现代控制理论第五章

第五章 Lyapunov稳定性分析和二次型最优控制5.1 概述本章首先讨论Lyapunov稳定性分析，然后介绍线性二次型最优控制问题。

我们将使用Lyapunov稳定性方法作为线性二次型最优控制系统设计的基础。

应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。

然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。

Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。

虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov稳定性分析方法具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。

技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。

在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。

本章5.1节为概述。

5.2节介绍Lyapunov意义下的稳定性定义。

5.3节给出Lyapunov稳定性定理，并将其应用于非线性系统的稳定性分析。

5.4节讨论线性定常系统的Lyapunov稳定性分析。

5.5节给出模型参考控制系统，首先用公式表示Lyapunov稳定性条件，然后在这些条件的限制下设计系统。

5.6节讨论线性二次型最优控制系统，将采用Lyapunov稳定性方程导出线性二次型最优控制的条件。

5.7节给出线性二次型最优控制问题的MATLAB解法。

5.2 Lyapunov意义下的稳定性问题对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。

如果系统是线性定常的，那么有许多稳定性判据，如Routh-Hurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用。

然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳定性判据就将不再适用。

本节所要介绍的Lyapunov第二法（也称Lyapunov直接法）是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。

当然，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。

此外，它还可应用于线性二次型最优控制问题。

5.2.1 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点考虑如下非线性系统),(t x f x = (5.1)式中x 为n 维状态向量，),(t x f 是变量x 1,x 2,…,x n 和t 的n 维向量函数。

第五章 系统的状态反馈及观测器
现代控制理论基础
主讲人: 主讲人:荣军 mail:rj1219 163. 1219@ E-mail:rj1219@
第五章 系统的状态反馈及观测器
在第二章， 在第二章，研究的是在己知系统的结构和参数情况下系统的 运动，从而了解系统的运动形态。 运动，从而了解系统的运动形态。第三章介绍了系统的能控性和 能观测性。第四章是系统稳定性问题。 能观测性。第四章是系统稳定性问题。如果将上述研究的内容概 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下， 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下，研究系统的性 能或特性，即所谓系统分析问题。 能或特性，即所谓系统分析问题。 本章将研究线性定常系统的综合。 本章将研究线性定常系统的综合。这是一个与系统分析相反 的命题，是在给定被控对象的情况下， 的命题，是在给定被控对象的情况下，通过设计控制器的结构和 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。采用的方法是先测 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人， 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人，从 而构成状态反馈系统。 而构成状态反馈系统。
第五章 系统的状态反馈及观测器
采用状态反馈， 采用状态反馈，对系统能控性和能观测性有 无影响呢?这是本章讨论的重要内容之一 这是本章讨论的重要内容之一。 无影响呢 这是本章讨论的重要内容之一。同时 研究一个能控的系统， 研究一个能控的系统，引入状态反馈可以任意配 置状态反馈系统的极点， 置状态反馈系统的极点，保证系统具有所希望的 瞬态性能和稳态性； 瞬态性能和稳态性；对于系统的状态变量无法测 量但又要用它来实现反馈的情况， 量但又要用它来实现反馈的情况，通过状态重构 方法。设计状态观测器。 方法。设计状态观测器。

（Book 214 )

0
X AX Bu : Y CX
R


0
x
y
F
x
仅讨论标量系统∑0 ,它的经典频域描述是：
G0 s G s y( s) M 0 (s) i.e. m n u ( s ) D0 ( s)
k 0
假定原系统是状态完全能控的，即 X
u
R
框图结
构如右：
考虑实际 D=0

uf
B
x

x

C
y
A
F
or
x
R
uf
u


0
x
y
F
x
10
Thursday, August 17, 2017
Modern Control Theory
于是，可利用框图代数推出状态反馈系统的状态空 间模型：
有, X AX BR BFX Y CX
G F s C SI A BF B
1
2
当然，也可以求得 GF s 和 G0 s 的关系：
G F s G 0 s [I F SI A B] 即：
1 1
(3)
显然，这个关系同经典理论中的结果相类似。
Thursday, August 17, 2017 Modern Control Theory 12
我们可以推导出如下状态空间模型：

H
X A BHC X BR Y CX
(1)
和传递函数矩阵：
GH s
y ( s )R ( s ) C SI A BHC B

能控性与能观性的判别方法
能观性判别方法
能控性判别方法
表示系统是否可以通过输入控制实现任意状态转移。若系统完全能控，则可以通过设计合适的控制器实现任意状态轨迹的跟踪或镇定；若部分能控或不能控，则存在状态无法被有效控制的风险。
能控性的物理意义
表示系统状态是否可以通过输出完全反映出来。若系统完全能观，则可以通过观测输出信号来准确估计系统状态；若部分能观或不能观，则存在状态无法被准确观测的风险，进而影响控制性能的实现。
控制系统稳定性分析是控制理论的核心内容之一，对于确保控制系统的正常运行具有重要意义。
章节内容结构
稳定性概念及定义
介绍稳定性的基本概念和定义，包括Lyapunov稳定性和BIBO稳定性等。
线性系统稳定性判据
详细阐述线性系统稳定性的判据，如Routh-Hurwitz判据、Nyquist判据和Bode图等。
图解法
状态转移矩阵的计算方法
1
2
3
状态转移矩阵反映了系统在时间间隔内从初始状态到最终状态的动态变化过程。
描述系统状态的动态变化过程
若系统稳定，则状态转移矩阵将逐渐趋于零，表示系统状态将逐渐趋于稳定。
反映系统稳定性
状态转移矩阵是进行系统分析和设计的重要工具，可用于研究系统的稳定性、能控性、能观性等性质。
非线性系统稳定性分析
介绍非线性系统稳定性分析方法，如相平面法、Lyapunov直接法等。
熟练掌握线性系统稳定性的判据和分析方法，能够应用所学知识分析和设计线性控制系统。
了解非线性系统稳定性分析方法的基本原理和应用范围，能够运用所学知识分析和设计简单的非线性控制系统。
掌握稳定性的基本概念和定义，理解不同稳定性定义之间的联系与区别。