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河海大学2012—2013学年第一学期
硕士研究生《工程随机过程》试卷
考试时间：2013年1月8日
姓名专业学号成绩
一、(本题满分12分) （1）已知随机变量X 服从参数为λ的Poisson 分布，即)(~λP X ，求X 的特征函数；
（2）若n X X X ,,,21 相互独立，且n i P X i i ,,2,1),(~ =λ，利用特征函数求n X X X Y +++= 21的分布。
二、（本题满分10分）设{X n , n ∈T }为齐次马尔可夫链，其状态空间为E ={1,2,3,4}，一步转移概率矩阵为
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12/5/31/6112/13/15/25/115/16/13/13/16/14/18
/3/4181/P 求（1）3}|3,1,3,4,3,2{0654321=======X X X X X X X P ；
（2）}4|3{2==+n n X X P 。
三、（本题满分10分）袋中放有一只白球，两只红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回， 对每一个确定的t 对应随机变量
⎩⎨⎧=时取得白球
如果，时取得红球如果t t t t t X 2,cos )(π 试求一维分布函数)2
1;(x F 和)1;(x F 。
四、(本题满分10分) 设马氏链}0{≥n X n ，的状态空间为}3,2,1,0{=E ，其一步转移概率矩阵为
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4.04.02.001.06.025.005.01.02.05.02.001
.04.05.0P 试问此链是否具有遍历性？若有请求其平稳分布。
五、（本题满分14分）试判断下列线性模型哪些是平稳的，哪些是可逆的？并求其自相关函数。
（1）21.20.70---+=t t t t a a a X ； （2）t t t t a X X X =+---21.20.50（54321,,,,ρρρρρ）。
六、（本题满分12分）某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设 男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程。
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（1）试求到某时刻t 时到达商场的总人数的分布；
（2） 在已知t 时刻已有50人到达的条件下，试求其中恰有30位妇女的概率。 由已知，1()N t 为强度12λ=的泊松过程，2()N t 为强度23λ=的泊松过程； 故，()N t 为强度125λλλ=+=的泊松过程；于是， 5(5)(())!k
t t P N t k e k -
== 0,1,2,k = （5分）
（2） 22(()30,()50)(()30()50)(()50)P N t N t P N t N t P N t ====== 30320221505(()30)(()20)(3)/30!(2)/20!
(()50)(5)/50!t t t P N t P N t t e t e P N t t e ---==⨯=== 303202303020
50505(3)/30!(2)/20!
32()()(5)/50!55t
t t t e t e C t e ---⨯== （5分）
一般地，50,,2,1,0,)52()53(}50)(|)({50502 ====-k C t N k t N P k
k k
故平均有女性顾客 3053
50}50)(|)({2=⨯==t N t N E 人 （4分）
七、（本题满分12分）设马氏链{X n , n ≥1}的状态空间为E ={0,1,2,⋅⋅⋅ }，且已知
21
0++=i i p i ，21
1,+=+i p i i ，E i ∈
试讨论此链是否可约？是否为常返链？为什么？
八、（本题满分10分）余弦波()() X t Acos t t ω=+Θ-∞<<+∞，其中A ，ω是常数，(,)ππΘ-服从 上均匀分布。
（1）试求()X t 的均值函数、方差函数和自相关函数；
（2）试证明随机过程()X t 是宽平稳过程。
九、（本题满分10分）设有q 阶滑动平均模型
q t q t t t t a a a a X ---θ--θ-θ-= 2211
其中q 为常数，),,2,1(q i i =θ为滑动平均系数，t a 为残差，满足0)(=t a E ， ⎪⎩⎪⎨⎧
≠=σ=-0
,00
,)(2k k a a E k t t 。证明序列},2,1,0,{ ±±=t X t 为平稳时间序列。
