1、设随机过程 X (t) R t C ， t (0, ) ， C 为常数， R 服从 [0, 1] 区间上的均匀分布。 （1）求 X (t) （2）求 X (t)
的一维概率密度和一维分布函数；
的均值函数、相关函数和协方差函数。
2、设
W(t ), t 是参数为 2 的维纳过程， R ~ N (1,4) 是正态分布随机变量；
且对任意的 t ， W (t ) 与 R 均独立。令 X (t ) W (t ) R ，求随机过程 X (t ),
t
的均值函数、相关函数和协方差函
数。
3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有
180 人，即
180 ；且每
个
顾客的消费额是服从参数为 s 的指数分布。 求一天内（8 个小时）商场营业额的数学期望与方差。
4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：
0.3 0.7 0
P
0 0.2 0.8 0.7
0.3
（1）求两步转移概率矩阵 P (2)
及当初始分布为
P{ X 0 1} 1, P{X 0
2} P{X 0
3} 0 时，经两步转移后处于状态 2 的概
率。
（ 2）求马尔可夫链的平稳分布。
5 设马尔可夫链的状态空
间 I {1,2,3,4,5} ，转移概率矩阵为：
0.3 0.4 0.3 0 0 0.6 0.4 0 0 0 P0 1 0 0
0 0 0 0.3 0.7
0 0
1
求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、设 N (t ), t
0 是参数为
的泊松过程，计算 E N (t) N (t s) 。
7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以 N i 记在 i 第层进入电梯的人数。假定 N i 相互独立， 且 N i 是均值为 i 的泊松变量。在第 i 层进入的各个人相互独立地以概率 p ij 在第 j 层离开电 梯，
p ij 1 。令 O j ＝在第 j 层离开电梯的人数。
j i
（1）计算 E(O j )
（2） O j的分布是什么
（3） O j与 O k的联合分布是什么
8、一质点在1，2，3 点上作随机游动。若在时刻 t 质点位于这三个点之一，则在 [t ,t h) 内，
它都以概率h o(h) 分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微
分方程，转移概
率p i j (t) 及平稳分布。
1 有随机过程{ (t)， - < t< } 和
{ (t)， - < t<
} ，设 (t)= A
sin( t+
)， (t)= B sin( t+
+ ),
其中 A，B，，为实常数，均匀分布于 [0， 2 ]，试求 R
(s,t)
2（ 15 分）随机过程(t)=
Acos( t+ )，- ，其中 A, , 是相互统计独立的随机 变量， EA=2, DA=4, 是在 [-5, 5]上均匀分布的随机变量，是在 [- ， ]上均匀分布的随机变 量。试 分析 (t)的平稳性和各态历经性。 3 某商店顾客的到来服从强度为 4 人每小时的 Poisson 过程，已知商店 9：00 开门，试求： （ 1） 在开门半小时中，无顾客到来的概率； （2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。 4 设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销 （用 1 表示）、正常（用 2 表示）、畅销（用 3 表示）。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月 到下 月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为pij（ pij 表示从销售 状态 i 经过一个月后转为销 售 状态 j 的概率），一步转移开率矩阵为： 1 1 2 2 5 P 1 1 3 9 9 1 2 1 6 3 6 试对经过长时间后的销售状况进行分析。 5 设 {X(t),t 0}是独立增量过程, 且X(0)=0, 证明 {X(t),t 0}是一个马尔科夫过程。 6 设N(t), t 0 是强度 为 的泊松过程，Yk ,k=1,2, 是一列独立同分布随机变量，且 N(t) 与 N(t),t 0 独 立 ， 令X(t)= Yk , t 0 ， 证 明： 若 E(Y12 <) ， 则 E X(t) tE Y1 k=1 7.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨 的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态 1。设0.7, 0.4 ，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。 8 设t , t 是平稳过程，令t t cos 0t , t ，其中0 是常数，为均匀分布在 [0,2 ]上的随机变量，且t , t 与相互独立， R ( ) 和 S ( )分别是t , t 的相关函数与功率谱密度，试 证： （1）t , t 是平稳过程，且相关函数： R 1 R cos 0 2 （2）t , t 的功率谱密度为： S 1 S S 0 0 4 9 已知随机过 程(t )的相关函数为： R e 2 (t )是否均方连续？是否均方可 微？，问该随机过程 1、设随机过程X (t) R t C ， t (0,) ， C 为常数， （1）求 X (t) 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求 X (t) 的均值函数、相关函数和协方差函 数。【理论基础】 x （1） F ( x)f (t )dt ，则 f (t ) 为密度函数； （2） X (t) 为 ( a, b) 上的均匀分布，概率密度函数f ( x) R 服从 [ 0, 1] 区间上的均匀分布。 1 b a , a x b，分布函数0,其 他 0, x a (b a)2 F ( x) x a ,a x b ， E( x) a b， D (x) ； b a b 2 12 1, x （3）参数为 的指数分布，概率密度函数 f ( x) e x , x 0 ，分布函数 0, x 0 1 e x , x 0 ， E( x) 1 1 F ( x) 0, x 0 ， D (x) 2 ； 2 ( x )2 1 2 （4）E(x) , D( x) f ( x) e 2 x ， 的正态分布， 概率密度函数 , 2 1 x (t )2 e 2 2 0, 1时，其为标准正态分布。 分布函数 F ( x) dt, x ，若 2 【解答】本题可参加课本习题 2.1 及 2.2 题。 （1）因 R 为 [0,1] 上的均匀分布， C 为常数，故 X (t ) 亦为均匀分布。 由 R 的取值范围可知， t ] 上的均匀分布， 因此其一维概率密度 f (x) 1 ,C x C t ，一维分布 X (t ) 为 [ C ,C t 0,其他 0, x C 函数 F ( x) x C , C X C t ； t C t 1, x （2）根据相关定义，均值函 数 m X (t ) EX (t ) t C ； 2 1 st C (s 相关函数 R X (s,t ) E[ X (s) X (t)] t) C 2 ； 3 2 st 协方差函数 B X (s, t ) E{[ X (s) m X (s)][ X (t) m X (t )]} t 时为方差函数） （当 s 12 【注】 D(X) E(X 2 ) E 2 ( X ) ； B X (s,t ) R X (s,t ) m X (s)m X (t) 求概率密度的通解公式 ( ) ( ) | ' ( ) | ( )/| ' ( ) | f t x f y y x f y x y 2、设 W (t ), t 是参数为 2 的维纳过程， R ~ N (1,4) 是正态分布随机变量；且 对任意的t ， W (t ) 与 R 均独立。令 X (t ) W (t ) R，求随机过程 X (t ), t 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【解答】此题解法同 1 题。 依题意， W (t) ~ N ( 0, 2 | t |)， R ~ N (1,4) ，因此 X (t) W (t) R 服从于正态分布。故： 均值函数 m X (t ) EX (t ) 1 ； 相关函数 R X (s,t ) E[ X (s)X (t)] 5 ； 协方差函数 B X (s, t ) E{[ X (s) m X (s)][ X (t) m X (t )]} 4 （当 s t 时为方差函数） 3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180 人，即180 ；且每个 顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。求一天内（8 个小时）商场营业额的数学期望与方差。 【解答】此题可参见课本习题 3.10 题。 由题意可知，每个顾客的消费 额Y 是服从参数为s 的指数分布，由指数分布的性质可知： E(Y ) 1 1 2 ) 2 ，则由复合泊松过程的性质可得：一天内商场营, D(Y) s 2，故 E(Y 2 s s 业额的数学期望 m X (8) 8 180 E(Y) ； 一天内商场营业额的方 差 2 (8) 8 180 ( 2 )。 X E Y 4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为： 0.3 0.7 0 P 0 0.2 0.8 0.7 0 0.3 （1）求两步转移概率矩阵P (2)及当初始分布为 P{X01} 1, P{X02} P{X03} 0 时，经两步转移后处于状态 2 的概率。 （ 2）求马尔可夫链的平稳分布。 【解答】可参考教材例 4.3 题及 4.16 题 （1）两步转移概率矩阵 0.3 0.7 0 0.30.700.09 0.35 0.56 P( 2) PP 0 0.2 0.8 00.20.8 0.56 0.04 0.4 0.7 00.3 0.700.3 0.42 0.49 0.09 当初始分布为 { 1} 1, { 2} { 3} 0 时， P X 0P X 0P X 0 0.09 0.35 0.56 1 0 0 0.56 0.04 0.40.09 0.35 0.56 0.42 0.49 0.09 故经两步转移后处于状态 2 的概率为0.35。 （2）因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以平稳分布存在。得如下方程组 1 0.3 1 0 2 0.7 2 0.7 1 0.2 2 0 3 0 1 0.8 2 0.3 1 2 3 1 3 3 3 解上述方程组得平稳分布为 1 8 , 2 7 , 3 8 23 23 23 5、设马尔可夫链的状态空间I {1,2,3,4,5} ，转移概率矩阵 为： 0.3 0.4 0.3 0 0 0.6 0.4 00 0 P 0 1 00 0 0 0 00.3 0.7 0 0 010 求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 【解答】此题比较综合，可参加例4.13 题和 4.16 题 画出状态转移图如下： 4 2 1 3 5 （1）由上图可知，状态分类为G1{1,2,3}; G2{ 4,5} （2）由上图及常返闭集定义可知，常返闭集有两个，下面分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。 A、对 G1常返闭集而言，解方程组 1 0.3 1 0.6 2 2 0.4 1 0.4 2 3 0.3 1 0 2 1 2 3 0 1 0 1 3 3 3 解上述方程组得平稳分布为 137 , 2 259 , 3 37 15 90 50 则各状态的平均返回时间分别为 1 15 1 90 1 50 t1 37 , t2 259 , t3 37 1 2 3 B、对 G2常返闭集而言，解方程组 1 0.3 1 1 2 0.7 1 0 1 2 1 解上述方程组得平稳分布为2 2 110, 2 7 1717 则各状态的平均返回时间分别为 t1 1 17 ,t2 1 17 1 10 2 7 6、设N (t ), t 0 是参数为的泊松过程，计算 E N (t) N (t s) 。【解答】 E N (t) N (t s) E N (t) N (t s) N (t ) N (t) E N (t) N (t s) N (t ) E N (t )2 E N (t) E N (t s) N (t ) E N (t) 2 t s t ( t )2 t (1 t s) 7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以N i记在 i 第层进入电梯的人数。假 定 N i相互独 立， 且 N i是均值为i 的泊松变量。在第 i 层进入的各个人相互独立地以概率p ij在第 j 层离开电 梯，p ij 1 。令 O j＝在第 j 层离开电梯的人数。 j i （1）计算 E(O j ) （2） O j的分布是什么 （3） O j与 O k的联合分布是什么 【解答】此题与本书联系不大，据有关方面信息，此次考试此题不考。 以 N ij 记在第 i 层乘上电梯，在第 j 层离去的人数， 则 N ij 是均值为i p ij 的泊松变量且全 部 , N ij (i 0, j i ) 相互独立。因 此： (1 ) E[ O j ] E[ N ij ] i p ij i i (2)由泊松变量的性质 知，O j N ij是均值为i p ij的泊松变量 i i i k k i (3 ) 因 O i与O k独立，则 P(Oi Ok )P(Oi )P(Ok ) e e e 2 ，为期 望。 i! k!i !k! 8、一质点在1，2，3 点上作随机游动。若在时刻 t 质点位于这三个点之一，则在 [t ,t h) 内， 它都以概率h o(h) 分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微 分方程，转移概率p i j (t) 及平稳分布。 【解答】参见教材习题 5.2 题 依题意，由lim p ij ( t) ( i j ) 得， q ij1(i j ) ，柯尔莫哥洛夫向前方 程为 q i j t 0 t p ij ' 2 p ij (t) p i , j 1(t)p i , j 1(t ) ， 由于状态空间I {1,2,3} ， 故 p ij (t)p i , j 1 (t) p i, j1 (t) 1 ， 所以 p ij' 2 p ij (t) 1 p ij (t ) 3 p ij (t) 1 ，解上述一阶线性微分方程得： 1t p ij (t) ce 3 由初始条件 1 ， 3 1,i j p ij (0) j 0, i 确定常数 c ，得 1 2 1t 3 , i j 3 e p ij (t) 3 1 t 1 j 1 e 3 , i 3 3 故其平稳分布 j lim p ij (t ) 1 , j 1,2,3 t 3 1、有随机过程 { (t)，- < t< } 和 { (t)，- < t< } ，设 (t)= A sin( t+ )， (t)= B sin( t+ + ), 其中 A ，B ， ， 为实常数， 均匀分布于 [0， 2 ]，试求 R (s,t) 1.解： f 1 ,0 2 2 0, 其它 2 1 d R s , t E s t A sin s B sin t 2 1 2 AB cos t s cos t s 2 d 4 0 1 AB cos t s , s , t 2 2、随机过程 (t)= Acos( t+ )， - < t<+ ，其中 A, , 是相互统计独立的随机变 量， EA=2, D A=4, 是在 [-5, 5]上均匀分布的随机变量， 是在 [- ， ]上均匀分布的随机变 量。 试分析 (t)的平稳性和各态历经 性。 2、解： m t E t E A cos t EA E cos t 1 5 d cos t d 2 20 5 def 0 m , t R t ,t E t t E A cos t Acos t 2 t cos t E A E cos 8 5 d cos t cos t d 20 5 8 5 d cos cos 2 t 2 d 40 5 8 5 d 4 sin 5 def 20 cos 5 R 5 所以具有平稳性。 t lim 1 T Acos t dt lim A sin T cos 0 m T 2T T T T 故均值具有各态历经 性。 1 T t t A cos t A cos t dt lim T 2T T 2 T A lim cos t cos t dt T 2T T 2 A cos R t 2 故相关函数不具有各态历经性。 3、某商店顾客的到来服从强度为 4 人每小时的 Poisson 过程，已知商店 9： 00 开门，试求： （1）在开门半小时中，无顾客到来的概率； （2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。 3、解：设顾客到来过程为 {N(t), t>=0} ，依题意 N(t) 是参数 为 的 Poisson 过程。 （1）在开门半小时中，无顾客到来的概率为： 1 0 4 1 2 e 2 e P N 2 （2）在开门半小时中无顾客到来可表示为 N 1 0 ，在未来半小时仍无顾客到来可 表 2 示为 N 1 N 1 0 ，从而所求概率为： 2 P N(1) N 1 0 | N 1 0 2 2 P N(1) N 1 0 | N 1 N 0 0 2 2 P N(1) N 1 0 4 1 1 e 2 e 2 2 4、设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1 表示）、正常（用 2 表示）、畅销 （用 3 表示）。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到 下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为p ij（ p ij表示从销售状 态 i 经过一个月后转为 销 售状态 j 的概率），一步转移开率矩阵为： 1 1 2 2 5 1 1 P 9 9 3 1 2 1 6 3 6 试对经过长时间后的销售状况进行分析。 4、解答：由一步转移概率矩阵可知状态互通，且p ii>0 ，从而所有状态都是遍历状态，于是极限分布就是平稳分布。设平稳分布为={ 1，2，3} ，求解方程组： = P, 1+ 2+ 3=1 即： 1 1 1 2 2 3 1 1 1 2 2 9 5 2 9 1 2 得：1 6 2 3 1 6 3 1 3 2 3 3 31 1 8 , 2 9 , 3 6 23 23 23 即极限分布为：8 ,9 , 6 23 23 23 由计算结果可以看出：经过相当长时间后，正常销售状态的可能性最 大， 而畅销状态的可 能 性最小。 5、试对以下列矩阵为一步转移概率矩阵的齐次马尔可夫链的状态空间进行分解。 0.7 0 0.3 0 0 0.1 0.8 0.1 0 0（1）P0.4 0 0.6 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0.5 0.5 1 3 0 0 0 4 4 1 1 0 0 0 （2）P2 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 3 3 1 0 0 0 0 5、 6、一个服务系统，顾客按强度为的 Poisson 过程到达，系统内只有一个服务员，并且服务 时间服从参数为的负指数分布，如果服务系统内没有顾客，则顾客到达就开始服务，否则 他就排队。但是，如果系统内有两个顾客在排队，他就离开而不返回。令(t)表示服务系统 中的顾客数目。 （1）写出状态空间； （2）求 Q 矩阵 7、设t , t 是平稳过程，令t t cos 0 t , t ，其中 0 是常数，为均匀分布在 [0,2 ]上的随机变量，且t , t 与相互独立，R() 和 S ( )分别是t , t 的相关函数与功率谱密度，试证： （1）t , t 是平稳过程，且相关函数： R 1 R cos 0 2 （2）t , t 的功率谱密度为： S 1 S 0 S0 4 7、 7:(1) m t E t E t cos o t E t E cos 2 0t 1 m cos d 0 0 2 R t, t E t t E t cos t t E t t E cos 0 t cos 0 t 2 1 R cos 0 t cos 0 t d 0 2 1 cos R 0 2 故为平稳过程 （2） S e j R d e j 1 R cos 2 e j 1 R e j 0 e j 0 d 2 2 0t cos 0 t 0 d 1 e j 0 Rd e j 0 Rd 4 1 S 0 S 0 4 8、已知随机过程 (t )的相关函数为： 2 R e ，问该随机过程 (t )是否均方连续？是否均方可微？ 8、解答： =0 时，相关函数是连续的，故随机过程在任意时刻均方连 续。 R 2 2 e R 2 由于二阶导数在 =0 存在，故过程是均方可微的。 随机过程考试试题及答案详解 1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）? ∞ -= x dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数； （2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ，分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E += ，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ，分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21 )(λ=x D ； （4）2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ， 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 （1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知， )(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ，一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(； 一、（25分）设}0),({≥t t W 是以2σ为参数的维纳过程.(1)求)(t W 的有限维概率密度函数族. (2)令0),()()(≥?+=t t W a t W t X ,试讨论)(t X 的平稳性. 二、（20分）二阶矩过程}10),({<≤t t X 的自相关函数为1,0,1),(2121221<≤?=t t t t t t R X σ, 此过程是否均方连续、均方可微，若可微，请求),(21't t R X 和),(21't t R XX .三、（20分）设21,N N 相互独立，并且i N 服从参数为i λ的泊松分布，2,1=i .（1）求112(|)P N k N N n =+=，其中0k n ≤≤.（2）求[]211|N N N E +和[]121|N N N E +. 四、（20分）设齐次马氏链}0),({≥n n X 的一步转移阵如下，状态空间为}3,2,1{=E ?? ??? ?????=4/34/104/14/12/14/12/14/1P 初始分布为. 6 1 )0(,31)0(,21}1)0({)0(321=====p p X P p (1)画出概率转移图； (2)求}3)3(,2)1(,1)0({===X X X P 及}2)2({=X P ；(3)此链是否遍历的?试求其平稳分布.五、（15分）设平稳过程)(t X 的功率谱密度为 ?? ???>≤? =0 00 0| |1)(ωωωωωωωX S 试求)(t X 的自相关函数. 随机过程习题课参考答案 一、设}0),({≥t t W 是以2σ为参数的维纳过程. (1)求)(t W 的有限维概率密度函数族. (2)令0),()()(≥?+=t t W a t W t X ,试讨论)(t X 的平稳性. 解：（1）由于维纳过程是高斯过程，因此对任给12,,,n t t t L ，可知()12(),(),,()n W t W t W t L 服从n 维正态分布，因此其任意n 维分布均为n 维正态分布，均值向量为零，协方差阵可由下面的题二得到，然后根据多维正态分布的密度函数就可写出其有限维密度函数，这里从略。 （2）由下面的题二可得。从题二的结果可知，()X t 为宽平稳过程，又因为()X t 为高斯过程（可证明），因此()X t 也是严平稳过程。 二、设}0),({≥t t W 是以2σ为参数的维纳过程.请回答下面的问题：(1)求)(t W 的均值函数和协方差函数； (2)求)()()(t W a t W t X ?+=的均值函数和协方差函数,其中a 为一固定常数.答：(1)由题设知),0(~)(2t N t W σ，因此,0)]([=t W E 当t s <<0时，协方差函数 s s W s W t W s W E t W s W E t s C W 22)]())()()(([)]()([),(σ=+?==类似地，当s t <<0时，可得t t s C W 2),(σ=，所以},min{),(2t s t s C W σ=．(2)()[()()]0X m t E W t a W t =+?=， ?? ?? ??>???≤=++?+?++=++?+?++===||,|]|[||, 0} ,min{},min{},min{},min{)] ()()()()()()()([)] ()([)](),([),(22222s t a s t a s t a t s t a s t s a t a s a t W s W t W t a W t W s a W t a W s a W E t X s X E t X s X Cov t s C X σσσσσ三、试求随机相位余弦波)cos()(Θ+=t a t X ω的均值函数、方差函数和自相关函数，其中ω,a 为常数，Θ是在(0,2π)上均匀分布的随机变量。解：略 四、设21,N N 相互独立，并且i N 服从参数为i λ的泊松分布，2,1=i .(1)求112(|)P N k N N n =+=，其中0k n ≤≤. 1、设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 2、设{ }∞<<∞-t t W ),(是参数为2 σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量； 且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。令R t W t X +=)()(，求随机过程 {}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。 3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个 顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。 4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为： ??? ? ? ??=3.007.08.02.0007.03.0P （1）求两步转移概率矩阵) 2(P 及当初始分布为 0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P 时，经两步转移后处于状态2的概率。 （2）求马尔可夫链的平稳分布。 5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为： ??? ??? ? ? ? ?=010007.03.0000 0001 00004.06.0003.04 .03.0P 求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。 7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以i N 记在i 第层进入电梯的人数。假定i N 相互独立，且i N 是均值为i λ的泊松变量。在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯， 1ij j i p >=∑。令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。 （1）计算()j E O （2）j O 的分布是什么 （3）j O 与k O 的联合分布是什么 8、一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t 质点位于这三个点之一，则在),[h t t +内， 它都以概率 )(h o h +分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率)(t p j i 及平稳分布。 1有随机过程{ξ(t )，-∞ （1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。 （3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程， 且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？ 解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=- 随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量和的分布密度 （b）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求和的相关系数； （b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为T的函数，即，试求方差 函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数，为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为： 利用变换：，及雅克比行列式： 我们有的联合分布密度为： 因此有： 且V和相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且 所以。 （4）由于： 所以因此 当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1） 当i =j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7．解： （1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： （2） 《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 求（1）{}X(t),t (,)∈-∞+∞的样本函数集合；（2）一维分布函数F(x;0),F(x;1)。 解：（1）样本函数集合为{}cos t,t ,t (-,+)π∈∞∞； （2）当t=0时，{}{}1 P X(0)=0P X(0)=12 == ， 故0x<01F(x;0)=0x<12x 11???≤??≥??；同理0 x<-11F(x;1)=1x<12x 11 ??? -≤??≥?? 3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为α，而今天无雨明天有雨的概率为β；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设 0.7,0.4αβ==，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。 解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为00 011011p p 0.70.3P=p p 0.40.6???? =? ???? ???，于是(2) 0.610.39P PP=0.520.48??=????，四步转移概率矩阵为(4)(2)(2) 0.57490.4251P P P 0.56680.4332??==???? ，从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为(4) 00P 0.5749=。 4.一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。 解：一步转移概率矩阵010111P=333010????? ????? ?? ， 111333 (2)271 199911133 3,????==?????? P P (2)ij p 由>0知，此链有遍历性；(),,ππππ123设极限分布=， 1 1 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： 所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个 任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ，其中 是常数，与是 相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 30 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？ 解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p 1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自 相关函数分别为Rx()和Ry()。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案： （1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== ：独立的性质和利用 （2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。 答案： （1） 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数： ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压：y(t) 电压：x(t) 电流：i(t) 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 2016随机过程（A ）解答 1、（15分）设随机过程V t U t X +?=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。 1) 求)(t X 的一维概率密度函数； 2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解： 由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +?=)(也服从正态分布， 且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==?+=?+=+ {}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==?+=+=+ 故： (1) )(t X 的一维概率密度函数为：()2 22218(1) (),x t t t f x e x --- += -∞≤≤∞ (2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为： {}{} (,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =?=?+??+ {}{}{} 22()13()413 st E U s t E U V E V st s t =?++??+=?++?+ 协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-?=+ （3）相关系数： (,)s t ρρ== == )(t X 的二维概率密度函数为： 2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x e ρ????-----?? +????-++???????? = 2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的 平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？ 解： 到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。 将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为： 419,04 ()80,47t t t t λ+≤≤?=? <≤? 在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布，其均值： 6 4 6 2 2 4 (6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=??? 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意0 12 ≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 6 18}4)3(|6)5({-===e X X P 15 3 2 6 2 3 2 92! 23 ! 2)23(! 23 }2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=? ?? ==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 6 6 2 18! 26 }2)3()5({}4)3(|6)5({--== =-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ????? ? ?? ? ????? ??? ?=434 10313131 04341 1)(P ，则167)2(12 =P ，16 1}2,2,1{210= ===X X X P ???????? ? ????? ????=48 3148 1348 436133616367164167165)1()2(2 P P 16 7)2(12= P 16 1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 4 2++= ωωω ωS ，则)(t X 的均方值 = 212 1- 222 22 2 11221)2(2 221 1 1 22 )(+??-+?? = +- += ωωωωωS τ τ τ--- = e e R X 2 12 1)(2 第一章 随机过程的基本概念 一、随机过程的定义 例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ， ···，记为{X n ，n=1,2, ···}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2, ···}是随机过程。 例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2, ···}的统计规律性。 例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1-p 后退一步（假设步长相同）。以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则{X(t), t ≥0}就是（直线上的）随机游动。 例4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t 时刻的队长，用Y(t)表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t), t ∈T}和{Y(t), t ∈T}都是随机过程。 定义：设给定参数集合T ，若对每个t ∈T, X(t)是概率空间),,(P ?Ω上的随机变量，则称{X(t), t ∈T}为随机过程，其中T 为指标集或参数集。 E X t →Ω:)(ω，E 称为状态空间，即X(t)的所有可能状态构成的集合。 例1：E 为{0,1} 例2：E 为[0, 10] 例3：E 为},2,2,1,1,0{Λ-- 例4：E 都为), 0[∞+ 注：（1）根据状态空间E 的不同，过程可分为连续状态和离散状态，例1，例3为离散状态，其他为连续状态。 （2）参数集T 通常代表时间，当T 取R, R +, [a,b]时，称{X(t), t ∈T}为连续参数的随机过程；当T 取Z, Z +时，称{X(t), t ∈T}为离散参数的随机过程。 （3）例1为离散状态离散参数的随机过程，例2为连续状态离散参数的随机过程，例3为离散状态连续参数的随机过程，例4为连续状态连续参数的随机过程。 二、有限维分布与Kolmogorov 定理 随机过程的一维分布：})({),(x t X P x t F ≤= 随 机 过 程 的 二 维 分 布 ： T t t x t X x t X P x x F t t ∈≤≤=21221121,,},)(,)({),(21 M最新随机过程考试试题及答案详解1
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