1.2 矩形的性质与判定(第二课时).ppt

有一个角是直角 的平行四 边形是矩形.
对角线相等的平 行四边形 是矩形.
有三个角是直角 的四边形是矩形.
矩形的判定思路
四 边 形
有三个角是直角 平行四边形
矩形 对角线相等 一个角是直角
矩 形
检测反馈
1.下列说法正确的是 ( B ) (1)对角线相等的四边形是矩形;(2)对角线互相平分且相等的 四边形是矩形;(3)有一个角是直角的四边形是矩形;(4)有三个 角是直角的四边形是矩形;(5)四个角都相等的四边形是矩
∟
C
例 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
△ABO是等边三角形，AB = 4cm，求这个□ABCD
的面积.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4，∠BAC=60°. ∴OA=OB=OC=OD=4，
∴AC=BD=2OA=2×4=8.
九年级数学上
新课标 [北师]
第一章 特殊平行四边形
学习新知
检测反馈
生活思考
一天,小丽和小娟到一个商店准备给今天要过生
日的小华买生日礼物,选了半天,她们最后决定买相框 送给她,在里面摆放她们三个人的合影,为了相框摆放 的美观性,她们选择了矩形的相框,那么用什么方法可 以确定她们拿的就是矩形的相框呢?
已知：在□ABCD中,AC,DB是它的两条对角线，AC=BD.
矩形的判定方法2
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：
∵在 ABCD中 AC=BD ∴ ABCD是矩形
A
0
D
B
C
探究
有一个角是直角
有两个角是直角 有三个角是直角

解：(1)证明：∵CF 平分∠ACD，且 MN∥BD，∴∠ACF ＝∠FCD＝∠CFO.∴OF＝OC.同理可证：OC＝OE.∴OE＝OF (2)由(1)知：OF＝OC，OC＝OE，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝ ∠OEC.∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC.而∠OCF＋∠OCE ＋∠OFC＋∠OEC＝180°，∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°，
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
9．如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P为BC上一点， PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当AB，BC满足条件
BC＝2AB 时，四边形PEMF为矩形．
第8题图
第9题图
10．已知▱ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：① ∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC＝BD；④OA＝OD.使▱ABCD 是矩形的条件的序号是 ①③④ .
OA＝12BD，OA＝12AC，∴BD＝AC，∴▱ABCD 是矩形
13．如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC且∠BAD＝∠CAE， 求证：四边形BCDE是矩形．
解 ： 证 明 ： ∵ AC ＝ AB ， AD ＝ AE ， ∠ BAD ＝ ∠ CAE ， ∴ ∠ CAD ＝ ∠ BAD － ∠ CAB ＝ ∠ CAE － ∠ CAB ＝ ∠ BAE.∴△ADC≌△AEB.∴DC ＝ BE ， ∠ ABE ＝ ∠ ACD. 又 ∵ DE ＝ BC ， ∴ 四 边 形 BCDE 为 平 行 四 边 形 ． ∵ AB ＝ AC ， ∴ ∠ ABC ＝ ACB ， ∴ ∠ ABC ＋ ∠ ABE ＝ ∠ ACB ＋ ∠ ACD ， 即 ∠EBC＝∠DCB＝90°.∴四边形BCED为矩形

｛AP=DP ∵ AB=PC ， BP=PC ∴△ABP≌△DCP（SSS）， ∴∠D=∠A， ∵∠D+∠A=180°， ∴∠D=∠A=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形．
7.如图， ABCD的四个内角的平分线相交 于点E、F、G、H. 求证：EG = FH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC=180°． 又∵AH，BH分别平分∠BAD，∠ABC， ∴∠DAE=∠BAE= ∠DAB，∠CBG=∠ABG= ∠ABC， ∴∠BAE+∠ABG= （∠DAB +∠ABC ）=90°， ∴∠AHB=90°， 同理可证∠EFG=90°，∠HEF=90°， ∴四边形EFGH为矩形，∴EG=FH．
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB
=
1 2
×180°=90°.
∴□ABCD是矩形.(矩形的定义)
2．矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形 至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？ 请证明你的结论，并与同伴交流．
归纳结论：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知:如图,在四边形ABCD中,
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:平行四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. A
D
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
B
C
∴∠ABC=∠DCB.
又∵AB∥CD.
巩固练习
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它 变为矩形，需要添加的条件是( D )

探究一：矩形的判定
思考： 矩形是特殊的平行四边形，请问当平行四边形满足什么 条件时，会变成矩形？
A
D
A
D
B
C
B
C
探究一：矩形的定义
1. 从“定义”的角度探究：
A
D
矩形的判定：
B
C
1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
几何语言： ∵▱ABCD，∠B=90° ∴ 四边形ABCD是矩形
探究一：矩形的判定 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形
求证: ▱ABCD是矩形.
A
D
证明: ∵四边形ABCD是平行四边
形∴AB=DC，AB∥DC
∵AB∥D
B
C
∴C ∠ABC+∠DCB=18
0∴°∠ABC=∠DCB=9
0∴°▱ABCD是矩形(矩形的定义)
∴△ABC≌△DCB(SS S∴) ∠ABC=∠D
归纳小结
A
D
矩形的判定：
2. 对角线相等的平行四边形ABCD是矩形
归纳小结
矩形的判定：
A
D
3. 有三个角是直角的四边形是矩形
B
C
几何语言： ∵ ∠A=∠B=∠C=90° ∴ 四边形ABCD是矩形
归纳小结
矩形的判定： 1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 2. 对角线相等的平行四边形是矩形 3. 有三个角是直角的四边形是矩形
猜想: 有三个角是直角的四边形是矩形
定理证明：有三个角是直角的四边形是矩形
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°. A
D
求证：四边形ABCD是矩形
证明:
∵ ∠A=∠B=∠C=90°
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°

（2）根据测量的结果，猜想结论。当矩形的 大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形 的特殊性质吗？
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5
结论 矩形的性质定理1：
矩形的四个角都是直角. 矩形的性质定理2：
矩形的对角线相等.
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6
第三环节：层层递进，推理论证
已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90° 对角线AC与DB相交于点O。
第一章 特殊平行四边形
第2节 矩形的性质与判定
桃山中学 王广清
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1
第一环节：创设情景，导入新课
问题1:平行四边形具有哪些性质？
问题2：利用一个活动的平行四边形教具演 示,使平行四边形的一个内角变化，请同 学们注意观察：
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2
（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？ （2）在运动过程中四边形不变的是什么？ （3）在运动过程中四边形改变的是什么？ （4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的
9
问题3：矩形具有而一般平行四边形不具有的
性质是 (
）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
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10
第五环节：建构新知，发展问题
问题1：（1） 矩形的两条对角线可以把矩形 分成几个直角三角形？（2）在直角三角 形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？ （3）你能发现它有什么特殊的性质吗？ （4）你能借助于矩形加以证明吗？
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15
自我检测。
（1）下列说法错误的是（ ）． A.矩形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等。 C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

③AC = BD= 2AO = 2OC=2OB =2OD
问：在Rt△ABC中，斜边AC上的中线是OB，它与斜边的
1
关系是OB= 2 AC．
问：是不是所有的三角形都有这样的性质? 关键是是不
是任何一个三角形都可以放进一个矩形里?
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
例题
【例1】已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD 相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.
∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC=∠DCB.
B
C
∵∠ABC+∠DCB=180°. ∴∠ABC=90°. ∴四边形ABCD是矩形.
跟踪训练
下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ （1）对角线相等的四边形是矩形；（ X ） （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ √ ） （3）有四个角是直角的四边形是矩形；（ √ ） （4）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
D
邻角互补可使问题得证.
证明:
B
C
∵ 四边形ABCD是矩形.
∴∠A=90,四边形ABCD是平行四边形.
∴∠C=∠A=90, ∠B=180-∠A=90, ∠D=180-∠A=90.
∴四边形ABCD是矩形.
定理:矩形的两条对角线相等.
已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.
求证: AC=BD.
的有
（填写序号）.
解析：根据对角线相等的平行四边 A １ 形是矩形；矩形的定义. 答案：① ④
Ｂ
Ｄ
２
Ｃ
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为

角的性质：
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
对角线的性质：
AO=CO,BO=DO AC=BD
▪9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/52021/9/5Sunday, September 05, 2021 ▪10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 2:07:36 AM ▪11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/52021/9/52021/9/5Sep-215-Sep-21 ▪12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/52021/9/52021/9/5Sunday, September 05, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 ▪14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月5日星期日2021/9/52021/9/52021/9/5 ▪15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 ▪16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/52021/9/5September 5, 2021 ▪17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/5

有三个角是直角的四边形是矩形吗?
已知:如图,在四边形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°.
求证:四边形ABCD是矩形.
A
D
证明: ∵∠A=∠B=∠C=90°, B
C
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
矩形判定方法二
D
O
M
B
C
课堂小结
矩形的判定方法: 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
布置作业
课本P16 1,2,3.
于点O，△ABO是等边三角形，AB=4.
求□ABCD的面积.
A
D
O
B
C
练一练1
已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，
且MB=MC.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
M
D
B
C
练一练2
已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD相较
于点O，CM∥BD,DM∥AC.
求证:四边形OCMD是矩形.
A
证明：
B

C
矩形判定方法一
对角线相等的平行四边形是矩形.
A
D
B
ABCD AC = BD
C
四边形ABCD是矩形
情境二
李芳同学用四步画出了一个 四边形，她的画法是“边— —直角、边——直角、边— —直角、边” ，她说这就是 一个矩形，她的判断对吗？ 为什么？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
你能证明上述结论吗？

D
几何语言： ∵在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形。
B
C
课堂总结
定义法： 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩
形
的
判
定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
定
定理：
定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
课堂练习
1 检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（ ） A．测量两条对角线，是否相等 B．测量两条对角线，是否互相平分 C．测量门框的三个角，是否都是直角 D．测量两条对角线，是否互相垂直
课堂练习
7 在□ ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝ BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∵BE∥DF，BE=DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴四边形BFDE是矩形；
课堂练习
4．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A=∠B
B．∠A=∠C
C．AC=BD
D．AB⊥BC
【详解】A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行 四边形为矩形，正确； B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误； C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确； D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确， 故选B．
课堂练习
2．如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ） A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO

1.请同学们阅读课本14-16页.
2.动手操作，拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一对不相邻的顶点（如图）.
思考：①随着∠α的变化，两条对角线的长度是否发生变化？ （发生了变化）
②当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？
（对角线相等的平行四边形是矩形）
③矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个
框符不符合我的要求?”王子听后，找来一把三角尺，用三角尺量了量
门框的三个角，然后对国王说:“父王，我量了门框的三个角，它们都
是90度，因此，这个门框是矩形.”
(1)问:你认为王子说得对吗?请同学们分组讨论并给出老师答案.(让其中的
一组来讲)
(2)有三个角是直角的四边形是矩形吗?
自主探究 （10min）
中点, ∴ = =

,

∥ .
∴四边形 DECF 是平行四边形.
∵∠ACB=90°,∴四边形 DECF 是矩形,∴EF=CD=6cm.
典例精讲
例 6: 如图,在四边形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,O 是 AC 的中点,AD∥BC.
(1)求证：四边形 ABCD是平行四边形；
四边形就是矩形？
（一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形）
小组讨论（4min）
①如果仅有一根足够长的绳子，如何判定一个四边形是平行四边形？
（两组对边分别相等为平行四边形）
②如果仅有一根足够长的绳子，如何判定一个四边形是菱形？
（四边相等为菱形）
③如果仅有一根足够长的绳子，如何判定一个四边形是矩形？
测量…？
李芳同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”
这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断