近世代数课件-2-1_半群

第九章半群与群（Semigroups and Groups）本章讨论含一个二元运算的特殊的代数系统――半群与群。

群论近世代数中发展最早、内容最丰富、应用最广泛的部分，也是建立其他代数系统的基础。

群论在自动机政论、形式语言，语法分析快速加法器设计、纠错码制定等方面均有卓有成效的应用。

2－1 半群与含幺半群定义2－1.1 满足结合律的代数系统U=<S,*>称为半群。

例2－1.1 <N,+>,<N,×>,<2I+,+>和<2I+,×>都是半群。

例2－1.2 <Nm ,+m>和<Nm,×m>都是半群。

例2－1.3 <M2(I),+>和<M2(I),·>都是半群。

定义2－1.2含幺元e的半群U=<S,*>称为含幺半群，常记作U=<S,*,e>。

在例2－1.1～例2－1.3中，除<2I+,+>和<2I+,×>外都是含幺半群。

例2－1.4 设S是任意非空集合，则<p(S),∪>和<p(S),∩>都是含幺半群。

例2－1.5在形式语言中，我们常称非空有限字符集合为字母表。

字母表中字符的n重序元称为字符串，由m个字符所组成的字符串称为长度为m 的字符串。

长度为0的字符串称为空串，用来表示。

如对V={a,b}, =aa 和β=ab都是长度为2的字符串；γ=aab和δ=bab都是长度为3的字符串。

我们用*来表示两个字符串的邻接运算，如,α*δ=aabab,α*γ=aaaab。

设用V*表示字母表V的所有有限长度字符串的集合，而用V+表示V*-{ }，则显然<V+,*>是半群，<V+,*, >是含幺半群。

定义2－1.3对运算满足交换律的半群（含幺半群）称为交换半群（交换含幺半群）。

第二章群论 20第二章群论本章讨论具有一个代数运算的代数结构——半群与群，但重点是群的基本知识及典型的两个群-变换群和循环群．群是概括性比较强的一个概念，是近世代数中比较丰富的一个分支，它产生于19世纪初人们对高次方程根号解问题的研究，发展到现在，群论已经应用到数学许多其它分支及一些别的科学领域．如在近世几何中，利用群的观点，把几何加以科学分类；在晶体学中，利用群论的方法，解决了空间晶体的分类问题；在现代通讯理论中，利用群来进行编码，有所谓的群码．我们先从半群开始来研究群．§1 群的定义及基本性质2.1 半群的定义设S是具有一个代数运算的集合，为了方便，将此代数运算叫S的乘法，并且仍用通常的乘法记号“·”来表示，把S的两个元素ba,关于“·”运算结果ba∙简记为ab．当然，这样被叫做乘法不一定就是指数的乘法，还可表示像矩阵、函数、向量的乘法，但一般来说它们都不是数的乘法．定义1如果代数结构（S，·）的乘法适合结合律，即ba∈c∀)有,S,,ab=，则称S关于它的乘法是一个半群，简称Sac(bc()是一个半群．2关于数的乘法是一个半群．关于数的加法也是一例1 偶数集Z个半群．n⨯矩阵作成的集合M n(F)，关于矩阵乘法例2数域F上的所有n是一个半群．例3 A 是一个非空集合，A 的幂集}|{A x x A P ⊆=）（关于∩、∪分别是半群．例4 +Z （正整数）关于数减法不能作成一个半群，因为数的减法不是+Z 的一个代数运算；Z 虽然关于数的减法是Z 的代数运算，但结合律不成立，故),(-Z 不是一个半群．注 由于一个半群),(⋅S 的乘法适合结合律，故可以在半群),(⋅S 中可以引进一个元素a 的正整数次幂的概念，规定：, 个n n a aa a =那么，易见半群里有以下指数运算规律：ba ab b a ab a a a a a n n n nm m n n m n m =⋅===⋅+当,)(,)(,，这里+∈Z n m ,。

近世代数课件(全)--2-1 群的定义1. 引言在近代代数中，群是一种基础的对象。

它的定义极其简单，但却具有广泛的应用和深刻的理论结构。

本章我们将介绍群的定义及其基本性质。

2. 群的定义群是一种代数结构，具有以下三个性质：(1) 封闭性：对于群G中的任意两个元素a和b，a*b也在G中。

(3) 存在单位元：存在一个称为单位元的元素e，使得对于任意的a∈G，有a*e=e*a=a。

3. 群的注记通常我们称一个群为(G,*)，其中G称为群的集合，*称为群的运算，单位元用1或者e 表示，逆元用(a)^-1或者-a表示。

如果G是一个有限集合，那么称(G,*)为有限群，否则称其为无限群。

4. 群的例子(1) 整数的加法群(Z,+)对于整数集合Z，定义a+b为a加上b，即a+b=a＋b。

易证(Z,+)是一个群，其单位元为0，逆元为相反数。

(2) 非零有理数的乘法群(Q^*,×)(3) 旋转群SO(2)SO(2)表示二维空间中的旋转群，即所有的旋转操作组成的集合。

对于一个旋转操作R，我们可以用一个旋转矩阵表示，即：R = [cos(θ) -sin(θ)][sin(θ) cos(θ)]其中θ表示旋转角度。

易证，SO(2)是一个群，其运算为旋转操作的复合，单位元为不旋转，逆元为逆时针旋转同样的角度。

5. 群的性质(1) 唯一性：对于群G，单位元和逆元是唯一的。

这意味着，G中只能有一个单位元e，且a的逆元也只能是一个元素a^-1。

(2) 消去律：对于群G中的任意三个元素a、b和c，如果a*b=a*c，那么b=c。

这意味着，我们可以把群的运算看做加法，可以用消去律推导出类似乘法运算中的约分。

(3) 结构稳定性：对于群G中的任意两个元素a和b，它们的运算结果a*b仍然在G中。

这意味着，我们可以在群元素之间不断进行运算，而不用担心运算结果会跑到其他集合中去。

6. 小结群是一种基础的代数结构，其定义非常简单，但却具有广泛的应用和深刻的理论结构。