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近世代数课件--1.3子群

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《近世代数》课件

《近世代数》课件

近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。

近世代数课件群的概念

近世代数课件群的概念
ab ba e . 为了阐明这样的 b 是唯一的; 满足
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an

离散数学之近世代数讲义附件2014

离散数学之近世代数讲义附件2014
(ab) x = a (bx) = a ( xb) = (ax)b = ( xa)b = x(ab) ，从而 ab ∈ C ；
3）逆元：对 ∀a ∈ C ，有 ax = xa ⇒ xa −1 = a −1 x ，从而 a −1 ∈ C ； 4）结合律：显然； 5）交换律：显然。
-6-
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⇐ 对 ∀ a ∈ G ， 建 立 映 射 ϕ : G → G ， 对 ∀ x ∈ G 有 ϕ ( x) = a x ， 则 对
∀x1 , x2 ∈ G ，若 x1 ≠ x 2 ，则根据消去律知 a x1 ≠ a x 2 ，即 ϕ ( x1 ) ≠ ϕ ( x 2 ) ，故 ϕ 为 单射，从而 G = ϕ (G ) ，即 G = aG ，又由 G 的有限性及 aG ⊆ G ，则根据集合 论的知识有 aG = G ， 即对 ∀b ∈ G ， 方程 ax = b 在 G 中有解， 同理可得方程 ya = b
-5-
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即 b ∈ G2 ，与 b ∉ G2 矛盾。 综上 ab ∉ G ，矛盾，故假设不成立。 4. 定理 4 群 G 的非空子集 S 为 G 的子群的充分必要条件是： 1） ∀ a , b ∈ S , ab ∈ S 2） ∀ a ∈ S , a −1 ∈ S 证明： ⇒ 显然。 ⇐ 由已知只需证明 S 中有单位元即可。在 1）中令 b = a −1 则有： e ∈ S 。 5. 定理 5 群 G 的非空子集 S 是 G 的子群的充分必要条件是：
∀ a , b ∈ S ，总有 ab −1 ∈ S
证明：1） e ∈ S ：由已知令 b = a ，则有 e ∈ S ； 2）逆元：令 a = e 则由已知对 ∀ b ∈ S ， b −1 ∈ S ； 3 ）封闭性：对 ∀b ∈ S ，由 2 ） b −1 ∈ S ，则由已知对 ∀ a ∈ S ， 则有 a (b −1 ) −1 ∈ S ，即 ab ∈ S 。 6. 定理 6 群 G 的有限非空子集 F 是 G 的子群的充分必要条件是 FF ⊆ F ，即

大学数学《近世代数》课件

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3.推移律：
a bb a
a a,不管a是A的哪一个元。
a b, b c a c
定义：若把一个集合A分成若干个叫做类的子集，使得A的每一个元属于而 且只属于一个类，那么这些类的全体叫做集合A的一个分类。
定理1：集合A的一个分类决定A的元间的一个等价关系。
定理2：集合A 的元间的一个等价关系决定A的一个分类。
III.
，方程 和
在G中都有解。
例1 G＝{g}，乘法规定gg=g， 则G是一个群。
例2 G＝{全体整数}；G中运算为普通加法，则G是一个群。
例3 G＝{所有非整数}，G对于普通乘法不作成一个群。
定义1 同态：S , 与 T , 为两个代数系
统, ：S T 为同态映射，若对 a ，b S
有:a b＝ab
S , 定义2 同态满射： 与 为两个代数系统 ，
该映射为同态满射， ，
：S T
T , 为同态映射，且为满射，则 同态
S , T ,
定理1 假定，对于代数运算 和 来说， S与T 同态则：
二元代数运算“
”适合结合律和交换律
则 ai S,i 1,2,n, n个元素
a , a ,, a 1 2
n 的乘积仅与这n个元素
有关而与它们的次序无关。
例 仅满足结合律而不满足交换律：
1）矩阵乘法 2）映射的复合运算 3）字符串的复合运算 同时满足结合律与交换律：
1）普通乘法 2）集合的并、交 3）逻辑与、逻辑或 两者均不满足：
[本章主要内容]
1）群、子群及相关性质； 2）置换群、循环群； 3）子群的陪集、正规子群； 4）群的同态；
2.1半群与群的概念
定义1 设“
”时非空集合S上的一个二元

《近世代数13子群》PPT课件

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我们约定,将“ ”在 S 上的限制“ '”也记作 “ ”.显而易见,当 A 上的代数运算“ ”适 合结合律时, S 上的代数运算“ ”也适合结 合律.
2021/1/22
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§3 子 群
定义 3.1 设 G 是一个群,集合 H 是集合 G 的一个非空子集.我们称 H 是 G 的一个子群,是 指 H 满足如下条件:
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§3 子 群
例 1 (R , ) 是 (C, ) 的子群, (Q , ) 是 (R , ) 的 子 群 , (Z, ) 是 (Q , ) 的 子 群 ; (R \{0}, ) 是 (C \{0}, ) 的子群, (Q \{0}, ) 是 (R \{0}, ) 的子群.
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§3 子 群
由 于 e' 是 H 的 单 位 元 , 我 们 有 e'e' e' . 因 此 ee' e'e' .将该式两边右乘 e' 在 G 中的逆元(或 者,根据消去律——第 9 页第 5 题),即得 e e' .
(2)对于任意的 a H ,设 a 在 G 中的逆元 为 a1 , a 在 H 中的逆元为 a' .根据(1),我们有 aa1 e aa' .将该式两边左乘 a1 (或者,根据 消去律——第 9 页第 5 题),即得 a1 a' .□
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§3 子 群
对于任意的 aH ,根据子群的定义, a 在 H 中 有逆元 a' .根据命题 3.2, a' a1 .因此 a1 H . 所以 H 满足条件(2).

《近世代数》PPT课件

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定理1.5.1 假设一个集合A的代数运算 同时适合结合
律与交换律,那么在 a1a2 an中，元素的次序 可以调换.
例 判定下列有理数集Q上的代数运算 是否适合结合律，
交换律？
(1) a b a b ab (适合结合律和交换律 )
(2) ab(ab)2 (适合交换律，但不适合结合律)
(3) aba (适合结合律，但不适合交换律 )
定义1.9.2 设 是集合 A的代数运算. 若 是 A到 A的 一个同构映射(同态映射)，则称 是 A的一个自 同构 (自同态).
小结
同态是把代数运算考虑在内的映射，即是用来
比较两个代数结构的工具.
返回
在代数学中,两个同构的代数结构一般认为是相同的. 22
§1.10 等价关系与集合的分类
定义1.10.1 A设 是集合，D对，.错 一个 AA 到 D 的映射
注: 变换 是 A到A自身的一个映射.
小结
为了比较两个集合，我们引入了单射，满射，一
一映射和变换的概念.
返回
19
§1.8 同态
定义1.8.1 设 , 分别是集合的代数运算， : A A 是一个映
射,若 a,bA，有 (ab ) (a ) (b ),
则称 是 A到 A 的一个同态.
例1 A=Z (整数集)， 是普通加法； A ={1,-1}， 是普通乘法.
定义1.2.2 设 1 , 2是A到B的两个映射，若对 aA，
有 1(a)2(a), 则称 1 与 2 是相等的,记作 1 2.
注: 映射相等 构成映射的三要素（值域、定义域、对
应法则）全相同．
例5 设 AB 为正整数集 ．
定义 1 : ; a1 1 ( a ) ， a ,

近世代数课件-1.3子群


04
子群的应用
在密码学中的应用
子群概念在密码学中用于构造密码算 法，如基于子群特性的密码算法，利 用子群性质来提高算法的安全性和效 率。
子群概念在密码学中用于设计数字签 名方案，如基于子群特性的数字签名 方案，利用子群性质来验证信息的完 整性和真实性。
子群概念在密码学中用于设计公钥密 码系统，如基于子群特性的公钥密码 系统，利用子群性质来保证信息的安 全性和机密性。
THANKS
感谢观看
结合律
对于任意的$a, b, c in H$，都有 $(ab)c = a(bc)$。
单位元存在
存在一个元素$e in H$，使得对 于任意的$a in H$，都有$ea = a = ae$。
逆元存在
对于任意的$a in H$，都存在一 个元素$b in H$，使得$ab = e
= ba$。
子群与群的关系
子群是群的子集，具 有群的全部性质。
子群可以包含在另一 个子群中，也可以是 群的全部元素构成的 子集。
子群可以由群的元素 构成，也可以由群的 所有子集构成群
定义
如果存在一个元素$a$属于子群$H$，使得$H$中的每一个元素都可以表示为 $a^k$（$k$为整数），则称$H$为循环子群。
例子
在模3的加法下，集合${0,1,2}$的子群${0,2}$是一个循环子群，因为可以表示 为${a^k | k in Z}$，其中$a=2$。
正规子群
定义
如果对于任意$x in G$，都有$x^{-1} H x subseteq H$，则称 $H$为正规子群。
例子
在整数加法下，集合${0,1,2}$的子群${0,2}$是一个正规子群， 因为对于任意整数$k$，有$(2k)^{-1}(2k) in {0,2}$。

近世代数教学PPT课件


拟枚举： 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚
举可以用来表示能够排列出来的的集合, 像 自然数、整数…
描述法:
如果一个集A是由一切具有某一性质的元 素所组成的，那么就用记号
A {x | x具有某一性质
来表示.
第18页/共187页
A {x | 1 x 1, x R } 表示一切大于-1且小于1
第7页/共187页
(2)Hamilton四元数的发现
长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发现 可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi，其中i2= -1。二元数按 (a,b)±(c,d)=(a±c,b±d)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法则进行代 数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面上的点一一对应。 这是数学家高斯提出的复数几何理论。二元数理论产生的一个 直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索，力图寻求三 元数的努力失败了。但是爱尔兰数学家W.Hamilton(1805-1865) 于1843年成功地发现了四元数。四元数系与实数系、复数系一 样可以作加减乘除四则运算，但与以前的数系相比，四元数是 一个乘法不交换的数系。从这点来说四元数的发现使人们对于 数系的代数性质的认识提高了一大步。四元数代数也成为抽象 代数研究的一个新的起点，它是近世代数的另一个重要理论来 源。
元素，就说a属于A，记作 a A ；如果a不是集合A
的元素，就说a不属于A，记作 a A ； 例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，
而 3. A
第16页/共187页
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的 集合叫做有限集合. 如，学校的全体学生的集 合；一本书里面的所有汉字的集合等等这些 都是有限集合.

近世代数讲义子群


§3 子 群
设 G 是一个群. 显然,{e} 和 G 都是 G 的子群.{e} 和 G 都称为 G 的平凡子群. 若 H 是 G 的子群并且集合 H 是集合 G 的真子 集,则称 H 为 G 的真子群.
注意 若 G 是一个群, H 和 K 都是 G 的子群, 并且 K H ,则由子群的定义可知, K 也是 H 的 子群.
iI
Si 和 Si 分别称为 S 的这族子集的交(集)和并
§3 子 群
代数运算“ '”如下: a'b ab , a, b S .
我们约定,将“ ”在 S 上的限制“ '”也记作 “ ”.显而易见,当 A 上的代数运算“ ”适 合结合律时, S 上的代数运算“ ”也适合结 合律.
2020/8/13
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§3 子 群
2020/8/13
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§3 子 群
定理 3.3 设 G 是一个群, H 是 G 的一个 非空子集.那么, H 为 G 的子群的充分必要条件 是:
(1) ab H , a, b H ; (2) a1 H , a H . 证明 先证明必要性.假设 H 是 G 的子群. 首先,根据子群的定义, H 满足条件(1). 其次,
例 2 设 P 是一个数域, nN .于是, SLn (P ) 是 GLn (P ) 的子群.(参看§2 的例 2).若令 H 表示数域 P 上全体 n 级可逆的上三角形矩阵构成的集合, K 表示 数域 P 上全体 n 级可逆的对角形矩阵构成的集合,则 H 是 GLn (P ) 的子群, K 是 H 的子群.
2020/8/13
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近世代数群的概念课件


反身性
任何元素与自己相乘的结果仍为该元素本身。
可交换性
对于任意$a, b$在群中，有$a cdot b = b cdot a$。
可结合性
对于任意$a, b, c$在群中，有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
子群与商群
子群
一个子群是一个集合在某个二元运算 下构成一个群，且该子集是原群的非 空子集。
05
有限群的结构
有限群的分 类
阿贝尔群和非阿贝尔群
01
根据群中元素的乘法是否满足交换律，可以将有限群分为阿贝
尔群和非阿贝尔群。
循环群和非循环群
02
根据群中是否存在循环子群，可以将有限群分为循环群和非循
环群。
素数阶群和非素数阶群
03
根据群的阶是否为素数，可以将有限群分为素数阶群和非素数
阶群。
有限群的Sylow定理
近世代数群的概念
目 录
• 群的定义与性质 • 群的表示与同态 • 循环群与交换群 • 群的扩张与直积 • 有限群的结构 • 群的应用
contents
01
群的定义与性质
群的定 义
群的定义
一个群是由一个集合和一个 在其上的二元运算所组成， 满足结合律、存在单位元、 存在逆元的代数系统。
结合律
群中的二元运算满足结合律， 即对于任意$a, b, c$在群中， 有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
单位元
群中存在一个元素$e$，使 得对于任意$a$在群中，有 $e cdot a = a cdot e = a$。

逆元
对于任意$a$在群中，存在 一个元素$b$，使得$a cdot b = b cdot a = e$，其中 $e$是单位元。
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§3 子 群
设 G 是一个群, a G .显然, | a | 1 当且仅当 a e ; | a1 | | a | ; 若| a | ,则对于任意两个不同的整 数 m 和 n 总有 am an .
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§3 子 群
对于任意的 aH ,根据子群的定义, a 在 H 中 有逆元 a' .根据命题 3.2, a' a1 .因此 a1 H . 所以 H 满足条件(2).
再证明充分性.假设 H 满足条件(1)和(2). 由于 H 满足条件(1),为了证明 H 为 G 的子群, 现在只需阐明 H 关于 H 上的代数运算“ ”构成 一个群.
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§3 子 群
事实上,首先,由于 G 上的代数运算“ ”适合 结合律,因此 H 上的代数运算“ ”也适合结合律. 其次任取 a H .由于 H 满足条件(1)和(2),因此 a1 H , e aa1 H .最后,对于任意的 a H , 我们有
iI
Si {a S | i I,st. a Si} .
iI
Si 和 Si 分别称为 S 的这族子集的交(集)和并
iI
iI
(集).
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§3 子 群
命题 3.4 设 G 是一个群,{Hi}iI 是 G 的一 族子群,则 Hi 也是 G 的子群.□
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§3 子 群
由 于 e' 是 H 的 单 位 元 , 我 们 有 e'e' e' . 因 此 ee' e'e' .将该式两边右乘 e' 在 G 中的逆元(或 者,根据消去律——第 9 页第 5 题),即得 e e' .
显而易见, e {e};对于 G 的任何子 群,总有 H H .
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§3 子 群
注意 设 G 是一个群, a G .则 a {an | n Z} .
事实上,一方面,显然, a {an | n Z},并且,由 幂的定义和性质可知,{an | n Z} 是 G 的子群. 因 此 a {an | n Z} . 另 一 方 面 , 显 然, {an | n Z} a .所以 a {an | n Z} .由 此可见,循环群是交换群.
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§3 子 群
(3) 设 H 是 群 G 的 一 个 子 群 . 若 存 在 a G ,使得 H a ,则称 H 为群 G 的循环 子群,并称 a 为子群 H 的一个生成元.特别地, 若 G a ,则称 G 为循环群.
§3 子 群
定理 3.3 设 G 是一个群, H 是 G 的一个 非空子集.那么, H 为 G 的子群的充分必要条件 是:
(1) ab H , a, b H ; (2) a1 H , a H . 证明 先证明必要性.假设 H 是 G 的子群. 首先,根据子群的定义, H 满足条件(1). 其次,
§3 子 群
定义 3.1 设 G 是一个群,集合 H 是集合 G 的一个非空子集.我们称 H 是 G 的一个子群,是 指 H 满足如下条件:
Ⅰ. ab H , a, b H ,即 H 关于群 G 的乘 法“ ”封闭;
Ⅱ. H 关于“ ”构成一个群.
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§3 子 群
命题 3.5 设 G 是一个群, S 是 G 的一个 子集.令 {Hi}iI 表示 G 的包含 S 的所有子群. 则 Hi 是 G 的包含 S 的最小子群,也就是
iI
说, Hi 是 G 的包含 S 的子群,并且,对于G iI
的包含 S 的任何子群 H 都有 Hi H .□ iI
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§3 子 群
例 3 设V 是数域 P 上的向量空间,W 是V 的子空间,则 (W, ) 是 (V , ) 的子群.
例4 考察 S3 的子集 A3 {(1), (123), (132 )} .
易见, A3 是 S3 的子群.
第一章 群 论
5/5/2020
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目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
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§3 子 群
设 A 是一个非空集合,“ ”是 A 上的一个 代数运算, S 是 A 的一个非空子集.
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§3 子 群
若 存 在 G 的 有 限 子 集 {a1, a2, , an} , 使 得 H {a1, a2, , an} ,则称 H 为群 G 的有限 生 成 的 子 群 . {a1, a2, , an} 通 常 简 记 作 a1, a2 , , an .特别地,当 G a1, a2 , , an 时,称群 G 为有限生成的群.
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§3 子 群
定义 3.9 设 G 是一个群, a G .若存在 正整数 n 使得: an e ,并且,对于任何小于 n 的正整数 m (如存在)都有 am e ,则称 a 的阶 为 n ,记作| a | n ;这时称 a 为有限阶元素.若 对于任何正整数 n 都有 an e ,则称 a 的阶为 ,记作| a | ;这时称 a 为无限阶元素.
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§3 子 群
定义 3.7 设 G 是一个群, c G .若 对于任意的 a G 总有 ac ca ,则称 c 为 G 的一个中心元.
命题 3.8 设 G 是一个群, C 是 G 的 全体中心元构成的集合.则 C 是 G 的交换 子群(称为群 G 的中心.)
iI
设 G 是一个群.若 S 是 G 的一个子集,则存 在 G 的子群 H ,使得 S H ,例如, H G 就是 这样的子群.此外,容易验证,若 H1 与 H2 是群 G 的两个子群,并且集合 H1 与集合 H2 互不包含, 则 H1 H2 不是群 G 的子群.
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§3 子 群
命题 3.2 设 G 是一个群, H 是 G 的一个子 群.那么,
(1) H 的单位元就是 G 的单位元; (2)对于任意的 a H , a 在群 H 中的逆元就 是 a 在群 G 中的逆元. 证明 (1)设 e 是群 G 的单位元, e' 是子群 H 的单位元.由于 e 是 G 的单位元,我们有 ee' e' .
(2)对于任意的 a H ,设 a 在 G 中的逆元 为 a1 , a 在 H 中的逆元为 a' .根据(1),我们有 aa1 e aa' .将该式两边左乘 a1 (或者,根据 消去律——第 9 页第 5 题),即得 a1 a' .□
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§3 子 群
定义 3.6 (1)设 G 是一个群.对于 G 的任 意非空子集 S ,我们将群 G 的包含 S 的最小子群 称为群 G 的由 S 生成的子群,记作 S .
(2)设 H 是群 G 的一个子群.若 S 是 G 的一 个非空子集,使得 H S ,则称 S 为子群 H 的 一个生成集.
例 2 设 P 是一个数域, nN .于是, SLn (P ) 是 GLn (P ) 的子群.(参看§2 的例 2).若令 H 表示数域 P 上全体 n 级可逆的上三角形矩阵构成的集合, K 表示 数域 P 上全体 n 级可逆的对角形矩阵构成的集合,则 H 是 GLn (P ) 的子群, K 是 H 的子群.
ae ea a ; aa1 a1a e . 所以 H 关于 H 上的代数运算“ ”构成一个群.□
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§3 子 群
例 1 (R , ) 是 (C, ) 的子群, (Q , ) 是 (R , ) 的 子 群 , (Z, ) 是 (Q , ) 的 子 群 ; (R \{0}, ) 是 (C \{0}, ) 的子群, (Q \{0}, ) 是 (R \{0}, ) 的子群.
我们称 S 关于代数运算“ ”封闭,是指: 对于任意的 a, b S ,总有 abS .
假设 S 关于代数运算“ ”封闭.于是,将 “ ”限制在 S 上, 我们便可得到 S 上一个代 数运算“ '”.也就是说,我们可以定义 S 上的
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§3 子 群
证明 显然 eC ,因此 C 非空.现在 考察任意的 c1, c2 C :对于任意的 a G , 我们有
(c1c2 )a c1(c2a) c1(ac2 ) (c1a)c2 (ac1)c2 a(c1c2 ) ，
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§3 子 群
设 S 是一个集合; I 是一个非空集合(称为指
标集);对于任何 i I , Si 都是 S 的子集.这时,我们
称{Si}iI 为 S 的一族子集.院Company Logo
§3 子 群
设 G 是一个群. 显然,{e} 和 G 都是 G 的子群.{e} 和 G 都称为 G 的平凡子群. 若 H 是 G 的子群并且集合 H 是集合 G 的真子 集,则称 H 为 G 的真子群.