下载文档原格式
高中数学选修2 抛物线教案一、教学内容本节课选自高中数学选修2第三章《圆锥曲线与方程》中的抛物线部分。
具体内容包括：抛物线的定义、标准方程、图形及性质；抛物线焦点、准线、对称轴等相关概念；抛物线在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解并掌握抛物线的定义、标准方程及图形性质。
2. 学会利用抛物线的性质解决实际问题。
3. 培养学生的几何想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、标准方程及图形性质。
难点：抛物线焦点、准线、对称轴等概念的理解及其应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、直尺、圆规。
2. 学具：练习本、铅笔、直尺、圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体展示生活中的抛物线实例，如篮球投篮、卫星通信等，引导学生发现抛物线的特点。
2. 知识讲解（10分钟）（1）抛物线的定义：平面上到一个定点（焦点）的距离等于到一条直线（准线）的距离的点的轨迹。
（2）抛物线的标准方程：y^2=2px、x^2=2py。
（3）抛物线的图形性质：开口方向、对称轴、顶点、焦点、准线等。
3. 例题讲解（15分钟）（1）求解抛物线y^2=8x的焦点和准线。
（2）已知抛物线x^2=12y，求顶点坐标、对称轴及焦点坐标。
4. 随堂练习（5分钟）（1）求抛物线y^2=4x的焦点和准线。
（2）已知抛物线x^2=6y，求顶点坐标、对称轴及焦点坐标。
5. 课堂小结（5分钟）六、板书设计1. 定义：平面上到一个定点（焦点）的距离等于到一条直线（准线）的距离的点的轨迹。
2. 标准方程：y^2=2px、x^2=2py。
3. 图形性质：开口方向、对称轴、顶点、焦点、准线。
4. 例题及解答。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求抛物线x^2=16y的焦点和准线。
（2）已知抛物线y^2=10x，求顶点坐标、对称轴及焦点坐标。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入、例题讲解、随堂练习等方式，使学生掌握了抛物线的定义、标准方程、图形性质等基本概念。
第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程 2.1.2求曲线的轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．二、教材分析1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．)教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．三、教学过程学生探究过程：(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．(二)几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，。
2.4.2抛物线的几何性质(二)学习目标：1.掌握直线与抛物线位置关系的判断.2.掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识.3.掌握直线与抛物线相关的求值、证明问题．1．直线与抛物线的位置关系及判定1．思考辨析(1)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．()(2)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．()(3)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点的直线有三条．()(1)×过抛物线上一点与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线有一个公共点．(2)√(3)√2．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－43B．－1C．－34D．－12C3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|＝________.【导学号：33242193】8直线与抛物线的位置关系2k ，k为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？由题意，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，(*)可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0. ① (1)当k ＝0时，由方程①得y ＝1. 把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14.这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.(2)当k ≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k 2＋k －1)． ①由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0， 解得k ＝－1，或k ＝12.于是，当k ＝－1，或k ＝12时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解．这时，直线l 与抛物线只有一个公共点．②由Δ>0，得2k 2＋k －1<0， 解得－1<k <12.于是，当－1<k＜1，且k≠0时，方程①有两个解，从而方程组(*)有两个解．这2时，直线l与抛物线有两个公共点．③由Δ<0，即2k2＋k－1>0，解得k<－1，或k>12.时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解．这于是，当k<－1，或k>12时，直线l与抛物线没有公共点．综上，我们可得，或k＝0时，直线l与抛物线只有一个公共点；当k＝－1，或k＝12，且k≠0时，直线l与抛物线有两个公共点；当－1<k<12当k<－1，或k>1时，直线l与抛物线没有公共点．2直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.1．如图2-4-2，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．图2-4-2设k AB＝k(k≠0)，∵直线AB，AC的倾斜角互补，∴k AC＝－k(k≠0)，∵AB的方程是y＝k(x－4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)＋2，y 2＝x ，消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0. ∵A (4,2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解． ∴4·x B ＝16k 2－16k ＋4k2，即x B ＝4k 2－4k ＋1k 2.以－k 代换x B 中的k ， 得x C ＝4k 2＋4k ＋1k 2，∴k BC ＝y B －y C x B －x C＝k (x B －4)＋2－[－k (x C －4)＋2]x B －x C＝k (x B ＋x C －8)x B －x C ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫8k 2＋2k 2－8－8kk 2＝－14.∴直线BC 的斜率为定值．与抛物线有关的中点弦问题对比椭圆的“中点弦”问题，思考与抛物线有关的“中点弦”问题的解题策略有哪些？(1)点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差由k ＝y 1－y 2x 1－x 2求斜率，再由点斜式求解．(2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x (或y )得关于y (或x )的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率．已知A ，B 为抛物线E 上不同的两点，若抛物线E 的焦点为(1,0)，线段AB 恰被M (2,1)所平分．(1)求抛物线E 的标准方程； (2)求直线AB 的方程.【导学号：33242194】用“点差法”． (1)由E 的焦点为(1,0)， 可设抛物线方程为y 2＝2px ，且p2＝1，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由M (2,1)为线段AB 的中点可知直线AB 斜率存在且不为零，设直线AB 斜率为k .由A ，B 为抛物线上不同两点得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②①－②得k ＝4y 1＋y 2＝2， ∴直线AB 方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.母题探究：1.(变换条件)若本例中条件“线段AB 恰被M (2,1)所平分”改为“线段AB 恰被M (1,1)所平分”，问这样的直线AB 是否存在？若存在，求出直线AB 的方程，若不存在，说明理由．由抛物线的焦点为(1,0)，所以p2＝1，p ＝2， 故抛物线方程为y 2＝4x .假设AB 斜率存在，即AB 不垂直于x 轴， 故可设AB 所在直线的方程为 y －1＝k (x －1)(k ≠0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去x 整理得ky 2－4y ＋4－4k ＝0， Δ＝16－4k (4－4k )>0恒成立， 又由根与系数的关系得y 1＋y 2＝4k ， 根据M 为AB 的中点，所以4k ＝2，k ＝2， 所以所求直线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.当AB 的斜率不存在时，显然不符合题意.2．(变换条件、改变问法)若动点P 在抛物线E 上移动，求线段PM 中点的轨迹方程．设P (x 0，y 0)，PM 中点的坐标为(x ，y )， 由中点坐标公式得⎩⎨⎧x ＝x 0＋22，y ＝y 0＋12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y －1，∵p 在抛物线y 2＝4x 上，∴PM 中点的轨迹方程为(2y －1)2＝8(x －1)．解决中点弦问题的基本方法是点差法、根与系数关系的方法，直线方程与抛物线方程联立时，消y 有时更简捷，此类问题还要注意斜率不存在的情况，避免漏解.一般地，已知抛物线y 2＝2px (p >0)上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)及AB 的中点P (x 0，y 0)，则k AB ＝p y 0，直线AB 的方程为y －y 0＝py 0(x －x 0).线段AB 的垂直平分线的方程为y －y 0＝－y 0p (x －x 0).提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.抛物线的综合运用如图2-4-3所示，已知直线l ：y ＝2x －4交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，试在抛物线AOB 这段曲线上求一点P ，使△PAB 的面积最大，并求出这个最大面积． 【导学号：33242195】图2-4-3解决本题的关键是弦AB 为定值，将点P 到直线AB 的距离的最值问题转化为二次函数问题求解．在应用配方法求最值时，一定要注意自变量的取值范围．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，由题图可知A (4,4)，B (1，－2)，则|AB |＝3 5.设P (x 0，y 0)为抛物线AOB 这段曲线上一点，d 为点P 到直线AB 的距离，则：d ＝|2x 0－y 0－4|5＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0－4＝125|(y 0－1)2－9|.∵－2＜y 0＜4，∴(y 0－1)2－9＜0. ∴d ＝125．从而当y 0＝1时，d max ＝925，S max ＝12×925×35＝274.因此，当点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1时，△PAB 的面积取得最大值，最大值为274.应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．2．如图2-4-4所示，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．图2-4-4(1)求证动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，求证|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值．(1)依题意可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8.直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ，直线BD 的方程为x ＝x 2.可得交点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 1x 2x 1，注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1， 则有y ＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2.因此D 点在定直线y ＝－2(x ≠0)上． (2)依题意得切线l 的斜率存在且不等于0， 设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)， 代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )， 即x 2－4ax －4b ＝0.由Δ＝0得(4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2. 故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2，y ＝－2得N 1，N 2的坐标为： N 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a ，2，N 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋a ，－2， 则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －a 2＋42－⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a 2＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8.1．抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于( )A.15 B ．215 C.152 D ．15 A ∵直线l 2：x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 准线， ∴P 到l 2的距离d 2＝|PF |(F (1,0)为抛物线焦点)， 所以P 到l 1、l 2距离之和最小值为F 到l 1距离 |4×1－3×0＋6|32＋42＝2，故选A.设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 216，y 1，则|MA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 216－42＋y 21＝136y 41－13y 21＋16＝136(y 21－6)2＋15≥15， 当且仅当y 21＝6，即y 1＝±6，x 1＝y 216＝1时，|MA |取最小值15，此时M (1，±6)．由⎩⎨⎧y ＝x ＋b y ＝12x2，得x 2－2x －2b ＝0，Δ＝(－2)2＋8b ＞0，设直线与抛物线的两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由根与系数的关系， 得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ， 于是y 1y 2＝14(x 1x 2)2＝b 2， 由OA ⊥OB 知x 1x 2＋y 1y 2＝0，故b 2－2b ＝0，解得b ＝2或b ＝0(不合题意，舍去)．b ＝2适合Δ>0.解hslx3y3h (1)证明：联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)，消去x ，得ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y1＋y2＝－1k，y1·y2＝－1.因为y21＝－x1，y22＝－x2，所以(y1·y2)2＝x1·x2，所以x1·x2＝1，所以x1x2＋y1y2＝0，即OA→·OB→＝0，所以OA⊥OB.(2)设直线l与x轴的交点为N，则N的坐标为(－1,0)，所以S△AOB＝12|ON|·|y1－y2|＝12×|ON|×(y1＋y2)2－4y1·y2＝12×1×1k2＋4＝10，解得k2＝136，所以k＝±16.。
高三数学《抛物线》教案教学文档一、教学内容本节课选自高中数学教材选修21第三章《圆锥曲线与方程》中的第四节《抛物线》。
详细内容包括抛物线的定义、标准方程、几何性质以及应用。
二、教学目标1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程和简单性质。
2. 能够运用抛物线知识解决实际问题和相关数学问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：抛物线标准方程的推导和应用。
教学重点：抛物线的定义、标准方程及几何性质。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示生活中的抛物线实例，如抛物线运动、拱桥等，引导学生思考抛物线的特点。
2. 知识讲解（1）抛物线的定义（2）抛物线的标准方程（3）抛物线的几何性质3. 例题讲解（1）求抛物线y^2=4x的焦点坐标和准线方程。
（2）已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F(p/2,0)，求抛物线上一点M到焦点F的距离与到准线的距离之和。
4. 随堂练习（1）求抛物线x^2=4y的焦点坐标和准线方程。
（2）已知抛物线x^2=8y的焦点为F(0,2)，求抛物线上一点M 到焦点F的距离与到准线的距离之和。
5. 小结六、板书设计1. 黑板左侧：抛物线的定义、标准方程、几何性质。
2. 黑板右侧：例题及解答、随堂练习。
七、作业设计1. 作业题目（1）求抛物线y^2=8x的焦点坐标和准线方程。
（2）已知抛物线y^2=12x的焦点为F(3,0)，求抛物线上一点M到焦点F的距离与到准线的距离之和。
2. 答案八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对抛物线的定义、标准方程和几何性质掌握程度，以及对例题和随堂练习的完成情况。
2. 拓展延伸：引导学生思考抛物线在实际生活中的应用，如建筑设计、体育竞技等，激发学生的学习兴趣。
重点和难点解析1. 抛物线标准方程的推导过程。
2. 例题的选取和讲解，尤其是涉及抛物线性质的应用。
高中数学圆锥曲线教案
一、教学目标
1.了解圆锥曲线的定义和基本性质。
2.能够掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
3.能够解决与圆锥曲线相关的问题。
二、教学重点和难点
重点：掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
难点：理解圆锥曲线的定义及性质。
三、教学内容
1.圆锥曲线的定义和基本性质。
2.圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
3.圆锥曲线的相关问题解决方法。
四、教学过程
1.导入新知识：通过引入一个问题或实际应用场景引起学生的兴趣。
2.讲解圆锥曲线的定义和基本性质，包括椭圆、双曲线和抛物线。
3.介绍圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
4.通过实例分析，让学生熟悉解决与圆锥曲线相关的问题的方法。
5.组织学生进行练习和讨论，巩固所学知识。
6.总结本节课内容，提出问题进行思考，激发学生的学习兴趣。
五、课堂作业
1.完成练习题。
2.思考如何将圆锥曲线应用到实际生活中。
六、教学反思
本节课主要对圆锥曲线的定义和基本性质进行了讲解，并通过实例让学生掌握了圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
同时也引导学生思考如何将所学知识应用到实际生活中。
在教学过程中需要注意引导学生正确理解圆锥曲线的概念，帮助他们建立深刻的认识。
