4)2-16=0 ④.9(x-3)2-49=0
1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（ ） A. 230x -= B. 2(1)40x --= C. 2 20x x += D. 22(1)(21)x x -=+ 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 方程24x =两边开平方，得原方程的解为 2x = B. 3x =是方程29x =的根，所以得根是3x = C. 方程2250x -=的根是5x =± D. 方程232640x x -+=有两个相等的根 3.已知0a ≠，方程2229160a x b -=的解是( ) A. 169b x a = B.43b x a = C.43b x a =± D.2 243b x a =± 4. 方程220(0)x m m +=<的根( ) A.2m - B.2m - C.22 m -± D.2m -± 5. 若2(1)10x +-=，则x 得值等于( ) A. 1± B. 2± C. 0或2 D. 0或-2 6、用直接开平方法解方程k h x =+2)( ，方程必须满足的条件是（ ） A ．k ≥o B ．h ≥o C ．hk ＞o D ．k ＜o 7、方程22) 1(=-x 的根是（ ） A.-1、3 B.1、-3 C.1-2、1+2 D.2-1、2+1 8、下列解方程的过程中，正确的是（ ） (A)22-=x ,解方程，得x=±2 (B)42)2(=-x ,解方程，得x-2=2,x=4 (C)92)1(4=-x ,解方程，得4(x-1)= ±3, x1=47;x2=41 (D)252)32(=+x ,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4 9.当x =________时，分式293 x x -+无意义； 当x =________时，分式293 x x -+的值为零。 10. 若222(3)25a b +-=，则22a b +=_________ 11.一元二次方程22(21)(3)x x -=-的解是___________ 12.方程()412 =-x 的解是______________。
§23.2一元二次方程的解法练习题（一） （第1课时） 授课班级____ 上课时间：______ 第____ 节 典例分析 用直接开平方法解下列一元二次方程： 2249(3)16(6)x x -=+ 解：开平方得，7(3)4(6)x x -=±+ 7(3)4(6)x x -=+由115.x =得 7(3)4(6)x x -=-+由得23 .11 x =- 点评：直接开平方法解一元二次方程的要点是：通过等式变形变出2 x n =或2 ()x m n -=的形式， 再直接开平方；另外注意方程解得书写格式1x 、 2x . 课下作业 一、选择题： 1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（ ） A. 230x -= B. 2 (1)40x --= C. 2 20x x += D. 2 2 (1)(21)x x -=+ 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 方程2 4x =两边开平方，得原方程的解为 2x = B. 3x =是方程2 9x =的根，所以得根是3x = C. 方程2 250x -=的根是5x =± D. 方程232640x x -+=有两个相等的根 3.已知0a ≠，方程22 2 9160a x b -=的解是_____ A. 169b x a = B.43b x a = C.43b x a =± D.2243b x a =± 4. 方程2 20(0)x m m +=<的根为_____ A.2 m - B.2- C.2± D.2 ± 5. 若2 (1)10x +-=，则x 得值等于_____ A. 1± B. 2± C. 0或2 D. 0或-2 二、填空题： 1.当x =________时，分式29 3x x -+无意义；当 x =________时，分式 29 3 x x -+的值为零。 2. 若2 2 2 (3)25a b +-=，则22 a b +=_________ 3.一元二次方程2 2 (21)(3)x x -=-的解是___________ 4.方程()412 =-x 的解是______________。 三、用直接开平方法解下列一元二次方程 （1）2 435x -= （2）(2)(2)21x x -+= （3 ）2 2 ((1x =+ （4）2 2 69(52)x x x -+=- 四、设α和β是方程2 (2)9x +=的两个根，求 αβ+的值。
直接开平方法 要点：左边平方右边数的形式. 一、(例题讲解)请你用直接开平方法解下列方程: 023252)1(==x x ）（ 05022)4(042)3(=-=-x x 二、用直接开平方法解下列一元二次方程: （1）2435x -= （2）(2)(2)21x x -+= （3）22(2)(12)x -=+ （4） 2269(52)x x x -+=- 三、选择与填空 1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（ ） A. 230x -= B. 2(1)40x --= C. 220x x += D. 22(1)(21)x x -=+ 2. 若2(1)10x +-=，则x 得值等于( ) A. 1± B. 2± C. 0或2 D. 0或－2 3. 方程22)1(=-x 的根是（ ） A.－1、3 B.1、－3 C.1－2、1＋2 D.2－1、2＋1 4. 用直接开平方法解方程k h x =+2)(，满足的条件是（ ） A. k≥0 B ．h≥0 C ．hk ＞0 D ．k ＜0 5.已知0a ≠，方程2229160a x b -=的解是( )
A. 169b x a = B.43b x a = C.43b x a =± D.2243b x a =± 6. 方程220(0)x m m +=<的根( ) A.2 m - B.2m - C.22m -± D.2m -± 7．下列解方程的过程中，正确的是（ ） A. 22-=x ，解方程，得x ＝±2 B. 42)2(=-x ，解方程，得x －2＝2，x ＝4 C ．92)1(4=-x ，得4(x －1)＝±3， x 1＝47，x 2＝41 D. 252)32(=+x ，得2x ＋3＝±5， x 1＝1，x 2＝－4 8．若x 2－4x ＋p ＝(x ＋q)2，则有（ ）． A ．p ＝4，q ＝2 B ．p ＝4，q ＝－2 C ．p ＝－4，q ＝2 D ．p ＝－4，q ＝－2 9. 若222(3)25a b +-=，则22 a b +＝_______. 以下两题，写出解答过程： 10. 一元二次方程22(21)(3)x x -=-的 解是___________ 11. 方程()412=-x 的解是_________.
21.2.1 直接开平方法解一元二次方程 要点感知1 对于方程x 2=p.(1)当p>0时，方程有_______的实数根，_______；(2)当p=0时，方程有_______的实数根，_______0；(3)当p<0，方程_______. 预习练习1-1 下列方程可用直接开平方法求解的是( ) A.9x 2=25 B.4x 2-4x-3=0 C.x 2-3x=0 D.x 2-2x-1=9 1-2若x 2-9=0，则x=_______. 要点感知2 解形如(mx+n)2=p(p ≥0)的一元二次方程，先根据_______的意义，把一元二次方程“_______”转化为两个_______元_______次方程，再求解. 预习练习2-1 方程(x-2)2=9的解是( ) A.x 1=5，x 2=-1 B.x 1=-5，x 2=1 C.x 1=11，x 2=-7 D.x 1=-11，x 2=7 知识点 用直接开平方法解一元二次方程 1.下列方程能用直接开平方法求解的是( ) A.5x 2+2=0 B.4x 2-2x+1=0 C.(x-2)2=4 D.3x 2+4=2 2.方程100x 2-1=0的解为( ) A.x 1=101，x 2=101- B.x 1=10，x 2=-10 C.x 1=x 2=101 D.x 1=x 2=10 1- 3.(丽水中考)一元二次方程(x+6)2=16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是( ) A.x-6=4 B.x-6=-4 C.x+6=4 D.x+6=-4 4.(鞍山中考)已知b ＜0，关于x 的一元二次方程(x-1)2=b 的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个实数根 5.关于x 的一元二次方程2x 2-3x-a 2+1=0的一个根为2，则a 的值为( ) A.1 B.3 C.-3 D.±3 6.一元二次方程ax 2-b=0(a ≠0)有解，则必须满足( ) A.a 、b 同号 B.b 是a 的整数倍 C.b=0 D.a 、b 同号或b=0 7.对形如(x+m)2=n 的方程，下列说法正确的是( ) A.用直接开平方得x=-m ±n B.用直接开平方得x=-n ±m C.当n ≥0时，直接开平方得x=-m ±n D.当n ≥0时，直接开平方得x=-n ±m 8.若代数式(2x-1)2的值是25，则x 的值为_______ 9.完成下面的解题过程： (1)解方程：2x 2-8=0； (2)解方程：3(x-1)2-6=0. 解：原方程化成_______， 解：原方程化成_______， 开平方，得_______， 开平方，得_______， 则x 1=_______，x 2=_______ .则x 1=_______，x 2=_______. 10.用直接开平方法解下列方程： (1)x 2-25=0； (2)4x 2=1； (3)3(x+1)2=31 ； (4)(3x+2)2=25. 11.方程2x 2+8=0的根为( )
一元二次方程及解法（一） 直接开平方法 引入 1、求直线y=2x 与双曲线y=6/x 的交点。 2、设计一座2m 高的人体雕像,使上部（腰以上）与下部高度比 等于下部与全部高度比问下部设计有多高？ 1． 一元二次方程的概念:只含有一个未知数（一元）,并且未知数的最高 次数是2（2次）的整式方程,叫做一元二次方程． 例1:判断下列各式哪些是一元二次方程． ①21x x ++；②2960x x -=；③2102 y =；④215402x x -+=； ⑤2230x xy y +-=；⑥232y =；⑦2(1)(1)x x x +-=． 2．一元二次方程的一般形式: 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,都能化成形如 20(0)ax bx c a ++=≠,这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中2ax 是二次项,a 是二次项系数；bx 是一次项,b 是一次项系数；c 是常数项． 注意:一元二次方程0a ≠,b 、c 可以为0 例2: 是关于x 的一元二次方程的条件是（ ） A. a, b, c 为任意实数 B. a, b 不同时为零 C. a 不为零 D. b, c 不同时为零 例3:将下列方程化为一元二次方程一般形式,并指出二次项系数、一次项 系数和常数项: （1）2352x x =-； （2）(1)(1)2a x x x +-=-． 3、一元二次方程的解 例4:方程 x 2-2x-2=0的两个根为（ ） 2 0ax bx c ++=
A. 121,2x x ==- B.121,2x x =-= C.1213,13x x =+=- 练习: 1.（1）关于x 的方程 是一元二次方程, 则m ； 关于x 的方程 是一元一次方程, 则m ； （2）关于x 的方程 是一元二次方程,则 m ； 类似:()|m|210m x mx -+-=是一元二次方程,则m= ； （3）关于x 的方程 的一次项系数是-1, 则a ； 2.（1）x=1是的根,则a= . （2）已知关于x 的一元二次方程 22(1)210m x x m -++-=有一个根是 0， 求m 的值. 3. 解方程:（1）232700x -=；（2）240y =；（3）240x +=． 2(4)2(27)128x -= （5）20x m -= （6）22(2)4(31)x x -=+ 形如2()(0)mx n p p +=≥的一元二次方程,采取整体直接开平方的方法求 根．
第2课时 § 公式法 教学目标 1、 初步掌握直接开平方法解一元二次方程 2、 会用直接开平方法解形如)0()(2 ≥=-b b a x 的方程 教学重点和难点 重点：用直接开平方法解形如)0()(2≥=-b b a x 的方程 难点：方程为何有两个解 教学过程设计 一、 从学生原有的认知结构提出问题 上一节课，我们研究了一元二次方程。接下来，我们将学习一元二次方程的解法。它是本章的重点内容，课本介绍了四种解法，这节课我们学习一元二次方程的第一种解法：直接开平方法。 二、 师生共同研究形成概念 1、 复习旧知识 1、 4的平方根是 。 2、 072 =-y ，则y 为 。 2、 直接开平方法 解方程：042 =-x 解：移项得：42 =x 因为x 是4的平方根， 所以 2±=x 即 21=x 、 22-=x 这种解某些一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
3、 例题讲解 例1 用直接开平方法解下列方程： 1）2142=-x ； 2）01822=-x ； 3）2182 12-=-x ； 4）0332=-y 分析：此题是对“直接开平方法”解一元二次方程。通过第一个例子的讲解，其它方程的解答就可以由学生单独完成。 例2 用直接开平方法解下列方程： 1）4)3(2=+x ； 2）2)3(2=+x ； 3）09)1(42=--x 分析：此题的难度在于学生能否把括号里面的式子看成是一个整体，若能的话，这题就是用上面的方法求方程的解。 例3 用直接开平方法解下列方程： 1）5)32(2=-x ； 2）25)16(2=-x ； 3）012)1(2=-+x ； 4）036)5(2=--x 5）24)3(62=+x ； 6）32)12(42=-x ； 7）0100)43(42 =--x 分析：这部分题的难度较大，不能直接求得结果，需要通过变形，才能得出结果。 三、 随堂练习 1、 用直接开平方法解下列方程： 1）0452=-t ； 2）14)1(72=+m ； 3）04)22 1 (2=-+x ；
教学设计案例 21.2 解一元二次方程 第1课时直接开平方法 一、内容和内容解析 （1）内容：会用直接开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程 （2）内容解析： 一元二次方程是初中数学中最重要的数学模型之一，而一元二次方程的解法更是本章的重点内容。 本节课中，首先通过知识回顾环节的3个小题为本节课的学习做一铺垫。然后再通过“探究新知”环节中“问题串”建立一个最简单的一元二次方程，并利用平方根的意义，通过直接开平方法得到方程的解；然后将它一般化为x2=p的形式,通过分类讨论得到其解的情况，从而完成解一元二次方程的奠基，并自然地引出“降次”的策略，归纳出形如(x+n)2=p(p ≥0)的一元二次方程的解的情况，不仅为后面用配方法解比较复杂的一元二次方程的学习做好铺垫，而且也为我们后续学习二次函数等知识打下坚实的基础。同时，这节课的内容还突出体现了化归、类比、分类讨论等数学思想方法。 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：运用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，领会降次——转化的数学思想。 二、目标和目标解析 1.目标： (1)理解一元二次方程降次的转化思想 (2)会利用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程． 2.目标解析 达成目标的标志是：如果方程能够转化符合为形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程时，那么就能通过直接开平方法将一元二次方程转化为一次方程求解。 三、教学问题诊断分析 在以前的学习中，学生不仅了解了平方根的意义、掌握了完全平方式的结构特征，而且还具备了一些方程的转化能力。本节课首先复习平方根的相关知识，再从具体的实际问题中列出一元二次方程，并根据平方根的意义直接开平方求解方程，对于方程的解是否符合实际问题，进行探讨。
一元二次方程的解法练习题（一） （第1课时） 典例分析 用直接开平方法解下列一元二次方程： 2249(3)16(6)x x -=+ 解：开平方得，7(3)4(6)x x -=±+ 7(3)4(6)x x -=+由115.x =得 7(3)4(6)x x -=-+由得23 .11 x =- 点评：直接开平方法解一元二次方程的要点是： 通过等式变形变出2 x n =或2 ()x m n -=的形式， 再直接开平方；另外注意方程解得书写格式1x 、 2x . 课下作业 一、选择题： 1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（ ） A. 2 30x -= B. 2 (1)40x --= C. 2 20x x += D. 2 2 (1)(21)x x -=+ 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 方程2 4x =两边开平方，得原方程的解为 2x = B. 3x =是方程2 9x =的根，所以得根是3x = C. 方程2 250x -=的根是5x =± D. 方程232640x x -+=有两个相等的根 3.已知0a ≠，方程22 2 9160a x b -=的解是_____ A. 169b x a = B.43b x a = C.43b x a =± D.2243b x a =± 4. 方程2 20(0)x m m +=<的根为_____ A.2 m - B.2- C.2± D.2 ± 5. 若2 (1)10x +-=，则x 得值等于_____ A. 1± B. 2± C. 0或2 D. 0或-2 二、填空题： 1.当x =________时，分式29 3x x -+无意义；当 x =________时，分式29 3 x x -+的值为零。 2. 若2 2 2 (3)25a b +-=，则22 a b +=_________ 3.一元二次方程22 (21)(3)x x -=-的解是___________ 4.方程()412 =-x 的解是______________。 三、用直接开平方法解下列一元二次方程 （1）2 435x -= （2）(2)(2)21x x -+= （3 ）22 ((1x = （4）2 2 69(52)x x x -+=- 四、设α和β是方程2 (2)9x +=的两个根，求 αβ+的值。
《用直接开平方法解一元二次方程》设计与反思 教学目标：会用直接开平方法解形如或的方程x2=p或（mx+n）2=p(p>≥0)的 方程 过程与方法目标：经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻 画现实世界的数学模型。 情感态度目标：能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，体验类比、转 化、降次的数学思想方法。 重点：解形如x2=p或（mx+n）2=p(p>≥0)的方程 难点：解形如（mx+n）2=p(p>≥0)的方程 学情分析：学生已经学习了一元一次方程及其解法，理解一元二次方程的定义， 掌握开平方及二次根式。 教学过程 一、温故知新； 1、平方根的意义 2、根据平方根意义写出下各数的平方根 9、81、0、24、32 3、求x的值 （1）X2=9 （2）2X2=4 设计意图：为学习本节课作准备 二、出示教学目标： 1、会用直接开平方法解形如或的方程x2=p或（mx+n）2=p(p>≥0)的方程 2、如何将一元二次方法利用平方根概念转化两个一元一次方程 设计意图：让学生明确本节课的学习任务，抓住重点，培养学生学习数学的方法 三、创设情境提出问题 出示问题：桶某种油漆可刷的面积为1500DM2李林用这桶油漆恰好刷完了10同样的正方体开状的盒子的全部外表面，能算出盒子的棱长吗？ 设计意图：以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系培养学生自学的能力。 四、探索分析，解决问题 （1）审题
（2）设未知数设正方体的棱长为X （3）找等量关系：10×正方体的表面积=1500 （4）列方程解这个方程：10×6X2=1500 由此得X2=25 设问：怎样解这个方程？如何将方程转化为X2=a的形式？ 设问：5和－5是方程的两个根，它们都符合问题的实际意义吗？（棱长不能为负数，所以正方体的棱长为5cm） 设计意图：指明解题思路，强化本节的中心问题分步到位，渗透建模的思想，初步渗透化归思想。学会根据具体问题的实际意义检验结果的合理性的 习惯。 五、拓广探索，比较分析 对照上面解方程的（1）的特点过程，你认为应怎样解以下方程？ （2x－1）2=5 ②x2+6x+9=2 ③ 利用类比的方法解方程② 利用转化的思想解方程③ 设计意图：逐步递进地对方程②、③进行分析，巩固了开平方法，为学习配方法作好铺垫，又使学生体验到类比、转化、降次的数学思想方法。 六、归纳概括，形成能力 以上方程①②③可归纳为怎能样的步骤？ 以上方程①②③都可以用开平方法，将一元二次方程降次转化两个一元一次方程：即用框架图表示为： 设计意图：使学生养成提练解题思路、归纳解题步骤的能力，体验类比、转化、降次的数学思想方法。 七、课堂练习，反馈调控： 教科书P31第（1）（3）（5）题 设计意图：及时巩固，评价 八、课堂小结，知识梳理 提问：1、本节课是怎样解一元二次方程？有哪些步骤？？ 2、今天的讨论问题中涉及到哪些数学思想方法？ 设计意图：以问题的形式出现，引导学生思考交流，梳理所学的知识，建立符合自身认识特点的的知识结构。 九、布置作业： 1、必做题：
解一元二次方程直接开平方法 教学内容 运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 教学目标 理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程． 重难点关键 1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题1．填空 （1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2． 问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s?的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，
BC=12cm ，?P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？ B C A Q https://www.doczj.com/doc/3a10154763.html, P 老师点评： 问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（ 2p ）2 2p ． 问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 则PB=x ，BQ=2x 依题意，得： 12x ·2x=8 x 2=8 根据平方根的意义，得x=± 即x 1 ，x 2 可以验证， 和 都是方程12 x ·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值． 所以 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2． 二、探索新知 上面我们已经讲了x 2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=± x 换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论） 老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=± 即 ， 方程的两根为t 1 -12，t 2 -12
初中数学：一元二次方程直接开平方法练习 01 基础题 知识点1 用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程1．下列方程可用直接开平方法求解的是(A) A．x2＝4 B．4x2－4x－3＝0 C．x2－3x＝0 D．x2－2x－1＝9 2．(阳泉市平定县月考)一元二次方程x2－9＝0的根为(C) A．x＝3 B．x＝－3 C．x 1＝3,x 2 ＝－3 D．x 1 ＝0,x 2 ＝3 3．若代数式3x2－6的值是21,则x的值是(B) A．3 B．±3 C．－3 D．± 3 4．若一个圆的面积是100π cm2,则它的半径r＝10cm. 5．关于x的一元二次方程x2＋a＝0没有实数根,则实数a的取值范围是a＞0．6．用直接开平方法解下列方程： (1)x2－25＝0; 解：x2＝25， x 1＝5，x 2 ＝－5. (2)4x2＝1； 解：x2＝1 4 , x 1＝ 1 2 ,x 2 ＝－ 1 2 . (3)0.8x2－4＝0; 解：0.8x2＝4,
x 2＝5, x 1＝5,x 2＝－ 5. (4)4.3－6x 2＝2.8. 解：6x 2＝1.5, x 2 ＝14, x 1＝12,x 2＝－12 . 知识点2 用直接开平方法解形如(mx ＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程 7．(丽水中考)一元二次方程(x ＋6)2＝16可化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x ＋6＝4,则另一个一元一次方程是(D) A ．x －6＝4 B ．x －6＝－4 C ．x ＋6＝4 D ．x ＋6＝－4 8．(鞍山中考)已知b ＜0,关于x 的一元二次方程(x －1)2＝b 的根的情况是(C) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．有两个实数根 9．对形如(x ＋m)2＝n 的方程,下列说法正确的是(C) A ．直接开平方得x ＝－m±n B ．直接开平方得x ＝－n±m C ．当n≥0时,直接开平方得x ＝－m±n D ．当n≥0时,直接开平方得x ＝－n±m 10．用直接开平方法解下列方程：