近世代数课件--2.10 不变子群,商群

§10 不变子群 商群定义 设G 是一个群，N G ≤，称N 为群G 的子群，若,Na aN a G =∀∈.不变子群N 的一个左（右）陪集称为H 的一个陪集.N 是G 的不变子群，记为.N G例1 设G 为一个群，则G 和{}e 都是群G 的不变子群.{}{}{},.Ga aG G a e e a a ====例2 设G 是一个群，{}|,N n na an a G ==∀∈，则.N G,ea ae a G =∀∈,.e N N ∴∈≠∅12,n n N ∀∈，则1122,,,.n a an a G n a an G =∀∈=∀∈()()()()()()121212121212,.n n a n n a n an n a n an n a n n G ∴=====∀∈ 12.n n N ∴∈n N ∀∈，则,.na an a G =∀∈于是1,,a nan a G -=∀∈()1111,.n a n nan an a G ----==∀∈1,.n N N G -∴∈∴≤下证,.aN Na G =∀∈在aN 中任取一个元素an ，这里.n N ∈n N ∈故an na Na =∈.aN Na ∴⊂同理，.Na aN ⊂.aN Na ∴=.N G ∴该不变子群称为群G 的中心.例3 交换群G 的任一子群H 都是不变子群.设H G ≤，下证.aH Ha =ah aH ∀∈，这里h H ∈.因G 是交换群，故ah ha Ha =∈.aH Ha ∴⊂同理，.Ha aH ⊂例4 3,G S =设()()(){}1,123,132N =，则.N G()()()()()()111,1123123,==()()()1132132,=()()()()()()1231123,123123132,==()()()1231321,=()()()()()()1321132,1321231==都属于N ，N G ∴≤又()()()(){}()()()(){}()()()(){}()()()(){}11,123,132,11,123,132,1212,13,13,1212,13,23,N N N N ==== 故()()()()()()11231321123132,N N N N N N =====()()()()()()122313122313.N N N N N N =====.N G ∴定义 设G 是一个群，12,,,m S S S 为集合G 的m 个子集，则把集合{}121122|,,,m m m s s s s S s S s S ∈∈∈称为12,,,m S S S 的乘积，记为12.m S S S 易知()()123123.S S S S S S =这是因为在()123S S S 中任取一个元()123s s s ，这里112233,,s S s S s S ∈∈∈， ()()()123123123.s s s s s s S S S =∈()()123123S S S S S S ⊂.同理()()123123.S S S S S S ⊂定理1 设G 是一个群，N G ≤，则1,.N G nNa N a G -⇔=∴∈注：,,a b G S G ∀∈⊂，把{}{}a S b 记为aSb .把{}a S 记为aS .把{}S b 记为.Sb 易知{}|.aSb asb s S =∈证 “⇒”设N G ，a G ∀∈，则,aN Na G =∀∈.故()()()1111.aNa aN a Na a N aa Ne N ----=====“⇐”设1,aNa N a N -=∀∈，下证1.aNa N -=易知1.aNa N -⊂n N ∀∈，有()1111111.n aa n aa naa a a n a a -------⎡⎤===⎢⎥⎣⎦1a G -∈，()111.a n a N ---∴∈ 1.n aNa -∴∈11..N aNa aNa N --∴⊂∴=设G 是一个群，N G ，{}|S aN a G =∈（即S 为不变子群N 的所有陪集所成的集合）,xN yN S ∀∈，这里,x y G ∈，规定S 的乘法如下：()()().xN yN xy N =这在逻辑上没有问题.设 ,xN x N yN y N ''==，下证()().xy N x y N ''=,,x xe xN x N y ye yN y N ''=∈==∈=()1212,,.x x n y y n n n N ''∴==∈12.xy x n y n ''=N G ，1n y Ny y N '''∴∈=，()()()()133123232,n y y n n N xy x n y n x y n n x y n n x y N ''''''''''∴=∈===∈. ()().xy N x y N ''∴=定理3 色环G 是一个群，N G ，{}|,S aN a G =∈则S 对于以上规定的乘法来说成为一个群.证 1）√2）()()()()()()(),xN yN zN xy N zN xy z N xyz N ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()()()()().xN yN zN xN yz N x yz N xyz N ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 3）()()().eN xN ex N xN ==4）()()()11.x N xN x x N eN --==定义 定理3中的群S 称为群G 的一个商群，记为/.G N 若G 为有限群，N G ，则/.GG N N =习题P741.假定群G 的不变子群N 的阶是2 ，证明，G 的中心包含.N 证 设C 为群G 的中心，则{}|,.C c G ca ac a G =∈=∀∈2,N =∴可设{},,N e n =其中e 为群G 的单位元.显然，.e C ∈N G ，∴1,.ana N G -∈∀∈显然，不存在a G ∈使得1anae -=，不然,.an a ae n e ===故1,ana n G -=∀∈，即 ,an na a G =∀∈,.n C N C ∴∈∴⊂2. 证明，两个不变子群的交集还是不变子群.证 设G 是一个群，12,N G N G ，则12.N N G ≤12n N N ∀∈，则1,n N ∈且2.n N ∈因12,N G N G ，故,a G ∀∈有 1112,.ana N ana N --∈∈112,.ana N N a G -∴∈∀∈ 12.N N G ∴3. 证明，指数是2的子群一定是不变子群.证 设G 是一个群，(),: 2.N G G N ≤=设a G ∈，但a N ∉，因():2G N =，故()()()(),eN aN Ne Na =∅=∅，且()()()().G eN aN Ne Na ==但.eN Ne N ==aN Na ∴=，或.b aN Na ∈=b G ∀∈，b eN ∈或.b aN Na ∈=若b eN ∈，则,.b Ne bN eN Ne Nb ∈===若b aN ∈，则b Na ∈，故.bN aN Na Nb ===∴由不变子群的定义得，.N G4.设H 是G 的子群，N 是G 的不变子群，证明，HN 是G 的子群. 证 在HN 中任取一个元素11h n ，22h n ，这里1212,,,.h h H n n N ∈∈ 则()11111221122.h n h n h n n h ---=但N G ，H G ≤，1111122212,,n n N Nh h N h h H ----∴∈=∈111111221212.h n n h h Nh h h N HNHN G ----∴∈=⊂∴≤ 5.举例证明，G 的不变子群N 的不变子群1N 未必是G 的不变子群（取4G S =）. 解 取4G S =，()()()()()()(){}()()(){}11,1234,1324,1423,1,1234N N ==，则 1,N G N N ，但1N 不是G 的不变子群.。

第二章群论群是最简单，最重要，有广泛应用的代数系统。

在本章里主要研究具有某种特殊的群存在，结构和构造等。

学习中我们从群的定义开如直到同态基本定理和不变子群，共讲十一个问题，它是以下几章的基础，本章开头提出的十一问题是：一、群在的定义及其基本性质七、循环群；二、单位元、逆元、消去律；八、子群；三、有限群的另一定义；九、子群的陪集；四、群的同态；十、不变子群、商群；五、变换群；十一、同态与不变子群。

六、置换群；§2.1 群的定义●课时安排约1课时●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P31-35群的思想：第一，它有满足结合律的代数运算；第二，这个代数运算具有逆运算。

定义：一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群，则等价于下列条件: （1）（G，·）有单位元，且G中每一个元有逆元。

（2）（G，·）有左单位元，且G 中每个元有左逆元；（3）（G，·）有右单位元，且G 中每个元有右逆元；（4）a,b∈G，方程a.x=b和y.a=b在G中都有解，是一个有限整数；不然的话，这个群叫做无限群，有限群的元素个数叫做这个群的阶。

定义：对 a,b∈G来说，满足ab=ba条件的群叫做交换群。

例 1：证明若G包含一个元g，且乘法是gg=g，则G对于这个第六法来说作成一个群。

例2：设G是一个全体整数的集合，证明G对于普通加法来说作成一个群。

例3：设G是所有不等于零的整数集合，证明G对于普通乘法来说不作成一个群。

习题选讲：P38 1，3●教学重点群的定义，基本特点，群的思想方法，群的判定常用的方法。

●教学难点群定义，群的判定常用的方法，利用群的定义证明性质和判定。

●教学要求理解群的定义，掌握群定义中的四个等价条件，和群的判定方法，多训练（做题）。

●布置作业 P35 1，3（2）●教学辅导一、掌握三个基本概念（1）群的最本质的特点（2）群的思想方法主要体现在包含的方面。

（3）代数系充（G，·）是群当且仅当（i）结合律成立（ii）方程ax=b，ya=b在G中有解，其 a,b∈G.二、精选习题：（1）在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)（2）设（G，·）为半群，如果方程ax=b与ya=b a,b∈G在G中有解，（不要求唯一性）则G（）。

第二章群论 20第二章群论本章讨论具有一个代数运算的代数结构——半群与群，但重点是群的基本知识及典型的两个群-变换群和循环群．群是概括性比较强的一个概念，是近世代数中比较丰富的一个分支，它产生于19世纪初人们对高次方程根号解问题的研究，发展到现在，群论已经应用到数学许多其它分支及一些别的科学领域．如在近世几何中，利用群的观点，把几何加以科学分类；在晶体学中，利用群论的方法，解决了空间晶体的分类问题；在现代通讯理论中，利用群来进行编码，有所谓的群码．我们先从半群开始来研究群．§1 群的定义及基本性质2.1 半群的定义设S是具有一个代数运算的集合，为了方便，将此代数运算叫S的乘法，并且仍用通常的乘法记号“·”来表示，把S的两个元素ba,关于“·”运算结果ba∙简记为ab．当然，这样被叫做乘法不一定就是指数的乘法，还可表示像矩阵、函数、向量的乘法，但一般来说它们都不是数的乘法．定义1如果代数结构（S，·）的乘法适合结合律，即ba∈c∀)有,S,,ab=，则称S关于它的乘法是一个半群，简称Sac(bc()是一个半群．2关于数的乘法是一个半群．关于数的加法也是一例1 偶数集Z个半群．n⨯矩阵作成的集合M n(F)，关于矩阵乘法例2数域F上的所有n是一个半群．例3 A 是一个非空集合，A 的幂集}|{A x x A P ⊆=）（关于∩、∪分别是半群．例4 +Z （正整数）关于数减法不能作成一个半群，因为数的减法不是+Z 的一个代数运算；Z 虽然关于数的减法是Z 的代数运算，但结合律不成立，故),(-Z 不是一个半群．注 由于一个半群),(⋅S 的乘法适合结合律，故可以在半群),(⋅S 中可以引进一个元素a 的正整数次幂的概念，规定：, 个n n a aa a =那么，易见半群里有以下指数运算规律：ba ab b a ab a a a a a n n n nm m n n m n m =⋅===⋅+当,)(,)(,，这里+∈Z n m ,。

第 12 讲§10 不变子群、商群（Normal subgroup, Quatient group ）本讲的教学目的和要求：在前一讲中，我们已经知道群G 的每一个子群H 都能“引导”出一批陪集，这些陪集构成的集合R S （或L S ）可以构成G 的陪集分解：mHa Ha Ha H G⋃⋃⋃⋃= 21.那么R S 是否可以成为一个群呢？如果R S 成群，对H 有什么特殊的要求吗？本讲正是以这个问题为中心而展开的。

为此，要求在本讲的学习中注意下列问题：1、掌握不变子群的特性，尤其是不变子群的等价定义。

2、商群的证明方法。

3、围绕着不变子群和商群而形成的常见几类例子以及几个思考问题。

本讲的重点和难点：由于在讨论不变子群成立的等价条件时，要用到陪集的一些性质，所以在这里往往会感到棘手一些。

另外商群的形成，由于元素都是子集；多少都会带来一些不习惯的感觉。

一、 不变子群概念的引入问题：若H 是G 的子群且G a ∈, 那么“aHHa=”成立吗?为什么?答：不成立。

如三次对称群()()()()()(){}31,12,13,23,123132S =，，()(){}12,1=H 是3S 的子群。

()()(){}23,123123=H，而()()(){}13,123123=H ，()()123123H H ≠∴.定义2.10.1：设N 是G 的子群，如果对于G 中任一个元a ， 都有N a aN =，那么称N 为G 的不变子群，记做GN。

一个不变子群的左（或右）陪集叫做N 的一个陪集。

注：不变子群也叫正规子群。

例1G是群，e 是G 的单位元。

则G 和{}e 是G 的不变子群。

例2 令{|,}N n G na an a G =∈=∀∈。

则N是G 的不变子群。

（P62定理1）。

N ≠Φ，对G 的运算封闭，1n NnN-∈⇒∈。

称N 是G 的中心。

例3 交换群G 的每一个子群都是G 的 不变子群。

例4()()()()()(){}31,12,13,23,123132S =，，()(){}12,1=H 不是3S的不变子群。

§10．不变子群、商群定义 一个群G 的一个子群N 叫做一个不变子群，假如对于G 的每一个元a 来说，都有aN Na =，一个不变子群N 的一个左（或右）陪集叫做N 的一个陪集。

记作N G例1 一个任意群G 的子群G 和e 总是不变子群。

证明：G aG Ga ==，a ae ea ==例2 N 刚好包含群G 的所有有以下性质的元n ，即{}G a an na n N ∈∀==,，则N 是G 的一个不变子群。

叫做G 的中心。

证明：(1)N e ∈非空; (2)若12,n N n N ∈∈,即2121212211,n an an n a n n an a n an a n ==⇒==12n n N ⇒∈(3)若n N ∈即111111------===⇒=an nan n ann n a n an na得N 是G 的一个子群.但G 的每一个元a 可以同N 的每一元n 交换,所以有Na aN =,即N 是G 的不变子群。

例3 一个交换群G 的每一个子群H 都是不变子群。

例4 3S G =，则()()(){}132,123,1=N 是一个不变子群。

证明：()()123=N ，但()()()(){}132,123,11=N ，()()()(){}132,123,11=N ()()()(){}13,23,1212=N ，()()()(){}13,23,1212=N注：aN Na =，并不是说a 可以和N 的每一个元交换，而是说aN 和Na 这两个集合一样。

定理1 一个群G 的一个子群N 是一个不变子群的充分必要条件是N aNa =-1，对于G 的任意一个元a 都对。

证明 假如N 是不变子群，那么对于G 的任何a 来说，aN Na =这样，()()()N Ne aa N a Na a aN aNa =====----1111假如对于G 的任何a 来说，N aNa =-1那么()()()()aN e aN a a aN a aNa Na ====--11N 是不变子群。