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边界条件为
x1 (0) 1
x2 (0) 1
x1 (2) 0
x2 (2) 0
引进乘子
(t ) (1 (t ), 2 (t ))T
1 2 T 1 x2 ) 2 ( x 2 u ) F F f u 1 ( x 构造函数 2
欧拉方程
F * d F * 1 0 1 x1 dt x
试求 u(t ) 使泛函 J 有极值。
解：化为标准形式
1 2 1 2 2 J Q(t )dt u (t )dt 2 0 2 0
把问题化为标准形式，令
x1 (t ) Q (t ) (t ) 1 (t ) Q x2 (t ) x
约束方程可定为
1 (t ) x2 (t ) 0 x 2 (t ) u(t ) 0 x
J ( x x)
0
0
J J ( x x) J ( x) lim l 0
( L( x x) r ( x x))
r ( x x) L( x, x) lim x L( x, x) 0 x
令
H ( x, , u, t ) (t ) x
( x(T )) (T ) x(T )
伴随方程
有 J T ( H )T udt 0 t
0
u
H 0 必要条件 u
例7.2.5
考虑状态方程和初始条件为
T
T T
t0
x , t )dt | 0 F ( x x, x
T t0
F d F F ( ) xdt x t0 x dt x x
F
T
T
F J x x
T
F
T
T 0
F x x ( ) T T FT T [ F ( ) ] T 0 Fx T x
7 u (t ) 3t 2
7.2.6
最优控制问题的变分解法
0 f ( x, u, t ) x
T ˆ ))dt J ( x(T )) ( L( x, u, t ) T ( f ( x, u, t ) x t0
7.2.6.1 自由端问题
约束方程
新的泛函
令
有
u(t ) R r
f ( x(t ), u (t ), t )
给定控制规律 u(t ) f ( x(t ), u (t ), t ) 满足一定条件时，方程有唯一解
u U
(2) 容许控制
U ：G (u ) 0 u U
有时控制域可为超方体
,
ui (t ) mi
i 1, 2,, r
0
F d F J ( ) xdt 0 t0 x dt x
T
例7.2.2
求平面上两固定点间连线最短的曲线
T t0
J ( x( ))
(t )dt 1 x
2
2 (t ) F 1 x
F d F d F 0 x dt x dt x
对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能 指标
( x(T ),T ) 0 积分型性能指标，表示对整个状 态和控制过程的要求
L( x(t ), u(t ), t ) 0 终点型指标，表示仅对终点状态
的要求
7.2 求解最优控制的变分方法
7.2.1 泛函与变分法基础 平面上两点连线的长度问题
例7.2.1
求泛函的变分
, x, t )dt J F (x
t0 T
J J ( x x)
0
T
t0
x , x x, t )dt F (x
F F ( x x)dt t0 x x
T
定理7.2.2
第七章 最 优 控 制
7.1 最优控制问题 7.2 求解最优控制的变分方法 7.3 最大值原理 7.4 动态规划 7.5 线性二次型性能指标的最优控制 7.6 快速控制系统
最优控制理论------现代控制理论的重要组成部分
20世纪50年代发展形成系统的理论
研究的对象 ------ 控制系统
中心问题 给定一个控制系统，选择控制规律，使系统
J ( x( )) J ( x( ) x ) J ( x ( )) L( x, x) r ( x, x)
J L( x, x)
连续泛函 宗量的变分趋于无穷小时，泛函的变分 泛函对宗量是线性的
定理7.2.1 泛函的变分为
J
J ( x x )
H L( x, u, t ) T f ( x, u, t )
T t0
哈米顿函数
)dt J ( x(T )) ( H ( x, , u, t ) T x
T t0 t0
T x)dt T x T x J ( x(T )) ( H ( x, , u, t ) T
在某种意义上是最优的、统一的、严格的数学方法.
7.1 最优控制问题
7.1.1 两个例子
例7.1.1 飞船软着陆问题 宇宙飞船在月
球表
面着陆时速度必须为零，即软着陆，
这要靠发动机的推力变化来完成。问题是如
何选择一个推力方案，使燃料消耗最小。
m 飞船的质量，h 高度，v 垂直速度， g 月球重力加速度常数，M 飞船自身质量 F 燃料的质量
(3) 目标集 S {x(T ) ( x(T ), T ) 0}
( x(T ), T )
x(T ) xT
S Rn
维向量函数 固定端问题 自由端问题
(4) 性能指标
J (u( )) ( x(T ), T ) L( x(t ), u(t ), t )dt
t0 T
若泛函 J ( x) 有极值，则必有 J 0
J J [ x x] 0 0 上述方法与结论对多个未知函数的泛数同样适用
7.2.2
欧拉方程
T t0
, x, t )dt 泛函 J ( x( )) F ( x
F d F 0 x dt x
, x, t ) 有二阶连续偏导数 F (x x(t0 ) x0 x(T ) x1 两端固定
变分 分部积分
x
T t0
J (
t0
T
T
F F x x)dt x x
F d F F T J [( ) x]dt x t0 t0 x dt x x
例7.2.3 从一固定点到已知曲线有最小长度的曲线
J ( x( ))
T t0
2 (t )dt 1 x
欧拉方程
d F 0 dt x 积分
F x C 2 x 1 x
x(t ) C1t
求解
C1 x
计算
x (t ) ( ) ( 1 x
2
x 1 x
2
)T
x 1 1 x
2 T
0
x T 1
所求的极值曲线与约束曲线相正交
7.2.4 含有多个未知函数泛函的极值 泛函
1,, x n ; x1,, xn ; t )dt J ( x1 , xn ) F ( x
t0 T
边界值
xi (t ) xi (t )
变分
T ( x(T )) T H T H T T T x)dt J ( ) x(T ) (T ) x(T ) (( ) x( ) u t0 x(T ) x u T H T H T T ( ) |T x(T ) (( ) x ( ) u )dt t 0 x x u
x F (t ) cos (t ) m F (t ) y sin (t ) m
y(0) 0
(0) 0 x
(0) 0 y
初始条件 末端约束 指标 控制
x(0) 0
(T ), y (T ) y (T ) 0 g1 x(T ), y (T ), x (T ), y (T ) y (T ) h 0 g 2 x(T ), y (T ), x
其弧长为
S
1 1
2 (t )dt 1 x
一般来说，曲线不同，弧长就不同，即弧长依赖
于曲线，记为 S ( x()) 。
S ( x()) ，称为泛函。 x(t ) ，称泛函的宗量
泛函与函数的几何解释
宗量的变分 泛函的增量 泛函的变分 也趋于无穷小 线性泛函
x(t ) x(t ) x (t )
(T ), y (T ) x (T ) J x(T ), y(T ), x
(t )
7.1.2 问题描述 (1) 状态方程 一般形式为
(t ) f ( x(t ), u(t ), t ) x x(t ) |t t0 x0
x(t ) R n
为n维状态向量 为r维控制向量 为n维向量函数
欧拉方程
F * d F * 0 x dt x
约束方程
F * d F * f 0 dt
1 2 2 (t ) u(t ) 例7.2.4 泛函 J 0 Q (t )dt 约束方程 Q 2 (0) 1 Q(2) 0 Q (2) 0 边界条件 Q(0) 1 Q
1 3 1 2 x1 (t ) a1t a2t a3t a4 6 2 1 2 x2 (t ) a1t a2t a3 2 利用边界条件，可得：
a1 3
7 a2 2
a3 1
a4 1
于是，极值曲线和 u(t ) 为：
