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近世代数课件--3.7 理想

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《近世代数》PPT课件

《近世代数》PPT课件
– 剩余类的加法和乘法运算
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
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18
2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
• 多项式的系数表示
；
• x的幂次表示
；
– 域上的多项式
• 针对系数定义；
• 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。
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28
(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件：多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解：n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积，被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
（3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
10.01.2021
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6
（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：
GF(q)。
–域将
10.01.2021
和
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联系在一起？
7
例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。
– F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
10.01.2021
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8
• 定理：
– 设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。

近世代数学习教材PPT课件

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§8.2 代数系统常见的一些性质
（3）代数系统常见性质 1）结合律：（a b） c＝a （b c） 2）交换律：a b＝b a 3）分配律：a （b＋c）＝（a b）＋（a c） 4）单位元：a 1＝a 5）逆元：a a－1＝1 6）零元：a 0＝0
7）生成元
逆元
域
特殊子环 （两个二元运算：,
单位元，无零因子 整环 理想 商环
)
特殊环
两个运算的结合律、交换律、吸收律
格 两个运算的分配律 分配格 布尔代数 两个运算的单位元、逆元 两个运算有单位元 有界格 两个运算有逆元 有补格
第九章 群论
§9.1 一些群的定义
（7）半群——代数系统满足交换律
§9.2 一些群的理论与半群性质：
半群的子代数也是半群。 循环半群是可换半群。 （19）关于群的基本理论 群方程可解性：a x = b（或x a = b）对x存在唯一解； 群的消去律：a b = a c（或b a = c a）必有b = c； 任一群必与变换群同构； 与一个群同构或满同态的代数系统必为群； 一个代数系统有限群满足结合律及消去律则必为群；
第三篇 近世代数
代数系统是建立在集合论基础上以代 数运算为研究对象的学科。本篇共三章， 第五章代数系统基础介绍代数系统的一般 原理与性质， 第六章群论，主要介绍具有 代表性的代数系统－群，最后第七章其它 代数系统，介绍除群外常见的一些代数系 统，如环、域、格与布尔代数等，这三章 相互配合构成了代数系统的完整的整体。
§8.3 同构与同态
（4）同构：（X， ）与（Y，）存在一一对应函
数g : XY使得如x1 , x2X，则有：g（x1 x 2）＝g（x1）

《近世代数》课件

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近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。

近世代数--理想与商环

近世代数--理想与商环

§3 理想与商环
下面的一些例子告诉我们,当 R' 是一个环 R 的子 环时, R 有单位元,不意味着 R' 有单位元;即使子环 R' 有单位元,子环 R' 的单位元未必就是环 R 的单位 元;环 R 没有单位元不意味着其子环 R' 一定没有单位 元.
例 1 整数环 Z 有单位元1.令 R 表示偶数环.则 R 是环 Z 的子环,它没有单位元. Z 的平凡子环{0} 以 0 为自己的单位元,{0}是环 R 的子环.
Ⅰ. a b I , a, b I ; Ⅱ. ra, ar I , r R , aI .□
§3 理想与商环
命题 3.4 设 R 是一个环. (1)若 {Iα}αΑ 是环 R 的一族理想,则 αΑ Iα 也是环 R 的理想. (2)若 I 和 J 都是环 R 的理想,则
I J {a b | a I, b J}
a b, ab R' , a, b R' ,并且 R' 关于“”和“ ”构成一个环
a b, ab R' , ab R'. (2)环 R 的任意子环 R' 的零元就是环 R 的零元;子环 R' 中任意 元素 a 在 R' 中的负元就是 a 在 R 中的负元. (3)任何环 R 都有子环,例如,{0} 和 R .{0} 和 R 都称为环 R 的 平凡子环. 若 R' 是环 R 的子环并且 R' 是 R 的真子集,则称 R' 为环 R 的真 子环.
谢谢观看
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第二章 环 论
目录
§1 环的概念 §2 多项式环 §3 理想与商环 §4 环的同态 §5 交换环 §6 整环的因子分解 §7 唯一分解环上的多项式环

近世代数(抽象代数)课件

近世代数(抽象代数)课件
例 4 设 K4 {e, a, b, c} ,我们可以利用 下表来定义 K4 上的乘法“ ”:
· eabc e eabc aaecb bb c e a c cba e

11
CHENLI
§1 代数运算
定义 1.2 设“ ”是非空集合 A 上的一个代数 运算.
意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c
时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c
简写成 ab c .

6
CHENLI
§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添
加括号其中添加括号,这 n 个元素的乘积总等于
n
ai ，
i 1
从而与加括号的方式无关.

23
CHENLI
§1 代数运算
事实上,当 n 1或 n 2 时,无需加括号,我们的结论
自然成立.当 n 3时,由于“ ”适合结合律,我们的结论成

17
CHENLI
§1 代数运算
但是,当“ ”适合结合律时,我们可以定义 A 中任意有限 n ( n 3 )个元素 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an .这是因为,容易证明,对于 A 中任意 n 个元素 a1, a2 , , an ,只要不改变它们的次序,运 算结果与加括号的方式无关(见习题 2).这样一 来,我们便可定义 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an 就 是按任意一种方式添加括号后的算出的结果.

2
CHENLI

近世代数教学课件

近世代数教学课件

并运算 设 A， B是两个集合 . 由 A的一切元素和 B的一切 元素所成的集合叫做A与B的并集（简称并），记作 A B. 如图1所示.
A
A B
( x A B) ( x A或x B) ( x A B) ( x A且x B)
B
交运算 由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A 与B的交集(简称交)，记作： A B ，如图2所示.
A A
交换律 : A B B A ; A B B A 结合律 : ( A B) C A ( B C ) ; ( A B) C A ( B C) 分配律 : A B C A B A C
A B C A B A C
A是B的子集，记作：
( A B) (x : x A x B)
如果集合A与B的由完全相同的元素组成部分的， 就说A与B 相等，记作：A=B. 即
( A B) (x : x A x B)
以集合A的所有子集为ຫໍສະໝຸດ 素的集合，称为A的幂集， 记为P(A).
如果集合A包含无限多个元素，则记为 A =；如 果A包含ｎ个元素，则记为 A =ｎ，此时 P(A) 2n
近世代数
第一章 基本概念
§1 §2 §3 集 合 映射与变换 代数运算
§4 §5 §6
运算率 同态与同构 等价关系与集合的分类
§1 集 合
表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集， 如“一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西 叫这个集合的元素. 我们常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用 小写拉丁字母a，b，c，…表示元素. 如果a是集合A的 元素，就说a属于A，记作 a A ；如果a不是集合A 的元素，就说a不属于A，记作 a A ； 例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A， 而 3 . A

近世代数学习课件

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注：X上的一元和二元代数运算均满足 运算的封闭性。
定义4 结合律：设“”是X上的一个
二元代数运算。如果a,b, c X
有：(a b) c a (b c)
则称此二元代数运算适合结合律。
交换律：若对a,b X 有： ab ba
则称此二元代数运算适合交换律。
定义5 设“”是非空集合S上的一个
近世代数 课件
教材：离散数学引论 王义和，哈工大出版社
参考教材： 1）近世代数， 熊全淹，武大
2）近世代数基础习题指导，北师大
3）离散数学及其在计算机中的应用
4）代数结构与组合数学
引言
一、近世代数的研究对象
代数最初主要研究的是数，以及由数所衍 生出来的对象，如代数方程的求根。数的 基本特征是可以进行加法、乘法等运算， 其共同点是对任两个数，通过相应法则可 唯一求得第三个数。而对于很多抽象的对 象也都具有类似数的这一特征，因此对于 它们的结构和性质的研究就导致了近世代 数的产生和发展。
同理：A为 M , , e 的非空子集，则
包含A的所有子幺半群的交成为由A生 成的子幺半群。
注：根据集合交的性质知道 由A生成的子（幺）半群 (A) 是包含A的所有子（幺）半群 中最小的，即对任意包含A的
子（幺）半群 A 有：A A
定义4 左（右）理想：半群 S ,
的一个非空子集A为S的一个左（右）
定义乘法“”：N N N
a b a b 1, a,b N,
其中*为普通乘法
定义6 设(S,,) 是具有两个二元
代数运算“”和“+”的代数系。
如果a,b, c S 有：
a (b＋c) (a b) (a c)
则称“”对“＋”满足左分配律。
如果a,b, c S 有：

近世代数基础PPT课件

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来说四元数的发现使人们对于数系的代数性质的认识提高了
一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点，
它是近世代数的另一个重要理论来源。
返回
16
（3）Kummer理想数的发现
17世纪初法国数学家费马(P.Fermat 1601-1665） 研究整数方程时发现当n≥3时，方程 xn+yn=zn 没有正整数解，费马认为他能够证明这个 定理，但是其后的三百多年中人们研究发现这是一 个非常困难的问题，这一问题被后来的研究者称为 费马问题或费马大定理，此定理直到1995年才被英 国数学家A.Wiles证明。对费马问题的研究在三个半 世纪内从未间断过，欧拉、高斯等著名数学家都对 此作出过重要贡献。但最重大的一个进展是由 E.Kummer作出的。
18
Kummer方法的前提是形如a+bη的复整数也象 整数一样具有唯一的素因子分解，其中a与b是通 常整数。并不是对于每个整数n,复整数a+bη都具 有唯一分解性，Kummer把这种复整数的因子分解 称为理想数的分解。
14
加罗华
阿贝尔
返回
15
(2)Hamilton四元数的发现
长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发
现可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi，其中i2= -1。二元数按
(a,b)±(c,d)=(a±c,b±d)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法则进行
代数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面上的点一一
近 世 代 数
概 述
11
>>
1． 近世代数理论的三个来现 (3) Kummer理想数的发现
下一页
12
（1） 代数方程的解 两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开

《近世代数》PPT课件

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定理1.5.1 假设一个集合A的代数运算 同时适合结合
律与交换律,那么在 a1a2 an中，元素的次序 可以调换.
例 判定下列有理数集Q上的代数运算 是否适合结合律，
交换律？
(1) a b a b ab (适合结合律和交换律 )
(2) ab(ab)2 (适合交换律，但不适合结合律)
(3) aba (适合结合律，但不适合交换律 )
定义1.9.2 设 是集合 A的代数运算. 若 是 A到 A的 一个同构映射(同态映射)，则称 是 A的一个自 同构 (自同态).
小结
同态是把代数运算考虑在内的映射，即是用来
比较两个代数结构的工具.
返回
在代数学中,两个同构的代数结构一般认为是相同的. 22
§1.10 等价关系与集合的分类
定义1.10.1 A设 是集合，D对，.错 一个 AA 到 D 的映射
注: 变换 是 A到A自身的一个映射.
小结
为了比较两个集合，我们引入了单射，满射，一
一映射和变换的概念.
返回
19
§1.8 同态
定义1.8.1 设 , 分别是集合的代数运算， : A A 是一个映
射,若 a,bA，有 (ab ) (a ) (b ),
则称 是 A到 A 的一个同态.
例1 A=Z (整数集)， 是普通加法； A ={1,-1}， 是普通乘法.
定义1.2.2 设 1 , 2是A到B的两个映射，若对 aA，
有 1(a)2(a), 则称 1 与 2 是相等的,记作 1 2.
注: 映射相等 构成映射的三要素（值域、定义域、对
应法则）全相同．
例5 设 AB 为正整数集 ．
定义 1 : ; a1 1 ( a ) ， a ,

近世代数课件--3.7 理想

近世代数课件--3.7 理想
1 1 m m i i
[1] I 是R的一个理想。因为：两个这种形式的元 相减显然还是一个这种形式的元；用R的一个元r从 左边去乘 A 一个元也得到一个这种形式的元，就是
rx1 a y1 rx m a y m ra t rs n r a
( a1 ) ( a 2 ) ( a m )
的和, 叫做 a1 , a 2 , , a m 生成的理想。这个理想我们 用符号 a , a , , a 来表示。
1 2 m
注8： a
1
, a 2 , , a m 是包含 a 1 , a 2 , , a m 的最小理想。
a1 x a 2 x a n x
n 1
作成 R x 的一个理想。
7.2 理想的交与和
命题1 设 I 1 , I 2 是R的两个理想,那么 (i) I 1 I 2 仍然是理想 (ii) I 1 I 2 { a1 a 2 a1 I 1 , a 2 I 2 } 仍然是理想, 称为和.
用r从右边去乘的元 A 情形一样。 [2] I 显然是包含 a 的最小的理想。 定义2 上面 I 的叫做由元 a 生成的主理想。这个 理想我们用符号 a 来表示。
以下用到最多的理想就是主理想。 一个主理想 a 的元的形式并不是永远象上面那样复 杂。 [1] 当R是交换环时， a 的元显然都可以写成
ra
r R
因此, 这时 a 也可以写出aR。 例3. 例1里的理想就是由n生成的主理想 n 。 注7：如果R=2Z, (4)的元素形如: ???
多个元素生成的理想
在环R里任意取出m个元 a1 , a 2 , , a m , 主理想的概 念容易加以推广。 定义3 m个主理想

近世代数教学PPT(精品)

近世代数教学PPT(精品)

两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去， 设 是给定的集合 .由 A1 , A2 ,, A n
A1 , A2 ,, 的一切元素 An
所成的集合叫做
A1 , A2 ,, 的并； An
由 A1 , A2 ,, An的一切公共元素所成的集合叫做
A1 , A2 ,, An 的交. A1 , A2 ,, An 的并和交分别记为：
诺特, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗 根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。1916年 后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已 引入「左模」、「右模」的概念。1921年写出的<<整环的理 想理论>>是交换代数发展的里程碑。建立了交换诺特环理论， 证明了准素分解定理。1926年发表<<代数数域及代数函数域 的理想理论的抽象构造>>，给戴德金环一个公理刻画，指出 素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也 就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽 象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代 数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素 的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数 的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人 之一。
近世代数是在19世纪末至20世纪初发展起来的 数学分支。 1930年荷兰数学家范德瓦尔登（B.Lvan der Wearden 1930-1996） 根据该学科领域几位创始 人的演讲报告,综合了当时近世代数的研究成果, 编 著了《近世代数学》(Moderne Algebra）一书,这 是该学科领域第一本学术专著，也是第一本近世代 数的教科书。
近世代数理论的三个来源

近世代数引论PPT课件

近世代数引论PPT课件
域是近世代数中的一个基本概念，它是一个加法群和 一个乘法半群的组合，具有一些重要的性质。
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
THANKS
感谢观看
环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。

近世代数主要知识点PPT课件

近世代数主要知识点PPT课件
• 假如运算1和1‘来说，有一个A到A’的满射的同态映射存在，同态满射 • 同构映射 一一映射的同态映射就是一个同构映射 • 自同构
第8页/共27页
等价关系与等价类
• 集合的等价关系 。Ⅱ，
对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～c 同余关系
第22页/共27页
除环、域
• 除环 1， R至少包含一个而不等于零的元
的每一个不等于零的元有一个逆元
2，R有单位元
3，R
• 域 一个交换除环叫做一个域
• 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的
• 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征
• 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
（b+c）a=ba+ca
第21页/共27页
交换律、单位元、零因子、整环
• 交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个元 • 单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元 • 零因子 若环里a≠0，b≠0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子 • 整环 一个环叫做整环 如果 1.乘法适合交换律：ab=ba 2 .R有单位元1：1a=a1=a 3 R没有零因子ab=0=>a=0或b=0
合D的一个映射
像 逆象，
• 映射的相同 效果相同就行
第5页/共27页
代数运算
• 定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 • 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来
表示 • 二元运算 假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭的 二元运算
换群 • 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 • 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c ·······我们在G里任意取出一个元x来，那么‫ג‬x：

近世代数ppt

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8
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射
1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
9
第5讲 基本概念之等价关系与集合的分类 ——商集
1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 4 集合A上的等价关系与 集合A的分类之间的联系
10
第三章 群
11
第1讲 代数系统
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第一章 绪 论
1
第1讲 绪 论
一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际
问题
2
第二章 基本概念
3
特权福利
特权说明
VIP用户有效期内可使用VIP专享文档下载特权下载或阅读完成VIP专享文档（部分VIP专享文档由于上传者设置不可下载只能 阅读全文），每下载/读完一篇VIP专享文档消耗一个VIP专享文档下载特权。
集合与元素的相关概念
集合的相关概念
集合的运算及运算律
集合的补充及说明
6
第2讲 基本概念之集合及其之间的关系 —对应关系(映射)(人造关系)
1 映射概念回忆
2 映射及相关定义 3 映射的充要条件
4 映射举例
5 符号说明
6 映射的合成及相关结论
7 映射及其映射相等概念的推广
8 集合及其之间的关系——特殊

近世代数课件

近世代数课件
研究内容
包括群、环、域等基本概念，以及这 些概念在抽象代数、几何学、拓扑学 等领域的应用。
近世代数的发展历程
19世纪初
随着代数学的发展，人们开始研究代数的结 构，近世代数逐渐形成。
20世纪初
环论和域论的建立进一步丰富了近世代数的 内容。
19世纪中叶
群论的创立为近世代数的发展奠定了基础。
20世纪中叶至今
近世代数课件
目录
• 引言 • 群论基础 • 环论基础 • 域论基础 • 应用举例
01
引言
代数与近世代数
代数
研究数、量、结构、变换以及结构等 概念的数学分支。
近世代数
研究代数的结构、性质和分类的分支 ，是现代数学的重要分支之一。
近世代数的研究对象与内容
研究对象
代数的结构、性质和分类，以及代数 与其他数学分支的联系。
多项式的基本概念
01
多项式是由若干个单项式通过加减运算组成的代数式
。
多项式的因式分解
02 将一个多项式分解为若干个因式的乘积，这些因式称
为多项式的因子。
多项式因式分解的应用
03
在数学、物理、工程等领域中，多项式因式分解被广
泛应用于解决各种问题，如计算、建模、优化等。
分式域的构造与应用
分式域的基本概念
域的扩张与分解
扩张
如果一个域K包含另一个域F作为其子集，并且K在F上连续，则称K是F的扩张，或称F是 K的子域。
分解
如果一个域K可以分解为若干个子域的乘积，即K=F1×F2×…×Fn，则称K是可分解的 。如果域K没有除了单位元以外的公因子，则称K是素数域。
05
应用举例
线性方程组的解法
线性方程组的基本概念

3-7理想

3-7理想
4r1 6r2 (4,6) {4r1 6r2 / r1, r2 Z} 2(2r1 3r2 ) (2) {2r / r Z}
2=（-1） 4+1 6 （4,6），（2）（4,6）
2r (2) {2r / r Z} 2r 4 (r) 6 r (4,6)
x R, xr x(a1 a2 ) xa1 xa2 I1 I2
rx (a1 a2 )x a1x a2x I1 I2
I1 I2 是 R 的理想.
（2）r, s I1 I2, r, s I1, r, s I2,
r s I1, 且r s I2,r s I1 I2
分别称为理想 I1, I2 的和与交.
定理 1 环 R 的两个理想 I1, I2 的和 I1 I2 与交 I1 I2 都是 R 的理想.
2019/9/30
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证明
(1) r a1 a2, s b1 b2 I1 I2,
a1
,
b1

I1
,
a2
,
b2

I
，
2
r s (a1 b1) (a2 b2) I1 I2
p(x) 1(2, x)
这与上面求得的(2, x)的结果矛盾。所以(2, x)不是一个主理想， R[ x]的理想不都是主理想。
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例：找出模6的剩余类环R的所有理想。 解：R {[0],[1],[2],[3],[4],[5]}
如果U是R的一个理想，则U一定是加群R的一个子群。 但加群R是循环群，所以它的子群一定也是循环群 G1 ([0]) {[0]} G2 ([1]) {[5]} R
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注3：一个环R至少有以下两个理想： 1. 只包含零元的集合，这个理想叫做R的零理想； 2. R自己，这个理想叫做R的单位理想。 两个通称为平凡理想.
我们举两个例。
例 1 看整数环R。那么一个整数
n 0
，n的所有
倍数
rn r R
作成一个理想。
R x 。那么所有多
例 2 看一个环R一元多项式环 项式 2 n
p x,
1
p2 x R
x
作成：换一句话说，2刚刚包含所有多项式 n 2 a 0 a1 x a n x （1） ai R , n 0 我们证明，2, x 不是一个主理想。 假定 2, x p x ，那么 2 p x , x p x ，因而
I 注4： 1 I 2一般不是理想.
I 1 I 2 是包含 I 1 I 2的最小
理想.
7.3 除环的理想
定理 1 一个除环R只有两个理想，就是零理想和单位 理想。 证明 假定 I 是R的一个非零理想。那么
I 这就是说， =
I a 0，
1 I
a 由理想的定义， 1 a 1 I ，因而R的任意元 b b
a1 x a 2 x a n x
n 1
作成 R x 的一个理想。
7.2 理想的交与和
命题1 设 I 1 , I 2 是R的两个理想,那么 (i) I 1 I 2 仍然是理想 (ii) I 1 I 2 { a1 a 2 a1 I 1 , a 2 I 2 } 仍然是理想, 称为和.
ra na
r R , n是 整 数
的形式 [2] 当R有单位元的时候， a 的元都可以写成

sa sa1,
xi a yi
xi , yi R
na ( n1) a1
的形式，因为这时，
at 1at ,
[3] 当R既是交换环又有单位元的时候，a 的元的形 式特别简单，这时它们都可以写成
注1：理想一定是一个子环. 由（ⅰ），一个理想 A 是一个加群，由于（ⅱ）， I 对于乘法来说是闭的，所以一个理想一定是一个 I 子环。但（ⅱ）不仅要求 的两个元的乘积必须 A在 A 里，而且进一步要求， 在一个任意元同R的一个 A 任意元的乘积都必须在 里,所以称为强闭合性。 注2：可以定义左(右)理想, p113, ex6.
1 1 m m i i
[1] I 是R的一个理想。因为：两个这种形式的元 相减显然还是一个这种形式的元；用R的一个元r从 左边去乘 A 一个元也得到一个这种形式的元，就是
rx1 a y1 rx m a y m ra t rs n r a
ra
r R
因此, 这时 a 也可以写出aR。 例3. 例1里的理想就是由n生成的主理想 n 。 注7：如果R=2Z, (4)的元素形如: ???
多个元素生成的理想
在环R里任意取出m个元 a1 , a 2 , , a m , 主理想的概 念容易加以推广。 定义3 m个主理想
用r从右边去乘的元 A 情形一样。 [2] I 显然是包含 a 的最小的理想。 定义2 上面 I 的叫做由元 a 生成的主理想。这个 理想我们用符号 a 来表示。
以下用到最多的理想就是主理想。 一个主理想 a 的元的形式并不是永远象上面那样复 杂。 [1] 当R是交换环时， a 的元显然都可以写成
( a1 ) ( a 2 ) ( a m )
的和, 叫做 a1 , a 2 , , a m 生成的理想。这个理想我们 用符号 a , a , , a 来表示。
1 2 m
注8： a
1
, a 2 , , a m 是包含 a 1 , a 2 , , a m 的最小理想。
§7 理想
• • • • 7.1 定义及例子 7.2 理想的交与和 7.3 除环的理想 7.4 生成理想
7.1 定义及例子
在这一节里我们要讨论到一种特别重要的子 环，就是理想子环,简称为理想(Ideal). 理想在环论 里的地位同不变子群在群论里的地位类似。 定义 环R的一个非空子集I叫做一个理想子环， 简称理想，假如 （ⅰ） a , b I a b I （ⅱ） a I , r R ra , ar I (强闭合性)
2 q x p x, x hx p x
但
2 q x p x p x a
x ah x
a 1
这样， 1 p x 2, x 。但 1都不是（1）的形式， 这是一个矛盾。
作业 P113: 1,5
R
证完。
可逆元, 那么 是单位理想. 注6：定理1的逆命题不成立(p119, ex.4).
7.4 生成理想
给了一个环R，我们可以用以下方法做一些R的理想, 称为生成理想.
一个元素生成的理想—主理想 设 a 是R里一个元，利用 a 我们作一个集合 I ，I 包 含所有可以写成 x ay x ay sa at na x , y , s , t R , n 是 整 数 形式的元。那么
例4 在Z中, (a,b) 可以简化为主理想.
我们举一个例
例 5 在一些环中, (a,b) 不可以简化为主理想 假定 R x 是整数环R上的一元多项式环。我们看 R x 的理想 2, x 。因为 R x 是有单位元的交换环， 2, x 由所有的元
2 p1 x xp 2 x